2024年中考初中數(shù)學(xué)壓軸題(有答案)

2024年1中考初中數(shù)學(xué)壓軸題（有答案）

解答題（共30小題）

1.（2024?攀枝花）如圖，以點(diǎn)P（-1,0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D

兩點(diǎn)（A在D的下方），AD=2%，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180。，得到△MCB.

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段MB、MC,并推斷四邊形ACMB的形態(tài)（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)直線1從與BM重合的位置起先繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線1與CM交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q

為BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EGLBC于G,連接MQ、QG.請(qǐng)問在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小是否改變？若不變，求

出NMQG的度數(shù)；若改變，請(qǐng)說明理由.

2.（2024?蘇州）如圖，已知h_L12,20與2,12都相切,20的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD、AB分別與

11,12重合，AB=4、/5cm,AD=4cm,若。O與矩形ABCD沿li同時(shí)向右移動(dòng)，。。的移動(dòng)速度為3cm/s,矩形ABCD

的移動(dòng)速度為4cm7s,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）

（1）如圖①，連接OA、AC,則NOAC的度數(shù)為°；

（2）如圖②，兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后，OO到達(dá)。O1的位置，矩形ABCD到達(dá)AiBiCiDi的位置，此時(shí)點(diǎn)O1,

Ai,Ci恰好在同始終線上，求圓心O移動(dòng)的距離（即OO1的長(zhǎng)）；

（3）在移動(dòng)過程中，圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷改變，設(shè)該距離為d（cm）,當(dāng)d<2時(shí)，求t

的取值范圍（解答時(shí)可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖）.

3.（2024?泰州）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-1x+b（b為常數(shù)，b>0）的圖象與x軸、y軸分別

相交于點(diǎn)A、B,半徑為4的。。與x軸正半軸相交于點(diǎn)C,與y軸相交于點(diǎn)D、E,點(diǎn)D在點(diǎn)E上方.

(1)若直線AB與而有兩個(gè)交點(diǎn)F、G.

①求NCFE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示FG2,并干脆寫出b的取值范圍；

(2)設(shè)b25,在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使NCPE=45。？若存在，懇求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4.(2024?上海)如圖1,已知在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=8,cosB=W,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP

5

為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F(點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè))，射線CE與射線BA交于點(diǎn)G.

(1)當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(2)連接AP,當(dāng)APIICG時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)△AGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng).

5.(2024?常州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(、歷，&),以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作。M.使。M與

直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,與x軸，y軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D,A(如圖)，連接AM.點(diǎn)P是定上的動(dòng)點(diǎn).

(1)寫出NAMB的度數(shù)；

(2)點(diǎn)Q在射線OP上，且OP?OQ=20,過點(diǎn)Q作QC垂直于直線OM,垂足為C,直線QC交x軸于點(diǎn)E.

①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②連接QD,設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t,AQOD的面積為S.求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍.

6.(2024?漳州)閱讀材料：如圖1,在AAOB中，Z0=90°,OA=OB,點(diǎn)P在AB邊上，PE_LOA于點(diǎn)E,PF±OB

于點(diǎn)F,則PE+PF=OA.(此結(jié)論不必證明，可干脆應(yīng)用)

(1)【理解與應(yīng)用】

如圖2,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在AB邊上，PE_LOA于點(diǎn)E,PF_LOB于

點(diǎn)F,貝UPE+PF的值為.

(2)【類比與推理】

如圖3,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=4,AD=3,點(diǎn)P在AB邊上，PEIIOB交AC于點(diǎn)E,PFIIOA

交BD于點(diǎn)F,求PE+PF的值；

(3)【拓展與延長(zhǎng)】

如圖4,。。的半徑為4,A,B,C,D是。。上的四點(diǎn)，過點(diǎn)C,D的切線CH,DG相交于點(diǎn)M,點(diǎn)P在弦AB

上，PEIIBC交AC于點(diǎn)E,PFIIAD于點(diǎn)F,當(dāng)NADG=NBCH=30。時(shí)，PE+PF是否為定值？若是，懇求出這個(gè)定

值；若不是，請(qǐng)說明理由.

7.(2024?云南)已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(3,

4)、C(0.4).點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-5),點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式(關(guān)系式)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M.問在x軸的正半軸上是否存在使△D0M與小ABC

相像的點(diǎn)M?若存在，懇求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R(R>0)為半徑長(zhǎng)畫圓.得到的圓稱為動(dòng)圓P.若設(shè)動(dòng)圓P的半

徑長(zhǎng)為空，過點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F.請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊

2

形DEPF?若存在，懇求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.(2024?湖州)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P(1,1)為圓心的OP與x軸，y軸分別相切

于點(diǎn)M和點(diǎn)N,點(diǎn)F從點(diǎn)M動(dòng)身，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF,過點(diǎn)PELPF交y軸

于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).

(1)若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上(如圖所示)，求證：PE=PF；

(2)在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)OE=a,OF=b,試用含a的代數(shù)式表示b；

(3)作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F,經(jīng)過M、E和F三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q,連接QE.在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)

過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、0、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相像？若存在,

請(qǐng)干脆寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

9.(2024?陜西)問題探究

(1)如圖①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,假如BC邊上存在點(diǎn)P,使△APD為等腰三角形，那么請(qǐng)畫出滿

意條件的一個(gè)等腰三角形△APD,并求出此時(shí)BP的長(zhǎng)；

(2)如圖②，在△ABC中，NABC=60。，BC=12,AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6

時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q,使NEQF=90。，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)；

問題解決

(3)有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE,山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，

用來(lái)監(jiān)視邊AB,現(xiàn)只要使NAMB大約為60。，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，己知NA=NE=ND=90。，

AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,問在線段CD上是否存在點(diǎn)M,使NAMB=60。？若存在，懇求出符

合條件的DM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖①圖②圖③

10.(2024?成都)如圖，在。O的內(nèi)接△ABC中，ZACB=90°,AC=2BC,過C作AB的垂線1交。。于另一點(diǎn)D,

垂足為E.設(shè)P是眾上異于A,C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交1于點(diǎn)F,連接PC與PD,PD交AB于點(diǎn)G.

(1)求證：△PAC”△PDF；

(2)若AB=5,AP=BP,求PD的長(zhǎng)；

(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)竺=x,tanNAFD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出x的取值范圍)

BG

11.(2024?寧波)木匠黃師傅用長(zhǎng)AB=3,寬BC=2的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計(jì)了四種方案:

方案一：干脆鋸一個(gè)半徑最大的圓；

方案二：圓心01、02分別在CD、AB上，半徑分別是OiC、O2A,鋸兩個(gè)外切的半圓拼成一個(gè)圓;

方案三：沿對(duì)角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓；

方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個(gè)盡可能大的圓.

(1)寫出方案一中圓的半徑；

(2)通過計(jì)算說明方案二和方案三中，哪個(gè)圓的半徑較大？

(3)在方案四中，設(shè)CE=x(0<x<l),圓的半徑為y.

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

②當(dāng)x取何值時(shí)圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方案中哪一個(gè)圓形桌面的半徑最大.

12.(2024?徐州)如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm,點(diǎn)E從點(diǎn)A動(dòng)身，沿射線AD移動(dòng)，以CE為直徑

作圓O,點(diǎn)F為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF,過點(diǎn)E作EGLEF,EG與圓。相交于點(diǎn)G,連接CG.

(1)試說明四邊形EFCG是矩形；

(2)當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，

①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說明理由；

②求點(diǎn)G移動(dòng)路途的長(zhǎng).

13.(2024?東昌府區(qū)三模)已知：如圖，在△ABC中，AB=BC,D是AC中點(diǎn)，BE平分NABD交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)

。是AB上一點(diǎn)，。。過B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F.

(1)求證：AC與。O相切；

14.(2024?安徽模擬)閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC,P為底邊BC上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別

為ri,r2,腰上的高為h,連接AP,則SAABP+SAACP=SAABC,即：—AB?n+—AC*r2=AAB?h,ri+r2=h

222

(1)理解與應(yīng)用

假如把"等腰三角形"改成"等邊三角形"，那么P的位置可以由"在底邊上任一點(diǎn)"放寬為"在三角形內(nèi)任一點(diǎn)"，

即：已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC內(nèi)隨意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為n,⑵巧，試證明：「］+「2+r3=近.

(2)類比與推理

邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)隨意一點(diǎn)到各邊的距離的和等于；

(3)拓展與延長(zhǎng)

若邊長(zhǎng)為2的正n邊形AiA2...An內(nèi)部隨意一點(diǎn)P到各邊的距離為n,r2,...m,請(qǐng)問ri+r2+...rn是否為定值(用含n

的式子表示)，假如是，請(qǐng)合理揣測(cè)出這個(gè)定值.

15.(2024?安徽名校一模)如圖AABC中NA=90。，以AB為直徑的。O交BC于D,E為AC邊中點(diǎn)，求證：DE

是。O的切線.

16.(2024?灌南縣模擬)如圖，AB是。。的直徑，AC是弦，ZACD=lzAOC,ADLCD于點(diǎn)D.

2

(1)求證：CD是。O的切線；

(2)若AB=10,AD=2,求AC的長(zhǎng).

17.(2024?普陀區(qū)二模)如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),

過D作射線DE交AB邊于E,使NBDE=NA,以D為圓心、DC的長(zhǎng)為半徑作0D.

(1)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.

(2)當(dāng)。D與AB邊相切時(shí)，求BD的長(zhǎng).

(3)假如。E是以E為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑的圓，那么當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，OD與。E相切？

18.(2024?江西模擬)如圖，矩形ABCD的邊AB=4,BC=3.一簡(jiǎn)易量角器放置在矩形ABCD內(nèi)，其零度線即半

圓。的直徑與邊AB重合，點(diǎn)A處是0刻度，點(diǎn)B處是180刻度.P點(diǎn)是量角器的半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)的切

線與邊BC、CD(或其延長(zhǎng)線)分別交于點(diǎn)E、F.設(shè)點(diǎn)P的刻度數(shù)為n,ZPAB=a.

(1)當(dāng)n=136時(shí)，a=,求出a與n的關(guān)系式；

(2)在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段EB與EP有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)予證明；

(3)在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)點(diǎn)在直線CD上的位置隨著a的改變而改變，當(dāng)F點(diǎn)在線段CD上時(shí)、在CD的延長(zhǎng)

線上時(shí)、在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，對(duì)應(yīng)的a值分別是多少？(參考數(shù)據(jù)：tan56.3%1.5)

(4)連接BP,在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在△ABP與ACEF相像的狀況？若存在，求出此時(shí)n的值以及相應(yīng)的

EF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.(2024?廣東一模)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8cm,以正方形的中心O為圓心，EF為直徑的半圓切AB于

M、切BC于N,已知C為BG的中點(diǎn)，AG交CD于H.P,Q同時(shí)從A動(dòng)身，P以lcm/s的速度沿折線ADCG運(yùn)

動(dòng),Q以近c(diǎn)m/s的速速沿線段AG方向運(yùn)動(dòng)，P,Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止.P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間記為t.

2

(1)當(dāng)t=4時(shí)，求證：APEFVAMEF；

(2)當(dāng)0148時(shí)，試推斷PQ與CD的位置關(guān)系；

(3)當(dāng)t>8時(shí)，是否存在t使得一=立？若存在懇求出全部t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

EF2+16V216

20.(2024?營(yíng)口)如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的上的一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線相互垂直，垂足為點(diǎn)D.

(1)求證：AC平分NBAD；

(2)若CD=1,AC=V1Q,求。。的半徑長(zhǎng).

D

21.(2024?襄陽(yáng))如圖，AABC內(nèi)接于。O,且AB為。。的直徑.NACB的平分線交。。于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作。O

的切線PD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作AE_LCD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BFLCD于點(diǎn)F.

(1)求證：DPIIAB；

(2)若AC=6,BC=8,求線段PD的長(zhǎng).

22.(2024?曲靖)如圖，的直徑AB=10,C、D是圓上的兩點(diǎn)，且藍(lán)二而=加.設(shè)過點(diǎn)D的切線ED交AC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.連接OC交AD于點(diǎn)G.

(1)求證：DF_LAF.

(2)求OG的長(zhǎng).

23.(2024?德陽(yáng))如圖，已知AB是。O直徑，BC是。O的弦，弦EDLAB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作。O

的切線與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.

(1)求證：PC=PG；

(2)點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，摸索究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系,

并寫出證明過程；_

(3)在滿意(2)的條件下，已知。。的半徑為5,若點(diǎn)。到BC的距離為正時(shí)，求弦ED的長(zhǎng).

A—?/A

R

24.(2024?賀州)己知：。。的直徑為3,線段AC=4,直線AC和PM分別與。。相切于點(diǎn)A,M.

(1)求證：點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)；

(2)求sinNPMC的值.

25.(2024?蘭州)己知，如圖，直線MN交。。于A,B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分NCAM交。。于D,過D作

DE_LMN于E.

(1)求證：DE是。O的切線；

(2)若DE=6cm,AE=3cm,求。。的半徑.

26.(2024?南寧)如圖，在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,AB是。O的直徑，。。交BC于點(diǎn)D,DE_LAC于

點(diǎn)E,BE交。O于點(diǎn)F,連接AF,AF的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)P.

(1)求證：DE是。O的切線；

(2)求tanNABE的值；

(3)若OA=2,求線段AP的長(zhǎng).

27.(2024?長(zhǎng)沙)如圖，△ABC中，以AB為直徑的。。交AC于點(diǎn)D,ZDBC=ZBAC.

(1)求證：BC是。O的切線；

(2)若。。的半徑為2,NBAC=30。，求圖中陰影部分的面積.

28.(2024?廣安)如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑作半圓。0,交BC于點(diǎn)D,連接AD,過點(diǎn)D作

DE±AC,垂足為點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：EF是。0的切線.

(2)假如。0的半徑為5,sinZADE=W,求BF的長(zhǎng).

5

29.(2024?沈陽(yáng))如圖，OC平分NMON,點(diǎn)A在射線OC上，以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的。A與OM相切于點(diǎn)B,

連接BA并延長(zhǎng)交。A于點(diǎn)D,交ON于點(diǎn)E.

(1)求證：ON是。A的切線；

(2)若NMON=60。，求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留n)

30.(2024?宜賓)如圖，AB是。0的直徑，ZB=ZCAD.

(1)求證：AC是。O的切線；

(2)若點(diǎn)E是面的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F,當(dāng)BD=5,CD=4時(shí)，求AF的值.

參考答案與試題解析

解答題(共30小題)

1.(2024?攀枝花)如圖，以點(diǎn)P(-1,0)為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè))，交y軸于A、D

兩點(diǎn)(A在D的下方)，AD=2加，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180。，得到△MCB.

(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段MB、MC,并推斷四邊形ACMB的形態(tài)(不必證明)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)動(dòng)直線1從與BM重合的位置起先繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線1與CM交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q

為BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EGLBC于G,連接MQ、QG.請(qǐng)問在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小是否改變？若不變，求

出NMQG的度數(shù)；若改變，請(qǐng)說明理由.

考點(diǎn)：圓的綜合題.

專題：壓軸題.

分析：(1)連接PA,運(yùn)用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑，從而可以求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)由于圓P是中心對(duì)稱圖形，明顯射線AP與圓P的交點(diǎn)就是所需畫的點(diǎn)M,連接MB、MC即可；易

證四邊形ACMB是矩形；過點(diǎn)M作MH_LBC,垂足為H,易證△MHP2△AOP,從而求出MH、OH的

長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)易證點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，從而得到NMQG=2NMBG.易得

ZOCA=60°,從而得到NMBG=60。，進(jìn)而得到NMQG=120。，所以NMQG是定值.

解答：解：(1)連接PA,如圖1所示.

PO±AD,

AO=DO.

AD=2?,

OA=A/3-

?.?點(diǎn)P坐標(biāo)為(7,0),

OP=1.

PA=VOP2+OA2=2-

BP=CP=2.

B(-3,0),C(1,0).

(2)連接AP,延長(zhǎng)AP交0P于點(diǎn)M,連接MB、MC.

如圖2所示，線段MB、MC即為所求作.

四邊形ACMB是矩形.

理由如下：

???AMCB由小ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180。所得，

?四邊形ACMB是平行四邊形.

???BC是。P的直徑，

ZCAB=90°.

平行四邊形ACMB是矩形.

過點(diǎn)M作MHLBC,垂足為H,如圖2所示.

在小AOP中，

???ZMHP=ZAOP,ZHPM=ZOPA,MP=AP,

AMHP2AAOP.

MH=OA=V3，PH=PO=1.

OH=2.

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,、門).

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小不變.

???四邊形ACMB是矩形，

ZBMC=90°.

EG-LBO,

ZBGE=90°.

/.ZBMC=ZBGE=90°.

1,點(diǎn)Q是BE的中點(diǎn)，

QM=QE=QB=QG.

.?.點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示.

ZMQG=2ZMBG.

???ZCOA=90°,OC=1,OA=y,

/.tanZOCA=里巡.

OC

/.ZOCA=60°.

/.ZMBC=ZBCA=60°.

:ZMQG=120°.

「?在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小不變，始終等于120°.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、特別角的

三角函數(shù)、圖形的旋轉(zhuǎn)等學(xué)問，綜合性比較強(qiáng).證明點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上

是解決第三小題的關(guān)鍵.

2.(2024?蘇州)如圖，已知11,12,。。與h,12都相切，。。的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD、AB分別與

11,12重合，AB=4?cm,AD=4cm,若。O與矩形ABCD沿11同時(shí)向右移動(dòng)，的移動(dòng)速度為3cm/s,矩形ABCD

的移動(dòng)速度為4cm/s,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s)

(1)如圖①，連接OA、AC,則NOAC的度數(shù)為105。；

(2)如圖②，兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后，OO到達(dá)。O1的位置，矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置，此時(shí)點(diǎn)01,

Ai,Ci恰好在同始終線上，求圓心O移動(dòng)的距離(即OO1的長(zhǎng))；

(3)在移動(dòng)過程中，圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷改變，設(shè)該距離為d(cm),當(dāng)d<2時(shí)，求t

的取值范圍(解答時(shí)可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖).

考點(diǎn)：圓的綜合題.

專題：幾何綜合題；壓軸題.

分析：(1)利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出NOAD=45。，NDAC=60。，進(jìn)而得出答案；

(2)首先得出，ZCiAiDi=60°,再利用AiE=AAi-OOi-2=t-2,求出t的值，進(jìn)而得出OOi=3t得出答

案即可；

(3)①當(dāng)直線AC與。。第一次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ti,②當(dāng)直線AC與。。其次次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)

間為t2,分別求出即可.

解答：解：(1)J2,。0與11,12都相切，

ZOAD=45°,

AB=44^cm,AD=4cm,

/.CD=4^/3cm,

/.tanZDAC=-^5=

AD

/.ZDAC=60°,

NOAC的度數(shù)為：ZOAD+ZDAC=105°,

故答案為：105；

IB①位置一位置二'位置三

(2)如圖位置二，當(dāng)01,Ai,Ci恰好在同始終線上時(shí)，設(shè)。01與11的切點(diǎn)為E,

連接OE,可得0正=2,0iE±h,

在RSA1D1C1中，I，AiDi=4,CiDi=4/3-

tanZCiAiDi=<\/3，ZCiAiDi=60°,

在RtAA1O1E中，ZOiAiE=ZCiAiDi=60°,

AiE=——

tan60°3

:AiE=AAi-OOi-2=t-2,

?t-?-2Vs

_3

t=?V^+2,

3_

OOi=3t=2J^+6；

(3)①當(dāng)直線AC與。。第一次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ti,

如圖，此時(shí)。。移動(dòng)到。02的位置，矩形ABCD移動(dòng)到A2B2c2D2的位置，

設(shè)。02與直線h,A2c2分別相切于點(diǎn)F,G,連接02F,02G,02A2,

02F±ll,C)2G_LA2c2,

由(2)得，ZC2A2D2=60°,二ZGA2F=120°,

/.Z02A2F=60°,

在RSA2O2F中，O2F=2,=A2F=2M,

3

???OO2=3ti,AF=AA2+A2F=4ti+?E,

_3

4ti+2y-3ti=2,

3_

ti=2-

3

②當(dāng)直線AC與。。其次次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t2,

記第一次相切時(shí)為位置一，點(diǎn)01,Ai,C1共線時(shí)位置二，其次次相切時(shí)為位置三，

由題意知，從位置一到位置二所用時(shí)間與位置二到位置三所用時(shí)間相等，

-(2-=T2,(2VS+2),

333

解得：t2=2+2?,

綜上所述，當(dāng)d<2時(shí)，t的取值范圍是：2-延<1<2+2?.

3

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等學(xué)問，利用分類探討以及數(shù)形結(jié)合t的值是解題關(guān)

鍵.

3.(2024?泰州)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-3x+b(b為常數(shù)，b>0)的圖象與x軸、y軸分別

相交于點(diǎn)A、B,半徑為4的。。與x軸正半軸相交于點(diǎn)C,與y軸相交于點(diǎn)D、E,點(diǎn)D在點(diǎn)E上方.

(1)若直線AB與而有兩個(gè)交點(diǎn)F、G.

①求NCFE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示FG?,并干脆寫出b的取值范圍；

(2)設(shè)bN5,在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使NCPE=45。？若存在，懇求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

考點(diǎn)：圓的綜合題.

專題：幾何綜合題；壓軸題.

分析：(1)連接CD,EA,利用同一條弦所對(duì)的圓周角相等求行NCFE=45。，

(2)作OMLAB點(diǎn)M,連接OF,利用兩條直線垂直相交求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理求出FM?,

再求出FG2,再依據(jù)式子寫出b的范圍，

(3)當(dāng)b=5時(shí)，直線與圓相切，存在點(diǎn)P,使NCPE=45。，再利用△APO-△AOB和^AMP-△AOB相

像得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出OP所在的直線解析式.

?ZCFE=lzCOE=45",(圓周角定理)

2

②方法一：

如圖，作OMLAB點(diǎn)M,連接OF,

，OM所在的直線函數(shù)式為：y=Wx,

3

交點(diǎn)M（皂b,西）

2525

OM2=（烏）2+（3）2,

2525

OF=4,

FM2=OF2-OM2=42-（烏）2-（嶼）2,

2525

FM=1FG,

2

FG2=4FM2=4X[42-（皂b）2-（嶼）2]=64--^b2=64x（1-Ab2）,

25252525

???直線AB與面有兩個(gè)交點(diǎn)F、G.

4<b<5,

FG2=64X（1-工2）（4<b<5）

25

方法二：

①如圖，作OM1.AB點(diǎn)M,連接OF,

二B的坐標(biāo)為(0,b),A的坐標(biāo)為(Wb,0),

AB=V0B2+0A2=1b,

sinzBAO=^=4=M,

AB25

3

OM=-b,

5

在RTAOMF中,

=2

FM7OF-0M2=^42-(-jb)2

FG=2FM,

FG2=4FM2=4(42-32)=64--^b2=64x(1-J_b2),

???直線AB與而有兩個(gè)交點(diǎn)F、G.

4<b<5,

FG2=64X(1-Ab2)(4<b<5)

(2)如圖,

E

(備用圖)

當(dāng)b=5時(shí)，直線與圓相切，

???在直角坐標(biāo)系中，ZCOE=90°,

ZCPE=ZODC=45°,

???存在點(diǎn)P,使NCPE=45。,

連接OP,

P是切點(diǎn)，

/.OP±AB,

△APO△AOB,

?.?—0P—_—AP,

OBAO

OP=r=4,OB=5,AO=^,

■，上整即AP=g,

5203

AB=V0B2+0A2=

作PM_LAO交AO于點(diǎn)M,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),

---AAMP-AAOB,

PM=AP

BOAB

136

y-

-_

5235

」

?.?vy-----6-,

5

X=OM=7OP2-PM2=產(chǎn)一學(xué)話

二點(diǎn)p的坐標(biāo)為(L,—).

55

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓與一次函數(shù)的學(xué)問，解題的關(guān)鍵是作出協(xié)助線，利用三角形相像求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.(2024?上海)如圖1,已知在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=8,cosB="l點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP

5

為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F(點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè))，射線CE與射線BA交于點(diǎn)G.

(1)當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(2)連接AP,當(dāng)APIICG時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)AAGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng).

考點(diǎn)：圓的綜合題.

專題：壓軸題.

分析：(1)當(dāng)點(diǎn)A在。C上時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過點(diǎn)A作AHLBC于H,干脆利用勾股定理求出AC進(jìn)而得

出答案；

(2)首先得出四邊形APCE是菱形，進(jìn)而得出CM的長(zhǎng)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CP以及EF的

長(zhǎng)；

(3)NGAEHNBGC,只能NAGE二NAEG,禾U用ADIIBC,得出△GAE?△GBC,進(jìn)而求出即可.

解答：解：(1)如圖1,設(shè)。O的半徑為r,

當(dāng)點(diǎn)A在。C上時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過點(diǎn)A作AH_LBC于H,

BH=AB?cosB=4,

/.AH=3,CH=4,

AC=VAH2+CH2=5,

止匕時(shí)CP=r=5；

(2)如圖2,若APIICE,APCE為平行四邊形，

CE=CP,

四邊形APCE是菱形，

連接AC、EP,貝l]AC_LEP,

AM=CM=2

2

由(1)知，AB=AC,則NACB=NB,

CP=CE==上

cos/ACB8

°4

(3)如圖3：過點(diǎn)C作CN_LAD于點(diǎn)N,設(shè)AQ_LBC,

1,里cosB,AB=5,

AB

BQ=4,AN=QC=BC-BQ=4.

cosB=—,

ZB<45°,

???ZBCG<90",

ZBGC>45°,

ZBGOZB=ZGAE,即NBGCZGAE,

又NAEG=ZBCG>ZACB=ZB=ZGAE,

.,.當(dāng)NAEG=NGAE時(shí)，A、E、G重合，則AAGE不存在.

即NAEGxNGAE

只能NAGE=ZAEG,

---ADIIBC,

△GAE~△GBC,

?AE_AGBnAE_AE

CBBG8AE+5

解得：AE=3,EN=AN-AE=1,

CE=VEN2+CN2=V32+1

B0P

圖3

AEF

圖1

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相像三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等學(xué)問，利用分類探討得出

AAGE是等腰三角形時(shí)只能NAGE=ZAEG進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵.

5.（2024?常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（亞，&）,以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作。M.使。M與

直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,與x軸，y軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D,A（如圖），連接AM.點(diǎn)P是第上的動(dòng)點(diǎn).

（1）寫出NAMB的度數(shù)；

（2）點(diǎn)Q在射線0P上，且OP?OQ=20,過點(diǎn)Q作QC垂直于直線0M,垂足為C,直線QC交x軸于點(diǎn)E.

①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

考點(diǎn)：圓的綜合題.

專題：幾何綜合題；壓軸題.___

分析：（1）首先過點(diǎn)M作MHLOD于點(diǎn)H,由點(diǎn)M（V2＞、歷），可得NMOH=45。，OH=MH=?,繼而求得

zAOM=45°,又由OM=AM,可得△AOM是等腰直角三角形，繼而可求得NAMB的度數(shù)；

（2）①由OH=MH=，日，MH±OD,即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長(zhǎng)，又由動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B

重合時(shí)，OP?OQ=20,可求得OQ的長(zhǎng)，繼而求得答案；

②由OD=2?,Q的縱坐標(biāo)為t,即可得然后分別從當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)

Q作QFLx軸，垂足為F點(diǎn)，與當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，去分析求解即可求得答案.

解答：解：（1）過點(diǎn)M作MH_LOD于點(diǎn)H,

■:點(diǎn)、M（^2，五），

OH=MH=A/2，

ZMOD=45°,

???ZAOD=90°,

ZAOM=45",

OM=AM,

ZOAM=ZAOM=45°,

ZAMO=90°,

ZAMB=90°；

（2）①?.,OH=MH=?,MH±OD,

OM=yl_1_Q2=2,OD=2OH=2-\/2，

OB=4,

???動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP?OQ=20,

OQ=5,

???ZOQE=90°,ZPOE=45°,

OE=5?,

，E點(diǎn)坐標(biāo)為（5?,0）

②，：OD=2?Q的縱坐標(biāo)為t,

s=^X2V2t=V2t-

如圖2,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)Q作QF^x軸，垂足為F點(diǎn),

OP=4,OP?OQ=20,

OQ=5,

???ZOFC=90°,ZQOD=45°,

t=QF=.-^,

2_

此時(shí)$=正義竿=5；

如圖3,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，

OP=2A/2>

???OP?OQ=20,

,t=OQ=5?,

止匕時(shí)S=&X5>/^=10；

S的取值范圍為54S410.

圖2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等學(xué)問.此題難度較大，留意駕馭協(xié)助線的作

法，留意駕馭數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想與方程思想的應(yīng)用.

6.(2024?漳州)閱讀材料：如圖1,在AAOB中，Z0=90°,OA=OB,點(diǎn)P在AB邊上，PE_LOA于點(diǎn)E,PF±OB

于點(diǎn)F,貝|PE+PF=OA.(此結(jié)論不必證明，可干脆應(yīng)用)

圖1圖2圖3圖4

(1)【理解與應(yīng)用】

如圖2,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在AB邊上，PE_LOA于點(diǎn)E,PF_LOB于

點(diǎn)F,貝UPE+PF的值為—巧

(2)【類比與推理】

如圖3,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=4,AD=3,點(diǎn)P在AB邊上，PEIIOB交AC于點(diǎn)E,PFIIOA

交BD于點(diǎn)F,求PE+PF的值；

(3)【拓展與延長(zhǎng)】

如圖4,。。的半徑為4,A,B,C,D是。O上的四點(diǎn)，過點(diǎn)C,D的切線CH,DG相交于點(diǎn)M,點(diǎn)P在弦AB

上，PEUBC交AC于點(diǎn)E,PFIIAD于點(diǎn)F,當(dāng)NADG=NBCH=30。時(shí)，PE+PF是否為定值？若是，懇求出這個(gè)定

值；若不是，請(qǐng)說明理由.

考點(diǎn)：圓的綜合題；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；弦切角定理；相像三角形的判定與

性質(zhì).

專題：壓軸題；探究型.

分析：(1)易證：OA=OB,NAOB=90。，干脆運(yùn)用閱讀材料中的結(jié)論即可解決問題.

(2)易證：OA=OB=OC=OD=0然后由條件PEIIOB,PFIIAO可證△AEP-△AOB,ABFP-△BOA,

2

從而可得堡區(qū)=理里=1,進(jìn)而求出EP+FP=g

0B力AB^B2

(3)易證：AD=BC=4.仿照(2)中的解法即可求出PE+PF=4,因而PE+PF是定值.

解答：解：(1)如圖2,

四邊形ABCD是正方形，

OA=OB=OC=OD,ZABC=ZAOB=90".

AB=BC=2,

AC=2&.

0A=V2.

OA=OB,ZAOB=90°,PE±OA,PF±OB,

PE+PF=OA=V2-

(2)如圖3,

???四邊形ABCD是矩形，

OA=OB=OC=OD,ZDAB=90°.

；AB=4,AD=3,

BD=5.

OA=OB=OC=OD”.

2

?/PEIIOB,PFIIAO,

△AEP-AAOB,ABFP-△BOA.

.EP_APiFP_BP

"OB^AB'OA^AB-

.EP,FP_AP,BP-,

OB^AAB^B

55

~2~2

：.EP+FP=&

2

PE+PF的值為王.

2

(3)當(dāng)NADG=NBCH=30。時(shí)，PE+PF是定值.

理由：連接OA、OB、OC、OD,如圖4

VDG與。O相切，

ZGDA=ZABD.

???ZADG=30°,

ZABD=30°.

ZAOD=2ZABD=60°.

OA=OD,

△AOD是等邊三角形.

AD=OA=4.

同理可得：BC=4.

PEIIBC,PFIIAD,

△AEP-△ACB,△BFP-ABDA.

.PE_AP；PF_PB

"BC^AB,AD^AB-

.PEPF_APPB_1

BC^DAB^B

二罵國(guó).

4又

PE+PF=4.

當(dāng)NADG=ZBCH=30°時(shí)，PE+PF=4.

圖3

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、弦切角定理、相像三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性

質(zhì)等學(xué)問，考查了類比聯(lián)想的實(shí)力，由肯定的綜合性.要求PE+PF的值，想到將相像所得的比式相加是解

決本題的關(guān)鍵.

7.(2024?云南)已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(3,

4)、C(0,4).點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-5),點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式(關(guān)系式)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M.問在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與AABC

相像的點(diǎn)M?若存在，懇求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R(R>0)為半徑長(zhǎng)畫圓.得到的圓稱為動(dòng)圓P.若設(shè)動(dòng)圓P的半

徑長(zhǎng)為空,過點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F.請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊

2

形DEPF?若存在，懇求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

考點(diǎn)：圓的綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；垂線段最短；勾股定理；切線長(zhǎng)定理；相像三角形的判定與

性質(zhì).

專題：綜合題；壓軸題；存在型；分類探討.

分析：(1)只需先求出AC中點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式.

(2)由于ADOM與△ABC相像，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種狀況進(jìn)行探討，利用三角形相像求出0M的

長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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(3)易證SAPED=SAPFD.從而有S四邊形DEPF=2SAPED=QDE.由NDEP=90°得DE=DP-PE=DP-絲.依