2024年中考數(shù)學(xué) 與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的問題復(fù)習(xí)講義

第七章與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的問題復(fù)習(xí)講義

講解平面動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問題，數(shù)學(xué)是動(dòng)態(tài)的，數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律可循的，也是近年來中考考

7.1與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的問題

解題策略與圓有關(guān)的軌跡

問題模型及解決方法

如圖點(diǎn)0為定點(diǎn),OP=a（a>0的常

點(diǎn)P的軌跡：點(diǎn)P是在以點(diǎn)0為圓心，以a長為半徑的圓上.

數(shù)），則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

軌跡特點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中到圖中某定點(diǎn)距離保持不變，這時(shí)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌

跡為圓（?。?

如圖，線段AB的長度固定不變，N

P=a（定角）,請問點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什

點(diǎn)的軌跡是以定線段為弦的兩段固定的圓弧.

么？PAB

軌跡特點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中與圖中某兩定點(diǎn)形成角度保持不變，這時(shí)

動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓（弧）.

精選例題

例1.如圖，在Rt△ABC中，BC=2,NBAC=30:斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動(dòng)，

求斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長？

解析

求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長度，關(guān)鍵是找出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑,題目中可知AB是Rt△（MB的斜邊,如果能確定A

B的長度不變，則OD的長度就不變，由此可確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑.

解在Rt△4BC中,

???BC=2,

ZBAC=30°

.-.AB=4.

連接OD.

在RfAOB中，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，

：.OD=2.

???在運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)D到點(diǎn)。的距離始終等于2,

，點(diǎn)D在以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng).

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)0重合時(shí)，點(diǎn)D在0M上，

當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)D在ON上，

，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑是以0為圓心，以2為半徑的圓周的

4

即點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑長為TT.

例2.如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點(diǎn)A、C分別在x軸，y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn),P(0,

m)是線段0C上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C除外)，直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；

⑶設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)0作直線ME的垂線，垂足為點(diǎn)H(如圖2).當(dāng)

點(diǎn)P從點(diǎn)。向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長.

解析

(1)點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，圍繞中點(diǎn)M,利用全等三角形的知識(shí)求解；點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，圍繞中點(diǎn)

M,也可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.

⑵題目中沒有明確說明哪兩條邊相等,所以分AP=AD,PD=PA,PD=DA三種情況，根據(jù)勾股定理即可求解；

(3)求點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長，關(guān)鍵是要確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，分析題目可發(fā)現(xiàn)NOHM=90。，其對邊0M不

變，滿足定弦定角模型.

解(1)方法一:由題意得CM=BM.

?.NPMC=NDMB,

.■.RtAPMC^RtADMB.

.■.DB=PC.

，DB=2-m,AD=4-m.

:點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4--m);

方法二:正方形OABC的邊長為2,M是BC的中點(diǎn)，可得點(diǎn)(2(0,2)力(2,2),171(1,2)2(0,0^),由方法1可得點(diǎn)M是

PD的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：

0+X。=1x2,久。=2.

m+yD=2X2,yD=4-m,

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4-m);

(2)由點(diǎn)P(0,m),D(2,4-m),A(2,0),

AP2=（0—2產(chǎn)+（m—0/=m2+4;

AD2=（4—m—0）2=m2—8m+16;

PD2=（2—0）2+（4—m—m）2=4m2-16m+20.

①如答圖1,以A為頂點(diǎn).

22

當(dāng)AP=AD時(shí)，AP=ADt

m2+4=m2—8m+16,

解之m=j,

??R的坐標(biāo)為（0?|）；

②以P為頂點(diǎn).

當(dāng)AP=PD時(shí),AP2=PD2,

m2+4=4m2-16m+20,

解之=|,m2=4（舍），

??巳的坐標(biāo)為（（o《）；

③以D為頂點(diǎn).

當(dāng)AD=PD時(shí),AD2=PD2,

m2-8m4-16=4m2-16m+20.

解之=|,m2=2（舍），

?十3的坐標(biāo)為（（。，|）.

，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（（o，|），（o,3或（。|）；

⑶1?點(diǎn)0、M固定〃?線段OM固定

?.OH±ME,.-.zOHM=90°,

，點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑，圓心為N的圓上運(yùn)動(dòng).

又??點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m)04m<2,

，點(diǎn)H的軌跡為圓上的一部分.

當(dāng)m=0時(shí)，拋物線的解析式為：y=-x2+3x,

求得點(diǎn)E(0,3),

求得ME的解析式為y=-x+3.

連接OB,根據(jù)正方形的性質(zhì)和直線ME,可求得H與0B和ME的交點(diǎn)G重合.答圖4

當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P、M、B三點(diǎn)在一條直線上,

，此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)C重合.

易求得NBOC=45°,

OM=V5.

R=NM=—.

2

連接NC,NG,

NCNG=90：

.?點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)的軌跡長度為：1=雷=骨.

解題策略平行線有關(guān)的軌跡

問題模型及解決方法

0

J0

1_

AB

1__________

AB

如圖，直線AB為一條定直線，直點(diǎn)P的軌跡為與定直線AB平行且距離等于定長a的兩直線.

線外一動(dòng)點(diǎn)P點(diǎn)P到直線AB的距離軌跡特點(diǎn)：Q)動(dòng)點(diǎn)是到某直線的距離保持不變；

為a(定值)，請問點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什(2)動(dòng)點(diǎn)軌跡是兩條直線，當(dāng)然動(dòng)點(diǎn)在定直線同一側(cè)時(shí)，只有一

么？條直線(或線段).

精選例題

例3.如圖，已知拋物線y=-/+法+c與x軸交于A(-1,O),B(3,O)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸與拋物線交于

點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M,連接PB.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得△QMB與△PMB的面積相等?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

備用圖

諭解析

(1)題目中拋物線有兩個(gè)未知系數(shù)且知道拋物線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，故用待定系數(shù)法求解，可觀察已知兩點(diǎn)的坐標(biāo),

采用雙根式較為簡單；

(2)由于等底等高的兩個(gè)三角形面積相等,△QMB與△PMB的面積相等,且兩個(gè)三角形有公共底邊MB,所

以只需要這兩個(gè)三角形的高相等即可又知夾在兩條平行線間的距離相等，即點(diǎn)Q在與直線BC平行的兩條直線上，

且這兩條平行線到直線BC的距離與APMB底邊MB上的高相等.

解Q)已知拋物線y=-x2+反+c與x軸交于4(-1，0),B(3,0)兩點(diǎn)

y=—(x+l)(x—3)=—x2+2x+3;

(2)解:由y=-x2+2x+3=—(x—1)2+4,

.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為Q,4).

對稱軸方程為x=1.

由點(diǎn)C(0,3),B(3,0),求得lBx'-y=-X+3,

代入x=1,

求得點(diǎn)M的坐標(biāo)Q,2).

PM=2,點(diǎn)M(l,2),

可求得對稱軸與x的交點(diǎn)坐標(biāo)D(1,0),貝!J.DM=2.

?sQMB與WMB的面積相等，

，點(diǎn)Q在過點(diǎn)P、D與直線BC平行的直線上.

以點(diǎn)P作平行線求解：

①點(diǎn)P作BC的平行線伉交拋物線與點(diǎn)Qz,則點(diǎn)Qz為所求的點(diǎn)，如答圖1.

設(shè)li,y=-x+b,

代入點(diǎn)P（L4）,4=-l+b,b=5,

即〃:y=—x+5.

y=—x+S,

聯(lián)立

y--x2+2x+3,

解得I；二氯/；（舍）

.Q的坐標(biāo)為（2,3）;

以點(diǎn)D作平行線求解.

②過點(diǎn)D作BC的平行線121,交拋物線與點(diǎn)Qz,Q3,則點(diǎn)QzQ3為所求的點(diǎn)，如答圖2.

設(shè)l2：y-x+b,

代入點(diǎn)D(1,O),

O=-l+b,

b=l,

即li-y=-x+1.

聯(lián)立"尸+1.答圖2

[y=—x2+2%+3,

_3+/17

=-2-'

3-V17

X=---2---

W2__

，Q的坐標(biāo)為（手，當(dāng)二），（手，夸B；

綜上,AQMB與WMB的面積相等的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2,3）,（土尹）當(dāng)二）或（三，旁，.

例4.如圖，在等邊AABC中,AB=10,BD=4,BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連接PD,以PD為邊，

在PD右側(cè)按如圖方式作等邊ADPF,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長是.

4?解析

求點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長，關(guān)鍵是確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑，由AABC和ADPF都是等邊三角形可以得到"一線三等

角"，由此得到點(diǎn)F到直線BC的距離與DE的數(shù)量關(guān)系，這樣可以的明確點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡.

解連接DE.

?.由BE=2,BD=4/B=60。，

易得DE±AB.

如答圖L過點(diǎn)F作FG,直線BC,垂足為點(diǎn)G;

?.zABC=zPDF=60°,

.?.zFDG+zPDB=120°.

.?.zDPB+zPDB=120°.

.?.zFDG=zDPB.

X-.PD=DF,

zPED=zDGF,

."PED當(dāng)DGF.

.-.DE=FG.

易求得DE=243=FG.

，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為在直線BC上方，與直線BC的距離為2百的一條平行線上（線段，即平行線的一部分）

移動(dòng)，如答圖2.

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E時(shí),此時(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)M處，此時(shí)ME_LBC.

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A時(shí),此時(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)N處.

，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為線段MN.

易得MD=FG=ED,FD=PD,

...△PED當(dāng)FMD.

.?.FM=PE.

二當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F由點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N油此可得MN=EA=8.

故答案為8

解題策略線段垂直平分線有關(guān)的軌跡

問題模型及解決方法

點(diǎn)AP的軌跡為線段AB的垂直平分線.

如A圖，線段AB為一條定線段，平面動(dòng)點(diǎn)到某定線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡：動(dòng)點(diǎn)在定線段的垂

上一動(dòng)點(diǎn)P,且PA=PB始終成立，問點(diǎn)直平分線上.

P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？軌跡特點(diǎn)：Q）動(dòng)點(diǎn)到某兩定點(diǎn)距離始終相等；

（2）軌跡是定線段的垂直平分線，是一條直線，若有范圍形成線段.

精選例題

例5.如圖△4BC中，AB>4C,,D、E分別在AB、AC上，且滿足.NBCD="BE,,BE、CD相交于。點(diǎn)，若NCOE

—N4,求證：BD=CE.

B-BB

答圖1答圖2

“解析

當(dāng)AOBC的形狀改變時(shí)，滿足NBCD=/CBE,結(jié)合等腰三角形的三線合一，進(jìn)而得到點(diǎn)0的軌跡為BC的垂直

平分線，利用全等找到等量線段作橋梁，從而得到結(jié)論.

解證明:〔2BCD=NCBE,

."BOC為等腰三角形.

，點(diǎn)。始終在線段BC的垂直平分線上.

.-.BO=CO.

在BE上取一點(diǎn)F,且OF=OD(點(diǎn)F與點(diǎn)D在BC垂直平分線的兩側(cè)).

X/zCOF=zBOD,

OC=OB,

.-.ACOF^ABOD.

.'.CF=BD.

zOCF=zOBD.

.NCFE=NCOE+NOCF,

zCEF=zA+zABE,

又.NCOE=NA,

..NCFE=NCEF.

.“CEF是等腰三角形.

.-.CE=CF=BD.

解題策略與角平分線有關(guān)的軌跡

問題模型及解決方法

A

點(diǎn)P的軌跡為NAOB的角平分線.

如圖/AOB為一定角，點(diǎn)P是NA

動(dòng)點(diǎn)到某角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡在角的平分線上.

0B內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到角兩邊的距離

軌跡特點(diǎn)：(1)動(dòng)點(diǎn)到某角兩邊距離始終相等；

相等，問點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

⑵軌跡是已知角的平分線，是一條射線.

精選例題

例6.如圖1,直線y=-9+3與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C(m,n)是第二象限內(nèi)任意一點(diǎn)，

以點(diǎn)C為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)E,與直線AB相切于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)四邊形OBCE是矩形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若圓C與y軸相切于點(diǎn)D,求圓C的半徑r;

(3)求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式.

圖1圖2

解析

Q)由相切和矩形可知圓C的半徑，CE，x軸，所以只需求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，也就是BC的長度，可構(gòu)造直角

三角形，應(yīng)用全等求解即可.

(2)此時(shí)圓C分別與x軸、y軸、直線AB相切，n=-m,求此時(shí)圓的半徑就可轉(zhuǎn)化為求m的值，同Q)類似，

可借助相似求解.

(3)圓C與x軸和直線AB相切，即CE=CF,能想到角平分線嗎？

(1)(2)問中所有的點(diǎn)必在角平分線上，從而用待定系數(shù)法求出該直線的解析式，即可得到m與n之間的關(guān)系.

解Q)由直線y=—：%+3可求得A(4,0),B(0,3),OA=4QB=3,AB=5.

由點(diǎn)C(m,n)是第二象限內(nèi)任意一點(diǎn)，可得m<0,n>0.

如答圖L連接CE,CF,CB.

1?四邊形OBCE是矩形，

，CE=CF=0B=3,且CE_Lx軸.

.■.n=3.

,「BCllx軸，

..NFBC=NOAB.

X-.CF=B0=3,

zCFB=zBOA=90°,

.1△CFB%0AB.

.-.BC=AB=5.

，m=-5.

即當(dāng)四邊形OBCE是矩形時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-5,3);

⑵如答圖2,連接CE,CF,CD并延長交AB于點(diǎn)M.

???四邊形OBCE是正方形，

；.CE=CF=CD,且CEJ_x軸.

，由C(m,n)且在第二象限可得n=-m,即C(m,-m).

rMCllx軸,

.-.zFMC=zOAB.

X-.zCFM=zBOA=90°,答圖2

.?.△CFMSABOA.

CF_CM

''BO~BA

7M=yc=n=一血,代入y=+3,可得xM=4+-m,

CM=—xc=4+-m.

CF=-m=r.

.-m_4+》

,,—?

35

解得m=-2.

即此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2),

:.r-2;

(3)如答圖3；.CE=CF,

CE±xffl,CF±AB,

二點(diǎn)C在NB40的角平分線上，且點(diǎn)C在第二象限.

，點(diǎn)C的軌跡為一條射線(無端點(diǎn)).

設(shè)角平分線的解析式為y=kx+b,

由(1)(2)問可知((-5,3)(-2,2)在角平分線上，代入得：

｛廣一猊？解得卜了

12=-2k+b.|人=3

答圖3

即y=-1x+1

14

???n=--m+-(m<0).

精選練習(xí)

1.如圖，正方形ABCD的邊長為2,將長為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng).若點(diǎn)Q

從點(diǎn)A出發(fā)按點(diǎn)ATB—C—D—A滑動(dòng)到點(diǎn)A止,同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)按點(diǎn)B-C—D-ATB滑動(dòng)到點(diǎn)B止,

在這個(gè)過程中，線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為()

2.已知等邊三角形ABC邊長為6,動(dòng)點(diǎn)D,E分別在AC、BC上,同時(shí)從一個(gè)端點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)端點(diǎn)止，速

度相同，線段AE和BD相交于點(diǎn)P,動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為.

3.如圖所示,在矩形ABCD中，AB=4,AD=6?E是AB邊的中點(diǎn),F是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF

所在的直線折疊得到△EPF”連接PD,則PD的最小值為.

4.如圖,正方形ABCD的邊長為2,M是AD的中點(diǎn).點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.連接EM并延

長交射線CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G,連接EG、FG.

(1)設(shè)AE=元寸，△EGF的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍；

(2)P是MG的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線長.

7.1與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的問題

精選練習(xí)

1.解析：類似于點(diǎn)的軌跡為圓例題1,點(diǎn)Q、R只有在正方形頂點(diǎn)處，點(diǎn)M為各邊的中點(diǎn)，除此外，當(dāng)點(diǎn)Q、

R在相鄰兩邊時(shí)AM=BM=CM=DM=1,所以點(diǎn)M的軌跡為四條半徑為1、圓心角為90。的圓弧，所以點(diǎn)M所經(jīng)過

的路線圍成的圖形的面積為4*當(dāng)手=兀,故答案為C.

2.解:：ZBAD=ZACE=60°,AD=CE,AB=CA,

AABD^ACAE.

ZABD=ZCAE.

ZBPE=ZABD+

Z.BAP=^CAE+Z.BAP=^BAD=60°.

???乙4PB=120。,隨著點(diǎn)D、E的移動(dòng),/APB=120。不變，且AB為固定的邊，滿足定弦定角模型.

???點(diǎn)P在以AB為弦的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，同點(diǎn)的軌跡為圓類似，可求得圓的半徑OB=28,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

軌跡圓弧所對的圓心角為120,動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為12。：：：舊=竽兀