2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義-平面向量的數(shù)量積解析版

第27講平面向量的數(shù)量積

1、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）

對于兩個(gè)非零向量〃與〃,我們把數(shù)量I。ISIcos<4]>叫做。和人的數(shù)量積（或內(nèi)積）,記作〃力，即

a-b^a\\b\cos<a,b>o

2、兩個(gè)向量內(nèi)積有如下重要性質(zhì)

⑴如果e是單位向量，則=|。|cos<>（〃w0）.

（2）a.Lb<^a-b=Q

⑶Q?Q=|aF或〃=yja-a

/八7a?b

（4）cos<a,b>=--------.

（5）|。小區(qū)|a||b|

題型一：平面向量數(shù)量積的定義

I.（江西景德鎮(zhèn)一中高一期中（理））在枷。中，若淺?罰<0,則此三角形為（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形

【答案】A

【詳解】

AB-AC=|AB|-|AC|COSA<0,

cosA<0,

???ZA是鈍角，則反48。是鈍角三角形.

故選：A.

2.（北京東城?）若。,6都是單位向量，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.a=bB.a-b=lC.aIlbD.|a|=|^|

【答案】D

【詳解】

方向相同大小相等的向量是相等向量，但是4涉不一定方向相同，故A錯(cuò)誤；

0為=?0-00￡=1,a為。力的夾角，因?yàn)榇蚴?,句，所以cosae，所以ab不一定等于1,故B

錯(cuò)誤；

方向相同或者相反的向量是平行向量，但是不一定方向相同或相反，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?。涉都是單位向量，所以?i，w=i,所以口=M,故D正確，

故選：D.

3.（上海）下列等式正確的是（）

A.0-c=0B.a?（b?c）=（a?b）,cC.a-0=QD.0-Z?=0

【答案】D

【詳解】

對A,0.c=0,故A錯(cuò)誤；

對B,由于向量的數(shù)量積為數(shù)，所以向量不滿足乘法的結(jié)合律，故B錯(cuò)誤；

對C,。.0=0,故C錯(cuò)誤，

對D,向量的數(shù)量積為數(shù)，故0.6=0正確.

故選：D.

4.（全國）下列命題正確的是（）

A.\a'b\=\a\\b\B.a-b^0<=>|a\+\b\^Q

C.a-b=0<=>|a\\b\=0D.（a+b）c=ac+bc

【答案】D

【詳解】

解：對于A：,4=麗|同<4,6>],故A錯(cuò)誤;

對于B:由夕6#0可以得到1〃1+|6快。，但是由1。1+1?？?。得不到，當(dāng)分時(shí)a/=0，故B錯(cuò)誤；

對于c:若Z%=o貝！]|Z||B|=o或,故c錯(cuò)誤；

對于D：+c+bc,故D正確；

故選：D

5.（全國高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的個(gè)數(shù)是

?AB+BA=0；?0AB=0；?AB-AC=BC；④0A5=0

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【詳解】

由兩相反向量的和為零向量知①正確；

由于兩向量的數(shù)量積結(jié)果為一實(shí)數(shù)知②錯(cuò)誤，正確結(jié)果應(yīng)為0；

由向量的減法運(yùn)算法則AB-AC=CB,③錯(cuò)；

由向量數(shù)乘的意義知0-=0,④錯(cuò)，

即正確的個(gè)數(shù)是1,故選A.

6.(浙江高一單元測試)設(shè)〃、6、c是非零向量，則下列說法中正確是

A.(a-b)-c=(c-b),aB.卜-6目4+.

c.若q.b=o.c,貝Ub=cD.若ab,ac,貝!c

【答案】D

【詳解】

由題意得，對于A中，(a.6).C表示與c共線的向量，

(c-b).a表示與“共線的向量，所以不正確；

對于B中，d-b=O時(shí)，此時(shí)w+可=。，

而卜-6卜2忖＞。，所以不正確；

對于C中，若4.。=4.0=0,

而此時(shí)b與。不一定是相等向量，所以不正確；

對于D中，因?yàn)閍、b、C是非零向量，

若。/lb,aI/c,則6//c是正確.

故選：D.

題型二：平面向量數(shù)量積的意義

1.(江西九江一中高一期中)向量。=(-1,1)在向量。=(-3,-4)上的射影為()

A.且B.一立C,-D.--

2255

【答案】D

【詳解】

向量。=（-1,1）在向量。=（-3,T）上的射影為

ab__（—1）x（-3）+1x（-4）_￡

WJ（一31+（-4）2—5，

故選：D

2.（四川成都外國語學(xué)校高一期中（理））已知同=6，忖=3，向量a在方方向上投影是4,則夕6為（）

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【詳解】

解：設(shè)兩個(gè)向量的夾角為。，由題意已知同=6，忖=3,

.a-b

向量。在6方向上投影是4,貝?。?=W,

所以“必=4忖=12;

故選：A.

3.（河北巨鹿中學(xué)高一月考）已知卜|=2,向量a與向量b的夾角為120。，e是與6同向的單位向量，則a

在6上的投影向量為（）

A.eB.—yfieC.geD.—e

【答案】D

【詳解】

解：因?yàn)榇?2,向量〃與向量〃的夾角為120。，e是與8同向的單位向量，

所以〃在〃上的投影向量為

,卜0$120。?6=2x（-；）e=-e,

故選：D

4.（浙江紹興?）已知向量。=（3,-1）,匕=（1,。），貝h在人方向上的投影是（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】D

【詳解】

II,a-b3x1

。在b方向上的投影為眄c°s<。*>=慟=丁=3.

故選：D

5.（江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)高一期中）已知向量4=（2,1）,b=（l,-1），向量a在6方向上的投影向量為（）

A.（2,-2）B.（/-；）C.（|,1）D.（），一爭

【答案】B

【點(diǎn)睛】

a-b2-1V2

向量。在6方向上的投影=討=

所以向量4在8方向上的投影向量為乎乎，-*JU1

故選：B

6（全國高二課時(shí)練習(xí)塔忖=4,慟=2”和6的夾角為30，則a在6的方向上的投影向量的模長為（）

A.2B.73C.2^/3D.4

【答案】C

【詳解】

a-Z?=|a|-|z?|cos30=4x2x^^=4百,

bb

os3X=4XX=

a在人的方向上的投影向量為：|+°|^T2^-

所以a在6的方向上的投影向量的模長為|君4=2百,

故選：C.

7.（湖北）已知向量。=（。,-2石），b=Q,g），與b同向的單位向量為e,則向量a在6方向上的投影向量

為()

A,#>eB.3eC.eD.-3e

【答案】D

【詳解】

a在b方向上的投影為T=0*1+(起)*6=_3，又《是與匕方向相同的單位向量，..々在8方向上

\b\VI+3

的投影向量為-3e

故選：D

題型三：模

1.(嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高二期末(文))已知向量a,6的夾角為60。，忖=1,W=2，則()

A.1B.2百C.V7D.2

【答案】D

【詳解】

:向量a,6的夾角為60。，且忖=1,1|=2,/.tz-Z?=lx2xcos60°=1,

12a-q=J(2a-b)2=^Aa-4a-b+b=<4-4+4=2.

故選：D.

2.(全國)已知e為單位向量，且。=2e,b=-3e,則|a-46|=()

A.3B.5C.10D.14

【答案】D

【詳解】

因?yàn)閑為單位向量，所以Ie|=1,

\a-4b|=J(a-46)2=&2e+12e￥=J(14e)?=14.

故選：D

3.(梁河縣第一中學(xué)高二月考)已知間=4,忖=8,。與萬的夾角為120。，則W-用=()

A.8石B.6石C.5幣D.80

【答案】A

【詳解】

=^4X42+4X4X8X1+82=873.

故選：A

4.（河西?天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)）平面向量”與b的夾角為60。，。=（2,0）,*1,則卜+20等于（）

A.73B.273C,4D.12

【答案】B

【詳解】

因?yàn)閍=（2,0），W=l,

所以同=2,

因?yàn)橄蛄俊ㄅc人的夾角為60。，

所以a-b=WWcos60o=2xlxg=l,

所以卜+24=\la+4a-b+4b2=,4+4+4=2m,

故選：B

5.（?？谥袑W(xué)高三月考）已知|Z|=2,l|=2,7B=l,則|>==（）

A.76B.2C.20D.3

【答案】A

【詳解】

rrr2rrr2

\a-b^-a-2a-b+b=4-2xl+4=6,

所以|。-6|=6.

故選：A

6.（遵義市第三中學(xué)高一期中）已知向量a,b，滿足a.6=0，忖=1,卜|=2.則囚-6卜（）

A.4B.2A/2C.6D.8

【答案】B

【詳解】

因?yàn)閍-b=O，忖=1，1|=2,

所以-4a力+7=j4-O+4=20,

故選：B

7.(涇縣中學(xué)高一月考)設(shè)向量i,/均為單位向量，且滿足,則卜+3力=()

A.V13B.13C.4D.5

【答案】A

【詳解】

因?yàn)?，所?j=。

所以卜+3j|=柄+3/『=州+9心12”=岳.

故選：A

8.(湖南)已知向量4,6的夾角為:,?=(-3,4),a-b=10，則慟=()

A.2V2B.2.73C.3^D.40

【答案】A

【詳解】

解：由。=(-3,4),得忖=’(-3)2+4,=5,

兀

因?yàn)橄蛄?/Z?的夾角為1,a-b=10,

所以麗cos?=10,所以5x,忖=10,解得上|=2后,

故選：A

9.(陜西漢中?高三月考(理))若單位向量9滿足("24("+q=-3,貝！等于()

A.1B.V2C,y/3口.與

【答案】C

【詳解】

解：因?yàn)椤?為單位向量，

所以(Q_2Z?)?(Q+6)=|N-a-b-2\t^=-a-b-l=-^，所以=

所以=J|tz|-2tz/?+|/?|=6,

故選：c.

io.(酉陽土家族苗族自治縣第三中學(xué)校高三模擬預(yù)測)已知向量a,b滿足IaH"=1。。1=1,則|2。+6卜

()

A.3B.73C,7D.V?

【答案】B

【詳解】

???向量火。滿足|〃|=|。|=|〃+切=1,

2

.,.|a+b|2=|a|2+2a-b+\b\=2+2a-b=lz

/.2a,b——1i

，|2a+邸=4|a『+4a心+|邸=4-2+1=3,

|2a+Z?|=V3,

故選：B

11.(全國高三模擬預(yù)測(理))平面向量a與。的夾角為60°，同=2,b=(l,-^3),^]\2a-b\=()

A.12B.2A/3C.6D."

【答案】B

【詳解】

由已知⑶=2,

2a-/>|2=(2<2-/>)2=4?2-4tzZ>+Z>2=4x22-4x2x2xcos60°+22=12,

.-.12a-b\=2y/3.

故選:B.

12.(西藏拉薩中學(xué)高三月考(文))已知平面向量〃與〃的夾角為30。，且〃=(1,6)，。為單位向量，則

\a+-j3b|=()

A.1B.V13c.VnD.7+2A/3

【答案】B

【詳解】

由已知可得1。1=2,聞=1,貝（］?！?|。||切8$30。=百,

|a+\/3b|2=（a+A/3￡>）2=a+2\/3a-b+3b=4+6+3=13，則|a+Gb|=Vi'^.

故選：B.

13.（全國高三月考）已知平面向量〃與b的夾角為60。，a=（2,0）,叫=1,則卜-2b|的值為（）

A.0B.2

C.4D.1

【答案】B

【詳解】

因?yàn)?（2,0）,所以|a|=2,又平面向量。與b的夾角為60。，聞=1

2222

|?-2^|=^|?|^|fl||/?|Cos60°+4|Z>|=J2-4x2xlx1+4xl=2

故選：B

14.（威遠(yuǎn)中學(xué)校高一月考（文））已知a,b滿足：同=3，忖=2,\a+b\=4，則卜-6卜（）

A.石B.75C.72D.V10

【答案】D

【詳解】

||2I|2,.22-22-2.2

"+Z?|—h=（〃+/?）?+（〃—b）?=a—2a,b+b+〃+2a?b+b=2〃+2Z?=2x3^+2x22=26,

所以,=26-卜+〃=10z\a-b^.

故選：D.

題型四：平行與垂直關(guān)系

1.（廣東惠州?高一期中）已知向量。=（1,一1）,6=（-。）,且,db,貝（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】c

【詳解】

由題知，向量。=（L-1）,b=（-l,t）,

若a_Lb，則lx（T）+（T）xf=。,t--l.

故選：C.

2.（廈門市湖濱中學(xué)）已知向量。=（2,-1,2）,A（-l,x,l）,8（1,-1,1）,^a±AB，則實(shí)數(shù)》的值為（）

A.-5B.0C.-1D.5

【答案】A

【詳解】

由題意得，。4=（一1,1）,。8=（1,-1,1）,所以48=08-。4=（2,-1一％0）,

因?yàn)閍_LAB,所以a-AB=O,所以AB=2x2+（-l）x（-l-尤）+2x0=0，得x=-5.

故選:A

3.（沙坪壩?重慶八中高三月考）已知向量。=（T4）,。=（2,加），若a'b，貝巾-25=（）

A.（-5,20）B.（-5,-12）C.（-5,5）D.（-5,3）

【答案】D

【詳解】

由條件，fl-Z?=-2+4/71=0，所以=:，從而。-2b=（-5,3）.

故選：D

4.（貴州凱里一中高二期末（文））若|。|=1,一人，則e（b-2a）=（）

A.-1B.1C,-2D.2

【答案】c

【詳解】

a.（b-2a）=a■b—2同=0—2=—2

故選：C

5.（全國高一課時(shí)練習(xí)）已知向量。=（T2）,力=（2,f）,且d//6,那么f等于（）

A.-4B.-1C.1D,4

【答案】A

【詳解】

因?yàn)閍=（T,2）,b=（2,t）,且aHb,

所以匹必必即一lxt=2x2,解得/=—4

故選：A

6.（四川射洪中學(xué)高三月考（文））已知4=（3,1）,人（2,㈤，若Z/力，則實(shí)數(shù)X的值為（）

,23

A.—B.—C.-D.一

3232

【答案】C

【詳解】

2

因?yàn)椤?/6,所以32-2=0,解得2=§

故選：C

7.（湖南高二月考）向量。=（4,2"=（6?）,若q/必，則N=（）

A.3B.-3C.12D.-12

【答案】A

【詳解】

由于a//6,所以4y-2x6=0,解得y=3.

故選：A

題型五：夾角

1.（全國）泡為平面向量，已知:=（1,2）工=（1,0）,則:工夾角的余弦值等于（）

A.gB.一好C,-D.--

5555

【答案】A

【詳解】

設(shè)編向量的夾角為9,則cos6=卷土=器=名

I?II|75'

故選：A.

2.（云南省南澗縣第一中學(xué)高一月考）設(shè)向量;，=（3,4）,^=（-1,1）,貝1|cos<a,6>=（）

V2B3西Vio

A.C

10,10-T'"I-

【答案】A

【詳解】

因?yàn)?=（3,4）,。=（一1,1）,

,a-b3x(-l)+4xl后

COS<Cl、b>=i~n_r=-------7=---=

所以WW5x7210-

故選：A.

3.（山西臨汾?）設(shè)。=（石』）,6=（-3,百），貝a與。的夾角為（）

A：B-C.?D.

233

【答案】C

【詳解】

解：因?yàn)閍=（>/=（-3,括）,

所以|“|=2,|6|=2石,=Qx（-3）+lx石=-2代,

設(shè)向量。與b的夾角。,

.八a,b—2。31

所以cos0=-----=-^-==——，

"I人IflII&I2x2招2

又噴股n,

所以a與的夾角為年.

故選：C.

4.（浙江堇B州?寧波咸祥中學(xué)高一期中）已知“=（2,-1）涉=（1,3）,則。,6夾角的余弦值等于（）

A.立B.標(biāo)C.—D.一變

551010

【答案】D

【詳解】

/\a-b-1V2

依題意cos”z）=麗=反旃=-而?

故選：D

5.（江蘇江都?高一期中）已知向量”（-后1）,b=（2,-2向，貝（Ia與方的夾角為（）

,7U-5兀-3兀

A.-B.-7iC.-D.—

6634

【答案】B

【詳解】

/a-b-gx2+lx12g&

\/\a\-\b\>/3+174+122

所以”>=|■萬,

故選:B.

6.（山東荷澤?高一期末）設(shè)向量,人（元,-3）,若力1，則與〃的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

【答案】B

【詳解】

解：因?yàn)橄蛄俊保ㄓ摇梗?b=（x-3）,bla,

所以后-3=0,解得尤=石,

所以6=（6-3）,則°一6=（0,4）,

八（a-bYa41

設(shè)t與。的夾角為e，則8so=丘弁=76=5，

TT

因?yàn)槿f］,所以6=§,即"60。，

故選：B

7.（全國高三專題練習(xí)（文））已知非零向量。=&0）1=卜1，石）,若7。=一4,貝!la+26與b的夾角為

（）

A71巴

A-3BR-2

【答案】A

【詳解】

,**d'b——4=—t,?，?仁4i：.a=（4,0），又b=（-1,^/^）,

a+2b=^2,2＞/3.

八（a+2b）b-2+6