2024-2025學年上海市嘉定區(qū)高三上冊10月月考數(shù)學階段性檢測試卷（附解析）

2024-2025學年上海市嘉定區(qū)高三上學期10月月考數(shù)學階段性檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.已知集合，，則________.【正確答案】【分析】通過列舉表示集合，再根據(jù)交集的定義計算即可.【詳解】因為，所以.故答案為.2.不等式的解集為______．【正確答案】【分析】由不等式，可得，即可解得不等式的解集．【詳解】由不等式可得，

，

故不等式的解集為，

故答案為．本題考查絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式來解．3.雙曲線的離心率為______．【正確答案】【分析】由雙曲線的標準方程求得，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】因為雙曲線，所以，則，所以雙曲線的離心率為.故4.某校學生志愿者協(xié)會共有200名成員，其中高一學生100名，高二學生60名，高三學生40名.為了解志愿者的服務意愿，需要用分層抽樣的方法抽取50名學生進行問卷調(diào)查，則高三學生應抽取_________名.【正確答案】10分析】根據(jù)分層抽樣定義及性質(zhì)計算即可.【詳解】根據(jù)分層抽樣定義及性質(zhì),設高三學生應抽取名，.故10.5.拋物線過點，則點到拋物線準線的距離為______．【正確答案】【分析】將已知點代入拋物線方程求得，結合拋物線定義求解即可.【詳解】由題意，解得，所以拋物線的準線為，故所求為.故答案為.6.已知向量，，且滿足，則________.【正確答案】【分析】將平方轉(zhuǎn)化，再由即可求得.【詳解】因為，所以，所以，則，又因為，，所以，所以.故答案為.7.已知扇形的圓心角為，半徑為，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于________.【正確答案】【分析】首先得到圓錐的母線，再求出圓錐的底面半徑，即可得解.【詳解】依題意可得圓錐的母線，設圓錐的底面半徑為，則，解得，所以扇形圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值為.故8.設實數(shù)?滿足，則的最大值是___________．【正確答案】【分析】根據(jù)基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，當且僅當或時等號成立.故9.已知展開式的二項式系數(shù)之和為，則該展開式中的系數(shù)為________.【正確答案】【分析】由二項式系數(shù)和為求出，再寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【詳解】依題意可得，所以，則展開式的通項為，，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故10.已知和的圖像的連續(xù)三個交點，，構成，則的面積為________.【正確答案】.【分析】根據(jù)函數(shù)和的圖象，可知為等腰三角形，即可求的面積.【詳解】作出函數(shù)和的圖象，可知為等腰三角形，且的底邊長為π，高為，則的面積為.故答案為.11.在矩形中，邊，的長分別為，，若，分別是邊，上的點（不包括端點），且滿，則的取值范圍是________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，建立坐標系，設，根據(jù)條件，求得、的關系，代入數(shù)量積公式，即可求得答案.詳解】如圖，建立平面直角坐標系，所以，設，，其中，，因為，所以，即，又，，所以，即的取值范圍是1,4.故1,4.12.設集合A是由所有滿足下面兩個條件的有序數(shù)組構成：①；②；則集合A中的元素共有________個.【正確答案】232【分析】從條件②入手分類討論，應用排列組合知識即可得到有序數(shù)組的個數(shù)即可.【詳解】當時，有五個數(shù)是0，另一個數(shù)為1或，這樣有個；當時，中有四個數(shù)是0，另兩個數(shù)為兩個1或兩個或一個1和一個，這樣有個；當時，中有三個數(shù)是0，另三個數(shù)為三個1或三個或一個1和兩個或兩個1和一個，這樣有個；綜上集合A中的元素共有232個.故232二、選擇題（本大題共有4題，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分，滿分18分）13.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由可得或，即可判斷.【詳解】由可得或，又或所以“”是“”的充分不必要條件.故選:14.如果兩個三角形不在同一平面上，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形（）A.全等 B.相似C.相似但不全等 D.不相似【正確答案】B【分析】根據(jù)等角定理進行判斷.【詳解】根據(jù)等角定理：如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.兩個三角形的兩邊分別平行，那么這兩個三角形的三個角可能出現(xiàn)以下情況：（1）三組角對應相等，那么這兩個三角形相似；（2）三組角中有一組對應角互補，如，，，又，則，所以，此時兩個三角形相似；（3）三組角中有兩組對應角互補，如，，，由，則，這與矛盾，故這種情況不會出現(xiàn).（4）三組對應角都互補，即，，，這與，矛盾，所以該情況也不會出現(xiàn).綜上可知，兩個三角形相似.故選：B15.若實數(shù)a使得，則（）A. B.C.且 D.a可以是任意實數(shù)【正確答案】D【分析】先求時范圍，再求其補集即可.【詳解】設，則，所以，此方程組無解，所以使的實數(shù)不存在，即對任意的實數(shù)，總有，故選：D.16.已知函數(shù)是定義在上的嚴格單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，若其前項和小于零，則的值（）A.恒為正數(shù) B.恒為負數(shù) C.恒為0 D.可正可負【正確答案】A【分析】設等差數(shù)列前項和為，由題可知，則，再根據(jù)下標和性質(zhì)得到，，即可得到，，再結合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性得到，，從而得解.【詳解】函數(shù)是定義在上的嚴格單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，，且當，；當，．設等差數(shù)列前項和為，由題可知，則，即，則，．所以，，結合函數(shù)在上的單調(diào)遞減和奇函數(shù)性質(zhì)，可得，所以，，∴；綜上，的值恒為正數(shù)．故選：A．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分，解答下列各題必須寫出必要的步驟）17.如圖，在四面體中，，，從頂點作平面的垂線，垂足恰好落在的中線上，（1）若的面積為3，求四面體的體積；（2）若，且與重合，求二面角的大小.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由圖可得平面，從而，求出及，再由的面積求出，最后由錐體的體積公式計算可得；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】依題意可得平面，平面，所以，又，，所以，，又為的中線，所以，又，所以，所以；【小問2詳解】依題意可得平面，又，如圖建立空間直角坐標系，因為，所以，則，A2,0,0，，，所以，，設平面的法向量為m=x,y,z，則，取，又平面的一個法向量為，顯然二面角為銳二面角，設為，則，所以，即二面角的大小為.18.設函數(shù)，.（1）求方程的實數(shù)解；（2）若不等式對于一切都成立，求實數(shù)b的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）轉(zhuǎn)化為關于的一元二次方程進行求解.（2）分離參數(shù)，構造函數(shù)，求導得到的最小值即可求解.【小問1詳解】由，代入方程得：，即，解得，即.【小問2詳解】不等式即，原不等式可化為對都成立，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，故當時，，所以，即，解得：19.甲乙兩人輪流投擲骰子（正方體型，六個面分別標記有1，2，3，4，5，6點），每人每次投擲兩顆，（1）甲投擲一次，求兩顆骰子點數(shù)相同的概率；（2）甲乙各投擲一次，求甲的點數(shù)和恰好比乙的點數(shù)和大點的概率；（3）若第一個使兩顆骰子點數(shù)和大于者為勝，否則輪由另一人投擲.求先投擲人的獲勝概率.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；（2）記投擲一次兩顆骰子點數(shù)為，則的可能取值為，，，，，求出所對應的概率，再由相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；（3）由（2）可知同時投擲兩顆骰子點數(shù)和大于的概率為，分析可得先投擲的人第（且）輪獲勝，其概率為，再由無窮等比數(shù)列求和公式計算可得，【小問1詳解】記兩顆骰子點數(shù)相同為事件，則；【小問2詳解】記投擲一次兩顆骰子點數(shù)為，則的可能取值為，，，，，所以，，，，，，記甲的點數(shù)和恰好比乙的點數(shù)和大點為事件，則；【小問3詳解】由（2）可知同時投擲兩顆骰子點數(shù)和大于的概率為，若先投擲的人第一輪獲勝，其概率為；若先投擲的人第二輪獲勝，即第一輪兩人的點數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；若先投擲的人第三輪獲勝，即前兩輪兩人的點數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；若先投擲的人第四輪獲勝，即前三輪兩人的點數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；，分析可得，若先投擲的人第（且）輪獲勝，其概率為；所以、、、組成以為首項，為公比的無窮等比數(shù)列，所以，從而，先投擲人的獲勝概率為.20.如圖，橢圓：的左右焦點分別為、，設Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點，、的延長線分別交橢圓于點，（1）若軸，求的面積；（2）若，求點的坐標；（3）求的最小值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由橢圓方程求出，從而可得坐標，將其橫坐標代入橢圓方程中可求出的值，進而可求出的面積;（2）設點的坐標為，則直線的方程為，代入橢圓方程中求出得，因為，可得，計算即可得出坐標；（3）由（2）同理可求得，從而可得化簡后結合基本不等式可得答案【小問1詳解】設橢圓半長軸長為，短半軸長為，半焦距為，由橢圓，得，則，所以，當時，，得，所以所以的面積為;【小問2詳解】設點的坐標為（），則直線的方程為，將其代入橢圓方程中可得，整理得，所以，得，所以，因為，所以，可得，化簡得，解得，代入得出所以點的坐標為【小問3詳解】由（2）得同理可求得，所以當且僅當，即時取等號，所以的最大值為關鍵點點睛：的最大值得關鍵是結合韋達定理得出,再轉(zhuǎn)換未知量,最后應用基本不等式求解即可.21.設函數(shù)，直線是曲線在點處的切線.（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間.（2）求證：不經(jīng)過點.（3）當時，設點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積.是否存在點使得成立?若存在，這樣的點有幾個?（參考數(shù)據(jù)：，，）【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明見解析（3）2【分析】（1）直接代入，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可；（2）寫出切線方程，將代入再設新函數(shù)，利用導數(shù)研究其零點即可；（3）分別寫出面積表達式，代入得到，再設新函數(shù)研究其零點即可.【小問1詳解】當時，定義域為，則，當時，；當，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.即的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】，切線的斜率為，則切線方程為，將代入則，即，則，，令，假設過，則在存在零點.，在上單調(diào)遞增，，在無