高中數(shù)學同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第20講 2.2.2直線的方程

.2.2直線的方程TOC\o"1-3"\h\u題型1直線的點斜式方程 2題型2直線的斜截式方程 7題型3直線的兩點式方程 11題型4直線的截距式方程 15◆類型1求直線方程型 16◆類型2過已知一點型 16◆類型3給定方程型 19題型5直線的一般式方程 21題型6直線與坐標軸形成三角形問題 28題型7直線過定點問題 32題型8一般式方程與象限問題 37題型9圖像選擇問題 41題型10最值問題 45知識點一.直線的方程一般地，如果直線l上點的坐標都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程F（x，y）=0的解為坐標的點都在直線l上，則稱F(x,y)=0為直線l的方程，而直線l稱為方程F（x，y）=0的直線.此時，"直線l"也可說成"直線F（x，y）=0"，并且記作l：F（x，y）=0.知識點二.直線的點斜式方程1.經(jīng)過點P（xo，yo）且斜率為k的直線方程為y-yo=k（x-x0）稱為直線的點斜式方程.2.經(jīng)過點P（xo，yo）且斜率為0的直線方程為y=y0,經(jīng)過點P（xo，yo）且斜率不存在的直線方程為x=xo.知識點三.直線的斜截式方程1.一般地，當直線l既不是x軸也不是y軸時：若l與x軸的交點為（a，0），則稱l在x軸上的截距為a；若l與y軸的交點為（0，b），則稱l在y軸上的截距為b.一條直線在y軸上的截距簡稱為截距．斜率為k，截距為b的直線方程為y=kx+b，稱為直線的斜截式方程.2.直線y=kx＋b中k的幾何意義是直線的斜率,b的幾何意義是直線的截距（即直線在y軸上的截距）.知識點四.直線的兩點式方程經(jīng)過兩點P1（x1，y1）,P2（x2知識點五.直線的截距式方程直線在x,y軸上的截距分別為a,b，且a≠0，b≠0，則直線方程可寫為xa+yb=1,這種形式的方程稱為直線的截距式方程，注意這里要求直線在知識點六.直線的一般式方程1.所有的直線方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程,關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)稱為直線的一般式方程.3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，則方程可以化為y=-ABx-CB,它表示的是斜率為-AB且截距為-CB的直線；如果B=0，則由A,B不同時為0可知A≠0,從而方程可以化為x=-CA,它表示的是斜率不存在且過點（4.向量v=(A,B)為直線Ax+By+C=0的一個法向量.題型1直線的點斜式方程【方法總結(jié)】關(guān)于點斜式方程的幾點說明（1）直線的點斜式方程的前提條件：①己知一點P（xo，yo）和斜率k；②斜率必須存在．只有這兩個條件都具備，才可以寫出點斜式方程．（2）方程y-yo=k（x-xo）與方程k=y?y0x?x0（3）當k取任意實數(shù)時，方程y-yo=k（x-xo）表示恒過定點（xo，yo）且不垂直于x軸的無數(shù)條直線.【例題1】（2023·高二課時練習）已知直線l經(jīng)過點P且傾斜角為α，求直線l的點斜式方程．(1)P（2，3），α=(2)P（-2，-1），α=(3)P（-5，-1），α=【答案】(1)y(2)y(3)x【分析】由直線傾斜角求斜率，點斜式求直線方程.【詳解】（1）直線傾斜角α=π4，則直線斜率k=1，直線l經(jīng)過點（2）直線傾斜角α=2π3，則直線斜率k=?3（3）直線傾斜角α=π2，直線斜率不存在，直線l經(jīng)過點P【變式1-1】1.（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）過點(?3A．y=?3xC．y=3x【答案】B【分析】根據(jù)傾斜角求出直線的斜率，結(jié)合直線的點斜式方程即可求解.【詳解】依題意，直線l的斜率k=tan故直線l的方程為y?5=?即y=?故選：B.【變式1-1】2.（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點?3,4且方向向量為1,?2，則l在x軸上的截距為（

）A．?1 B．1 C．?5 D．5【答案】A【分析】先根據(jù)方向向量求得直線的斜率k=?2，然后利用點斜式可求得直線方程，再令y【詳解】因為直線l的方向向量為1,?2，所以直線斜率k=?2又直線l過點?3,4，所以直線方程為y?4=?2(x+3)令y=0，得x=?1，所以故選：A【變式1-1】3.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，A【答案】y【分析】結(jié)合圖象求出直線斜率，代入點斜式方程求解即可.【詳解】如圖：

因為B=60°故直線BC的點斜式方程為y?1=?【變式1-1】4.（2021秋·江西九江·高二校考階段練習）已知直線l過點A(2,?6)，它的傾斜角等于直線x【答案】3【分析】求出直線的斜率，寫出直線的點斜式方程即得解.【詳解】∵直線x?3y∴直線l的傾斜角為π3∴直線l的斜率為3，∴直線l的方程為y+6=3(所以直線l的方程為3x【變式1-1】5.（2023·高二課時練習）已知直線l的傾斜角為α，sinα=3【答案】3x?4y【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的斜率，再利用點斜式方程求解作答.【詳解】直線l的傾斜角為α，sinα=35，當α為銳角時，由直線點斜式方程得：y?5=34當α為鈍角時，cosα=?4由直線點斜式方程得：y?5=?34所以直線l的一般式方程為3x?4y【變式1-1】6.（2023·高二單元測試）經(jīng)過點4,3引l1，l2，l3三條直線，使它們的傾斜角的比依次為1:2:4，已知l2的方程為3x【答案】x?3y【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切的二倍角公式，即可求解斜率，進而根據(jù)點斜式求解直線方程.【詳解】設(shè)l1的傾斜角為α，則l2，l3由l2的方程為3x?4y=0tan4α=2tan2α1?tan2由于4α∈0,π，所以α∈0,π4，由二倍角公式可得2tanα1?tan2故答案為：x?3y【變式1-1】7.（2019秋·浙江臺州·高二?？计谥校┲本€l:x?y+1=0,則l的傾斜角為___________.若l上點P的橫坐標是3，把l【答案】45°x【分析】由直線l的斜率得傾斜角；由旋轉(zhuǎn)得新直線的傾斜角，從而得斜率，可得出直線方程．【詳解】l:x?y+1=0直線的斜率為k逆時針旋轉(zhuǎn)90°后所得的直線的傾斜角為135°，則斜率為k′又x=3時，3?y+1=0，y∴新直線方程為y?4=?(x?3)故答案為：45°；x+【點睛】本題考查求直線的傾斜角和直線方程，掌握傾斜角與斜率的關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型2直線的斜截式方程【方法總結(jié)】對直線斜截式方程的理解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同，都是y=kx+b的形式，但有區(qū)別，當k=0時，y=kx＋b即為一次函數(shù)；當k≠0時，y=kx＋b，不是一次函數(shù)，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）必是一條直線的斜截式方程.截距不是距離，可正、可負也可為零.【例題2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(3)傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3.【答案】(1)y＝2x＋5(2)y＝－33(3)y＝3x＋3或y＝3x－3【分析】（1）由直線的斜截式可得直線方程；（2）由已知求得直線的斜率，再由直線的斜截式可得直線方程．（3）由已知求得直線的斜率和直線在y軸上的截距，再由直線的斜截式求得直線的方程.【詳解】（1）由直線方程的斜截式可知，所求直線的斜截式方程為y＝2x＋5.（2）由于直線的傾斜角為150°，所以斜率k＝tan150°＝－33故所求直線的斜截式方程為y＝－33（3）因為直線的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan60°＝3．因為直線與y軸的交點到坐標原點的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線的斜截式方程為y＝3x＋3或y＝3x－3.【變式2-1】1.（2022·山東青島·高二山東省萊西市第一中學?？紝W業(yè)考試）對于直線l:A．直線l傾斜角為π3 B．直線l在y軸上的截距為C．直線l不過第二象限 D．直線l過點3,【答案】C【分析】將直線的一般方程化成斜截式方程即可得直線斜率和在y軸上的截距，可判斷AB；畫出直線的圖象可判斷C，將點3,3【詳解】將直線l:x由斜截式方程的幾何意義可知，斜率為k=所以直線傾斜角θ∈0,π滿足tanθ易知，直線l在y軸上的截距為?23畫出直線l的圖象如下：由圖象可知，直線l不過第二象限，故C正確；將點3,3代入直線方程得3?所以直線l不過點3,3故選：C.【變式2-1】2.（多選）（2022秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考期中）若直線l:A．直線l的縱截距為3B．1,3是直線lC．直線l過點3D．3,?1是直線l【答案】BCD【分析】通過待定系數(shù)法求出斜率，截距，直線與坐標軸的交點以及是否過點3,0，計算出方向向量，以及垂直于直線l:3【詳解】解：由題意，在直線l:當x=0時，3×0?y∴直線l的圖像過A0,?3當x=1時，3×1?y∴直線l的圖像過B1,∴直線l方向向量為AB=當x=3時，3×∴直線l過點C3∵直線l的斜率為k1∴垂直于直線l的斜率為k2∴垂直于直線l的直線的一個方向向量為CD=故選：BCD.【變式2-1】3.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）把直線l的一般式方程x?2y+6=0化為斜截式，求出直線l的斜率以及它在x【答案】答案見解析【分析】將直線方程化為斜截式，即可得到斜率和在y軸上的截距，再令y=0，解得x，求出x【詳解】把直線l的一般式方程x?2y+6=0因此，直線l的斜率k=12，它在y在直線l的方程y=12x+3即直線l在x軸上的截距是?6，由上面可得直線l與x軸、y軸的交點坐標分別為A?6,0，B如圖，過A，B兩點作直線，就得直線l.

【變式2-1】4.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求傾斜角是直線y=?3x+1的傾斜角的14【答案】y【分析】根據(jù)已知求出所求直線的傾斜角，進而可得其斜率，再根據(jù)直線的斜截式方程即可得解.【詳解】因為直線y=?3x+1的斜率所以所求直線的傾斜角為30°，斜率為tan30°=3又所求直線在y軸上的截距是?5，所以所求直線的方程為y=【變式2-1】5.（2022·高二課時練習）若直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為－3，且它的傾斜角是直線3x?【答案】31【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化成斜截式，根據(jù)截距為－3即可求得n=1，求出直線3x?y=3【詳解】解：依題意得，直線3x?y∴其傾斜角為60°，則直線mx+ny若直線mx+∴?3而k=?故答案為：m=3，題型3直線的兩點式方程【方法總結(jié)】直線的兩點式方程應(yīng)注意的問題要注意方程y?y1y2?y1=x?x1不同，適用范圍也不同．前者為分式形式方程，形式對稱，但不能表示垂直于坐標軸的直線．后者為整式形式方程，適用于過任意兩點的直線.【例題3】（2022·高二課時練習）求經(jīng)過下列兩點的直線的方程：(1)A?3,2，B(2)A0,4，B(3)A3,2，B(4)A(3,1),B(2,－3)；(5)A(2,1),B(0,－3)；(6)A(0,5),B(4,0).【答案】(1)5(2)x(3)2(4)y=4(5)y=2(6)y=?【分析】(1)經(jīng)過點A?3,2，B0,?3的直線方程為y(2)經(jīng)過點A0,4，B4,0的直線方程為y(3)經(jīng)過點A3,2，B0,0的直線方程為y(4)直線的兩點式方程為y?1(5)直線的兩點式方程為y?1(6)直線的兩點式方程為y?5【變式3-1】1.（2022·全國·高二專題練習）經(jīng)過兩點x1,yA．x?x1C．y?y1【答案】C【分析】根據(jù)兩點式直線方程即可求解.【詳解】當經(jīng)過x1,y1、x2由于x1,x故選:C【變式3-1】2.(多選)（2023春·河北石家莊·高二?？奸_學考試）下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大B．斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等C．直線的斜率為tanα，則其傾斜角為D．經(jīng)過任意兩個不同的點P1(【答案】BD【分析】舉反例判斷A；根據(jù)直線的斜率和傾斜角的關(guān)系判斷B,C；結(jié)合直線的兩點式方程判斷D.【詳解】對于A，直線的傾斜角分別為π3,2π此時不滿足直線的傾斜角越大，其斜率就越大，A錯誤；對于B,由于直線的傾斜角范圍是[0,π)，所以斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等,正確；對于C,直線的斜率為tanα，α的取值范圍不確定，α比如直線的斜率為tan5π4，此時直線的傾斜角為對于D，當x1=x2時，經(jīng)過P1當y1=y2時，經(jīng)過P1當x1≠x2，y1也即(y故經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x故選：BD【變式3-1】3.（2021秋·高二課前預(yù)習）（1）已知直線l經(jīng)過點A(2,?1),B(2,7)（2）已知點P(3,m)在過點A（3）三角形的三個頂點分別是A(?1,0),【答案】（1）x=2；（2）m=?2；（3）AB：x+4y+1=0【分析】（1）由已知得直線的斜率不存在，即可求出直線方程；（2）由兩點式方程求出直線AB的方程，再利用點P在直線上即可求解；（3）由兩點式方程可求解.【詳解】（1）因為點A與點B的橫坐標相等，故直線的斜率不存在，故所求直線方程為x=2（2）由兩點式方程，得過A，B兩點的直線方程為y?(?1)4?(?1)=又因為點P(3,m)在直線AB上，所以3+（3）由兩點式，得邊AB所在直線的方程為y?(?1)0?(?1)=同理，邊BC所在直線的方程為y?3?1?3=邊AC所在直線的方程為y?30?3=【變式3-1】4.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線a1x+b1y+1=0和直線a【答案】2【分析】由題意可得2a1?a2【詳解】把A(2,1)坐標代入直線a1x得2a1+∴2a過點P1(a1,∴y?b1∵2a∴2a∴所求直線方程為2x題型4直線的截距式方程【方法總結(jié)】直線的截距式方程我們把直線與x軸的交點（a，0）的橫坐標a稱為直線在x軸上的截距，此時直線在y軸上的截距是b.方程xa截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線有兩個非零截距，截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行的直線.（2）直線的截距式方程的特征是x項分母對應(yīng)的是橫截距，y項分母對應(yīng)的是縱截距，中間以“＋”號連接，等式右邊為1，如x2（3）由直線的截距式方程可直接讀出直線在x軸和y軸上的截距，同時，截距式在解決與面積有關(guān)的問題和作圖時使用起來非常方便.（4）直線在y軸上的截距是直線與y軸交點的縱坐標，直線在x軸上的截距是直線與x軸交點的橫坐標，而不是交點到原點的距離，因此截距a，b可能為正或零，也可能為負.◆類型1求直線方程型【例題4-1】（2022·高二課時練習）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（）A．x?3+yC．x?3?y【答案】A【分析】根據(jù)直線方程的截距式判斷．【詳解】由截距式方程可得，所求直線方程為x?3故選：A．【變式4-1】（2023春·上海徐匯·高二上海中學?？计谥校┮阎本€l在x軸上的截距是3，在y軸上的截距是?2，則l的方程是______．【答案】2【分析】由題意利用截距式求直線的方程，再化為一般式．【詳解】因為直線l在x軸上的截距是3，在y軸上的截距是?2，則直線l的方程是x3+y故答案為：2x◆類型2過已知一點型【例題4-2】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）過點3,?2且在x軸、y軸上截距相等的直線方程為_________.【答案】2x+3【分析】分截距為0和不為0兩種情況討論即可得解.【詳解】由題知，若在x軸、y軸上截距均為0，即直線過原點，又過3,?2，則直線方程為y=?若截距不為0，設(shè)在x軸、y軸上的截距為a，則直線方程為xa又直線過點3,?2，則3a+?2所以此時直線方程為x+故答案為：2x+3【變式4-2】1.（2023秋·江蘇南京·高二南京市第一中學?？茧A段練習）過點A(4,?3)A．xB．xC．x?yD．x?y?7=0或【答案】D【分析】直線過原點求出直線方程，直線不過原點設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】當此直線過原點時，直線方程為y=?34當此直線不過原點時，設(shè)直線的方程為x+y=把點A(4,?3)分別代入可得4?3=a，或4+3=b，解得a∴直線的方程為x+y=1綜上可知：直線的方程為x+y?1=0或x故選：D．【變式4-2】2.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，且過定點A(?3,8)【答案】4x+3y【分析】設(shè)直線方程的截距式為xa+ya+1【詳解】設(shè)直線方程的截距式為xa則?3a+8a+1則直線方程是x3+y即4x+3y故答案為：4x+3y【變式4-2】3.（2021秋·高二課時練習）過點(5，0)，且在兩坐標軸上的截距之差為2的直線方程是________.【答案】x5+y【分析】設(shè)直線的方程為xa【詳解】設(shè)直線的方程為xa+y∴a=5由5?b=2得b=3或b=7，∴所求直線的方程為故答案為:x5+y【變式4-2】4.（2022秋·福建泉州·高二?？计谥校┤糁本€mx+ny+3=0在y軸上的截距為?1，且它的傾斜角是直線xA．m=?4,n=?3 B．m=4,n=3【答案】D【分析】根據(jù)直線mx+ny+3=0在y軸上的截距可求得n，設(shè)直線mx+ny+3=0的傾斜角為θ，求出【詳解】令x=0，則y=?3設(shè)直線x?2y?3=0的傾斜角為θ，則直線mx因為直線x?2y=3的斜率為1故tan2θ則直線mx+ny+3=0的斜率tan2故選：D.◆類型3給定方程型【例題4-3】(多選)（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學考試）已知直線l：a+2x?y+2a?3=0A．?52 B．0 C．32【答案】AC【分析】依題意可得a≠?2，分a=3【詳解】依題意可得a≠?2當a=32時，直線l當a≠32時，直線l在x軸上的截距為3?2aa則3?2aa+2=2×2綜上所述，a的值為?52或故選：AC．【變式4-3】1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線mx?2y?3【答案】?1【分析】先分別求出x軸上的截距及y軸上截距，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系計算求解即可.【詳解】令x=0，得y=?3m2由于直線mx?2y?3故3=4×?3m2故答案為：?【變式4-3】2.（2022秋·江西·高二統(tǒng)考階段練習）已知直線x+my?2=0【答案】1【分析】根據(jù)直線在兩坐標軸上的截距相等得到關(guān)于m的方程，解出即可.【詳解】因為直線x+當m=0時，直線方程為：x=2，與當m≠0時，令x=0得：y=2m則2m=2，解得：綜上：實數(shù)m的值為1，故答案為：1.【變式4-3】3.（2023秋·高二課時練習）已知三條直線為l1A．三條直線的傾斜角之和為90°B．三條直線在y軸上的截距b1,C．三條直線的傾斜角α1,D．三條直線在x軸上的截距之和為12|a【答案】C【分析】根據(jù)直線方程的斜率、傾斜角、截距的概念逐項判斷即可.【詳解】設(shè)三條直線l1:x?2則tanα1所以α2+α3>對于直線l1:x?2y+4a=0，令由于tanα1?tanα3=12×2=1直線l1,l2,故選：C.題型5直線的一般式方程【方法總結(jié)】二元一次方程的系數(shù)和常數(shù)項對直線的位置的影響當A=0，B≠0，C≠0時，方程表示的直線與x軸平行.當A≠0，B=0，C為任意實數(shù)時，方程表示的直線與x軸垂直.當A=0，B≠0，C=0時，方程表示的直線與x軸重合.當A≠0，B=0，C=0時，方程表示的直線與y軸重合.（5）當C=0，A，B不同時為0時，方程表示的直線過原點.【例題5】（2023·全國·高三專題練習）已知直線y=?33x+5（1）若過點P(3,?4)，求直線l（2）若在x軸上截距為?2，求直線l的方程．（3）若在y軸上截距為3，求直線l的方程．【答案】（1）3x?3y?33【解析】先由題意，求出直線l的斜率；（1）根據(jù)直線的點斜式方程，可直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)直線的點斜式方程，可直接得出結(jié)果；（3）根據(jù)直線的斜截式方程，可直接得出結(jié)果.【詳解】由直線y=?33x+5得其斜率為k又直線y=?33故所求直線l的傾斜角為30°，其斜率為k1（1）若所求直線過點P(3,?4)，由點斜式方程得：y整理得：3x即所求方程為3x（2）若所求直線在x軸截距為?2，則直線l過點(?2,0)，由點斜式方程得：y?0=整理得3x即所求方程為3x（3）在y軸上截距為3，由斜截式方程得：y=整理得：3x即所求方程為3x【變式5-1】1.（2022·高二課時練習）設(shè)m為實數(shù)，若直線l的方程為mx+m?1(1)直線l在y軸上的截距為6；(2)直線l的斜率為2；(3)直線l垂直于x軸；(4)直線l經(jīng)過點1,3．【答案】(1)1(2)2(3)1(4)0【分析】（1）根據(jù)y軸上的截距，建立等量關(guān)系求出m的值：（2）把方程化為斜截式，根據(jù)斜率的值求m；（3）直線l垂直于x軸，即斜率不存在，根據(jù)方程可求結(jié)果；（4）把點到坐標代入方程可求結(jié)果.(1)因為直線l在y軸上的截距為6，所以直線l一定經(jīng)過點0,6，則6m?6+3=0，解得(2)當m=1當m≠1時，把直線方程化為斜截式y(tǒng)因為斜率為2，所以?mm?1(3)因為直線l垂直于x軸，所以直線的斜率不存在，所以m?1=0，即m(4)因為直線l經(jīng)過點1,3，所以m+3m?1【變式5-1】2.（2021秋·江蘇泰州·高二泰州市第二中學?？茧A段練習）根據(jù)下列條件分別求直線l的方程：（1）直線過點P(2,3)（2）直線l經(jīng)過點B(?2,4)（3）直線l經(jīng)過點A(?2,2)【答案】（1）3x?2y=0或x?y+1=0；（2）x【分析】（1）設(shè)直線l在x軸、y軸上的截距分別為a、b，討論①b=?a=0和②b（2）由題意，求出所求直線的斜率，然后利用點斜式方程求解即可；（3）根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)直線方程：y=k(x+2)+2，求出直線與兩坐標軸交點(?2?2k【詳解】（1）設(shè)直線l在x軸、y軸上的截距分別為a、b，由題意知，a+b=0①若b=?a=0時，則直線l可得直線l的方程為：3x②若b=?a≠0時，則直線l將點P(2,3)代入得：2a+所以直線l的方程為x?所以直線l的方程為：3x?2y（2）由題可知，所求直線的斜率為±1，又過點B(?2,4)由點斜式得y?4=x+2故所求直線的方程為x?y+6=0（3）根據(jù)題意知直線方程的斜率存在且不為0，可設(shè)直線方程：y=直線與兩坐標軸交點(?2?2k，0)∵與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，∴12當?2?2k<0當?2?2k>0當?2?2k<0整理，得2k解得k=?2，或k=?∴直線方程為y=?2(x+2)+2當?2?2k>0整理，得2k解得k=?2（舍)，或∴直線方程為y=?12綜上所述：所求直線為：x+2y?2=0【變式5-1】3.（2023春·上海普陀·高二上海市晉元高級中學?？计谥校┤?x1+4y1=1,3x【答案】3【分析】根據(jù)Ax1,【詳解】若3x則點Ax1,點Bx2,即Ax1,y1因為兩點確定一條直線,所以由Ax1,y故答案為:3【變式5-1】4.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）對于問題“求經(jīng)過點M(2,?1),N(?3,4)的直線l的方程”，某同學采取的方法如下：首先設(shè)直線l【答案】不同意，能求出直線方程為x+【分析】聯(lián)立方程組解得A=?C,【詳解】解：不同意．理由如下：由2A?B代入原方程，可得?Cx因為A,B至少有一個不為0，則C≠0故直線方程為x+【變式5-1】5.（2023秋·高二課時練習）當直線方程Ax+(1)過坐標原點；(2)與兩條坐標軸都相交；(3)只與x軸相交；(4)是x軸所在直線；(5)設(shè)Px0,y0【答案】(1)C=0且A、(2)A、(3)B=0且(4)A(5)證明見解析【分析】（1）將O0,0代入Ax（2）分C=0、C（3）直線只與x軸相交，就是與y軸平行、重合均可，根據(jù)直線方程可化成x=（4）將直線方程化為y=0（5）將P代入直線方程得C=?【詳解】（1）將O0,0代入Ax+By當C=0且A、B（2）直線Ax+當C=0且A當C≠0時，令x=0時y=?CB所以A、綜上所述，A≠0，（3）直線Ax+By+因此直線方程可化成x=故B=0且A（4）x軸的方程為y=0，因此方程Ax+By方程表示的直線是x軸所在直線；（5）因為Px0,y0所以C=?所以方程可化為Ax+即Ax所以這條直線的方程可以寫成Ax題型6直線與坐標軸形成三角形問題【例題6】（多選）（2022秋·廣東東莞·高二?？计谥校┤糁本€l：mx+(2m-1)y-6=0與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為3，則m的值是（

）A．2 B．32 C．3 D．-【答案】AD【分析】根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵直線l與兩坐標軸圍成三角形，∴2m?1≠0，∴m≠1令x=0，解得y令y=0，解得x∴1∴m∴2m2?當2m∵Δ=1?4×2×6=?47<0，∴方程無解；當2m解得m=2或m故選：AD．【變式6-1】1.（2022秋·高二校考課時練習）已知直線l過點P(0，1)，且與x，y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于2，則直線l的方程是___.【答案】x【分析】設(shè)所求直線方程為y=【詳解】設(shè)直線l的方程為y=kx+1所以12×1×?1k所以直線l的方程為y=?14故答案為：x【變式6-1】2.（2023·上?！じ叨ｎ}練習）將直線l:y=2x+1繞其與y軸的交點M逆時針旋轉(zhuǎn)π【答案】1【分析】在直線l:y=2x+1中，令x=0，得M0,1，設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα=2，l【詳解】在直線l:y=2x+1中，令x直線l:y=2x+1繞其與y軸的交點M設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα=2，則l′∴l(xiāng)′的斜率k∴l(xiāng)′的方程為y?1=?3x令y=0，得x=13，∴l(xiāng)′∴l(xiāng)′S△故答案為：16【變式6-1】3.（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┮阎本€x＋y－k＝0與兩坐標軸圍成的三角形的面積不小于8，則k的取值范圍為______．【答案】k≥4或【分析】先求出直線的橫縱截距，再利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】令x=0,得y令y=0,得x由題意知k≠0，由直線x則12解得k≥4或k故實數(shù)k的取值范圍為k≥4或k故答案為：k≥4或【變式6-1】4.（2021秋·浙江紹興·高二諸暨中學?？茧A段練習）已知直線l過點M(2,1)(1)BM=2(2)當△AOB【答案】(1)x(2)x+2【分析】（1）根據(jù)條件BM=2AM可知點M是（2）利用截距式找出兩截距關(guān)系，再根據(jù)代入三角形面積計算中即可找出面積的最小值，繼而求出方程.【詳解】（1）作MN⊥OA，則由三角形相似，AMAB=ANAO=∴AB方程為x3+y（2）根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為xa+yb=1∵l過點M(2,1)，∴2a+1b=1，解得化簡，得a2∴Δ=4S2?16S?0∴S的最小值為4，將S=4代入①式，得a2?8∴b=aa【變式6-1】5.（2022秋·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學?？茧A段練習）設(shè)直線l的方程為((1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.(3)若直線l交x軸正半軸于點A，交y軸負半軸于點B，△AOB【答案】(1)3x+y(2)?∞,?1(3)△AOB面積的最小值是6，此時直線l的方程為【分析】（1）根據(jù)直線過原點、直線與不過原點兩種情況進行分類討論，由此求得直線l的方程.（2）將直線方程化為斜截式，再結(jié)合l不經(jīng)過第二象限列不等式組，解不等式組求得實數(shù)a的取值范圍.（3）根據(jù)A,B兩點的位置確定A,B的坐標以及a的取值范圍，求得【詳解】（1）當直線過原點時滿足條件，此時2?a=0,解得a=2當直線不過原點時，則直線斜率為-1，故a+1=1,解得a=0,可得直線l的方程為:綜上所述，直線l的方程為3x+y（2）y=?∵l不經(jīng)過第二象限,∴?a+1≥0∴實數(shù)a的取值范圍是?∞,?1.（3）令x=0,解得y=a令y=0,解得x=a?2a綜上有a<?1∴S≥3+1當且僅當a=?4∴△AOB(O為坐標原點)面積的最小值是6，此時直線方程?3x題型7直線過定點問題【例題7】（2023秋·高二課時練習）不論m取何值，直線(mA．1,?12 B．(?2,1) C．(2,3) 【答案】B【分析】根據(jù)題意整理得mx+2?【詳解】因為(m?1)x令x+2=0x+所以直線過定點(?2,1).故選：B.【變式7-1】1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）不論a取何值時，直線a?3【答案】四【分析】化簡直線方程為ax+2y【詳解】直線a?3x+2由x+2y=0所以直線a?3x+2因為2,?1在第四象限，故直線a?3故答案為：四.【變式7-1】2.（2022秋·高二課時練習）已知實數(shù)a,b滿足a+2【答案】(【分析】根據(jù)題意化簡直線方程為(x+3y【詳解】由實數(shù)a,b滿足a+2代入直線方程ax+3y+聯(lián)立方程組2x?1=0x所以直線ax+3y+故答案為：(1【變式7-1】3.（2023·高二單元測試）若4A+5B【答案】2【分析】由條件根據(jù)直線方程的定義求解.【詳解】因為4A+5B所以點23,5所以直線l:Ax+故答案為：23【變式7-1】4.（2022秋·福建福州·高二福建省連江第一中學校聯(lián)考期中）已知向量a=x?3n，1，bA．?2，3 B．3，?2 C．?3，2 D．2，?3【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直可得數(shù)量積為0，得出軌跡方程即可求出軌跡過定點.【詳解】∵a∴a即x+2+所以點x，y的軌跡方程為顯然不論n取何值，總有x=?2,即點x，y的軌跡過定點故選：A【變式7-1】5.（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校?？寄M預(yù)測）已知直線l1:x?my+1=0過定點A，直線l2:mx+y【答案】13【分析】根據(jù)題意求點A,【詳解】對于直線l1:x令y=0，則x+1=0，則x=?1y=0對于直線l2:mx令x?1=0，則y+3=0，則x=1y=?3因為1×m+?m×1=0所以PA2故答案為：13.

【變式7-1】6.（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預(yù)測）若直線kx?y+2k?1=0恒過點A，點A也在直線mxA．14 B．12 C．1【答案】B【分析】根據(jù)直線的定點可得A?2,?1，進而可得2【詳解】因為kx?y+2令x+2=0y+1=0即直線kx?y+2又因為點A也在直線mx+ny+2=0可得2m+n則2m+n=2≥22所以mn的最大值為12故選：B.【變式7-1】7.（2023春·湖南常德·高二常德市一中?？计谥校┮阎本€l的方程為a+1(1)求直線l過的定點P的坐標；(2)直線l與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于點A，B，當△AOB面積最小時，求直線l【答案】(1)2,3；(2)3【分析】（1）將直線l的方程變形，列出方程組即可求解；（2）利用直線的截距式方程設(shè)出直線l的方程，根據(jù)（1）的結(jié)論及基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由題意，直線l的方程可化為a+1聯(lián)立方程組x?2=0x+所以直線l過的定點P2,3（2）設(shè)直線xa+y由（1）知，直線l過的定點P2,3，可得2因為a>0,所以1=2a+當且僅當2a=3b且所以△AOB面積為S此時對應(yīng)的直線方程為x4+y題型8一般式方程與象限問題【例題8】（2023秋·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）已知直線l：Ax+By+C=0A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出直線在坐標軸上的截距，即可求解.【詳解】當x=0時，y=?CB，由即點(0,?C當y=0時，x=?CA，由即點(?C又直線l過點(0,?CB)所以直線l不經(jīng)過第三象限.故選：C.【變式8-1】1.（2023·高二單元測試）直線ax?by+c=0，其中a【答案】四【分析】依題意可得a，b，c均不為0，令x=0、y【詳解】解：因為直線ax?by+c=0其中a顯然a，b，c均不為0，令x=0，解得y=cb，令即直線過點0,cb，因為a，b，c符號相同，所以cb>0，所以直線與y軸交于正半軸，與x軸交于負半軸，故直線過一、二、三象限，不過第四象限.故答案為：四【變式8-1】2.（2023秋·高二課時練習）已知直線Ax+A．A>B B．A<B C．【答案】D【分析】分別令x=0、y【詳解】由已知A≠0,令x=0得直線在y軸的截距為y令y=0得直線在x軸的截距為x由直線Ax+By+即CA故選：D.【變式8-1】3.（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）直線Ax+By+A．無論A,B取任何值，直線都存在斜率 B．當A=0，且BC．當A≠0，或B≠0時，直線與兩條坐標軸都相交 D．當A≠0，且B=0，且【答案】D【分析】結(jié)合直線的方程依次分析各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，當A≠0，且B對于B選項，當A=0，且B≠0，C≠0時，直線只與y軸相交；當A=0，且B≠0對于C選項，當A≠0，且B對于D選項，當A≠0，且B=0，且C=0時，直線方程為x故選：D【變式8-1】4.（多選）（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）已知直線l的方程是Ax+A．A2+B2C．若A?B>0，則直線l必過第三象限 D．若A【答案】ABD【分析】根據(jù)直線方程的一般式特征即可判斷A,B，將一般式轉(zhuǎn)化為斜截式即可判斷C,D.【詳解】選項A：因為A，B不同時為0，所以A2選項B：若C=0，當x=y選項C、D：若A?B>0且A故選:ABD．【變式8-1】5.（2022·高二課時練習）已知直線l:(1)當直線l在x軸上的截距是它在y上的截距3倍時，求實數(shù)a的值：(2)當直線l不通過第四象限時，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)a=1或(2)1【分析】（1）先求出a≠0且a（2）考慮直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，列出不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）由條件知，a≠0且a在直線l的方程中，令y=0得x=a?1∴a?1a=a?1經(jīng)檢驗，a=1，1（2）當a=12時，l的方程為：1當a≠12l不通過第四象限，即?a1?2綜上所述，當直線不通過第四象限時，a的取值范圍為1【變式8-1】6.（2022·高二課時練習）（1）“點P(x0,y0)在直線l（2）是否存在這樣的直線l使其滿足條件：若點Px,y在直線l上，則點Q4x【答案】（1）充要條件；（2）存在滿足條件的直線l，直線l的方程為x+y=0【分析】（1）先證明充分性，將點P(x0,y0)代入直線l并通過整理即可證明，再證明必要性，將Ax?x0（2）先用一般式設(shè)出直線方程，再利用待定系數(shù)法求直線方程，即可求解【詳解】（1）因為點P(x0,y所以Ax0+將C=?Ax0?By因為直線l的方程可表示為Ax?x令C=?Ax將x=x0代入Ax+By所以點P(x0,y綜上所述，“點P(x0,y0)在直線l（2）假設(shè)存在，則設(shè)點Px,y因為點Q4x+2所以A(4x+2方程①②表示同一條直線，若C≠0時，則A=4A若C=0時，所以4A+BB=2當B=A時，直線l:當B=?2A時，l:故所求直線的方程為x+y題型9圖像選擇問題【例題9】（2022秋·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學?？计谥校┲本€l1:yA． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)直線方程斜截式與圖像的關(guān)系進行判斷即可．【分析】對于A選項：由l1得a>0，b<0，由l2得對于B選項：由l1得a<0，b>0，由l2得對于C選項：由l1得a>0，b<0，由l2得對于D選項：由l1得a>0，b>0，由l2得故選：D．【變式9-1】1.（2022秋·高二?？颊n時練習）直線l1:axA．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】化簡直線方程分別為l1:y【詳解】化簡直線方程分別為l1:y顯然l1的斜率是l2的縱截距,l1對于A中，由l1的圖象，可得?a<0,?由l2的圖象，可得?b<0,?對于B中，由l1的圖象，可得?a<0,?由l2的圖象，可得?b<0,?對于C中，由l1的圖象，可得?a>0,?由l2的圖象，可得?b>0,?對于D中，由l1的圖象，可得?a>0,?由l2的圖象，可得?b<0,?故選：B.【變式9-1】2.（2022·高二課時練習）直線l1:axA． B．C． D．【答案】C【分析】將兩直線的方程均化為斜截式，先固定l1【詳解】直線l1可化為y=ax+bA中，由l1可知，a>0,bB中，由l1可知，a>0,bC中，由l1可知，a<0,bD中，由l1可知，a>0,b故選：C【變式9-1】3.（2022·全國·高三專題練習）方程y=A． B．C． D．【答案】A【分析】分析直線y=ax+【詳解】當a>0時，直線y=ax+1a的斜率故選：A.【變式9-1】4.（2023秋·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知直線l1的方程是y=mx+n，l2的方程是A． B．C． D．【答案】D【分析】有條件知，兩直線的斜率均存在且不為0，寫出它們的斜截式方程后再進行判斷．【詳解】解：∵mn≠0，∴直線l1∴直線l1的斜截式方程為y=mx+對于A選項，根據(jù)直線l1的圖象可知m>0，且n<0，因此直線l對于B選項，根據(jù)直線l1的圖象可知m>0，且n>0，因此直線l對于C選項，根據(jù)直線l1的圖象可知m<0，且n>0，因此直線l對于D選項，根據(jù)直線l1的圖象可知m<0，且n>0，因此直線l故選：D．題型10最值問題【例題10-1】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線xa+yb=1(【答案】7+43/【分析】由直線xa+yb=1(【詳解】∵直線xa+y∴2∴2a+b=2a+∴2a+b故答案為：7+43【變式10-1】1．（2021秋·高二課時練習）已知兩點A(3,0),B(0,4),動點P(x,y)在線段AB上運動,則xy（

）A．無最小值,且無最大值 B．無最小值,但有最大值C．有最小值,但無最大值 D．有最小值,且有最大值【答案】D【分析】利用截距式寫出線段AB的方程為x3+y【詳解】線段AB的方程為x3于是y=4從而xy=4顯然當x=32當x=0或3時,xy取最小值0.故選：D【點睛】本題考查了直線的截距式方程、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.【變式10-1】2．（2022·高二課時練習）過點P2,1作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A，B(1)當OA?OB取最小值時，求出最小值及直線(2)當PA?PB取最小值時，求出最小值及直線【答案】(1)x4(2)x3【分析】（1）設(shè)A(a,0),B(0,b)（2）由(1)可得b=aa?2,則可推出（1）解：根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為xa+y∵直線l過點P(2,1),∴又2a+1b≥2∴22ab≤1∴|OA|?|OB（2）解：由（1）可知2a+1