2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：一元一次不等式(組)及其應(yīng)用

第08講一元一次不等式（組）及其應(yīng)用

目錄

題型05一元一次不等式整數(shù)解問

一、考情分析

題

二、知識建構(gòu)

題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的

考點一不等式及不等式的基本性質(zhì)

情況求參數(shù)的取值范圍

題型01不等式的概念及意義

題型07與一元一次不等式有關(guān)的

題型02列不等式

新定義問題

題型03取值是否滿足不等式

題型08含絕對值的一元一次不等

題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式

式

子正負(fù)

題型09不等式與方程組綜合求參

題型05根據(jù)點在數(shù)軸位置判斷式

數(shù)的取值范圍

子正負(fù)

考點三一元一次不等式組

題型06利用不等式的性質(zhì)比較大

題型01一元一次不等式組定義

小

題型02解不等式組

題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）

題型03求不等式組整數(shù)解

等式

題型04由不等式組整數(shù)解求字母

題型08利用不等式的性質(zhì)確定參

取值范圍

數(shù)的取值范圍

題型05由不等式組的解集求參數(shù)

題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用

題型06與不等式組有關(guān)的新定義

考點二一元一次不等式

問題

題型01判斷一元一次不等式

題型07根據(jù)程序圖解不等式組

題型02根據(jù)一元一次不等式求參

題型08不等式組與方程的綜合

數(shù)值

考點四不等式（組）的實際應(yīng)用

題型03求一元一次不等式解集

題型oi利用一元一次不等式解決

題型04利用數(shù)軸表示一元一次不

實際問題

等式解集

題型02利用一元一次不等式組解

決實際問題

考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

不等式及不等式的>結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探中考數(shù)學(xué)中，一元一次不等式（組）的

基本性質(zhì)索不等式的基本性質(zhì)解法及應(yīng)用題時有考察.其中不等式性

一元一次不等式>能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能

質(zhì)、解一元一次不等式（組），通常是以選

在數(shù)軸上表示出解集

擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.而不

一元一次不等式組>會用數(shù)軸確定兩個一元一次不等式組成

等式（組）相關(guān)的應(yīng)用題常會和其它考點

的不等式組的解集.

（如二元一次方程組、二次函數(shù)等）結(jié)合考

察，常以解答題形式出現(xiàn)，此時難度上升,

不等式（組）的實

需要小心應(yīng)對.對于一元一次不等式（組）

際應(yīng)用>能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一

元一次不等式，解決簡單的問題.中含參數(shù)問題，難度偏大，但是考察幾率

并不大，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)在復(fù)習(xí)過程

中扎實掌握.

不等式的定義：用不等

號”＞，，，￡，，"＜，，，，M,，，￥，，表示不等關(guān)系的式

子，叫做不等式.

不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.

不

題型不等式的概念及意義

等不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個01

題型列不等式

式不等式的解集.02

題型03取值是否滿足不等式

及

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù)

不

題型05根據(jù)點在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù)

等解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小

式若a>b,貝［Ja±c>b±c題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）等式

的題型08利用不等式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍

若a<b,則a士c<b±c

基★題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用

本若4>b,c>0,則（或且>2）

性cc

質(zhì)

若心瓦cvO,則…（或段）（易錯）

不等式的左右兩邊都是整式

特征只含有一個未知數(shù)題型01判斷一元一次不等式

題型02根據(jù)一元一次不等式求參數(shù)值

元未知數(shù)的最高次數(shù)是

1題型03求一元一次不等式解集

一題型04利用數(shù)軸表示一元一次不等式解集

去分母不等式性質(zhì)2、3題型05一元一次不等式整數(shù)解問題

次

去括號分配律去括號法則題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的情況求參數(shù)的

不取值范圍

步驟移項不等式性質(zhì)1

等題型07與一元一次不等式有關(guān)的新定義問題

題型08含絕對值的一元一次不等式

式合并同類項合并同類項法則

題型09不等式與方程組綜合求參數(shù)的取值范圍

1系數(shù)化為1不等式性質(zhì)2、3

組

}

概念：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起,

及組成一元一次不等式組.

其

一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部

題型01一元一次不等式組定義

應(yīng)

分，叫做由它們所組成的不等式組的解集.題型02解不等式組

用

數(shù)軸法取公共部分題型03求不等式組整數(shù)解

題型04由不等式組整數(shù)解求字母取值范圍

不等式組解集的確定有兩種方法大大取大題型05由不等式組的解集求參數(shù)

小小取小題型06與不等式組有關(guān)的新定義問題

口訣法題型07根據(jù)程序圖解不等式組

大小、小大中間找題型08不等式組與方程的綜合

大大、小小取不了

解一元一次不等式組的一般步驟

題型01利用一元一次不等式解決實

?元一次不等式（組）的應(yīng)用題的關(guān)鍵語句際問題

不等式（組）的實際應(yīng)用用一元一次不等式（組）解決實際問題的步驟題型02利用一元一次不等式組解決

實際問題

考點一不等式及不等式的基本性質(zhì)

■夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

一、不等式的相關(guān)概念

不等式的定義：用不等號“>"、2"、“<”、"W”或“尹’表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.

不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.

不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.

不等式■示>>ax<?x^asCa

數(shù)“集示￡"*二A-K1?

aoaa

解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

二、不等式的性質(zhì)

基本性質(zhì)1若cob,則a±c>b±c

若a<b,則a±c<b±c

基本性質(zhì)2若a>b,c>0,則ac>bc（或，>g）

基本性質(zhì)3若a>b,c<0,貝！］ac<bc（或/<?）

易混易錯

1.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系.

2.常見的不等號有：r,>,2,<,4五種.

3.用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓點.

4.不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：

1）不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值.

2）不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值.

3）不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解.

5.在列不等式時，要注意抓住問題中的一些關(guān)鍵詞語，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.

同時要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號.另外，對一些實際問題的提示還要注意結(jié)合實際.

6.運用不等式的性質(zhì)的注意事項：

1）不等式兩邊都要參與運算，并且是作同一種運算.

提升-必考題型歸納

題型01不等式的概念及意義

［例1］以下表達式：①4%+3yW0；②a>3；③/+孫；④。？+抑=02；⑤乂力5.其中不等式有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【提示】根據(jù)不等式的定義進行判斷即可.

【詳解】解：a+6、a>3.xK5是不等式，x2+xy和a?+及=02不是不等式，

即不等式有3個，故B正確.

故選：B.

【點撥】本題主要考查了不等式的定義，熟知用不等號連接的式子是不等式是解本題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2023湖里區(qū)模擬）某養(yǎng)生鈣奶飲料中的包裝瓶上標(biāo)注“每100克內(nèi)含鈣>150毫克”，它的含

義是指（）

A.每100克內(nèi)含鈣150毫克

B.每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克

C.每100克內(nèi)含鈣高于150毫克

D.每100克內(nèi)含鈣不超過150毫克

【答案】C

【提示】“>”就是大于，在本題中也就是“高于”的意思.

【詳解】解：根據(jù)〉的含義，“每100克內(nèi)含鈣>150毫克”，就是“每100克內(nèi)含鈣高于150毫克”，

故選：C.

【點撥】本題主要考查不等號的含義，是需要熟練記憶的內(nèi)容.

題型02列不等式

【例2】（2020.河北統(tǒng)考模擬預(yù)測）下面列出的不等式中，正確的是（）

A.“租不是負(fù)數(shù)”表示為TH>0B.“TH不大于5”表示為TH<5

C.與4的差是正數(shù)”表示為九-4>0D.“幾不等于4”表示為幾>4

【答案】C

【提示】根據(jù)題意列出不等式即可判斷.

【詳解】A,初不是負(fù)數(shù)，

-，-m>0,A選項錯誤；

B.".'m不大于5,

.,.m<5,B選項錯誤；

C：?”與4的差是正數(shù)，

?,.n-4>0,C選項正確；

D./??不等于4,

''n<4或〃>4,D選項錯誤.

故選：C.

【點撥】本題考查了由題目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四個選項的正誤是解題的關(guān)鍵.

【變式2-D2023?甘肅隴南?統(tǒng)考二模閆鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500米若

用x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，貝k滿足的關(guān)系為（）

A.%<3500B.%<3500C.x>3500D.%>3500

【答案】D

【提示】根據(jù)題意列出不等式即可求解.

【詳解】解：,.?烏鞘嶺主主峰海拔超過3500米.

/.X>3500,

故選：D.

【點撥】本題考查了不等式的定義，理解題意是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2023南寧市模擬）”是非負(fù)數(shù)的表達式是（）

A.a>0B.|a|>0C.a<0D.a>0

【答案】D

【提示】非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和零，即大于等于零的數(shù)是非負(fù)數(shù)判斷即可.

【詳解】?一是非負(fù)數(shù),

:.a>0,

故選：D.

【點撥】本題考查了非負(fù)數(shù)，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵，易錯點是忽略零而導(dǎo)致錯誤.

題型03取值是否滿足不等式

[例3]（2023.河北保定.統(tǒng)考二模）在-或，-2,1,-3四個數(shù)中，滿足不等式廣-2的有（）

A.-2B.-3C.-V2D.1

【答案】B

【提示】根據(jù)各數(shù)的大小即可做出判斷.

【詳解】在一VX—2,1,—3四個數(shù)中，一/>—2,—2=—2,1>—2,—3<—2,

故滿足不等式X<-2的有-3,

故選：B

【點撥】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2021?四川南充?統(tǒng)考中考真題）滿足％<3的最大整數(shù)x是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【提示】逐項提示，求出滿足題意的最大整數(shù)即可.

【詳解】A選項，1<3,但不是滿足比<3的最大整數(shù)，故該選項不符合題意，

B選項，2<3,但不是滿足久<3的最大整數(shù)，故該選項不符合題意，

C選項，3=3,滿足x<3的最大整數(shù)，故該選項符合題意，

D選項，4〉3,不滿足x<3,故該選項不符合題意，

故選：c.

【點撥】本題較為簡單，主要是對不等式的理解和最大整數(shù)的理解.

【變式3-2]（2023?廣東東莞?東莞市厚街海月學(xué)校校考模擬預(yù)測）當(dāng)久=4時，不等式成立的是（）

A.%+1<4B.-x>2C.2%+1<5D.3%-2>9

【答案】D

【提示】將％=4分別代入四個選項中，看不等式是否成立即可.

【詳解】A選項：當(dāng)久=4時，x+1=5>4,不符合題意；

B選項：當(dāng)久=4時，（x=2,不符合題意；

C選項：當(dāng)x=4時，2%+1=9>5,不符合題意；

D選項：當(dāng)久=4時，3x-2=10>9,符合題意；

故選D.

【點撥】本題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵.

方法技巧

要判斷某個未知數(shù)的值是不是不等式的解可直接將該值代入不等式的左、右兩邊，看不等式是否成

W共成立皿1星差皿|木星

題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù)

[例4]（2023?湖南長沙?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）如果x<-3,那么下列不

等式成立的是（）

A.x2>-3xB.x2>-3xC.x2<-3%D.x2<—3x

【答案】A

【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解:因為久<-3,

所以久2>-3%（不等式的兩邊同時乘同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變）.

故選：A.

【點撥】本題考查不等式的基本性質(zhì):（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個式子，

不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式的

兩邊同時乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

【變式4-1］（2023.湖南常德.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a>b,則下列不等式變形不正確的是（）

A.CL-2>b—2B.—2a）—2bC.a+2>b+2D.

【答案】B

【提示】①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②

不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）

同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.根據(jù)不等式的性質(zhì)進行提示即可.

【詳解】解：A.a>6,不等式的性質(zhì)1，。-2>b-2,故A正確，不符合題意；

B.a>b,不等式的性質(zhì)3,-2a<-2b,故B錯誤，符合題意；

C.a>b,不等式的性質(zhì)1,a+2>b+2,故C正確，不符合題意；

D.a>b,不等式的性質(zhì)2,T>，故D正確，不符合題意；

故選：B.

【點撥】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是要注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等

號的方向改變.

【變式4-2］（2023?浙江嘉興統(tǒng)考二模）已知a,b,c,d是實數(shù),S.a-b>c-d，下列說法一定正確的是（）

A.若b=d.,貝?。輆>cB.若a=c，則

C.若b>d，則a>cD.若a〉c，則

【答案】A

【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項提示判斷即可求解.

【詳解】解：A.若b=d,a-b>c-d,貝?。輆>c,故該選項正確，符合題意；

B.若a=￡?,61-6><?-￡?,則6<6（,故該選項不正確，不符合題意；

C.若6>d,則a>c不一定成立，例如a-2,c-1,2>l;b=2,d=l,b>d,則a一b=c-d,故該選

項不正確，不符合題意；

D.同C選項，可得，若a>c,則6>d不一定成立，故該選項不正確，不符合題意；

故選：A.

【點撥】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.不等式的性質(zhì)：不等

式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式的基本

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式

的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

【變式4-3]（2023?浙江杭州?杭州市豐潭中學(xué)校考三模）設(shè)》,y,c為實數(shù)，貝U（）

A.若x>y,貝！J%+3c>y—2cB.若%>y,貝!>yc

C.若1>y,貝he2>yc2D.若2>W,貝！R>y

【答案】D

【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)進行運算辨別即可.

【詳解】解：若x>y,%+5c>y不一定成立，即x+3c>y-2c不一定成立，

故選項A不符合題意；

若%>y,c=0時,xc=yc,

故選項B不符合題意；

若x>y,c=0時，貝！]xc2=yc2,

故選項C不符合題意；

若.>~i'則c?>0,故x>y,

故選項D符合題意.

故選：D.

【點撥】此題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的變化正確選擇對應(yīng)的性質(zhì).

題型05根據(jù)點在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù)

[例5]（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考一模）實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子中正確的是

（）

cb0a

A.—a—c>—b—cB.ac>beC.\a-b\=a—bD.a<—b<—c

【答案】C

【提示】借助數(shù)軸上實數(shù)的位置關(guān)系結(jié)合相反數(shù)和絕對值的知識點，判斷大小，逐一驗證.

【詳解】解：A.由圖知：a>6,那么-a<-b,-a-c<-b-c,故選項錯誤，不符合題意；

B.由圖知：a>b,c<0,那么ac<cb,故選項錯誤，不符合題意；

C.由圖知：a>b,那么a-6>0,|a-6|=a-6,故選項正確，符合題意；

D.由圖知：|a|>聞，|a|>|c|,a>0,c<b<0,那么a>-c>-b,,故選項錯誤，不符合題意.

故選:C.

【點撥】本題考查了數(shù)軸，實數(shù)，絕對值，相反數(shù)的大小比較，注意符號的變化對數(shù)值的影響.

【變式5-1]（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上的點A和點B分別在原點的左側(cè)和右側(cè)，點A.B對

應(yīng)的實數(shù)分別是A6,下列結(jié)論一定成立的是（）

AB

------111------>>

a-0-------------b

A.a+6<0B.b—a<0C.-2a>—2bD.|a|>\b\

【答案】C

【提示】由數(shù)軸可得a<0<b,\a\<\b\,再結(jié)合有理數(shù)的加法與減法法則及不等式的性質(zhì)，絕對值的含

義逐一提示即可.

【詳解】解：-a<0<b,\a\<\b\,故D不符合題意;

-'-a+b>0,b-a>0，故A,B不符合題意；

,/a<b,

2a>-2b,故C符合題意；

故選c.

【點撥】本題考查的是利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小，有理數(shù)的加法與減法法則的應(yīng)用，絕對值的含義，不等

式的性質(zhì)，掌握基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2022.江蘇鎮(zhèn)江.統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點A和點B分別在原點的左側(cè)和右側(cè)，點A.B

對應(yīng)的實數(shù)分別是A.b,下列結(jié)論一定成立的是（）

a0b

A.a+6<0B.b—a<0C.2a>2bD.

【答案】D

【提示】依據(jù)點在數(shù)軸上的位置，不等式的性質(zhì)，絕對值的意義，有理數(shù)大小的比較法則對每個選項進行

逐一判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解:由題意得：a<O<b,且|a|<\b\,

--a+b>0,/.A選項的結(jié)論不成立；

b-a>0,/.B選項的結(jié)論不成立；

2a<2b,:.C選項的結(jié)論不成立；

a+2<b+2,.'.D選項的結(jié)論成立.

故選：D.

【點撥】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)大小的比較法則，利用點在數(shù)軸上的位置確定出。，6的

取值范圍是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3]（2023.福建福州.福建省福州延安中學(xué)校考三模）如圖所示，數(shù)軸上有。、A.B.C四點位置與各

點所表示的數(shù)，若數(shù)軸上有一點D,D點所表示的數(shù)為d,|d-5|=|d-c|,則。點的位置（）

AcB

IIII

-5c05

A.在A的左邊B.在4C之間C.在CO之間D.在O、8之間

【答案】D

【提示】結(jié)合絕對值的幾何意義進行求解即可.

【詳解】解：由題意，點B表示的數(shù)為5，點C表示的數(shù)為c,

-D點所表示的數(shù)為d,且|d-5|=|d-c|,

二根據(jù)絕對值的幾何意義得：D點到B點的距離等于D點到C點的距離，

二。點為BC的中點，則D點表示的數(shù)d=等，

由題意，—5<c<0,則。<<|,

??-0<d<］即。點的位置在0、B之間，

故選：D.

【點撥】本題考查絕對值的幾何意義，以及不等式的性質(zhì)等，理解并熟練運用絕對值的幾何意義是解題關(guān)

鍵.

【變式5-4］（2023?河北石家莊?石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）m,〃在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示,

下列各式正確的是（）

-------1----------1--------1------------?

mn0

A.x<x—n<x—mB.x—n<x<x—m

C.x—m<x—n<xD.…_

【答案】A

【提示】數(shù)軸上右邊點表示的數(shù)比左邊點表示的數(shù)大，運用不等式的基本性質(zhì)求解.

【詳解】如圖，6<71<。

/.0<—n<—m

.,.x<x—n<x—m

故選A.

【點撥】本題考查利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小、不等式的基本性質(zhì)；注意不等式兩邊同乘一個負(fù)數(shù)，不等號

反向.

題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小

［例6］（2022?浙江麗水?統(tǒng)考一模）數(shù)m,m+1,-m-2（m>0）的大小順序是（）

A.—m—2<m<m+lB.—m—2<m+l<m

C.m<m+1<—m—2D.m<—m—2<m+1

【答案】A

【提示】根據(jù)m>0,判斷出其余各數(shù)的大小關(guān)系.

【詳解】m>0

???—m<0

???—m—2<—2

???m+1>m

故選：A.

【點撥】本題考查了有理數(shù)的比較大小，解題的關(guān)鍵在于通過小>0,判斷出各個數(shù)的范圍大小.

【變式6-1](2022.浙江杭州.統(tǒng)考一模)已知M=x2-2x+4,N=x2-4x+4,請比較M和N的大小.

以下是小明的解答：

-：M=(%-I)2+3>3,Af=(%-2)2>0,

：.M>N.

小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答.

【答案】有錯；久>0時，M>N；x=0時，M=N；尤<0時，M<N；

【提示】先求出加與N的差，根據(jù)不等式的性質(zhì)對M與N的差進行分類討論即可求解.

【詳解】解：有錯，正確解答如下.

'.'M=%2-2%+4,=%2-4%+4,

.'.M—N=%2—2%+4—(x2—4x+4)=2萬.

.?.當(dāng)尤>0時，2x>0,即M—N>0,此時M>N；當(dāng)x=0時，2x=0,即M—N=0,此時M=N；當(dāng)x<0時，

2x<0,即M-N<0,此時M<N.

.-.X>0時，M>N；x=0時，M=N；x<0時，M<N.

【點撥】本題考查作差法比較大小，不等式的性質(zhì)，正確應(yīng)用分類討論思想是解題關(guān)鍵.

40.(2021.江蘇南京.南師附中樹人學(xué)校?？家荒?閱讀：

(1)若。<6,則2a-3<26-3,簡述理由:

小明的解法：,.Z<b,

??-2a<2/7,(不等式性質(zhì)2:),

-'-2a-3<2Z;-3,(不等式性質(zhì)1).

小亮的解法：令y=2x-3,

'.'k=2>0,

隨x的增大而增大.

.,a<b,

：2a■3<2Z?■3.

小敏的解法：

■-a<b,觀察函數(shù)y=2x-3的圖象可知，圖象上點(a,2a-3)在點(b,26-3)的左邊，而圖象由左往

右呈上升趨勢，

:2a-3<2Z?-3.

(2)若a<6<0,請用兩種不同的方法比較-:與-捐勺大小.

(3)若。<6<0,比較(a+2)2+1與(b+2)2+1的大小，簡述理由.

(4)若a<6<0,且W-2,厚-2,直接寫出-”與-怒的大小關(guān)系.

【答案】(1)不等式兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等號方向不變；(2)見解析，-2<：；(3)見解析；(4)

ab

2a+l2匕+1、［/c,八2a+l2匕+1

當(dāng)-2<a<Z?<0和4<。<-2時,一罰"百；當(dāng)“<-2<八0時，-

【提示】(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)回答即可；

(2)方法一：利用作差法比較；方法二：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較；

(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較；

(4)利用作差法比較即可.

【詳解】解：(1)不等式兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等號方向不變；

/c、-14—、+12,2、2222_2a2b

(2)方法1：—展_(_/=_/+3=3

aabab

2-)

ab

'.'a<b<0,

.,.ab>0,a-b<0,

「.2(〃-Z?)<0,

■,^-^1<0

方法2:令y=-￡

'.'k=-2<0,

二在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

'.'a<Z?<0,

;

ab

(3)令廣。+2)2+1,則該二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=-2且開口向上.

二當(dāng)x<-2時，y隨著A-的增大而減??；當(dāng)x>-2時，y隨著x增大而增大.

'.'a<b<0t

.,.當(dāng)a<b<-2時，3+2>+1>3+2產(chǎn)+1;

當(dāng)-2<〃<b<0時，3+2>+1<(Z?+2)2+l；

當(dāng)a<-2<b<0且|。+2|<族+2|時，(〃+2)?+1<(Z?+2)2+l.

3(b—a)

2(a+2)(匕+2)

'：a<b<0,

.b-a>0,

當(dāng)-2<a<Z?<0時，..,〃+2>0,Z?+2>0，.二----->-----；

口，，'2a+42匕+4，

當(dāng)a<-2<時，?.,〃+2<0，/?+2>0,-——<-;

b<02a+42。+4

、［/,-_Lc八1r\2(1+12匕+1

當(dāng)a<6<-2n時,'.'o+2<0,Z?+2<0,----->-----；

2a+42b+4

綜上可知，當(dāng)-2<a<b<0和a<6<-2時，-猊*裝；當(dāng).<一2<b<0時，一篇一瑞.

【點撥】本題考查了不等式的性質(zhì)，分式的加減，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作差法比較代數(shù)式的大小，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)

是解答本題的關(guān)鍵.

方法技巧

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可知比較兩個數(shù)或式子的大小可以通過求它們的差來判斷.如果兩個數(shù)或

式子分別為機和〃，若m-n>Q,貝！]m>n；若m-n=O,貝！|；若m-n<Q,貝!]m<n.

題型07利用不等式的性質(zhì)證明(不)等式

【例7】(2022?江蘇南京.南師附中樹人學(xué)校?？级７?jù)不等式的性質(zhì)若％-y>0,則乂>y若x-y<0,

則％<y.利用上述方法證明：若踐<0,則蜉>三|.

【答案】見解析

【提示】先求出I-蘭=7一，根據(jù)”0，得出n-1<0，從而得出"5-1)>0,即7一>0,從

TL71—1?1Q71—1)1)

而證明結(jié)論.

【詳解】證明：匚-F

Tlit—1

(n—I)2—n(n—2)

n(n—1)

1

n(n—1)

.n<0,

?-72—1<0,

:.n(jt—1)>0,

.n-ln-2

,?-->---.

nn-l

【點撥】本題主要考查了分式加減運算的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運算法則.

【變式7-1](2019上?江西贛州?九年級校考期中)學(xué)以致用：問題1:怎樣用長為12cm的鐵絲圍成一個面

積最大的矩形？

小學(xué)時我們就知道結(jié)論：圍成正方形時面積最大，即圍成邊長為3cM的正方形時面積最大為9cm2.請用你

所學(xué)的二次函數(shù)的知識解釋原因.

思考驗證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個面積為97n2且周長最小的矩形?

小明猜測：圍成正方形時周長最小.

為了說明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的材料：

結(jié)論：在a+6》2Vab(axb均為正實數(shù))中，若為定值p,則a+b>25,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，a+b有

最小值2四.

a+b》2而(a,b均為正實數(shù))的證明過程：

對于任意正實數(shù)a、b,(Va-迎)2>0,.,.a-2y/ab+b》0,

a+b>,當(dāng)且僅當(dāng)a=。時，等號成立.

解決問題：

(1)若久>0,貝次+:>—(當(dāng)且僅當(dāng)x=—時取“=”)；

(2)運用上述結(jié)論證明小明對問題2的猜測；

(3)當(dāng)x>-1時，求y=詈的最小值.

【答案】(1)4,2；(2)見解析；(3)2

【提示】(1)根據(jù)題意，由a+b》24ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立；即可解決問題；

(2)設(shè)矩形的長、寬分別為x、y,由題意得xy=9,再根據(jù)公式證明當(dāng)x=y時，x+y有最小值，進而得結(jié)

論；

(3)把丫=詈轉(zhuǎn)化為y=X+1+±-2的形式,再根據(jù)公式進行解答便可.

【詳解】解：(1)?.?x>0,

X>0,

:當(dāng)％=:時，即％=2時，

-》2新!，即尤+5》4；

故答案為4；2.

(2)設(shè)矩形的長、寬分別為符”、ym,由題意得盯=9,貝?。?/p>

x+y》2yfxy，即x+y》6,

當(dāng)x-y=3時,x+y取最小值為6,

此時矩形的周長最小為：2(%+y)=12；

???尤=y時，矩形變?yōu)檎叫危?/p>

二鐵絲圍一個面積為9n?且周長最小的矩形，所圍成正方形時周長最??；

/xX2+3(X+1—1)2+3(x+l)2—2(x4-1)+4..40

Jx+1x+1x+1x+1

X>—1,

4

.?.x+l>0,—>0,

y>2](x+1)?六—2,即y>2,

:當(dāng)x+1=9?時，即比=1時，

y取最小值為：2.

【點撥】本題是一個閱讀材料題，主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)

鍵是讀懂題意，弄清解答的理論依據(jù)，學(xué)會對新知識進行拓展應(yīng)用，難度較大，第(3)題關(guān)鍵是把求出

函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為兩個恰當(dāng)?shù)恼龑崝?shù)的和形式，才能應(yīng)用公式.

【變式7-2](2022.山東日照.日照市新營中學(xué)?？级?2002年國際數(shù)學(xué)大會的會徽設(shè)計的基礎(chǔ)是公園3

世紀(jì)中四數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理繪制的弦圖(如圖1),該圖蘊含著豐富的不等關(guān)系，例如，正方形的

面積大于4個直角三角形的面積之和…

設(shè)直角三角形的邊長為a,b,則S正方形>4SRTA,(a2+b2)>4Qab^,即a?+b2>2ab；

當(dāng)a=匕時，中間小正方形收縮為一個點，此時正方形的面積每于4個直角三角形的面積之和，即a?+匕2=

4Qab^=2ab,

綜上所述，a?+爐22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時等號成立.

使用上述結(jié)論，“02+爐22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”解決下列問題：

⑴證明：“若a,6為正實數(shù)，貝必+622<ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”.

（2）a/均為實數(shù)，若ab為定值4,則a+b有最小值________；若。+6為定值6，則ab有最大值__________.

⑶請結(jié)合函數(shù)圖象（圖2）研究y=%+［中函數(shù)值y的取值范圍.

（4攻口圖3，已知尸是反比例函數(shù)y=>0）圖象上任意一動點,0（0,0）,4（一1,a）,其中。是常數(shù),a>0,

試求SAP%的最小面積（用a表示）.

【答案】（1）見解析

⑵當(dāng)a>0,b>0時,a+6的最小值為4,當(dāng)a<0,b<0時，a+。沒有最小值；9

（3）y>2或y<-2

⑷

【提示】（1）利用a?+22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立進行求解即可；

（2）利用（1）中的結(jié)論求解即可；

（3）分當(dāng)%>0時，%+匕2口，當(dāng)x<0時，（r）+222/（-*）?六,兩種情況討論求解即可；

%7%（-%）7（一%）

（4）如圖所示,過點P作軸于C,過點A作A3_Lx軸于B,設(shè)點P的坐標(biāo)為［,|）,則點C的

坐標(biāo)為（x,。），點8坐標(biāo)為（-1,。），然后根據(jù)SAPOA=S燧#”口“—SAAOB一5心”建立關(guān)系式，再由（1）

中結(jié)論求解即可.

【詳解】（1）解：*2+6222ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,

」.（6）+（VF）>2y/~ab,

「.a+b>當(dāng)且僅當(dāng)返=VF即a=b時等號成立

（2）解：若仍為定值4時，

當(dāng)a>0,b>。時，<a+b>2Vab,ab=4,

--Ct+bN4,

此時a+b的最小值為4,

當(dāng)a<0zbV。時，「（一a）+（—b）>2J（—a）（—b）,

一（a+b）之4,

「.a+b4一4t

,此時a+6沒有最小值；

若a+b為定值6,則a"不可能都小于0,因此要使aM直最大，只需要討論當(dāng)a、b都是正數(shù)的情況即可,

當(dāng)當(dāng)a>0,b>0時，:a+&>2Vab,a+b=6,

/.2Va&<6,

.'.ab<9,

一?ab的最大值為9；

(3)解：當(dāng)%>。時tx+->2lx--,即％+->27

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