2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：三角形初步

三角形初步

知識梳理

1.三角形的定義

由三條不在同一直線上的線段，首尾依次相接組成的圖形稱為三角形.

2.三角形的分類

三角形可以按內(nèi)角的大小進行分類：

(1)三個內(nèi)角都是銳角的三角形是銳角三角形.

(2)有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形.

(3)有一個內(nèi)角是鈍角的三角形是鈍角三角形.

3.三角形三邊性質(zhì)

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

4.三角形角的性質(zhì)

三角形三個內(nèi)角的和是180。.

三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

5.三角形的角平分線

在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線.

如圖1-1所示，AD是仆ABC中的一條角平分線.

6.三角形的中線

連接三角形的一個頂點與該頂點的對邊中點的線段，叫作三角形的中線.如圖1-2所示，AE是小ABC中BC邊

上的中線.

7.三角形的高線

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高線.如圖1-3所示,

AF是△4BC中BC邊上的高線.

圖1-2圖1-3

典型例題

例1

三角形中最大的內(nèi)角不能小于().

A.300B.45°C.60°D.90°

分析三角形內(nèi)角和180°,若最大角小于60。,則三角相加小于180°.

解C

例2

三角形中有一邊比第二條邊長3厘米，這條邊又比第三條邊短4厘米，這個三角形的周長為28厘米，求最短

邊的長.

分析不妨設(shè)第二條邊為x厘米，則第一條邊為((%+3)厘米，第三條邊為((％+7)厘米，三邊之和為28厘

米，由此可以建立一個方程，求解出x的值即可.

解設(shè)第二條邊為x厘米，得

x+(x+3)+(x+7)=28

x=6

所以最短邊為6厘米

例3

鈍角三角形的高在三角形外的條數(shù)是（）.

A.OB.lC.2D.3

分析考查學(xué)生對三角形的中線、高線、角平分線的理解.三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點，三角

形的三條角平分線一定在三角形內(nèi)部交于一點，而高線則不一定.

解C

例4

如圖1-4所示，在△ABC中,AB=6,AC=8,則BC邊上中線AD的取值范圍為（）.

A.2<AD<14B.1<AD<7C.6<AD<8D.12<AD<16

分析對于一個三角形來說，我們已經(jīng)知道兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.線段AB、線段AC、線

段AD不在一個三角形中，因此我們設(shè)法使其轉(zhuǎn)化.

解延長AD至點E.使得AD=DE,連接BE

因為BD=CD,AD=ED,ZBDE=ZCDA

所以△ADC^AEDB（SAS）

所以BE=AC=8

又因為AB=6

所以2<AE<14

所以1<AD<7

雙基訓(xùn)練

1.一個三角形最多有一個直角，最多有一個銳角，最多有有一個鈍角.

2.三角形的兩邊分別為4和5,第三邊為x,則x的取值范圍是—.

3.在4ABC中,AB=9,BC=2,并且AC為奇數(shù)，那么△ABC的周長是_.

4.AABC中，乙4==[NC,則三個內(nèi)角分別為」

5.在△ABC中,AB=2,BC=5,貝！j<AC<.

6.在△ABC中,/A-/B=15）/C=75。,貝[!/A=，/B=.

7在4ABC中,/A是/B的2倍,/C比/A+ZB還大12。,則這個三角形是___三角彩

8.小亮、小麗和小軍三位同學(xué)同時測量△ABC的三邊長.小亮說：“三角形的周長是11.”小麗說：“有一條邊長

為4.”小軍說：“三條邊的長度是三個不同的整數(shù).”請你回答，三邊的長度應(yīng)該是—.

9.兩根木棒的長分別是2厘米和3厘米，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形框架，且第三根木棒長x

(厘米)是一個整數(shù)，貝LIx是.

10.如圖1-5所示，圖中的三角形有().

A.6個B.8個C.10個D.12個

11.如圖1-6所示，圖中三角形的個數(shù)為().

A.3個B.4個C.5個D.6個

12.AABC中，三邊長為a,b,c,且a>b>c,若b=8,c=3,則a的取值范圍是().

A.3<a<8B.5<a<llC.8<a<llD.6<a<10

13.兩根木棒的長分別是5厘米和7厘米，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形，如果第三根木棒的長

為偶數(shù)，那么第三根木棒長的取值情況有().

A.3種B.4種B.5種D.6種

14.已知△ABC的三邊長a,b,c,化簡|a+b-cHb-a-c|的結(jié)果是().

A.2aB.-2bC.2a+2bD.2b-2c

15.已知一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比是1：5：6,則其最大內(nèi)角的度數(shù)為().

A.60°B.75°C.90°D.1200

16以下說法錯誤的是().

A.三角形的三條高一定在三角形內(nèi)部交于一點

B.三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點

C.三角形的三條角平分線一定在三角形內(nèi)部交于一點

D.三角形的三條高可能相交于外部一點

17.若三角形的周長為17,且三邊長都是正整數(shù)，那么滿足條件的三角形有多少個？

18.在△ABC中，如果乙4=[NB=那么△ABC是什么三角形？

19.等腰三角形的周長為19厘米，其中一邊長為4厘米，求其他各邊長.

20.如圖1-7所示,△ACB中,NACB=9(F,N1=NB.試證明CD是4ABC的高.

圖1-7

能力提升

2L如圖1-8所示，在△ABE中,AE所對的角是—在4ADE中,AD是___的對邊，在△ADC中,AD是____的對

邊.

22.如圖1-9所示，以AB為一邊的三角形共有一個

23.如果一個三角形的三條高的交點恰好是這個三角形的一個頂點，那么這個三角形是().

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

24根據(jù)下列條件，能確定三角形形狀的是().

(1)最小內(nèi)角是20°;

(2)最大內(nèi)角是100°;

(3)最大內(nèi)角是89°;

(4)三個內(nèi)角都是60°;

(5)有兩個內(nèi)角都是80°.

A.⑴⑵⑶⑷B.⑴⑶⑷⑸

52乂3)(4乂5)D.⑴⑵(4)⑸

25.如圖1-10所示，直線DE交4ABC的邊AB,AC于D,E,交BC延長線于F,若/B=67o,/ACB=74o,NAED=4

8。,求/BDF的度數(shù)

圖1-10

26.如圖1-11所示,BD平分.乙4BC,D41AB,Al=60°,ABDC=80。,.求/C的度數(shù).

圖1T1

27.如圖1-12所示,△ABC中,AD是BC上的高,AE平分.4BAC/B=75。/。=45。,求NDAE與“EC的度數(shù)

圖I-12

28.如圖1-13所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,,一腰上的中線BD將這個等腰三角形的周長分為15和6

兩部分，求該等腰三角形的腰長及底邊長.

:

B1--'C

圖1-13

29.如圖1-14所示,AD是△4BC的角平分線,DE\\AB,DF\\AC?EF交AD于點O.DO是△DEF的角平分線嗎？

如果是，請證明；如果不是，請說明理由.

圖1-14

30.一個零件的形狀如圖1-15所示，按規(guī)定42應(yīng)等于90。,48,4。應(yīng)分別是30。和20。,李叔叔量得乙BCD=

142。,，就斷定這個零件不合格，你能說出道理嗎？

圖I-15

拓展資源

31.已知a,b,c為AABC的三邊，化簡:|a+b-c|+|b-c-aHc-a-b|.

32.(1)如圖1-16所示，求出ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度數(shù).

⑵如圖1-17所示，求出/A+NB+NC+ND+NE+NF的度數(shù).

33.如圖1-18所示,BD,CD分別是△ABC的兩個外角/CBE/BCF的平分線，試探索/D與/A之間的數(shù)量關(guān)

系.

圖1-18

34.如圖1-19所示,BD為△4BC的角平分線，CD為△48c的外角乙4CE的平分線，它們相交于點D,試探索

乙BDC與乙4之間的數(shù)量關(guān)系.

S1-19

35.已知△ABC中,AB長為5.BC邊上的中線AD長為7,求AC的取值范圍.

1.1,3,12.1<x<93.204.ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°5.3,7

6.60。,45。7.鈍角8.2.4,59.2或3或410.B11.C12.C13.B

14.D15.C16.A17.8個18.直角三角形19.7.5厘米,7.