2024年中考數(shù)學復習：函數(shù)找規(guī)律題復習講義

函數(shù)找規(guī)律題復習講義

與函數(shù)圖象相關的圖形規(guī)律探究題常以選擇題或填空題的形式壓軸出現(xiàn)往往先給出一系列圖形的運動變化過

程，該系列圖形中往往有一個頂點在所給函數(shù)的圖象上，通常求該系列圖形中特定點的坐標、特定線段的長度或特

定圖形的面積.解題時需先理解該圖形的運動過程，把握其本質(zhì)或生成規(guī)律，并借助圖形與函數(shù)圖象的公共點探求、

歸納出其規(guī)律（較常見的是圖形成倍變化規(guī)律）.此類問題看似繁瑣，但只要耐心地一步步計算，往往不難解決.

解題策略圖形成倍變化規(guī)律

1.變換前：寫出第一次變換前的目標量，如點的坐標、線段長、圖形的周長或面積等；

2.變換中：借助系列圖形與函數(shù)圖象的公共點計算出第一次變換、第二次變換、第三次變換后的目標量，如變

換后的點的坐標、線段長、圖形的周長或面積等；

3.歸納后：歸納出后一個目標量（點的坐標、線段、周長、面積等）與前一個目標量存在的倍數(shù)關系m；

4.寫結(jié)果：根據(jù)上述步驟歸納出的規(guī)律寫出第n次變換后求到的目標量（點的坐標、線段、周長、面積為n"a）.

精選例題

例1.如圖，在平面直角坐標系中，直線k：y=fx+1與直線l2-.y=百乂交于點A1,過點A1作x軸的垂線,

垂足為點B[,過點B]作k的平行線父11于點A2；過點A2作X軸的垂線,

垂足為點B2；過點B2作％的平行線交11于點A3，?過點A3作X軸的垂線，

垂足為點B3…按此規(guī)律，則點A□的縱坐標為（）.

解析

先求出It,12這兩條直線的交點4的坐標，從而可得點,&的坐標；再求直線人氏的解析式，與直線1

1的解析式聯(lián)立成方程組，解得點4的坐標，從而可得點B2的坐標；同理，求出點43*3的坐標，從而找出點

AU的縱坐標的規(guī)律.

L（_V3（x^—r

解把Z1：y=yX+1與12：y=屆聯(lián)立成方程組『一三久+L解得；'.點心的坐標為（爭號,點B1

y=V3x.[y=--'…

的坐標為（爭0）直線的解析式為尸百卜-外與聯(lián)立成方程組解得點心的坐標為（學?，點B2的

坐標為（W，o）;&殳的解析式為丫=舊（久-#）,與k聯(lián)立成方程組解得點人的坐標為（胃亭），點扇的坐標

為（萼，0）…按此規(guī)律，得點.4回的縱坐標為（|）:故選A.

例2.如圖，04/1442殳,443*83?…是分別以為人人,…為直角頂點，一條直角邊在X軸正半軸上的等腰直

角三角形,其斜邊的中點（。10甘乃）,。2（X2，丫2）,。3（知為）,…均在反比例函數(shù)y=5。＞0）的圖象上，則71+y2+

…+為0的值為（）.

y

Bi

以號—■—n

o\A,A2A,

A.2410B.6C.4V2O.2V7

解析

根據(jù)△OGA是等腰直角三角形過點G作QM1x軸，則JM=0M=AM1,,所以可設的的坐標是(a,a),

把(a,a)代入解析式得到a=2,,從而求出人的坐標是(4,0)；再根據(jù)△Cz&Az是等腰直角三角形，設C?的縱坐

標是b，則C2的橫坐標是4+①把(4+6,6)代入函數(shù)解析式得到b的值，故可得出(C2的縱坐標.y2,,同理可以

得到。3,…,C10的縱坐標，根據(jù)規(guī)律可以求出yi+y2+-+yio.

解如圖,過點(的作C1M1x軸.

0cMl是等腰直角三角形，.Cl"=OM=此名設Q的坐標是(a,a)(a>0).

把(a,a)代入解析式y(tǒng)=￡(a)0)中，得a=2,二y1=2,，4的坐標是(4,0).

又..?△C2A1A2是等腰直角三角形，

；?設C2的縱坐標是(b(B>0),則C2的橫坐標是4+b把(4+6,b)代入函數(shù)解析式得b=言解得b=2V2-

2.

y2=2V2—2,

4的坐標是(4魚，0).

設。3的縱坐標是(c(c)0),則。3橫坐標為4V2+c把(4V2+c，c)代入函數(shù)解析式得c=念.解得c=2

V3-2V2.

y3=2舊—2V2.

月=2Vl—2V0,y2=2V2-2”,為=2A/3—2vx…，

y10=2V10—2A/9.

、Pi+曠2++…+為0—2+2-\/2—2+2-2-\/2+…+2-10—2A/9=2d10.

精選練習

1.在平面直角坐標系中，直線l：y=工+1與y軸交于點4,,如圖所示，依次作正方形。4&的,正方形

Ci&B2c2,正方形c24383c3,正方形C3&B1C4…，點，在直線上，點C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}\cdots,,

2.如圖,。314,4/24，22殳23，“\41-1&4都是一邊在*軸上的等邊三角形，點%,6%…，&都在反比例

函數(shù)y=?(久〉0)的圖象上，點42,都在X軸上，則A口的坐標為.

3.如圖直線AM的解析式為.y=x+1,,與x軸交于點M,與y軸交于點A.以0A為邊作正方形ABCO,點B

的坐標為(1,1)；過點B作EOilMA交MA于點E,交x軸于點(06過點01作x軸的垂線交MA于點力6以0出

為邊作正方形OiABiCi,點％的坐標為(5,3),過點.當作EQ1M4交MA于E1交x軸于點。2；過點。2作x軸

的垂線交MA于點4；以。24為邊作正方形。2482c2；….照此作法，則點B2020O的坐標為.

精選練習

1.解:：點Ai是y=x+l與y軸的交點,...點Ai的坐標為(0,1).；OA】B】Cx是正方形，.?.點Cj的坐標

為(1,0),&G=VI..?.點A2的坐標為(1,2),(C1A2=2,42c2=2V2.23c2=4M3C3=4段.按照此規(guī)律,A】CU

=2人邁.?.前n個正方形的對角線長的和為V2+2V2+4V2+-+2九-也=/x(1+2+4+…+2或】)=&x

(1+1+2+4+…+2nt-1)=V2(2n-1)=2nV2-V2.

2.解:如圖過點B1作BiC，x軸于點C,過點B2作B2D_Lx軸于點D,過點B3作B3E，x軸于點E.

???△OAiBi為等邊三角形，

???乙B[OC=60°,OC=ArC.

???B】C=y/3OC.

設oc的長度為t,則點Bi的坐標為(色百。

把/0履)代入y=，得t-V3t=四解得t=l或t=-1(舍去).

??.0A±=20C=2,

；?點Ai的坐標為(2,0).

設AiD的長度為m,同理得B2D=B2的坐標表示為(2+m-V3m).

把&(2+加，百代入y=?得(2+m)xV3m=遍解得爪=&-1或m=-V2-1(舍去).

???A]D=五-1,4加=2魚一2,。4=2+2魚-2=2V2.

.?.點A2的坐標為(2V2,0).

設A?E的長度為n,同理B3E為百n點B3的坐標表示為(2&+n-V3n).

把B3(2V2+w國)代入y=曰得(2&+n)-V3n=V3.

???A2E=V3-V2,X2^3=2V3-2V2,0A3=2V2+2V3-2V2=2V3.

.*.A3的坐標為(2V3,0).

綜上可得點A□的坐標為(2Vn,0).

故答案為(2dn,0).

3.解:：點B的坐標為(1,1),

OA=AB=BC=CO=COi=1.

VAi的坐標為(2,3),

???A101=A/i=B1C1=C102=3.

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