2024年中考數(shù)學 與新概念有關(guān)的題型復(fù)習講義

第六章與新概念有關(guān)的題型復(fù)習講義

講解代數(shù)、幾何綜合題中的新定義問題.新定義問題可以出現(xiàn)在任何題型中，這類問題的關(guān)鍵是理解新為利用學

過的知識來解決問題.

6.1新概念題

解題策略

新概念題的核心是一定要理解新概念的含義，不僅僅是代數(shù)形式的表達，包括幾何上的含義，找出新概念所定

義出的軌跡或區(qū)域是關(guān)鍵，然后結(jié)合所學過的函數(shù)知識和幾何知識進行解答；解答時一定要注意緊扣概念.

模型一距離問題

已知：如圖,二次函數(shù)y=2乂-3的圖象與x軸交于A,B兩點（A在左側(cè),B在右側(cè)），與y軸交于C

點,頂點為D.

給出如下規(guī)定：兩個圖形Gi和G2,點P為Gi上任一點，點Q為（Gz上任一點，如果線段PQ的長度存在最

小值，就稱該最小值為兩個圖形Gi和G2之間的距離.

⑴原點0和線段BC之間的距離為___________；H!I

（2）記點A與點C之間的拋物線為圖形G（包括A,C兩點），則圖形G與線段BD之間的右弧，J旅

距離是多少？

思路分析：解答新概念題目，關(guān)鍵是理解所給的新定義，在滿足新定義的條件下，結(jié)合學過弱〃

的知識進行解答，通常采用數(shù)形結(jié)合的思想.

題目中所給的概念可以理解為：兩個點分別在兩個圖形上，求這兩個點為端點的線段的最小值.

注意：孤立的一個點也是一個圖形，所以（1）就是求點到直線的距離；（2）就是求拋物線上AC部分的某一點到

線段BD的最小值，也是點到直線的距離問題，關(guān)鍵是確定AC上哪一點到線段BD的距離最近，可證明點C到

線段BD的距離最短，延長BD,然后利用相似就可求出答案.

已知：二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y

軸交于C點，頂點為D.\!：/

/八-J-AIN2/45x

給出線變二次函數(shù)定義如下：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）,關(guān)于直線x=zn（THH-瓦）￥I/

的線變二次函數(shù)為：y=產(chǎn)丁:嗎當x<m和x>m時，線變二次函數(shù)y=久2-2%少%

-3縱坐標y的取值范圍分別是y>p和"q,其中p<q,令3=p-q,求w關(guān)于m的函數(shù)解析式及m的取值范圍.

思路分析：此題有以下幾個關(guān)鍵：（1）線變二次函數(shù)的圖象是什么?每段函數(shù)圖象中x的取值范圍包不包括端點？

（2）m在不同位置時y的取值范圍是什么?是否滿足yNp和ywq,其中p<q,注意等號.

如下圖,當m<l時，y>p,不能取y=p,所以不滿足題目條件，所以m>l,此時p=-4,同時要

精選例題

例L對于平面直角坐標系xOy中的圖形M,N,給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任

意一點，如果P,Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M,N間的"閉距離"，記作d(M,N).

已知點A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).

⑴求d(點O/ABC);

⑵記函數(shù)y=kx(—lwxwLk/O)的圖象為圖形G若d(G『ABC)=l直接寫出k的取值范圍；

(3)OT的圓心為T(t,O),半徑為1.若d(0T/ABC)=l,直接寫出t的取值范圍.

八解析

理解"閉距離"的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，閉距離是分別位于兩個不同圖形上的兩個點之間的線段長度的最小值.

(1)兩個圖形分別為原點0,AABC的三邊(線段，包含端點),所以求d(點0,AABC)就是比較點0到三邊的

距離、點0到三個頂點的距離的最小值；

⑵因為函數(shù)y=kx(-14x4LkHO)的圖象為圖形G且d(G'ABC)=LABuy軸,BCllx軸，且到坐標軸的距離都為

2,考慮作*=±1和丫=±1,然后再思考AC段即可;

(3)圓心T(t,0)在x軸上，要分在三角形內(nèi)、三角形外兩種情況討論，注意圓上的點到直線的最短距離為1可

以轉(zhuǎn)化為求圓心到直線的距離為2,這樣滿足圓心到三邊或三個頂點的最小長度為3的部分都是t的取值范圍.

解(1)如圖，也就是答圖1中條紅虛線中最短的長度值，點O至hABC的距離最小值為2r

⑵如答圖2,y=kx(k，0)經(jīng)過原點在-14X41的范圍內(nèi)，函數(shù)圖象為線段.

當y=kx(-14x41,k/0)經(jīng)過(L-1)時,k=—1,

此時d(G'ABC)=l;

當y=kx(-14x41,k/0)經(jīng)過(-L-1)時,k=l,

此時d(G『ABC)=l;

l<k<l.

?.k/0,

且k/0;也就是圖中的紅色區(qū)域部分;

(3)OT與△ABC的位置關(guān)系有三種：

①。T在AABC的左側(cè)時,如答圖3:d(G,AABC)=l,此時t=-4;

②。T在AABC的內(nèi)部時,如答圖4:d(G,AABC)=l,此時04t44-2V2;

答題2

③。T在AABC的右側(cè)時,如答圖5:d(G,AABC)=L此時t=4+2V2;

綜上所述:t=-4或(0<t<4-2&或t=4+2V2.

例2如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4,邊0A,0C分別在x軸，y軸的正半軸上，把

正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫，縱坐標均為整數(shù)的點稱為好點，點P為拋物線y=-(x-m)^+m+2的頂點.

(1)當爪=0時，求該拋物線下方(包括邊界)的好點個數(shù).升

(2)當m=3時，求該拋物線上的好點坐標.\/\

(3)若點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方(包括邊界)給好存在8個好點，求m的取FAr

值范圍.

解析

(1)將m=0代入二次函數(shù)解析式得y=+2,畫出函數(shù)圖象，從圖象上可得拋物線經(jīng)過點(0,2)和(1,1),從而

可得好點個數(shù).

(2)將m=3代入二次函數(shù)解析式得y=-(%-3尸+5,畫出函數(shù)圖象，由圖象可得拋物線上存在好點以及好點

坐標.

(3)由解析式可得拋物線頂點P(m>m+2),,從而可得點P在直線y=x+2上，由點P在正方形內(nèi)部，可得

0<m<2;結(jié)合題意分情況討論：①當拋物線經(jīng)過點E(2,1)時，②當拋物線經(jīng)過點F(2,2)時，將點代入二次函

數(shù)解析式，解之即可得m值，從而可得m范圍.

解Q)rm=0,

二二次函數(shù)表達式為：y=-/+2,畫出函數(shù)圖象如答圖1.

?.當x=0時,y=2;當x=l時,y=l;

，拋物線經(jīng)過點(0,2)和(1,1).

二好點有：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0)和(L1),共5個;

(2)解:,；m=3,

，二次函數(shù)表達式為：y=-(%-3尸+5,畫出函數(shù)圖象，如答圖2,

,當x=l時,y=l;當x=2時,y=4;當x=4時，y=4；

，拋物線上存在好點，坐標分別是(L1),(2,4)和(4,4);

⑶解二,拋物線頂點P(m,m+2),

.,.點P在直線y=x+2上.

?.點P在正方形內(nèi)部，

.■.0<m<2.

解得：加=手即2=/(舍去).

當拋物線經(jīng)過點F(2,2)時,

???—(2—m)2+m+2=2.

解得：m3=l,m4=4(舍去).

???當手W爪＜1時，頂點P在正方形OABC內(nèi)，恰好存在8個好點

精選練習

1已知平面圖形S,點P、Q是S上任意兩點，我們把線段PQ的長度的最大值稱為平面圖形S的"寬距".

例如，正方形的寬距等于它的對角線的長度.

(1)寫出下列圖形的寬距：

①半徑為1的圓:；

②如圖1,上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形"：；

⑵如圖2,在平面直角坐標系中，已知點A(-1,O)、B(1,O),C是坐標平面內(nèi)的點，連接AB、BC、CA所形成的圖形

為S,記S的寬距為d.

①若d=2,用直尺和圓規(guī)畫出點C所在的區(qū)域并求它的面積(所在區(qū)域用陰影表示)；

②若點C在。M上運動，OM的半徑為1,圓心M在過點(0,2)且與y軸垂直的直線上.對于。M上任意點

C,都有5<d<8,直接寫出圓心M的橫坐標x的取值范圍.

圖1圖2

2.定義:在平面直角坐標系中,對于任意兩點A(a,b),B(c,d),若點T(x,y)滿足.久=等,丫=詈，那么稱點T是點

A,B的融合點.

例如：2(—1，8),8(4,—2),，當點T(x,y)滿是比=三上=l,y=與2=2時，則點T(l,2)是點A,B的融合點,

Q)已知點A(-1,5),B(7,7),C(2,4),請說明其中一個點是另外兩個點的融合點;

(2)如圖，點D(3,0),點F(t-2t+3)是直線I上任意一點，點T(x,y)是點D,E的融合點

①試確定y與x的關(guān)系式；

②若直線ET交x軸于點H,當△DT”為直角三角形時，求點E的坐標.

6.1新概念題

精選練習

1.解:⑴①半徑為1的圓的寬距離為2,

故答案為2；

②如答圖1,正方形ABCD的邊長為2,設(shè)半圓的圓心為0,點P是。0上一點，連接0P,PC,0C.

在RtA0DC中，

0C=y/CD2+0D2=712+22=V5,

/.0P+0C>PC.

PC<1+45.

這個“窗戶形”的寬距為1+V5.

故答案為1+V5;

⑵①如答圖2中，點C所在的區(qū)域，面積為V32

答圖1答圖2答圖3

②如答圖3中，當點M在y軸的右側(cè)時，連接AM，作MT±x軸于點T.

ACWAM+CM,又5<d<8,

當d=5時.AM=4.

AT=yjAM2-MT2=2百,此時M（2V3-1，2）.

當d=8時.AM=7,