2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題：直角三角形的存在性問題（學(xué)生版+解析）

專題09直角三角形的存在性問題

一、知識導(dǎo)航

【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,1）,點B坐標為（5,3）,在x軸上找一點C使得

△ABC是直角三角形，求點C坐標.

【幾何法】兩線一圓得坐標

⑴若NA為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C;

⑵若為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C;

⑶若/C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C.（直徑所對的圓周角為直角）

重點還是如何求得點坐標，G、c2求法相同，以為例:

【構(gòu)造三垂直】

易證AAMBMBNC2

AMMB

BN~NC2

由A、B坐標得AA1=2,BM=4,NC2=3

3

代入得：BN=a

13

故。2坐標為(萬，0)

。3、C4求法相同，以C?為例:

Aktg

itM.N*“#所3.<"W

Ia

代入即+3.乂d.故o-l或3

b3

故為(2j0).Q不卜為(4.0)

構(gòu)造三垂直步驟：

第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；

第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似.

【代數(shù)法】表示線段構(gòu)勾股

還剩下G待求，不妨來求下c>

⑴表示點：設(shè)G坐標為(祖,0),又A(1,1)、B(5,3);

表示線段：AB=2'BC)22

⑵AC1=J(m-I?+F,t=^(/72-5+3;

(3)分類討論：當(dāng)/BAG為直角時，AB2+AC：=BC^2;

3

(4)代入得方程：20+(m-l)2+l2=(m-5)2+32,解得:m=—

2

還有個需要用到一個教材上并沒有出現(xiàn)但是大家都知道的算法：

互相垂直的兩直線斜率之積為-1.

考慮到直線AC】與A8互相垂直，kAC^-=—1,可得：上的二一2,

又直線AG過點A(1,1),可得解析式為：y=-2%+3,

3

所以與入軸交點坐標為,oj,即G坐標為

確實很簡便，但問題是這個公式出現(xiàn)在高中的教材上~

【小結(jié)】

幾何法：(1)“兩線一圓''作出點；

(2)構(gòu)造三垂直相似，利用對應(yīng)邊成比例求線段，必要時可設(shè)未知數(shù).

代數(shù)法：(1)表示點A、B、C坐標;

(2)表示線段AB、AC,BC-

(3)分類討論①A￥+AC^BC2、@AB2+BC2=AC2,③40+80=482；

(4)代入列方程，求解.

如果問題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛?，則同樣可采取上述方法，只不過三垂直得到的不是相似，而是全等.

二、典例精析

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=0^+2元+c與x軸交于A(-l,0),3(3,0)兩點，與y軸交于點C,

點D是該拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

(2)請在y軸上找一點使ABO0的周長最小，求出點M的坐標;

(3)試探究：在拋物線上是否存在點尸，使以點A,P,C為頂點，AC為直角邊的三南形是直角三角形？

若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)拋物線：y=-x2+2x+3,直線AC:產(chǎn)3%+3;

（2）看圖，M點坐標為（0,3）與C點重合了.

（3）考慮到AC為直角邊，故分別過A、。作AC的垂線，與拋物線交點即為所求尸點,

有如下兩種情況，

先求過A點所作垂線得到的點尸:

設(shè)P點坐標為（機，一病+2m+3）,

則PM=m+l,AM=0-(-m2+2機+3)=m2-2m-3,

易證△PMASAANC,且AN=3,CN=\,

.m+1m2-2m-3自101,人、

..----=-----------,解付：m,=—,丐二一1（舍），

313

故第1個P點坐標為

再求過點C所作垂線得到的點P:

PM=3—(—根之+2m+3)=根?_2m,CN=m,

,vyiC-=3：，解得：叫=7;，啊=。（舍），

m—2m13

故第2個尸點坐標為

10

綜上所述，P點坐標為

三、中考真題演練

1.（2023?江蘇?中考真題）如圖，二次函數(shù)'=：必+區(qū)-4的圖像與無軸相交于點4（-2,0）、B,其頂點是C.

⑴6=：

（2）。是第三象限拋物線上的一點，連接0。，tanNAOD=|；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線

經(jīng)過點。，過點（左,。）作x軸的垂線/.已知在/的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求左的取值范圍；

（3）將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點。且其頂點尸落在原拋物線上，連接

PC、QC、PQ.已知△PC。是直角三角形，求點尸的坐標.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）定義：在平面直角坐標系X?！抵?，當(dāng)點N在圖形/的內(nèi)部，或在圖形M

上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”.

⑴如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A（T2）,B（-l-l）,C（3-1）,E＞（3,2）,在點陷（1,1）,監(jiān)（2,2）,

M（3,3）中,是矩形ABCZT夢之點”的是；

k

（2）點G（2,2）是反比例函數(shù)％=乙圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”H的坐標是

X

,直線GH的解析式是%=.當(dāng)%＞當(dāng)時，x的取值范圍是.

1g

⑶如圖②，已知點A,8是拋物線了=-2f+%+5上的“夢之點”，點。是拋物線的頂點，連接AC,AB,

BC,判斷一AfiC的形狀，并說明理由.

3.（2023?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+6x+c與x軸交于B（4,0）,C（-2,0）

兩點.與y軸交于點4（0,-2）.

O

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式;

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得是以AB為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求

出點"的坐標，若不存在，請說明理由.

4.（2023?江蘇連云港?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOv中，拋物線乙：y=x2-2x-3的頂點為p.直

線/過點M（0,〃z）（〃也-3）,且平行于x軸，與拋物線右交于兩點（8在A的右側(cè)）.將拋物線。沿直線/

翻折得到拋物線4,拋物線4交，軸于點C，頂點為O.

（1）當(dāng)根=1時，求點。的坐標;

（2）連接3C、CD、DB,若△BCD為直角三角形，求此時4所對應(yīng)的函數(shù)表達式;

7.(2022?四川廣安?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=62+工+/〃(分0)的圖象與x軸交

于A、C兩點，與y軸交于點3,其中點2坐標為(0,—4),點C坐標為(2,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(3)點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得A為直角三角形，請求出點P的坐標.

8.(2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題)如圖，拋物線>=-</+云+。經(jīng)過點8(4,0)和點C(0,2),與x軸的另

一個交點為A,連接AC、BC.

(1)求拋物線的解析式及點A的坐標;

(2)如圖1,若點。是線段AC的中點,連接3。，在V軸上是否存在點E,使得是以皮)為斜邊的直

角三角形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由;

9.(2022?四川雅安?中考真題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點A(-1,0),B(3,0),且與y軸交

于點C(0,-3).

備用圖

(1)求此二次函數(shù)的表達式及圖象頂點D的坐標；

(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點E,使△ACE為Rm,若存在，試求點E的坐標，若不存在，請說明

理由；

10.(2022?山東濱州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線產(chǎn)尤2-2彳-3與x軸相交于點A、8(點

A在點8的左側(cè))，與y軸相交于點C,連接AC,8C.

(1)求線段AC的長；

⑶若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)3cM為直角三角形時，求點〃的坐標.

專題09直角三角形的存在性問題

一、知識導(dǎo)航

【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,1）,點8坐標為（5,3）,在x軸上找一點C使得

△ABC是直角三角形，求點C坐標.

【幾何法】兩線一圓得坐標

(1)若/A為直角，過點A作的垂線，與x軸的交點即為所求點C;

⑵若為直角，過點B作的垂線，與x軸的交點即為所求點C;

⑶若NC為直角，以為直徑作圓，與無軸的交點即為所求點C.（直徑所對的圓周角為直甭）

重點還是如何求得點坐標，G、c2求法相同，以a為例:

【構(gòu)造三垂直】

易證AAMBMBNC2

AMMB

BN~NC2

由A、B坐標得AA1=2,BM=4,NC2=3

3

代入得：BN=a

13

故。2坐標為(萬，0)

。3、C4求法相同，以C?為例:

Aktg

itM.N*“#所3.<"W

Ia

代入即+3.乂d.故o-l或3

b3

故為(2j0).Q不卜為(4.0)

構(gòu)造三垂直步驟：

第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；

第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似.

【代數(shù)法】表示線段構(gòu)勾股

還剩下G待求，不妨來求下c>

⑴表示點：設(shè)G坐標為(祖,0),又A(1,1)、B(5,3);

表示線段：AB=2'BC)22

⑵AC1=J(m-I?+F,t=^(/72-5+3;

(3)分類討論：當(dāng)/BAG為直角時，AB2+AC：=BC^2;

3

(4)代入得方程：20+(m-l)2+l2=(m-5)2+32,解得:m=—

2

還有個需要用到一個教材上并沒有出現(xiàn)但是大家都知道的算法：

互相垂直的兩直線斜率之積為-1.

考慮到直線AC】與A8互相垂直，kAC^-=—1,可得：上的二一2,

又直線AG過點A(1,1),可得解析式為：y=-2%+3,

3

所以與入軸交點坐標為,oj,即G坐標為

確實很簡便，但問題是這個公式出現(xiàn)在高中的教材上~

【小結(jié)】

幾何法：(1)“兩線一圓''作出點；

(2)構(gòu)造三垂直相似，利用對應(yīng)邊成比例求線段，必要時可設(shè)未知數(shù).

代數(shù)法：(1)表示點A、B、C坐標;

(2)表示線段AB、AC,BC-

(3)分類討論①A￥+AC^BC2、@AB2+BC2=AC2,③40+80=482；

(4)代入列方程，求解.

如果問題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛?，則同樣可采取上述方法，只不過三垂直得到的不是相似，而是全等.

二、典例精析

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=0^+2元+c與x軸交于A(-l,0),3(3,0)兩點，與y軸交于點C,

點D是該拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

(2)請在y軸上找一點使ABO0的周長最小，求出點M的坐標;

(3)試探究：在拋物線上是否存在點尸，使以點A,P,C為頂點，AC為直角邊的三南形是直角三角形？

若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)拋物線：y=-x2+2x+3,直線AC:產(chǎn)3%+3;

（2）看圖，M點坐標為（0,3）與C點重合了.

（3）考慮到AC為直角邊，故分別過A、。作AC的垂線，與拋物線交點即為所求尸點,

有如下兩種情況，

先求過A點所作垂線得到的點尸:

設(shè)P點坐標為（機，一病+2m+3）,

則PM=m+l,AM=0-(-m2+2機+3)=m2-2m-3,

易證△PMASAANC,且AN=3,CN=\,

.m+1m2-2m-3自101,人、

..----=-----------,解付：m,=—,丐二一1（舍），

313

故第1個P點坐標為

再求過點C所作垂線得到的點P:

PM=3—(—根之+2m+3)=根?_2m,CN=m,

,vyiC-=3：，解得：叫=7;，啊=。（舍），

m—2m13

故第2個尸點坐標為

10

綜上所述，P點坐標為

三、中考真題演練

1.(2023?江蘇?中考真題)如圖，二次函數(shù)'=：必+區(qū)-4的圖像與無軸相交于點4(-2,0)、B,其頂點是C.

⑴6=：

(2)。是第三象限拋物線上的一點，連接0。，tanNAOD=|；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線

經(jīng)過點。，過點(左,。)作x軸的垂線/.已知在/的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求左的取值范圍；

(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點。且其頂點尸落在原拋物線上，連接

PC、QC、PQ.已知△PC。是直角三角形，求點尸的坐標.

【詳解】(1)解：把4一2,0)代入，=3尤2+法_4得，

0=1X(-2)2+/;X(-2)-4,

解得b=-l,

故答案為-1;

(2)解：過點。作。04于點

VZ?=-1,

；?二次函數(shù)的解析式為y=-x-4

設(shè)-m-4j,

是第三象限拋物線上的一點，連接tanZAOD=|,

124

——m+m+4

tanZAOD=^25,

—m2

解得小二-1或機=8(舍去),

當(dāng)用二—1時，—m2—m—4=—+1—4=—,

222

?,4T-3

1g

...設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為y=；(x+a)9~-：,

把￡>(一1,一外代入y=3+a)*得-1=；(T+a)Y，

解得〃=3或〃=-1(舍去)，

1Q

工平移后得拋物線為>=5(%+3)29-]

???過點(￡0)作X軸的垂線/.已知在/的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，

1oQ

在y=](%+3)2-：的對稱軸4―3的左側(cè)，y隨工的增大而減小，此時原拋物線也是y隨x的增大而減小,

：.k<-3；

1a1

(3)解：由y=](x—9于設(shè)平移后的拋物線為y=5(x—夕)92+”則頂點為P(p，4),

199

???頂點為尸(p,q)在y=](%T)-5上，

?1/八29124

??”/(7-1)~2=2P—P—4，

???平移后的拋物線為y=；(x-p)2+；pJp-4,頂點為尸1p,gp2-P-4)

1Q

???原拋物線y=5(x_l)9一一1，

，原拋物線的頂點,對稱軸為x=l,

???平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q,

-2p-萬],

:點。、C在直線X=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點。在頂點尸

的上方,

ZPCQ與/CQP都是銳角,

V△PC。是直角三角形，

ZCPQ=90°,

：.QC2=PC2+PQ?,

「?[22_2p_(+2)=(p-l/_〃_4+_1)+(p—l)2+[gp2_〃_4—〃2+2p+()化簡得

(〃-l)2(p-3)(p+l)=。,

.,.p=l(舍去)，或p=3或p=-l,

當(dāng)p=3時，/?—4=-^x32—3—4=-

i、o5

當(dāng)p=-l時，—x(-l)+1-4=--,

...點p坐標為卜，-3或1L-￡|.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析

式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)定義：在平面直角坐標系xOy中，當(dāng)點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M

上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”.

-4-3-22-10123°4*//]AO',|\x

-4-

圖①圖②

⑴如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A(T2),B(-l-l),C(3,-l),0(3,2),在點M?(2,2),

M3(3,3)中，是矩形ABCD“夢之點”的是___________；

⑵點G(2,2)是反比例函數(shù)％=4圖象上的一個“夢之點

”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”H的坐標是

X

___________,直線GH的解析式是%=___________.當(dāng)%＞當(dāng)時，x的取值范圍是___________.

19

(3)如圖②，已知點A,8是拋物線了=一2f+工+5上的1“夢之點”，點C是拋物線的頂點，連接AC,AB,

BC,判斷一AfiC的形狀，并說明理由.

【答案】（1）M「M2

⑵H（-2,-2）,y2=x,x<-2或0cx<2

（3）ABC是直角三角形，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；

（2）把G（2,2）代入％=人求出解析式，再求與>=尤的交點即為H,最后根據(jù)函數(shù)圖象判斷當(dāng)必〉為時，x

X

的取值范圍；

（3）根據(jù)“夢之點”的定義求出點A,B的坐標，再求出頂點C的坐標，最后求出AC,AB,BC,即可判

斷_ABC的形狀.

【詳解】（1）二?矩形A3CD的頂點坐標分別是A（-l,2）,B（-l.-l）,C（3-1）,￡>（3,2）,

/.矩形ABCD“夢之點”（x,y）滿足TWxW3,

.?.點必（1,1）,Mz（2,2）是矩形ABCD“夢之點”，點M（3,3）不是矩形ABCD“夢之點”，

故答案為：Mx,M2.

（2）?..點G（2,2）是反比例函數(shù)%=5圖象上的一個“夢之點”,

.?.把G（2,2）代入％=人得左=4,

X

-e*乂=3,

X

,「夢之點”的橫坐標和縱坐標相等，

?丁夢之點”都在直線y=%上，

V.=—f尤=2f尤=-2

聯(lián)立一X,解得c或0

j=x1>=21了=一2

H（—2,—2）,

直線G”的解析式是%=不

函數(shù)圖象如圖:

由圖可得，當(dāng)M>必時，x的取值范圍是x<-2或0<x<2；

故答案為：2,-2）,y2=x,x<-2或0cx<2；

(3)ABC是直角三角形，理由如下:

1g

1/點A,B是拋物線y=--x2+x+彳上的“夢之點”,

19

y——x2+XH—無二或x=-3

聯(lián)立22,解得

y=-3'

尸尤)=3

.?.A（3,3）,B（-3,-3）,

--=_*_1）一+5

-y=

22

頂點C(l,5),

22222

AC=（3-1）2+（3-5）2=8,.=（_3-3）2+（_3_3）=72,BC=（-3-l）+（-3-5）=80,

BC2=AC2+AB2,

，.ASC是直角三角形.

【點睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩

點間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵.

3.(2023?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了=西+6尤+c與x軸交于3(4,0),C(-2,0)

兩點.與y軸交于點4(0,-2).

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得△腸R是以A3為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求

出點M的坐標，若不存在，請說明理由.

【分析】（1）將A、5、C代入拋物線解析式求解即可；

（3）過A作⑷孫交拋物線的對稱軸于過8作2M?LAB交拋物線的對稱軸于連接AM】，

設(shè)必（I,"）,可求41%2="+4〃+5,反％2="+9,由AB?+即必=AM：,可求根，進而求出直線BM

的解析式，即可求解.

【詳解】（1）解：由題意得

16Q+4Z?+C=0

<4。-2。+c=0,

c=-2

1

ci=——

4

解得：<b=,

c=-2

???拋物線的解析式為y=1_2.

42

（3）解：存在，

如圖，過A作41乙LAB交拋物線的對稱軸于“2,過3作用％，交拋物線的對稱軸于連接4%,

.,.設(shè)

.1AM：=『+（”+2）2

=n2+471+5,

AB2=22+42=20,

BM；=（4-1）2+/

="+9，

AB2+BM^=AM^,

n~+9+20=+4〃+5，

解得："=6,

，M（L6）；

設(shè)直線8Ml的解析式為y=Kx+4,則有

代+4=6

14勺+bx=0，

直線BMX解析式為y=-2%+8,

AM2//BM,,且經(jīng)過4(0,-2),

???直線AM2解析式為y=-2x-2,

.,.當(dāng)x=］時，y=-2xl—2=—4,

，峪(I)；

綜上所述：存在，M的坐標為(1,6)或(1,T).

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理

等，掌握解法及找出動點坐標滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?江蘇連云港?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線L|：y=，-2x-3的頂點為p.直

線/過點M(0,〃?)(〃拒-3),且平行于x軸，與拋物線右交于兩點(8在A的右側(cè)).將拋物線右沿直線/

翻折得到拋物線4,拋物線右交，軸于點c,頂點為o.

（1）當(dāng)根=1口寸，求點。的坐標；

⑵連接3C、CD、DB,若△BCD為直角三角形，求此時4所對應(yīng)的函數(shù)表達式；

【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點式，進而得出頂點坐標P0,Y）,根據(jù)對稱性，即可求解.

（2）由題意得，。的頂點P（1,T）與右的頂點。關(guān)于直線丁=機對稱，D（l,2/72+4）,則拋物線

4：y=-（x-l）2+（2m+4）=-x2+2x+2m+3.進而得出可得C（0,2〃z+3）,①當(dāng)N3CD=90°時，如圖1,過

。作。軸，垂足為N.求得B（/n+3,/n）,代入解析式得出機=0,求得右：V=-犬+2x+3.②當(dāng)

/區(qū)DC=90。時，如圖2,過8作交ND的延長線于點T.同理可得得出8（加+5,加），

代入解析式得出切=—3代入4：V=——+2x+2%+3,得工2：y=—x?+2x—3；③當(dāng)ND3c=90。時，此情況

不存在.

【詳解】（1）y=x2—2x—3=（x—1）2—4,

拋物線右的頂點坐標P（LY）.

:加=1,點p和點。關(guān)于直線y=l對稱.

.1.0（1,6）.

（2）由題意得，乙的頂點P（I,T）與心的頂點。關(guān)于直線對稱，

D（l,2??z+4）,拋物線4：y=+（2利+4）=—X2+2x+2/7?+3.

當(dāng)尤=0時,可得C（0,2〃z+3）.

①當(dāng)/3CD=90。時，如圖1,過。作OVLy軸，垂足為N.

?.,D（l,2m+4）,

???N（0,2m+4）.

?.?C（0,2m+3）

???DN=NC=1.

：./DCN=45。.

'：ZBCD=90°,

：.ZBCM=45°.

???直線/〃入軸，

：.ZBMC=90°.

ZCBM=ZBCM=45°,BM=CM.

Vm>-3,

BM=CM=（2m+3）-m=m+3.

/.B（m+3,m）.

又???點8在丁二%2一2元一3圖像上，

m=（m+3）2—2（m+3）—3.

解得m=0或機=一3.

???當(dāng)利=_3時，可得5（0,-3）,。（0,-3）,此時以。重合，舍去.當(dāng)機=0時，符合題意.

將m=0代入乙：y=—爐+2x+2m+3,

得L?:y——+2%+3.

圖3

②當(dāng)，5ZX>90。時，如圖2,過6作交ND的延長線于點T.

同理可得57=07.

￡)(1,2m+4),

DT=BT=(2m+4)—m=m+4.

DN=1,

NT=DN-\-DT=l+(m+4)=m+5.

又???點6在-2x-3圖像上,

m=(m+5y-2(〃z+5)-3.解得m=-3或機=-4.

Vm>-3,

...m=-3.此時5（2,-3）,C（0,-3）符合題意.

，各YYI——3彳弋L?;〉=—爐+2x+2m+3,彳導(dǎo)L?:y——x2+2x—3.

③當(dāng)NZ）5C=90。時，此情況不存在.

綜上，右所對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=牙+2x+3或y=+2元-3.

5.（2022?山東濟南.中考真題）拋物線y=/+2x-6與x軸交于A（/,0）,8（8,0）兩點，與y軸交于點C,

直線y=Ax-6經(jīng)過點艮點尸在拋物線上，設(shè)點尸的橫坐標為，〃.

⑴求拋物線的表達式和34的值；

(2)如圖1,連接AC,AP,PC,若AAPC是以CP為斜邊的直角三角形，求點尸的坐標;

【詳解】(1)解：：8(8,0)在拋物線y=ox2+?x-6上，

64a+—x8-6=0,

4

?“―1

??a——,

4

拋物線解析式為>=一：*+?工一6,

44

當(dāng)>=。時，一工產(chǎn)+口，一6=0,

44

"=3,方2=8(舍)，

t=3.

??,8(8,0)在直線y=履-6上，

81—6=0,

.,3

??k=一,

4

3

???一次函數(shù)解析式為尸二%-6.

4

(2)解：如圖，作PMLx軸于點

對于y=—；Y+?%—6,令x=0,貝!Jy=-6,

???點C(0,-6),即OC=6,

VA(3,0),

：.OA=3,

???點尸的橫坐標為江

J12H八

I44J

111

PM=-m9m+6,AM-m-3,

44

ZCAP=90°,

???Z(MC+ZfW=90°,

ZAPM+ZPAM=90°,

???ZOAC=ZAPMf

?.?ZAOC=ZAMP=90°,

：.ACOA^AAMP,

.OA_OC

**PM-AM，

OA-MA=OCPM,BP3(m-3)=6-Qm2-ym+6

?,?町=3(舍)，加2=10,

m=10,

???點小。,-%

6.(2022?廣西柳州?中考真題)已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(m,0)兩點，與y軸

(1)求b,c,相的值；

⑶如圖2,點又是拋物線的頂點，將沿BC翻折得到ANBC,NB與y軸交于點。，在對稱軸上找一

點P,使得是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點尸的坐標.

【答案】(1)6=4,c=5,=5

23

⑶所有符合條件的點尸的坐標為(2,y),(2,-9)

【分析】(1)把A(-1,0),C(0,5)代入y=-N+b尤+。，利用待定系數(shù)法求解b,c即可，再令y=0,

再解方程求解機即可;

(3)過點C作CHL對稱軸于“，過點N作NKLy軸于K,證明△MCH04NCK(AAS),再求解N(-4,

可得Q靜［，設(shè)尸(2,p),再利用勾股定理表示

3),求解直線8N的解析式為:

33秒3

尸。2=2篇］=產(chǎn)生+￡.,8尸=(5-2)"=9+。2,3。2=52+；|=25+學(xué)再分兩種情況建

立方程求解即可.

【詳解】(1)把A(-1,0),C(0,5)代入y=-x2+bx+c,

t-1-b+c=0ib=4

4=5,解得：i

Ic=5

這個拋物線的解析式為：y=-X2+4X+5,

令y=0,則-/+41+5=0,解得打=5,X2=-L

：.B(5,0),

(3)過點。作C"_L對稱軸于H,過點N作NK，y軸于K,

,ZNKC=ZMHC=90°,

由翻折得CN=CM,ZBCN=ZBCM,

U：B(5,0),C(0,5).

：.OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC=45°,

〈CH，對稱軸于〃，

???CH〃九軸，

???N3CH=45。，

：.ZBCH=ZOCB,

：.ZNCK=ZMCH,

:?△MCH"ANCK(AAS),

：?NK=MH,CK=CH,

???拋物線的解析式為：y=-/+4x+5=-(x-2)2+9,

???對稱軸為x=2,M(2,9),

AMH=9-5=4,CH=2,

:.NK=MH=4,CK=CH=2,

：.N(-4,3),

設(shè)直線BN的解析式為y=iwc+n,

?.1

im=——

j-4m+n=3J3

15m+n=0,解得:

???直線BN的解析式為：y=-1x+|,

設(shè)P(2,p),

2

21061

?.?一+」=p-----p+—,

139

BP2=(5-2)2+p2=9+p2,

UI

2=25+京

BQ=52+

分兩種情況：

①當(dāng)NBQP=90。時，BP2=PQ2+BQ2,

.c221061?25

,,9+p=p~夕+—+25+—,

399

23

解得：P--y

②當(dāng)NQ3P=90。時，PQ2=BPA~BQ2,

.10612?25

--P2~-—P+—=n9+p-+25+—,

解得：P=-9,

...點P的坐標為(2,-9).

綜上，所有符合條件的點P的坐標為重,胃或尸(2,-9).

【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標問題，二次

函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸的性質(zhì)，二次函數(shù)與直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.

7.(2022?四川廣安?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=62+工+/〃(分0)的圖象與x軸交

于A、C兩點，與y軸交于點3,其中點2坐標為(0,—4),點C坐標為(2,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(3)點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得A為直角三角形，請求出點P的坐標.

【答案】(1)'=；必+》-4

(3*點坐標為：(-1,3),(-1,-5),(-L-2+T7),(-L-2-T7)

【分析】(1)直接將8(0,-4),C(2,0)代入y=+x+"2,即可求出解析式；

(3)分三種情況討論，①當(dāng)/B4B=90。時，即必，A8,則設(shè)鞏所在直線解析式為：y=x+z,將A(-4,0)

代入y=x+z得，解得：z=4,此時尸點坐標為：(-1,3)；②當(dāng)NPA4=90。時，即尸則設(shè)尸3所在直

線解析式為：y=X+力，將8(0,-4)代入y=X+匕得，r=T，此時尸點坐標為：(-1,-5)；③當(dāng)/APB=90。

時，設(shè)P點坐標為：(-1，L)，由于以所在直線斜率為：生，P8在直線斜率為：生把，竺.&11=一1,

v73-13-1

則此時尸點坐標為：(-L-2+A/7),(-L-2-T7).

【詳解】(1)解：將5(0,-4),C(2,0)代入尸/+工+加，

m=-4

得:

4〃+2+機=0'

m=-4

解得：1

ci———

2

2

拋物線的函數(shù)解析式為：y=jx+X-4

(3)①當(dāng)/必8=90°時，

即出，42,則設(shè)用所在直線解析式為：y=x+z,

將A(-4,0)代入y=x+z得，-4+z=0,

解得：z=4,

；?朋所在直線解析式為：、=尤+4,

:拋物線對稱軸為：x=-l,

當(dāng)x=-1時，y=-l+4=3,

，尸點坐標為:(-1,3)；

②當(dāng)/PA4=90。時，

即尸則設(shè)PB所在直線解析式為：y=x+t,

將2(0,-4)代入y=x+t得，t=-4,

二網(wǎng)所在直線解析式為：y=x-4,

...當(dāng)x=-l時，y=-1-4=-5,

?'?P點坐標為：(-1,-5)；

③當(dāng)/APB=90。時，設(shè)P點坐標為：(-L%)，

；.孫所在直線斜率為：”，PB在直線斜率為：

3-1

'：PA±PB,

..3=1,

3-1

解得：為=-2+近，第=—2—甘，

???P點坐標為：(-L-2+T7),(-1,-2-A/7)

綜上所述，尸點坐標為：(-1,3),(-1,-5),卜1,-2+夕)，卜1,-2-療)時，△JR4B為直角三角形.

【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)、三角形的綜合，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

8.(2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題)如圖，拋物線>法+。經(jīng)過點8(4,o)和點以0,2),與x軸的另

一個交點為A,連接AC、BC.

(1)求拋物線的解析式及點A的坐標；

(2)如圖1,若點。是線段AC的中點，連接3。，在，軸上是否存在點E,使得..6DE是以為斜邊的直

角三角形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；

13

【答案】(1)>=一5尤z+gX+2；A(-1,0)；

(2)存在ECO,2)或(0,-1),