2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)與圖形的最值復(fù)習(xí)講義

函數(shù)與圖形的最值復(fù)習(xí)講義

知識(shí)必備

線段的最值

⑴點(diǎn)與點(diǎn)之間的最小值一利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”構(gòu)造“共線”的情況，從而確定最值；

⑵點(diǎn)與線之間的最小值一利用“點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”構(gòu)造“垂直”的情況，從而確定最值.

特別提醒：（1）在解決線段的最小值問題時(shí)，一定要注意是求兩點(diǎn)之間的最小值，還是求點(diǎn)與線之間的最小值；

⑵如果計(jì)算兩條線之間的最小值，可以從一條線上取一點(diǎn)向另一條線作垂線段，利用勾股定理或函數(shù)的最值計(jì)算

求解.

方法技巧

1.求線段最值的方法

⑴利用幾何模型：首先利用將軍飲馬、胡不歸等幾何模型確定最短路徑，再利用勾股定理等幾何知識(shí)求解.

模型圖示基本問題作法

在直線1上找一點(diǎn)P,使作點(diǎn)A（或B）關(guān)于直線1的對(duì)稱

將軍飲馬得其到直線同側(cè)兩點(diǎn)點(diǎn)，再連接另一點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)，

1:.力

A,B的距離之和最小與1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)

A'

A作NMBN,使得sin/MBN=k，則

/1

/

//在直線BM上找一點(diǎn)P,PA+kPB=PA+PQ.當(dāng)A,P,Q三

胡不歸使得PA+kPB（O<k<l）最點(diǎn)共線，即過點(diǎn)A作BN的垂

小線，垂足為Q.BM與AQ交于

Q'QN點(diǎn)P時(shí),PA+PQ最小

⑵構(gòu)造函數(shù)模型：首先構(gòu)造函數(shù)模型，再根據(jù)自變量的取值范圍及函數(shù)的性質(zhì)確定最值.

2.求面積最值的方法

先確定圖形的形狀是規(guī)則圖形，還是不規(guī)則圖形.如果圖形是規(guī)則圖形，就利用面積公式構(gòu)造出函數(shù)模型；如

果圖形是不規(guī)則圖形，就利用割補(bǔ)的方法來構(gòu)造函數(shù)模型求解.再根據(jù)函數(shù)值的變化規(guī)律及自變量的取值范圍來確

定最值.

3.鉛垂法求面積

如圖，過AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作x軸的垂線，其中過A,C的兩條垂線與x軸交于點(diǎn)E,F,而過點(diǎn)B的垂

如圖，過點(diǎn)A,C分別作AG1BD,CH1BD,,垂足分別為G,H,則有SABC=SABD+SBCD=^BD-AG+

\BD.CH=IBD.{AG+CH}=\BD.EF.

題型一：利用幾何模型求線段的最值

例1：如圖直線y=x+l與拋物線y=x2-4x+5交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APAB的周長最小時(shí),

SpAB=--

解題步驟

1.確定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；

2.利用將軍飲馬模型確定P點(diǎn)位置；

3.確定面積公式及相關(guān)的邊長與高；

4.計(jì)算面積.

【解析】聯(lián)立直線與拋物線的解析式得方程組

解得憂網(wǎng);著

；?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,5),

???AB=J(5—24+(4-1尸=3V2.

如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A；則A<-1,2),連接A'B與y軸交于P,則當(dāng)點(diǎn)P與P重合時(shí),4PAB的周長最小.

設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b(k￥O)則席:二押得.k

直線A'B的函數(shù)解析式為y=|x+y.

當(dāng)x=0時(shí),y=裝，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,裝).

SPAB=SAAB-SAAv=142-(yB-%)=|x2x(5_￡)=￡,

.,.當(dāng)APAB的周長最小時(shí)，SPAB=y.

例2在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=aY(a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，

得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，OA=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)

y=kx+b(kR0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,AABD的面積為5.

⑴求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求AACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，在⑵的結(jié)論下，求PE+|PA的最小值.

【解析】⑴將二次函數(shù).y=aY(a'O)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，得到的拋物線的

解析式為y=a(x-I)2-2.

拋物線的解析式為y=j(x-l)2-2,即y=2/一久一|.

令y=0解得.xi=-1,X2=3,AB(3,0),

???AB=OA+OB=4,

XAABD的面積為5,.:SABD=^AB-yb=5,yD=j.

代入拋物線的解析式，得|=#-x-|,解得xi=-2,X2=4,

又：A在x軸負(fù)半軸上，C在y軸正半軸上，且D為直線AC與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)，

二代).

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(krO),

.??產(chǎn)+匕?解得人=?

l—k+b=0,b=-,

I2，

直線AD的解析式為y="+1.

(2)如圖1過點(diǎn)E作EM〃y軸交AD于M.

設(shè)E(a,|a?-a-1),則M+0,

111r31rq

EM=一aH--------M+。~|—=—心-\—a+2,

222222

,-^ACE—S/ME—Scuk=^EM-(xc—x4)=[(_]a2+|a+2)xl=

—}(a2-3a-4)=-[(a-1)+1|.

又_1<a<4,.?.當(dāng)a=泄，AACE的面積有最大值，最大值是,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(|，-胡.

(3)如圖2,作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FH±AE于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)P.

「Eg弋)Q=l，

??,4G=1+；如。=M?嚏=本=?

又：ZAGE=ZAHP=90°,

.—.-PHEG3err3p.

??.smZ.EAG=——=—=-,???PH=-A4P.

APAE55

VE,F關(guān)于x軸對(duì)稱,，PE=PF,

???PE+14P=PF+PH=FH,此時(shí)PF+PH最小，即PE+|&P最小.

1515

■.■EF=-x^-^AEG=^HEF,

???sin"EG=sinNHEF.即祭=借=之

415

FH=-x—=3.

54

，PE+|P4的最小值是3.

三角形的周長為三條線段的和，確定周長的最小值即確定線段和的最小值，一般情況下都有一條線段的長度

固定，求其他兩條線段和的最小值即可.

解決線段和的最值問題，先確定哪些點(diǎn)是定點(diǎn)，哪些點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，再利用將軍飲馬模型或胡不歸模型確定動(dòng)點(diǎn)

的位置，最后計(jì)算求解.

1--1.如圖直線y="+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C,D分別為線段AB,OB的中點(diǎn)點(diǎn)P為0A上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

PC+PD最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(-3,0)B.(-6,0)4

C.(—1，0)

1-2.已知拋物線y=aY+bx+c(a40)過點(diǎn)A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OC=3.乂\D

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；/

Z4PO\X

⑵過點(diǎn)A作AM_LBC,垂足為M,求證:四邊形ADBM為正方形：I

(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑷若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：4Q+[QC是否存在最小值?若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

題型二：構(gòu)造二次函數(shù)模型求線段的最值

例:如圖，若b是正數(shù)，直線1::y=b與y軸交于點(diǎn)A；直線a::y=x-。與y軸交于點(diǎn)B；拋物線(：y=-x2+bx的

頂點(diǎn)為C,且L與x軸的右交點(diǎn)為D.

(1)若48=8,,求5的值，并求此時(shí)L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵當(dāng)點(diǎn)C在I下方時(shí)，求點(diǎn)C與1距離的最大值.

【解析】⑴當(dāng)x=。時(shí),y=x-b=-b,

???B(O-b).

：AB=8,而A(0,b),

；.b-(-b)=8,解題步驟

，b=4.1.確定二次函數(shù)的解析式.

，L的解析式為y=-x2+4x,2.構(gòu)造距離的函數(shù)關(guān)系式

??.L的對(duì)稱軸為直線x=2.3.根據(jù)自變量的取值范圍，確定最值.

當(dāng)x=2時(shí),y=x-4=-2,

???L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)為(2,-2).

⑵...y--X2+bx=_(X-|)+p

??.L的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為("?).

:點(diǎn)C在1下方，

???C與1的距離d=b-9=一式6-2)2+1,

又b是正數(shù)，,當(dāng)b=2時(shí)，d取得最大值1,

即點(diǎn)C與1距離的最大值為1.

解決此類問題的步驟：①確定點(diǎn)到直線的距離，過該點(diǎn)作直線的垂線，該點(diǎn)與垂足之間的距離即為點(diǎn)到直線

的距離；②根據(jù)點(diǎn)到直線的距離構(gòu)造函數(shù)模型；③根據(jù)自變量的取值范圍及函數(shù)的變化規(guī)律來確定最值.

2-1.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于.4(-1，0),B(3,0)兩點(diǎn)與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3).

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH1x軸于點(diǎn)H,與線段BC交于點(diǎn)M,連接PC,求線段

題型三：構(gòu)造二次函數(shù)模型求面積的最值

例：如圖,已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A(-5,0)網(wǎng)-4,-3)兩點(diǎn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,連接CD.

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求APBC

的面積的最大值.

【解析】⑴：拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過點(diǎn)A(-5,0),B(-4,-3),二,曾=0；解得H

該拋物線的表達(dá)式為y=無2+6x+5.

⑵如圖，過點(diǎn)P作PE±x軸于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)F.在拋物線y=爐