2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章三角函數(shù)課時(shí)分層作業(yè)39函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象含解析蘇教版必修第一冊

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(三十九)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)y＝cosx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到圖象的解析式為y＝cosωx，則ω的值為()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2A[y＝cosxeq\o(→,\s\up14(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍),\s\do7(縱坐標(biāo)不變))y＝coseq\f(1,2)x．]2．將函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))向右平移得到y(tǒng)＝sinx的圖象，則平移的單位數(shù)是()A．eq\f(4π,3)B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,6)D[y＝sinx＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象變換為y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))的圖象應(yīng)向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位．]3．用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)π，－2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，則ω＝()A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(1,3)D．3B[周期T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，ω＝2．]4．函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,6)))的相位和初相分別是()A．－x＋eq\f(π,6)eq\f(π,6) B．x＋eq\f(π,6)eq\f(π,6)C．x－eq\f(5π,6)－eq\f(5π,6) D．x＋eq\f(5π,6)eq\f(5π,6)D[y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,6)))化為y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,6)))，相位x＋eq\f(5π,6)，初相eq\f(5π,6)．]5．將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象上全部的點(diǎn)向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位長度．若所得圖象與原圖象重合，則ω的值不行能等于()A．4B．6CB[將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位，若所得圖象與原圖象重合，則eq\f(π,2)是已知函數(shù)周期的整數(shù)倍，所以eq\f(2nπ,ω)＝eq\f(π,2)(n∈N*)，所以ω＝4n(n∈N*)，故A、C、D正確，故選B．]二、填空題6．將y＝cos2x的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位，得到的圖象對應(yīng)的解析式為________．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))[y＝cos2x→y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))．]7．將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位，得到的圖象對應(yīng)的解析式是________．8．將函數(shù)y＝f(x)圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再將整個(gè)圖象沿x軸向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得到的曲線與y＝eq\f(1,2)sinx的圖象相同，則y＝f(x)的函數(shù)表達(dá)式為________．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))[依據(jù)題意，y＝eq\f(1,2)sinx的圖象沿x軸向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位后得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，再將此函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))，此即y＝f(x)的解析式．]三、解答題9．已知f(x)＝2sin2x，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，區(qū)間[a，b](a，b∈R且a＜b)滿意：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30個(gè)根，在全部滿意上述條件的[a，b]中，求b－a的最小值．[解]f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1．g(x)＝0?sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)?x＝kπ－eq\f(π,4)或x＝kπ＋eq\f(5,12)π，k∈Z，即g(x)的根相鄰間隔依次為eq\f(π,3)和eq\f(2π,3)，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30個(gè)根，則b－a的最小值為14×eq\f(2π,3)＋15×eq\f(π,3)＝eq\f(43π,3)．10．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))(x∈R)．(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)經(jīng)過怎樣的圖象變換使f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱？(僅敘述一種方案即可)[解](1)由已知函數(shù)化為y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))．欲求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)遞增區(qū)間．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5,12)π(k∈Z)，∴原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))(k∈Z)．(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))．∵y＝cos2x是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，∴只需把y＝f(x)的圖象向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位長度即可．1．(多選題)將函數(shù)f(x)＝3sinx的圖象先向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的()A．周期是πB．增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)C．圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))對稱D．圖象關(guān)于直線x＝eq\f(2π,3)對稱ABC[將函數(shù)f(x)＝3sinx的圖象先向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，對于選項(xiàng)A，函數(shù)g(x)的周期為eq\f(2π,2)＝π，即A正確；對于選項(xiàng)B，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，即kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，即函數(shù)g(x)的增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，即B正確；對于選項(xiàng)C，令2x－eq\f(π,3)＝kπ，解得：x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，即函數(shù)g(x)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,6)，0))，即C正確；對于選項(xiàng)D，令2x－eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，則x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)，即函數(shù)g(x)的對稱軸方程為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)，k∈Z，即選項(xiàng)D錯誤．綜上可得選項(xiàng)A，B，C正確，故選ABC．]2．把函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3)))的圖象向右平移φ個(gè)單位長度，所得到的圖象正好關(guān)于y軸對稱，則φ的最小正值是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)C[將y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3)))的圖象向右平移φ個(gè)單位長度，得y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－φ＋\f(4π,3)))的圖象，∵y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－φ＋\f(4π,3)))的圖象關(guān)于y軸對稱，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－φ＋\f(4π,3)))＝±1．∴φ－eq\f(4π,3)＝kπ，k∈Z．當(dāng)k＝－1時(shí)，φ取得最小正值eq\f(π,3)．]3．若ω>0，函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度后與函數(shù)y＝sinωx的圖象重合，則ω的最小值為________．eq\f(5,2)[將函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度，得到函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,3)＋\f(π,3)))的圖象．因?yàn)樗煤瘮?shù)圖象與函數(shù)y＝sinωx的圖象重合，所以－eq\f(ωπ,3)＋eq\f(π,3)＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－eq\f(7,2)－6k(k∈Z)，因?yàn)棣?gt;0，所以當(dāng)k＝－1時(shí)，ω取得最小值eq\f(5,2)．]4．將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度后，再向上平移1個(gè)單位長度得函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,4)))的圖象，則f(x)＝________．2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(13π,12)))－1[將y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,4)))的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度，得函數(shù)y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(13π,12)))的圖象，再向下平