專題01 集合與常用邏輯用語（5大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關）【高考數學】備戰(zhàn)2025年高考易錯題（新高考專用）含解析

【高考數學】備戰(zhàn)2025年高考易錯題（新高考專用）專題01集合與常用邏輯用語易錯點一：對集合表示方法的理解存在偏差（集合運算問題兩種解題方法）方法一：列舉法列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據集合基本運算的定義求解的方法。其解題具體步驟如下:第一步定元素：確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數軸寫出所有元素或范圍；第二步定運算：利用常見不等式或等式解未知集合；第三步：定結果。方法二：賦值法高考對集合的基本運算的考查以選擇題為主,所以我們可以利用特值法解題,即根據選項之間的明顯差異,選擇一些特殊元素進行檢驗排除,從而得到正確選項.其解題具體步驟如下:第一步：辨差異:分析各選項,辨別各選項的差異；第二步：定特殊:根據選項的差異,選定一些特殊的元素；第三步：驗排除:將特殊的元素代入進行驗證，排除干擾項；第四步：定結果:根據排除的結果確定正確的選項。易錯提醒：對集合表示法的理解先觀察研究對象（丨前），研究對象是點集還是數集，故要對本質進行剖析，需要明確集合中的代表元素類型及代表元素的含義.例已知集合，，則集合（

）A． B． C． D．變式1：已知集合，則（）A． B．C． D．變式2：已知集合，，則（

）A． B．C． D．變式3：已知集合，，則（

）A． B．C． D．1．集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．3．設全集，集合，，則等于（

）A． B． C． D．4．已知集合，，則（

）A． B．C． D．5．已知集合，則（

）A． B． C． D．或6.已知集合，，則（

）A． B． C． D．7.下列表示正確的個數是（

）（1）；（2）；（3）；（4）若，則．（5）A．4 B．3 C．2 D．1易錯點二：忽視（漏）空集導致錯誤（集合中的含參問題）1.利用兩個集合之間的關系確定參數的取值范圍解題時務必注意:由于?是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A滿足AB或AB,則對集合A分兩種情中的含參問題況討論:(1)當A=?時,若集合A是以不等式為載體的集合,則該不等式無解;(2)當A≠?時,要利用子集的概念把子集關系轉化為兩個集合對應區(qū)間的端點值的大小關系,從而構造關于參數的不等式(組)求解.2.利用兩集合的運算求參數的值或取值范圍解決此類問題的步驟一般為:第一步：化簡所給集合;第二步：用數軸表示所給集合;第三步：根據集合端點間關系列出不等式(組);(4)解不等式(組);第四步：檢驗,通過返回代入驗證端點是否能夠取到.第五步：解決此類問題多利用數形結合的方法,結合數軸或Venn圖進行求解.易錯提醒：勿忘空集和集合本身.由于?是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是該集合的子集，所以在進行列舉時千萬不要忘記。例已知集合，．若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式1：集合，，若，則實數a的取值集合為（

）A． B． C． D．變式2：設集合，集合，若，則實數的取值范圍為（

）A． B．C．D．變式3：已知集合，若有兩個元素，則實數的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．1．已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．設集合，，若，則（

）A． B． C． D．3．已知集合，，若，則實數a的取值集合為（）A． B． C． D．4．設集合，}，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．設集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知集合，，若，則實數a取值集合為（

）A． B． C． D．7．已知集合，且，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知集合，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．已知集合，，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．410．已知集合，，若，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．已知集合，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．易錯點三：忽視集合元素的互異性（利用集合元素三性解決元素與集合關系問題）類型1有限集中元素與集合間關系的判斷 (1)待確定元素與已知集合無關:如果待確定元素的值只與自身有關,只需將元素化簡、求值,再與該有限集內的元素進行逐個對照,確定是否存在與其相等的元素.若存在,則屬于(∈);若不存在,則不屬于.(2)待確定元素與已知集合有關:當一個待定集合中的元素與一個已知集合有關,確定元素與待定集合的關系(或待定集合中元素個數)時,應先將待定集合中的元素根據題中限定條件求出(常會用到列舉法和分類討論思想),然后根據題目信息進行分析判斷(常依據集合中元素的互異性進行檢驗).類型2無限集中元素與集合間關系的判斷(1)將待確定元素進行變形,看能否表示成無限集合中元素的形式,如果可以,則屬于;否則不屬于.(2)假設法:假設該對象是集合中的元素,代人看是否與集合限定條件相矛盾,若不矛盾,則屬于;否則不屬于.易錯提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關鍵,求解過程中務必注意:用描述法表示的集合,要先認清代表元素的含義和集合的類型，是數集、點集,還是其他類型的集合,如表示不同的集合.如果是根據已知列方程求參數值,一定要將參數值代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性.例已知集合，，則集合中元素的個數為（

）A．30 B．28 C．26 D．24變式1：設集合，若，則實數m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1變式2：已知集合，，則集合B中元素個數為（

）A．5 B．6 C．8 D．9變式3：若，則的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，31．對于復數，若集合具有性質“對任意，必有”，則當時，等于()A．1 B．－1 C．0 D．2．已知集合，，若，則實數的值為A． B． C．1 D．03．已知集合，若，則實數＝（）A．1 B．-1 C．0 D．±14．已知集合，，若，則實數x的取值集合為（

）A． B． C． D．5．已知，，若集合，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．26．已知集合，若，則實數的值為（

）．A． B． C．或 D．或7．已知為實數，，集合中有一個元素恰為另一個元素的倍，則實數的個數為（

）A． B． C． D．8．已知集合，，則（

）A． B．或1 C．1 D．5易錯點四：判斷充分性必要性位置顛倒1.充分條件與必要條件的相關概念(1)如果pq,則p是q的充分條件,同時q是p的必要條件;(2)如果pq,但q?p,則p是q的充分不必要條件;(3)如果pq,且qp,則p是q的充要條件;(4)如果qp,且p?q,則p是q的必要不充分條件;(5)如果p?q,且q?p,則p是q的既不充分又不必要條件2.從集合角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現,q以集合B的形式出現,即A={p(x)},B={q(x)},則關于充分條件、必要條件又可以敘述為:若AB,則p是q的充分條件;(2)若BA,則p是q的必要條件;(3)若A=B,則p是q的充要條件; (4)若A?B,則p是q的充分不必要條件;(5)若A?B,則p是q的必要不充分條件;(6)若A?B且A?B,則p是q的既不充分又不必要條件.易錯提醒：(1)A是B的充分不必要條件是指:AB且B?A;(2)A的充分不必要條件是B是指:BA且A?B,在解題中要弄清它們的區(qū)別,以免出現錯誤.例命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．變式1：已知命題：，，則為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．變式2：記方程①：，方程②：，方程③：，其中是正實數.若成等比數列，則“方程③無實根”的一個充分條件是（

）A．方程①有實根，且②有實根 B．方程①有實根，且②無實根C．方程①無實根，且②有實根 D．方程①無實根，且②無實根變式3：若，則“”的一個充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．1．設為實數，則“”的一個充分非必要條件是（

）A． B．C． D．2．使“”成立的一個充分不必要條件是（

）A．， B．，C．， D．，3．若不等式的一個充分條件為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．5．如果不等式成立的充分不必要條件是；則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．7．函數有兩個零點的一個充分不必要條件是（

）A．a=3 B．a=2 C．a=1 D．a=08．已知a，，則“”的一個必要條件是（

）A． B． C． D．易錯點五：由含有邏輯聯結詞的命題的真假求參數的取值范圍根據命題的真假求參數的取值范圍的方法步驟:第一步：求出當命題p,q為真命題時所含參數的取值范圍;第二步：根據復合命題的真假判斷命題p,q的真假性;第三步：根據命題p,q的真假情況,利用集合的交集和補集的運算,求解參數的取值范圍.易錯提醒：此類題目一般會出現“p或q”為真,“p或q”為假,“p且q"為真,“p且q”為假等條件,解題時應先將這些條件轉化為p,q的真假.p,q的真假有時是不確定的,需要討論,但無論哪種情況,一般都是先假設p,q為真,求出參數的取值范圍,當它們?yōu)榧贂r取補集即可。例已知，，，，若“p且q”是真命題，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．且變式1：若命題“，”為真命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式2：已知命題，命題，若p假q真，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式3：命題“”為假命題，則實數的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．1．已知命題：，，則“”是“是真命題”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知命題；命題，若命題均為假命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．若命題“”是真命題，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．若命題“”為假命題，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．若“，”是假命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知，，，，若為假命題，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知命題“，”是假命題，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知命題p：，；命題q：，，若p、q都為真命題，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．若命題“，”是真命題，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．已知命題,命題若是真命題，則a的取值范圍是（

）.A． B． C．(0,] D．[0,]

專題01集合與常用邏輯用語易錯點一：對集合表示方法的理解存在偏差（集合運算問題兩種解題方法）方法一：列舉法列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據集合基本運算的定義求解的方法。其解題具體步驟如下:第一步定元素：確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數軸寫出所有元素或范圍；第二步定運算：利用常見不等式或等式解未知集合；第三步：定結果。方法二：賦值法高考對集合的基本運算的考查以選擇題為主,所以我們可以利用特值法解題,即根據選項之間的明顯差異,選擇一些特殊元素進行檢驗排除,從而得到正確選項.其解題具體步驟如下:第一步：辨差異:分析各選項,辨別各選項的差異；第二步：定特殊:根據選項的差異,選定一些特殊的元素；第三步：驗排除:將特殊的元素代入進行驗證，排除干擾項；第四步：定結果:根據排除的結果確定正確的選項。易錯提醒：對集合表示法的理解先觀察研究對象（丨前），研究對象是點集還是數集，故要對本質進行剖析，需要明確集合中的代表元素類型及代表元素的含義.例已知集合，，則集合（

）A． B． C． D．破解：根據交集定義計算，可以認為是數集，是點集，故選：A變式1：已知集合，則（）A． B．C． D．破解：∵，，，故選：C注意一個研究對象為數集一個為點集變式2：已知集合，，則（

）A． B．C． D．破解：由題意可知集合為數集，集合表示點集，故選D.變式3：已知集合，，則（

）A． B．C． D．破解：因為所以，故選：A1．集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以.故選：B2．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式可得集合A，根據對數函數性質可求得集合B，根據集合的交集運算即得答案.【詳解】由題意，由于，故，故，所以，故選：A3．設全集，集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡集合A，B，根據集合的交集、補集運算.【詳解】全集，集合，或，所以，則．故選：B．4．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解.【詳解】解：集合，由，得，解得，所以，所以，故選：B5．已知集合，則（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】先化簡集合，再求即可解決．【詳解】，則．故選：C．6.已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據集合的交運算即可求解.【詳解】，所以，故選：B7.下列表示正確的個數是（

）（1）；（2）；（3）；（4）若，則．（5）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據元素與集合的關系、集合與集合的關系、交集、子集等知識進行分析，從而確定正確答案.【詳解】空集沒有元素，所以正確，也即（1）正確；空集是任何集合的子集，所以正確，也即（2）正確；由解得，所以，所以（3）錯誤；若，即是的子集，所以，所以（4）正確；根據元素與集合的關系可知正確，也即（5）正確.所以正確的個數是.故選：A易錯點二：忽視（漏）空集導致錯誤（集合中的含參問題）1.利用兩個集合之間的關系確定參數的取值范圍解題時務必注意:由于?是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A滿足AB或AB,則對集合A分兩種情中的含參問題況討論:(1)當A=?時,若集合A是以不等式為載體的集合,則該不等式無解;(2)當A≠?時,要利用子集的概念把子集關系轉化為兩個集合對應區(qū)間的端點值的大小關系,從而構造關于參數的不等式(組)求解.2.利用兩集合的運算求參數的值或取值范圍解決此類問題的步驟一般為:第一步：化簡所給集合;第二步：用數軸表示所給集合;第三步：根據集合端點間關系列出不等式(組);(4)解不等式(組);第四步：檢驗,通過返回代入驗證端點是否能夠取到.第五步：解決此類問題多利用數形結合的方法,結合數軸或Venn圖進行求解.易錯提醒：勿忘空集和集合本身.由于?是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是該集合的子集，所以在進行列舉時千萬不要忘記。例已知集合，．若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．破解：根據集合的關系分類討論求參數即可，由，可得當時，，即，滿足題設當時，，即，且，可得綜上，a的取值范圍為，故選：B變式1：集合，，若，則實數a的取值集合為（

）A． B． C． D．破解：首先求出集合，依題意可得，再分、、三種情況討論因為，，所以，又當，則，當，即，解得，當，即，解得，綜上可得實數a的取值集合為，故選：D變式2：設集合，集合，若，則實數的取值范圍為（

）A． B．C．D．破解：結合是否為空集進行分類討論可求的范圍當時，，則，即當時，若，則或解得或，綜上，實數的取值范圍為故選：D變式3：已知集合，若有兩個元素，則實數的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．破解：先解出集合，結合有兩個元素求解即可因為，，由于有兩個元素則或，解得或所以實數的取值范圍是或，故選：C1．已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可以得到，從而對集合分類討論即可求解參數的范圍.【詳解】∵已知，又因為，∴，即，①當時，滿足，此時，解得；②當時，由，得，解得；綜上所述，.故選：C.2．設集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合B，再利用集合的包含關系求解即得.【詳解】顯然，由，得，當時，即，解得，滿足，則；當時，則，解得；所以.故選：C3．已知集合，，若，則實數a的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分和討論，根據集合關系可解.【詳解】，當時，，滿足；當時，，，由可知或，得或.綜上，實數a的取值集合為.故選：D4．設集合，}，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據得到兩集合間的關系，再由集合間的關系，求得的取值范圍.【詳解】由得，已知，，從而得.故選:D.5．設集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，分析可知，由集合的包含關系可得出實數的取值范圍.【詳解】解不等式，即，解得，即，因為，且，則，所以，.故選：B.6．已知集合，，若，則實數a取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，分別討論和兩種情況，即可得出結果.【詳解】由，知，因為，，若，則方程無解，所以；若，，則，因為，所以，則；故實數取值集合為.故選：D.7．已知集合，且，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出，依題意可得，可得關于的不等式，即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，又，所以，解得，即實數的取值范圍為.故選：A.8．已知集合，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據得可得答案.【詳解】因為，所以，所以.故選：B．9．已知集合，，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】有集合間的關系建立不等式組求出即可.【詳解】由，得，易知集合非空，則，解得．故選：B.10．已知集合，，若，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再利用集合的包含關系求解作答.【詳解】解不等式，得，于是，而，因為，則，因此，解得，所以實數的取值范圍為.故選：B11．已知集合，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先分別求兩個集合，再根據包含關系，求參數的取值范圍.【詳解】由已知得，由，得，所以.故選：.易錯點三：忽視集合元素的互異性（利用集合元素三性解決元素與集合關系問題）類型1有限集中元素與集合間關系的判斷 (1)待確定元素與已知集合無關:如果待確定元素的值只與自身有關,只需將元素化簡、求值,再與該有限集內的元素進行逐個對照,確定是否存在與其相等的元素.若存在,則屬于(∈);若不存在,則不屬于.(2)待確定元素與已知集合有關:當一個待定集合中的元素與一個已知集合有關,確定元素與待定集合的關系(或待定集合中元素個數)時,應先將待定集合中的元素根據題中限定條件求出(常會用到列舉法和分類討論思想),然后根據題目信息進行分析判斷(常依據集合中元素的互異性進行檢驗).類型2無限集中元素與集合間關系的判斷(1)將待確定元素進行變形,看能否表示成無限集合中元素的形式,如果可以,則屬于;否則不屬于.(2)假設法:假設該對象是集合中的元素,代人看是否與集合限定條件相矛盾,若不矛盾,則屬于;否則不屬于.易錯提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關鍵,求解過程中務必注意:用描述法表示的集合,要先認清代表元素的含義和集合的類型，是數集、點集,還是其他類型的集合,如表示不同的集合.如果是根據已知列方程求參數值,一定要將參數值代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性.例已知集合，，則集合中元素的個數為（

）A．30 B．28 C．26 D．24破解：，因為，當時，為偶數，共有個元素當時，為奇數，此時，共有個元素當時，為奇數，此時，有重復數字，去掉，共有個元素.綜上中元素的個數為個，故選：B變式1：設集合，若，則實數m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1破解：根據元素與集合的關系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗集合的互異性設集合，若，，或。當時，，此時，當時，，此時所以或，故選：C變式2：已知集合，，則集合B中元素個數為（

）A．5 B．6 C．8 D．9破解：集合，，則當時，有，當時，或，當時，或，所以，集合B有中5個元素，故選：A變式3：若，則的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3破解：根據元素與集合的關系及集合中元素的性質，即可判斷的可能取值，則，符合題設，時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設，時，則，符合題設，∴或均可以.故選：C1．對于復數，若集合具有性質“對任意，必有”，則當時，等于()A．1 B．－1 C．0 D．【答案】B【詳解】試題分析：集合中各不相同，由已知“對任意，必有”可知時，時2．已知集合，，若，則實數的值為A． B． C．1 D．0【答案】B【詳解】因為，則a2＋1＝2，即a＝±1.但當a＝1時，A＝{1，2，0}，此時，不合題意，舍去，所以a＝－1，故選B.3．已知集合，若，則實數＝（）A．1 B．-1 C．0 D．±1【答案】A【分析】根據得或，分類討論結合集合中元素的互異性求解即可.【詳解】由，可得或，解得：或，當時，集合，符合題意；當時，集合不滿足集合的互異性；綜上，.故選：A.4．已知集合，，若，則實數x的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據集合元素的唯一性分類討論即可.【詳解】因為，所以.當時，，得；當時，則.故實數x的取值集合為.故選：B5．已知，，若集合，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【分析】結合已知條件，利用集合的互異性即可求解.【詳解】∵集合，分母，∴，，且，解得，∴.故選：B.6．已知集合，若，則實數的值為（

）．A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根據元素與集合之間的關系，及集合元素的互異性即可求出的值.【詳解】，且，或⑴、當即或，①、當時，，，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；②、當時，，，此時，符合題意；⑵、當即時，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；綜上所述：實數的值為1.故選：B7．已知為實數，，集合中有一個元素恰為另一個元素的倍，則實數的個數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意分情況討論并判斷即可.【詳解】由題意：當時，，此時集合，不成立；當時，，時不成立，時，集合，成立；當時，集合，成立；當時，或，時集合，不成立，時集合，成立；當時，，時集合，不成立，時集合，成立；當時，或，時集合，不成立，時不成立；故，故選：B.8．已知集合，，則（

）A． B．或1 C．1 D．5【答案】C【分析】分和兩種情況進行求解，要檢驗是否與互異性矛盾，得到答案.【詳解】當，解得或1，當時，，與元素互異性矛盾，舍去；當時，，滿足要求，當時，解得，顯然與元素互異性矛盾，舍去，綜上，.故選：C易錯點四：判斷充分性必要性位置顛倒1.充分條件與必要條件的相關概念(1)如果pq,則p是q的充分條件,同時q是p的必要條件;(2)如果pq,但q?p,則p是q的充分不必要條件;(3)如果pq,且qp,則p是q的充要條件;(4)如果qp,且p?q,則p是q的必要不充分條件;(5)如果p?q,且q?p,則p是q的既不充分又不必要條件2.從集合角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現,q以集合B的形式出現,即A={p(x)},B={q(x)},則關于充分條件、必要條件又可以敘述為:若AB,則p是q的充分條件;(2)若BA,則p是q的必要條件;(3)若A=B,則p是q的充要條件; (4)若A?B,則p是q的充分不必要條件;(5)若A?B,則p是q的必要不充分條件;(6)若A?B且A?B,則p是q的既不充分又不必要條件.易錯提醒：(1)A是B的充分不必要條件是指:AB且B?A;(2)A的充分不必要條件是B是指:BA且A?B,在解題中要弄清它們的區(qū)別,以免出現錯誤.例命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．破解：求解命題“”為真命題時，即可根據真子集求解命題“”為真命題,則對恒成立，所以，故，所以命題“”為真命題的充分不必要條件需要滿足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故選：D變式1：已知命題：，，則為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．破解：先分離參數求出的取值范圍，則為真命題的一個充分不必要條件應該是的一個真子集，由題設命題為真，即在上恒成立，所以，則為真命題的一個充分不必要條件應該是的一個真子集，故選：A變式2：記方程①：，方程②：，方程③：，其中是正實數.若成等比數列，則“方程③無實根”的一個充分條件是（

）A．方程①有實根，且②有實根 B．方程①有實根，且②無實根C．方程①無實根，且②有實根 D．方程①無實根，且②無實根破解：根據判別式以及充分條件的定義逐項分析由題意，，其中，對于A，如果有實根，則，如果有實根，則，有可能大于等于.則，即有可能大于等于0，即由①②不能推出③無實根，A不是充分條件，對于B，有，則必有，即，方程無實根，所以B是③無實根的充分條件.對于C，有，，方程③有實根，C不是方程③無實根的充分條件，對于D，有，q的值不確定，有可能小于，也有可能大于，不能保證方程③無實根，例如，則，所以D不是方程③無實根的充分條件，故選：B.變式3：若，則“”的一個充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．破解：由，推不出，排除AB由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要條件，排除C，，反之不成立，D正確，故選：D1．設為實數，則“”的一個充分非必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由充分非必要條件定義，根據不等式的性質判斷各項與推出關系即可.【詳解】由，則，可得，可推出，反向推不出，滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；由，則或或，推不出，反向可推出，不滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；故選：A2．使“”成立的一個充分不必要條件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據不等式的關系結合充分不必要條件分別進行判斷即可．【詳解】對于A，若，，當時，成立，所以“，”“”，A不滿足條件；對于B，，，則，即，所以“，”“”，若，則，不妨取，，，則，所以“，”“”，所以“，”是“”的充分不必要條件，B滿足條件；對于C，若，則，使得，即，即“”“，”，所以“，”是“”的充分條件，C不滿足條件；對于D，若，，則，即，當且僅當時，等號成立，所以“，”“”，D不滿足條件.故選：B.3．若不等式的一個充分條件為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合充分條件的定義列出不等式組，求解即可．【詳解】若不等式的一個充分條件為，則，所以，解得.則實數的取值范圍是.故選：D.4．命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求命題“”為真命題的等價條件，再結合充分不必要的定義逐項判斷即可.【詳解】因為為真命題，所以或，對A，是命題“”為真命題的充分不必要條件，A對，對B，是命題“”為真命題的充要條件，B錯，對C，是命題“”為真命題的必要不充分條件，C錯，對D，是命題“”為真命題的必要不充分條件，D錯，故選：A5．如果不等式成立的充分不必要條件是；則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解絕對值不等式，得到，結合題干條件得到是的真子集，從而得到不等式組，求出實數的取值范圍.【詳解】，解得：，所以成立的充分不必要條件是，故是的真子集，所以或，解得：，故實數的取值范圍是.故選：B6．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對命題進行求解，可得，再通過充分條件和必要條件進行判斷即可.【詳解】因為命題是真命題，當時，，若恒成立，則，結合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是，故選：B．7．函數有兩個零點的一個充分不必要條件是（

）A．a=3 B．a=2 C．a=1 D．a=0【答案】A【分析】先因式分解得，再分類討論求解當有兩個零點時的值，再根據充分不必要條件的性質判斷選項即可【詳解】，有兩個零點，有兩種情形：①1是的零點，則，此時有1，2共兩個零點②1不是的零點，則判別式，即∴是有兩個零點的充分不必要條件故選：A．8．已知a，，則“”的一個必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用否定ACD選項，進而得答案.【詳解】解：對于A選項，當時，，此時，故不是的必要條件，故錯誤；對于B選項，當時，成立，反之，不成立，故是的必要條件，故正確；對于C選項，當時，，但此時，故不是的必要條件，故錯誤；對于D選項，當時，，但此時，故故不是的必要條件，故錯誤.故選：B易錯點五：由含有邏輯聯結詞的命題的真假求參數的取值范圍根據命題的真假求參數的取值范圍的方法步驟:第一步：求出當命題p,q為真命題時所含參數的取值范圍;第二步：根據復合命題的真假判斷命題p,q的真假性;第三步：根據命題p,q的真假情況,利用集合的交集和補集的運算,求解參數的取值范圍.易錯提醒：此類題目一般會出現“p或q”為真,“p或q”為假,“p且q"為真,“p且q”為假等條件,解題時應先將這些條件轉化為p,q的真假.p,q的真假有時是不確定的,需要討論,但無論哪種情況,一般都是先假設p,q為真,求出參數的取值范圍,當它們?yōu)榧贂r取補集即可。例已知，，，，若“p且q”是真命題，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．且破解：分類討論為真和為真時，的取值，進而利用集合的交集關系，即可求解若p真，則；若q真，則或．又因為“p且q”是真命題，所以或故選：C變式1：若命題“，”為真命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．破解：結合二次函數的性質來求得的取值范圍依題意命題“，”為真命題，當時，成立當時，成立.當時，函數開口向下，不恒成立，綜上所述，，故選：B變式2：已知命題，命題，若p假q真，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．破解：根據命題為假命題，則為真命題，從而求出，再由命題為真命題，利用基本不等式求出的范圍，再取交集即可得解命題，為假命題，則為真命題，滿足，解得,命題為真命題，由，當且僅當時等號成立，可知.故實數的取值范圍為，故選：C變式3：命題“”為假命題，則實數的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．破解：確定，考慮，，三種情況，計算得到答案命題“”為假命題，則，當時，，成立.當時，則，解得，即當時，成立，綜上所述：，故選：D1．已知命題：，，則“”是“是真命題”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先求出命題為真時參數的取值范圍，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，為真命題，則，解得，則是真命題時對應的的取值范圍為，因為，所以“”是“是真命題”的充分不必要條件.故選：A2．已知命題；命題，若命題均為假命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出為真命題時的范圍，進一步可得答案．【詳解】由，得，，，則當時，取最小值2，所以，命題，則，即，若命題均為假命題，則且，即，∴實數的取值范圍為．故選：B.3．若命題“”是真命題，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】由命題“”是真命題則滿足，即，所以．故選：A．4．若命題“”為假命題，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，寫出全稱命題的否定，根據其真假性以及一元二次方程的性質，可得答案.【詳解】命題“”為假命題，”是真命題，方程有實數根，則，解得，故選：A.5．若“，”是假命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】原命題為假，則其否定為真即“，”是真命題，利用分離參數思想結合基本不等式求出最值即可得結果.【詳解】因為“，”是假命題，所以“，”是真命題，即存在，使成立.又等號僅當，即時成立，所以只要，解得.故選：B.6．已知，，，，若為假命題，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先分別求出命題為真命題時，參數的范圍，再由為假命題，得出都是假命題，求出其對應的參數m的取值范圍，它們的交集就是答案.【詳解】由，，∴，由，，∴，解得：，∵為假命題，∴p，q都為假命題，若p為假命題，則，若q為假命題，則或，綜上，實數m的取值范圍是.故選：A.7．已知命題“，”是假命題，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，命題“，”是真命題，分和兩種情況討論，結合參變量分離法可求得實數的取值范圍.【詳解】由題意可知，命題“，”是真命題.當時，則有，不合乎題意；當時，由，可得，則有，，當且僅當時，等號成立，所以，.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.8．已知命題p：，；命題q：，，若p、q都為真命題，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，求出p與q均為真命題的a的范圍，取交集得答案．【詳解】若命題為真命題，則或，解得；若命題為真命題，則，即，解得或∴實數的取值范圍是故選：A.9．若命題“，”是真命題，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分離參數，將問題轉化為，恒成立，結合基本不等式求解最值即可得解.【詳解】若命題“，”是真命題，則，，即恒成立，，當且僅當時等號成立，∴，即實數的取值范圍是.故選：C．10．已知命題,命題若是真命題，則a的取值范圍是（

）.A． B． C．(0,] D．[0,]【答案】D【分析】假設命題是真命題：利用一元二次不等式與判別式的關系及其的情況即可得出；假設命題是真命題：利用一元二次方程與判別式的關系即可得出；再利用復合命題的真假判定方法即可得出．【詳解】解：假設命題是真命題：，，則或，解得；假設命題是真命題：，，則，解得．若是真命題，則，都是真命題，則，解得．則的取值范圍是．故選．

專題02函數及其應用、指對冪函數易錯點一：對函數定義域、值域及解析式理解存在偏差（定義域、值域及解析式的求算）已知函數的具體解析式求定義域的方法法1：若是由一些基本初等函數通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數的定義域的交集.法2：復合函數的定義域：先由外層函數的定義域確定內層函數的值域，從而確定對應的內層函數自變量的取值范圍，還需要確定內層函數的定義域，兩者取交集即可.函數解析式的常見求法法1：配湊法：已知，求的問題，往往把右邊的整理或配湊成只含的式子，然后用將代換.法2：待定系數法：已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法，比如二次函數可設為，其中是待定系數，根據題設條件，列出方程組，解出即可.法3：換元法：已知，求時，往往可設，從中解出，代入進行換元.應用換元法時要注意新元的取值范圍.法4：解方程組法：已知滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如(或)等，可根據已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出．分段函數第一步：求分段函數的函數值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值．第二步：當出現的形式時，應從內到外依次求值．第三步：當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數不同段的端點。結論：復合函數：一般地，對于兩個函數和，如果通過變量可以表示成的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作，其中叫做復合函數的外層函數，叫做的內層函數.抽象函數的定義域的求法：(1)若已知函數的定義域為，則復合函數的家義域由求出.(2)若已知函數的定義域為，則的定義域為在時的值域.易錯提醒：函數的概念①一般地，給定非空數集，，按照某個對應法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應，那么從集合到集合的這個對應，叫做從集合到集合的一個函數.記作：，.集合叫做函數的定義域，記為，集合叫做值域，記為.②函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.③函數表示法：函數書寫方式為，④函數三要素：定義域、值域、對應法則.⑤同一函數：兩個函數只有在定義域和對應法則都相等時，兩個函數才相同.基本的函數定義域限制求解函數的定義域應注意：①分式的分母不為零；②偶次方根的被開方數大于或等于零：③對數的真數大于零，底數大于零且不等于1；④零次冪或負指數次冪的底數不為零；⑤三角函數中的正切的定義域是且；⑥已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；⑦對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域.基本初等函數的值域①的值域是.②的值域是：當時，值域為；當時，值域為．③的值域是.④且的值域是.⑤且的值域是.分段函數的應用分段函數問題往往需要進行分類討論，根據分段函數在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數問題，分段解決．例．函數的定義域為（

） B． C． D．變式1：設，若，則（

）A．14 B．16 C．2 D．6變式2：已知集合，則（

）A． B． C． D．變式3：已知函數，則下列正確的是（

）A． B． C． D．的值域為1．已知函數，則（

）A． B．3 C． D．2．給出下列個函數，其中對于任意均成立的是（

）A． B．C． D．3．已知函數，則（

）A． B． C． D．4．已知函數滿足，則可能是（

）．A． B．C． D．5．設集合，，則（

）A． B． C． D．6．集合，，則（

）A． B．C． D．易錯點二：忽視單調性與單調區(qū)間的主次（函數的單調性與最值）1.函數的單調性是對函數定義內的某個區(qū)間而言的。2.函數在給定區(qū)間上的單調性是函數在該區(qū)間上的整體性質。3.函數的單調定義中的、有三個特征：（1）任意性（2）有大?。?）屬于同一個單調區(qū)間。4.求函數的單調區(qū)間必須先求定義域。5.判斷函數單調性常用以下幾種方法：方法1：定義法：一般步驟為設元作差變形判斷符號→得出結論.方法2：圖象法：如果是以圖象形式給出的，或者的圖象易作出，則可由圖象的上升或下?確定單調性.方法3：導數法：先求導數，利用導數值的正負確定函數的單調區(qū)間.方法4：性質法：（1）對于由基本初等函數的和、差構成的函數，根據各初等函數的增減性及增減性質進行判斷；6.求函數最值（值域）的常用方法方法1：單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.方法2：圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.方法3：基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.方法4：導數法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值.結論：1.單調性技巧（1）證明函數單調性的步驟①取值：設，是定義域內一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；④得出結論．（2）函數單調性的判斷方法①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區(qū)間．（3）記住幾條常用的結論：結論1：若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；結論2：若和均為增（或減）函數，則在和的公共定義域上為增（或減）函數；結論3：若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；結論4：若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．易錯提醒：1.函數的單調性（1）單調函數的定義一般地，設函數的定義域為，區(qū)間：如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，符號一致那么就說在區(qū)間上是增函數．如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，符號相反那么就說在區(qū)間上是減函數．=1\*GB3①屬于定義域內某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調區(qū)間上增函數的圖象上坡路，減函數的圖象下坡路．（2）單調性與單調區(qū)間=1\*GB3①單調區(qū)間的定義：如果函數在區(qū)間上是增函數或減函數，那么就說函數在區(qū)間上具有單調性，稱為函數的單調區(qū)間．=2\*GB3②函數的單調性是函數在某個區(qū)間上的性質．（3）復合函數的單調性復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.2．函數的最值前提：一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足條件：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得結論為最大值（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得結論為最小值例．若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式1．下列函數中，滿足“對任意的，使得”成立的是（

）A．B．C．D．變式2．若定義在上的函數同時滿足：①為奇函數；②對任意的，且，都有，則稱函數具有性質．已知函數具有性質，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式3．定義在上的函數滿足：對，且都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．1．已知函數，若對于一切的實數，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．已知函數是定義在上的奇函數，且對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．已知函數，且，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．已知函數的定義域為，的圖象關于點對稱，，且對任意的，，滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．已知函數，關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．為定義在上的偶函數，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A．B． C． D．7．函數，其中，則滿足的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數，若，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．德國數學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，對，，且，總有，則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．10．設函數，則（

）A．的一個周期為 B．在上單調遞增C．在上有最大值 D．圖象的一條對稱軸為直線11．已知函數，則（

）A．函數為奇函數B．當時，或1C．若函數有且僅有一個零點，則實數的取值范圍為D．若函數在區(qū)間上的值域為，則實數的取值范圍為易錯點三：奇偶性的前提及兩個函數與一個函數的區(qū)別（函數的奇偶性、周期性、對稱性）1.奇偶性技巧(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.(2)奇偶函數的圖象特征.函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱.(3)若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足.(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相同.(5)若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記，，則.(6)運算函數的奇偶性規(guī)律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如.對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復合函數的奇偶性原則：內偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數模型奇函數：=1\*GB3①函數或函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數或函數=4\*GB3④函數或函數．注意：關于=1\*GB3①式，可以寫成函數或函數．偶函數：=1\*GB3①函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數類型的一切函數．④常數函數2.周期性技巧結論1：若對于非零常數和任意實數，等式恒成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：也可理解為：平移個單位到谷底，再平移一個單位到巔峰，再平移一個單位又到谷底，則谷底與谷底的距離為，結論2：定義在上的函數，對任意的，若有(其中為常數，)，則函數是周期函數，是函數的一個周期.證明：口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負.結論3：定義在上的函數，對任意的，若有(其中為常數，)，則函數是周期函數，是函數的一個周期.證明：先向左平移個單位得令如同結論1結論4：定義在上的函數，對任意的，若有，(或)(其中為常數，)，則函數是周期函數，是函數的一個周期.證明：，結論5:定義在上的函數，對任意的，有且，(其中是常數，)則函數是周期函數，是函數的一個周期.另一種題干出現的信息：①若的圖象關于直線都對稱，則等價于且，則為周期函數且.②若為偶函數且圖象關于直線對稱，則為周期函數且證明：向左平移個單位，得，同理，利用口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負.秒出周期結論6:若定義在上的函數對任意實數，恒有成立()，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：由函數，向右平移個單位得口訣：內同號，外異號，內部只差需2倍，出現周期很.結論7:若對于非零常數和任意實數，等式成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：如同結論4，結論8:若對于非零常數和任意實數，等式成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：結論9:若對于非零常數和任意實數，等式成立，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：得結論10:①若定義在上的函數的圖象關于兩點都對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.②若奇函數的圖象關于點對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：函數滿足且，則利用口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負.秒出周期結論11:①若定義在上的函數的圖象關于點和直線都對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.②若奇函數的圖象關于直線對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.證明：函數滿足且，則3.對稱性技巧（1）若函數關于直線對稱，則．（2）若函數關于點對稱，則．（3）函數與關于軸對稱，函數與關于原點對稱．結論：1.(1)如果一個奇函數在原點處有定義，即有意義，那么一定有.(2)如果函數是偶函數，那么.2.函數周期性常用結論對定義域內任一自變量的值:(1)若，則.(2)若，則.(3)若，則.3.對稱性的三個常用結論(1)若函數是偶函數，則函數的圖象關于直線對稱.(2)若對于上的任意都有或，則的圖象關于直線對稱.(3)若函數是奇函數，則函數的圖象關于點中心對稱.易錯提醒：奇偶性的前提及兩個函數與一個函數的區(qū)別1．函數的奇偶性由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個，也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．2．函數的對稱性(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．(3)若，則函數關于對稱．(4)若，則函數關于點對稱．例．設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則（

）A． B． C． D．變式1．已知函數是定義域為的偶函數，是奇函數，則下列結論不正確的是（

）A． B．C．是以4為周期的函數 D．的圖象關于對稱變式2．已知函數，下列結論中：①當時，的最小值為3；②函數是奇函數；③函數的圖象關于點對稱；④是圖象的一條切線，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式3．已知定義域為的函數滿足，，當時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．21．已知函數的定義域為，，當時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．22．定義在R上的奇函數滿足是偶函數，當時，，則（

）A． B． C．0 D．23．已知函數與的定義域均為，，，且，為偶函數，下列結論正確的是（

）A．的周期為4 B．C． D．4．已知函數和其導函數的定義域都是，若與均為偶函數，則（

）A．B．關于點對稱C．D．5．已知非常數函數及其導函數的定義域均為，若為奇函數，為偶函數，則（

）A． B．C． D．6．已知函數的定義域為，并且對，都有，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關于對稱B．函數為偶函數C．D．若時，，則時，7．已知函數的定義域為，函數的圖象關于點對稱，且滿足，則下列結論正確的是（

）A．函數是奇函數B．函數的圖象關于軸對稱C．函數是最小正周期為2的周期函數D．若函數滿足，則8．已知定義在上的偶函數滿足，且當時，是減函數，則下列四個命題中正確的是（

）A．B．直線為函數圖象的一條對稱軸C．函數在區(qū)間上存在3個零點D．若在區(qū)間上的根為，則易錯點四：遺漏冪函數的特征及二次函數弦長公式（冪函數與二次函數）1、根據圖象高低判斷冪指數大小的方法冪函數的冪指數的大小，大都可通過冪函數的圖象與直線的交點縱坐標的大小反映.一般地，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近軸(簡記為“指大、圖低”)，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，圖象越遠離軸(不包括冪函數，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近軸(簡記為“指大圖低")，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離軸.2、對于函數，若是二次函數，就隱含，當題目未說明是二次函數時，就要分和兩種情況討論.在二次函數中，的正負決定拋物線開口的方向的大小決定開口大小)確定拋物線在軸上的截距，與確定頂點的橫坐標(或對稱軸的位置).3、根據二次函數單調性求參數范圍，常轉化為二次函數圖象的對稱軸與單調區(qū)間的位置關系，若二次函數在某區(qū)間上單調，則該區(qū)間在對稱軸的一側，若二次函數在某區(qū)間上不單調，則對稱軸在該區(qū)間內（非端點），4、二次函數在閉區(qū)間上的最值二次函數在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點或二次函數的頂點處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.結論：1.冪函數在第一象限內圖象的畫法如下：①當時，其圖象可類似畫出；②當時，其圖象可類似畫出；③當時，其圖象可類似畫出．2．實系數一元二次方程的實根符號與系數之間的關系（1）方程有兩個不等正根（2）方程有兩個不等負根（3）方程有一正根和一負根，設兩根為3.一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關系；（4）區(qū)間端點函數值的正負.設為實系數方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如下所示.①，限定條件②限定條件③限定條件在區(qū)間內沒有實根限定條件限定條件限定條件限定條件限定條件在區(qū)間內有且只有一個實根限定條件限定條件在區(qū)間內有兩個不等實根限定條件4.有關二次函數的問題，關鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數值正負.易錯提醒：冪函數的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數①的系數為1； ②的底數是自變量； ③指數為常數.掌握二次函數解析式的三種形式（不能忘記最后一種）（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.（3）兩點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.與軸相交的弦長當時，二次函數的圖像與軸有兩個交點和，.例1若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式1．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式2．已知函數，若在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．已知是定義域為的函數，且是奇函數，是偶函數，滿足，若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若冪函數在上單調遞減，則（

）A．2 B． C． D．-23．已知函數在上為奇函數，則不等式的解集滿足（

）A． B． C． D．4．已知為奇函數，當時，，當時，，則（

）A． B．C． D．5．已知的解集是，則下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，則m的取值范圍是或D．當時，，的值域是，則的取值范圍是6．已知函數，函數，則下列結論正確的是（

）A．若有3個不同的零點，則a的取值范圍是B．若有4個不同的零點，則a的取值范圍是C．若有4個不同的零點，則D．若有4個不同的零點，則的取值范圍是7．已知函數(即，)則（

）A．當時，是偶函數 B．在區(qū)間上是增函數C．設最小值為，則 D．方程可能有2個解8．已知函數，若的最小值為，則實數a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．設，函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．10．關于的方程，下列命題正確的有（

）A．存在實數，使得方程無實根B．存在實數，使得方程恰有2個不同的實根C．存在實數，使得方程恰有3個不同的實根D．存在實數，使得方程恰有4個不同的實根易錯點五：根式奇偶討論（指對數函數考點）指數1.指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，但應注意：(1)必須同底數冪相乘，指數才能相加；(2)運算的先后順序.2.當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.3.運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.4.有關指數函數圖象問題的解題思路(1)已知函數解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．(2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．(3)有關指數方程、不等式問題的求解，往往是利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解．(4)根據指數函數圖象判斷底數大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷．5.利用指數函數的性質比較冪值的大小，先看能否化成同底數，能化成同底數的先化成同底數冪，再利用函數單調性比較大小，不能化成同底數的，一般引入“1”等中間量比較大??；6.利用指數函數的性質解簡單的指數方程或不等式，先利用冪的運算性質化為同底數冪，再利用函數單調性轉化為一般不等式求解；7.解答指數函數性質的綜合應用，首先判斷指數型函數的性質，再利用其性質求解。對數：1.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法則化簡合并.2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.|3.，且是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.4.識別對數函數圖象時，要注意底數以1為分界：當時，是增函數；當時，是減函數.注意對數函數圖象恒過定點，且以軸為漸近線.5.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.6.比較對數值的大小(1)若對數值同底數，利用對數函數的單調性比較(2)若對數值同真數，利用圖象法或轉化為同底數進行比較(3)若底數、真數均不同，引入中間量進行比較解決對數函數的綜合應用有以下三個步驟:第一步：求出函數的定義域；第二步：判斷對數函數的底數與1的大小關系，當底數是含字母的代數式(包含單獨一個字母)時，若涉及其單調性，就必須對底數進行分類討論；第三步：判斷內層函數和外層函數的單調性，運用復合函數“同增異減”原則判斷函數的單調性結論：1.畫指數函數，且的圖象，應抓住三個關鍵點:2.在第一象限內，指數函數且的圖象越高，底數越大.3.有關指數型函數的性質(1)求復合函數的定義域與值域形如的函數的定義域就是的定義域.求形如的函數的值域，應先求出的值域，再由單調性求出的值域.若的范圍不確定，則需對進行討論.求形如的函數的值域，要先求出的值域，再結合的性質確定出的值域.(2)判斷復合函數的單調性令，如果復合的兩個函數與的單調性相同，那么復合后的函數在上是增函數；如果兩者的單調性相異(即一增一減)，那么復合函數在上是減函數.換底公式的兩個重要結論(1)(2).其中，且，且.對數函數，且的圖象過定點，且過點，函數圖象只在第一、四象限.易錯提醒：根式的性質：當為奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.當為偶數時，正數的次方根有兩個，它們互為相反數.例．設函數的定義域為，其圖象關于直線對稱，且.當時，，則下列結論正確的是（

）A．為偶函數 B．C．的圖象關于直線對稱 D．在區(qū)間上單調遞減變式1、設偶函數在上單調遞增，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．變式2、已知函數，則（

）A．的最小值為1 B．，C． D．變式3、已知，則下列不等關系正確的是（

）A． B．C． D．1．下列說法正確的是（

）A．函數的圖像恒過定點B．“”的必要不充分條件是“”C．函數的最小正周期為2D．函數的最小值為22．某數學課外興趣小組對函數的性質進行了探究，得到下列四個命題，其中正確的命題有（

）A．函數的圖象關于軸對稱B．當時，是增函數，當時，是減函數C．函數的最小值是D．函數與有四個交點3．給出下列說法，錯誤的有（

）A．若函數在定義域上為奇函數，則B．已知的值域為，則的取值范圍是C．已知函數的定義域為，則函數的定義域為D．已知函數，則函數的值域為4．給出下列說法，錯誤的有（

）A．若函數在定義域上為奇函數，則B．已知的值域為，則a的取值范圍是C．已知函數滿足，且，則D．已知函數，則函數的值域為5．已知定義域為的函數滿足，的部分解析式為，則下列說法正確的是（

）A．函數在上單調遞減B．若函數在內滿足恒成立，則C．存在實數，使得的圖象與直線有7個交點D．已知方程的解為，則6．下列選項正確的是（

）A．B．若正實數a，b滿足，則C．的最小值為D．已知正實數a、b，若，則的最小值為97．已知函數，實數，滿足，，則（

）A． B．C． D．8．已知函數，則（

）A．當時，的定義域為RB．一定存在最小值C．的圖象關于直線對稱D．當時，的值域為R

專題02函數及其應用、指對冪函數易錯點一：對函數定義域、值域及解析式理解存在偏差（定義域、值域及解析式的求算）已知函數的具體解析式求定義域的方法法1：若是由一些基本初等函數通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數的定義域的交集.法2：復合函數的定義域：先由外層函數的定義域確定內層函數的值域，從而確定對應的內層函數自變量的取值范圍，還需要確定內層函數的定義域，兩者取交集即可.函數解析式的常見求法法1：配湊法：已知，求的問題，往往把右邊的整理或配湊成只含的式子，然后用將代換.法2：待定系數法：已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法，比如二次函數可設為，其中是待定系數，根據題設條件，列出方程組，解出即可.法3：換元法：已知，求時，往往可設，從中解出，代入進行換元.應用換元法時要注意新元的取值范圍.法4：解方程組法：已知滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如(或)等，可根據已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出．分段函數第一步：求分段函數的函數值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值．第二步：當出現的形式時，應從內到外依次求值．第三步：當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數不同段的端點。結論：復合函數：一般地，對于兩個函數和，如果通過變量可以表示成的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作，其中叫做復合函數的外層函數，叫做的內層函數.抽象函數的定義域的求法：(1)若已知函數的定義域為，則復合函數的家義域由求出.(2)若已知函數的定義域為，則的定義域為在時的值域.易錯提醒：函數的概念①一般地，給定非空數集，，按照某個對應法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應，那么從集合到集合的這個對應，叫做從集合到集合的一個函數.記作：，.集合叫做函數的定義域，記為，集合叫做值域，記為.②函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.③函數表示法：函數書寫方式為，④函數三要素：定義域、值域、對應法則.⑤同一函數：兩個函數只有在定義域和對應法則都相等時，兩個函數才相同.基本的函數定義域限制求解函數的定義域應注意：①分式的分母不為零；②偶次方根的被開方數大于或等于零：③對數的真數大于零，底數大于零且不等于1；④零次冪或負指數次冪的底數不為零；⑤三角函數中的正切的定義域是且；⑥已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；⑦對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域.基本初等函數的值域①的值域是.②的值域是：當時，值域為；當時，值域為．③的值域是.④且的值域是.⑤且的值域是.分段函數的應用分段函數問題往往需要進行分類討論，根據分段函數在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數問題，分段解決．例1．函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，解得，則定義域為，故選：C.變式1：設，若，則（

）A．14 B．16 C．2 D．6【答案】A【詳解】因為的定義域為，則，解得，若，則，可得，不合題意；若，則，可得，解得；綜上所述：.所以.故選：A.變式2：已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，所以．故選:C.變式3：已知函數，則下列正確的是（

）A． B． C． D．的值域為【答案】B【詳解】對選項A，，故A錯誤；對選項B，，故B正確．對選項C，因為，所以，，故C錯誤；對選項D，當時，，函數的值域為，當時，，函數的值域為，又因為時，，所以當時，函數的值域為，綜上，函數的值域為，故D錯誤．故選：B1．已知函數，則（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】因為函數，則,令，則，又因為，所以，所以，故選：B.2．給出下列個函數，其中對于任意均成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；對于B，當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；對于C，當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；對于D，令，則，所以，令，所以，所以，所以，符合.故選：D.3．已知函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.4．已知函數滿足，則可能是（

）．A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，，則，，不滿足；對于B，，則，，不滿足；對于C，，則，，不滿足；對于D，，當時，，故；當時，，故，即此時滿足，D正確，故選：D5．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，即，解得，所以，由，所以，所以，所以．故選：D．6．集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：，，所以.故選：B.易錯點二：忽視單調性