2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念及其表示專項(xiàng)講義（原卷版+解析）

第6講函數(shù)的概念及其表示

|■^知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念

函數(shù)

兩集合A,BA,B是兩個(gè)非空數(shù)集

對(duì)應(yīng)關(guān)系如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,

/：4一5在集合B中都有唯一確定的數(shù)外詞與之對(duì)應(yīng)

名稱稱力為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

記法y=f(x),x^A

注：①函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射.

②直線x=a與函數(shù)y=_/(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).

③在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集4,B,A即為函數(shù)的定義域，集合B不一定是函數(shù)的值域，它包含了函

數(shù)的值域，即值域是集合8的子集；

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的定義域、值域

(1)函數(shù)y=f(x)直變量取值的范圍A叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合=x)lxG4｝叫做函數(shù)的值域:

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)法則完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).

注：①函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則.

②同一函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同.

③若兩函數(shù)的值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則兩函數(shù)不一定相同，如：y=x2(xK))與？=好.

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

解析法(最常用)圖象法(解題助手)列表法

就是把變量X,y之間的關(guān)系就是把％,y之間的關(guān)系繪制就是將變量x,y的取值列成

用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)=/(x)來表成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表格，由表格直接反映出兩者

示，通過關(guān)系式可以由X的值就是相應(yīng)的變量％,y的值.的關(guān)系.

求出y的值.

知識(shí)點(diǎn)4分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分

段函數(shù).

注：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)在書寫時(shí)要用大括號(hào)把各段函數(shù)合并寫成一個(gè)

函數(shù)的形式，并且必須指明各段函數(shù)自變量的取值范圍;其次，一個(gè)函數(shù)只有一個(gè)定義域，分段函數(shù)的定義

域只能寫成一個(gè)集合的形式，不能分開寫成幾個(gè)集合的形式.寫分段函數(shù)的定義域時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)應(yīng)不重不漏;

最后，求分段函數(shù)的值域，是分別求出各段上的值域后取并集.另外，作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段

的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖

時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏。

喜,高頻考點(diǎn)

觀察法r

配方法-?

分離常數(shù)法

換元法一一求函數(shù)的值域—

函數(shù)的概念

判別式法-考點(diǎn)一函數(shù)的概念｛

同一函數(shù)的判斷

單調(diào)性法-考點(diǎn)四求函數(shù)的值域

基本不萼式法J

r求具體函數(shù)的定義域

已知函數(shù)?」

考點(diǎn)二求函數(shù)的定義域--求抽象函數(shù)的定義域

函數(shù)的概念及其表示J逆用函數(shù)的定義域

已知自變量的值求函數(shù)值-

已知函數(shù)值求自變量的值-

（-待定系數(shù)法

-分段函數(shù)求值—

分段函數(shù)與不等式的綜合—

_配湊法

分段函數(shù)圖象及其應(yīng)用J考點(diǎn)五分段函數(shù)

一換元法

考點(diǎn)三求函數(shù)的解析式

求分段函數(shù)的值值」

-利用函數(shù)的奇偶性求解析式

J構(gòu)造方程組法

J賦值法

第三冬

真題熱身

1、（2023?浙江）已知aeR,函數(shù)=F一4x,'若f（f函））=3,則。=

1|X-3|+6Z,X?2?

2、（2023?北京）函數(shù)/（?=」一+版的定義域是_______.

X+1

3、（2023?全國）已知，（x）=[2：x<°,若/%）+y（_2）=o,貝!Ja=____

[%,x.O

4.（2023?江蘇）函數(shù)y=47+6x-x,的定義域是.

5.（2023?新課標(biāo)II）設(shè)/（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)尤..0時(shí)，f{x}=ex-1,貝!J當(dāng)x<0時(shí)，/（%）=（）

A.ex-lB.ex+lC.-e-x-1D.+1

6、（2023?上海）下列函數(shù)中，值域?yàn)閇0,+oo）的是（）

A.y=2xB.y=x2C.y=tanxD.y=cosx

7、（2023?天津）已知aeR.設(shè)函數(shù)/⑺=一+2a,%,1,若關(guān)于》的不等式/⑴0在氏上恒成立，則

[x-alnx,x>1?

。的取值范圍為（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一函數(shù)的概念

解題方略：

函數(shù)的概念

⑴函數(shù)的定義要求第一個(gè)非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在第二個(gè)非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)

應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而5中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.

⑵構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同.同一函數(shù)需滿足定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均

相同

【例1-1］（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列四個(gè)圖像中，是函數(shù)圖像的是（）

A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)

【例1-2］（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）

①〃尤）=與g（x）=xQ7.②尤）=了與8（尤）=斤.③/（x）=x°與g（x）=5?@/（X）=X2-2X-1

與g⑺=『-2T.

A.①②B.①③C.③④D.①④

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象與直線x=l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（）

A.至少1個(gè)B.至多1個(gè)C.僅有1個(gè)D.有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)

2、（2023?湖南?高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合M={x|0Wx<2},N={y|0M”2},那么下列四個(gè)圖形中，能表示

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A./(x)=elm,g(x)=x

2-4

B.f(x)=——X—,g(x)=x-2

x+2

C./(x)=x°,g(x)=l

D./(x)=|x|,XG{-1,0,1},g(x)=x2,XG{-1,0,1)

考點(diǎn)二求函數(shù)的定義域

解題方略：

函數(shù)的定義域:就是使得函數(shù)解析式有意義時(shí)，自變量的取值范圍就叫做函數(shù)的定義域，定義域必須

用集合或區(qū)間表示.若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“U”連接.研究函數(shù)問題都應(yīng)該注

意“定義域優(yōu)先”，拋棄函數(shù)的定義域解決函數(shù)問題沒有任何意義。但大部分學(xué)生都會(huì)忽視這一問題，所以

被稱為隱形殺手，一定要確立定義域優(yōu)先的思想。

(一)求具體函數(shù)的定義域

求具體函數(shù)(用解析式給出)定義域的基本原則有以下幾條：(注不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡變形,以免定義域

發(fā)生變化)

(1)分式：分母不能為零；

(2)根式：偶次根式中根號(hào)內(nèi)的式子大于等于0,(如只要求A20)對(duì)奇次根式中的被開方數(shù)的正

負(fù)沒有要求;(若偶次根式單獨(dú)作為分母，只要偶次根式根號(hào)內(nèi)的式子大于0即可，如公，只要求4>0)

(3)零次塞：中底數(shù)xwO；

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零,底數(shù)為大于0且不等于1；

；(5)三角函數(shù)：正弦函數(shù)丁=5山1的定義域?yàn)镽,余弦函數(shù)y=cosx的定義域?yàn)镽,正切函數(shù)y=tan無

7T7T

的定義域?yàn)?lt;XXW版_+萬,左￡Z>,若丁=1211/(%),則/(%)W左萬+耳,左￡Z

；(6)若/(X)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的

定義域的交集.

(7)在求實(shí)際問題或幾何問題的定義域，此時(shí)除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題或幾何問題

有意義

注：剝洋蔥原理?一層一層“交集（同時(shí)成立）一最后把求定義域轉(zhuǎn)化成解不等式。

【例2-1]（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)V=岳三+工的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

x-3

A.|,+oojB.（-00,3）U（3,+oo）

C.-3jL（3,+◎D.（3,+co）

【例2-2]（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)>=普『+（2尤+1）°的定義域?yàn)椋?/p>

)

Vl-2x

A.

C.2，+°°

【例2-3】(2023?江西?南昌十中模擬預(yù)測(理))設(shè)全集。=11,集合“=回丁=111(;—1)｝,"=｛劃,=47二^｝，

則Mc(qN)=()

A.(1,2)B.(1,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo)

【例2-4]（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測）函數(shù)〃外=等?的定義域?yàn)開_____.

X—1

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)"X）=J*+3x+4+lg（x-2）的定義域是（）

A.[-1,4]B.（-1,4]C.[2,4]D.（2,4]

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)”無）="=1+1三的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,2）B.（2,+s）

C.(f2)l(2,+oo)D.[0,2）（2,4W）

3、(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=［*+lgfjj-1的定義域?yàn)?

(二)求抽象函數(shù)的定義域

謹(jǐn)記兩句話：定義域(永遠(yuǎn))指的是x的取值范圍

同一個(gè)/下括號(hào)內(nèi)的范圍是一樣的

①已知/(x)的定義域，求〃gQ)］的定義域,其解法是：若/(x)的定義域?yàn)?S'二匕，則/Tg(x)］中

從中解得的取值范圍即為〃g(x)］的定義域。

②已知/TgQ)］的定義域，求/(x)的定義域。其解法是:若f［g(x)］的定義域?yàn)橛?題，則由用4x4附

確定的范圍即為了(組的定義域。

③已知］［gQ)］的定義域，求/T〃(x)］的定義域。其解法是:可先由f［g(x)］定義域求得/(%)的定義域，

再由/(%)的定義域求得了［/i(x)］的定義域。

④運(yùn)算型的抽象函數(shù)

求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集。

【例2-5］(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域［-2,2］,則函數(shù)/(x-1)的定義域?yàn)?)

A.[-2,2]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[0,2]

【例2-6］(2023?北京?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=的定義域?yàn)?0,1),則函數(shù)*同=*2'-1|)的定義

域?yàn)?)

A.B.(-cc,o)u(o,l)c.(0,+ao)D.[0,1)

【例2-7](2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X+1)的定義域?yàn)?-2,0),則的定義域?yàn)?)

A.(-1,0)B.(-2,0)C.(0,1)D.

【例2-8】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)y=/（尤）的定義域是[0,8],則函數(shù)g（x）=；^的定義域是（）

A.(L32)B.(1,2)C.(1,32]D.(1,2]

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)>=/（彳-1）的定義域?yàn)閇1,3],則函數(shù)y=〃log3X）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,1]B.[1,9]C.[0,2]D.[0,9]

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（2）的定義域?yàn)閯ty=〃log2X）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-1,1]B.[V2,4]C.；,2D.[1,4]

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)閇-2』，則函數(shù)y=靄[j）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,1]B.[0,1）C.（0,1]D.（0,1）

（三）逆用函數(shù)的定義域

①已知函數(shù)的定義域，求參數(shù)范圍問題，需運(yùn)用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，常轉(zhuǎn)化為恒成立問

題來解決.

>0

②不等式辦2+法+00的解是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng)。=0時(shí)，b=O,c>0；當(dāng)awO時(shí)，/n；

[A<0

、[a<0

不等式依2+法+0〈0的解是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是當(dāng)〃=0時(shí)，ZF=O,C<0；當(dāng)awO時(shí)，1.

[A<0

【例2-9]（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=Jd+依+i的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)4取值范圍是

A.[-2,2]B.（2,內(nèi)）C.（一-2）D.（-2,2）

【例2-10】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/5）=/,的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)”取值范圍是（）

7mx—mx+2

A.[0,8）B.（8,+8）

C.(0,8)D.(一0°,0)o(8,+oo)

【例2-11】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=的定義域是R,則實(shí)數(shù)"的取值范圍是（）

ax+ax-3

A.（-12,0）B.（-12,0］C.（1,+oo）D.（-℃,，

【例2-12］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=J（1-片）￡一（1一如+2.

（1）若了⑴的定義域?yàn)?1,1］,求實(shí)數(shù)"的值；

（2）若Ax）的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=Ja+2ax*（其中。＞0）,其定義域的區(qū)間長度不超過2加,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

1

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=近川力…川的定義域?yàn)镽'則0的范圍是

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=j2_i°g（.1）的定義域（1，1°），則實(shí)數(shù)"的值為

考點(diǎn)三求函數(shù)的解析式

解題方略：

求函數(shù)的解析式的常用方法

①待定系數(shù)法：（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）

若已知/（%）的結(jié)構(gòu)時(shí)，可設(shè)出含參數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件，列方程或方程組，從而求出待定的參數(shù),

求得了（X）的表達(dá)式。

②配湊法：已知復(fù)合函數(shù)〃g（x）］的表達(dá)式，求"X）的解析式，〃g（x）］的表達(dá)式容易配成g（x）的運(yùn)算

形式時(shí)，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)/(X)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是g(x)的值域。

③換元法：已知/'(g(x))的表達(dá)式，欲求/(X),我們常設(shè)/=g(x),從而求得％=8-1⑺，然后代入

/(g(x))的表達(dá)式，從而得到了⑺的表達(dá)式，即為/'(%)的表達(dá)式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義

域的變化。

注：在求解析式時(shí)，一定要注意自變量的范圍，也就是定義域.如已知穴G)=x+1,求函數(shù)式制的解析式,

通過換元的方法可得_/(丫)=爐+1,函數(shù)式X)的定義域是[0,+co),而不是(一8,+co).

④利用函數(shù)的奇偶性求解析式：一般為已知x>0時(shí)，f(x)的解析式，求x<0時(shí)，f(x)的解析式。首先求出f(-x)

的解析式，根據(jù)f(X)=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)

⑤構(gòu)造方程組法：若出現(xiàn)/(X)與/(-)的關(guān)系式、/(X)與/(-X)的關(guān)系式或一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的關(guān)

i系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出/(X)。

(1)互為倒數(shù)：f(x)+/(—)=g(x)；

X

(2)互為相反數(shù)：/0)+/(7：)=80)或口(彳)=/0)+80)(70)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù))。

⑥賦值法：當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對(duì)具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使

問題具體化、簡單化，從而求得解析式。

(一)待定系數(shù)法

【例3-1】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知“X)是一次函數(shù)，且滿足3〃尤+1)-〃尤)=2尤+9

【例3-2](2023?全國?高三專題練習(xí))已知二次函數(shù)滿足〃2x+l)=4d-6x+5,求〃尤)的解析式；

【題組練透】

1、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知一次函數(shù)f(x)=?x+萬滿足/(-1)=-2,/(x+2)-/(%)=2.

⑴求實(shí)數(shù)生力的值;

(2)令g(x)=f(/(x-l)),求函數(shù)g(尤)的解析式.

2、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知了⑴是一次函數(shù)，且/"(尤))=以-1,則/(x)的解析式為

A./(x)=2x-g或/(x)=-2x+lB.f(x)=2x+l或f(x)=-2x-l

C./(x)=2x-1/(x)=-2x+1D./'(x)=2x+l或/'(x)=2x-l

3、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/'(X)是二次函數(shù)，ja/(x+l)-/W=4x+3,/(l)=l,求〃x).

（-）配湊法

【例3-3］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知/（尤+求/（X）的解析式;

【例3-4］（河北省保定市2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)3-2+1,則函數(shù)

kx7xx

g（x）=/（x）-4x的最小值為（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【題組練透】

1、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/"+1)=9+23-3,貝!!f(x)=()

A.x2+4xB.%2—4

C.x2+4x—6D.x2-4x-1

2、(2023,全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)了(%)滿足,f(sinx)=cos2%+cos2x,貝!!/(sinx-cosx)=()

A.3sin2x-lB.l-3sin2x

C.3cos2x-lD.l-3cos2x

4、已知函數(shù)/仕+1]=±-1,求/(x)的解析式.

1X)X

(三)換元法

【例3-5](2023?全國?高三專題練習(xí))已知/(?-l)=x,求/(*)的解析式.

【例3-6](2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)滿足/(COSX—l)=cos2x—1,則/(九)的解析式為

()

A.f(x)=2x2+4x(-2<x<0)B./(x)=2x2+4x(xe7?)

C./(x)=2x-l(-2<x<0)D./(x)=2x-l(xe7?)

【例3-7】(2023?全國?高三專題練習(xí)))已知函數(shù)Ax)在定義域R上單調(diào)，且xe(0,內(nèi))時(shí)均有/(/(x)+2x)=1,

則/(-2)的值為()

A.3B.1C.0D.-1

【題組練透】

1、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x+l)=d-x+3,那么/(x-1)的表達(dá)式是.

2、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)=則〃x)的解析式為()

A./(X)=77^GWT)B?

C./(x)=7^r(xwT)D?=

3、(2023?陜西西安?一模(理))已知〃%+l)=ln%2,則〃力=()

A.ln(x+l)2B.21n(x-l)C.21n|j;-l|D.ln(x2-l)

4、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)在H上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對(duì)任意無￡R,都有打3x]=4,

則"2)的值是()

A.2B.4C.7D.10

5、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知11=2］+3,若了（。=5,貝〃=（

)

￡

A.C.

45

（四）利用函數(shù)的奇偶性求解析式

【例3-8】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，/（x）=x2-2x+3,當(dāng)x＜0

時(shí)，求解析式；

【例3-9］（2023?山東日照?模擬預(yù)測）設(shè)〃元）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)尤＞0時(shí)，/（x）=x3-8,貝?。?/p>

〃彳-2）＜0的解集為（）

A.（-4,0）（2,+oo）B.（0,2）u（4,+co）

C.S，0）（2,4）D.（44）

【例3-10］（2023?青海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室二模（理））若/（X）是定義在R上的奇函數(shù)，且

〃x+l）是偶函數(shù)，當(dāng)0＜止1時(shí)，/（力=-，貝!J當(dāng)2＜x43時(shí)，的解析式為（）

A./（x）=-eiB./（x）=-尸

C./W=-erfD./（x）=-e3T

【題組練透】

1、（2023?河北衡水?高三階段練習(xí)）已知“X）是定義在R上的奇函數(shù)，且無40時(shí)，/（x）=3x2-2x+m,則

〃x）在［1,2］上的最大值為（）

A.1B.8C.-5D.-16

2、(2023?全國?高三專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)滿足〃x+l)=2/(x).若當(dāng)0W元41時(shí)，=x(l-尤),

貝！I當(dāng)一14尤W1時(shí)，/(%)=

3、(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(*)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+1)=2f(x),且當(dāng)xG(0,1]時(shí),

Q

f(x)=2/-2x.若對(duì)任意(-oo,mA，都有/(x)N-],則m的取值范圍是

(五)構(gòu)造方程組法

【例3-11】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知/(x)+2/(—x)=3%2一兀，則〃%)=()

A.x2+xB.x2C.3無？+%D.x2+3%

【例3-12](2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)滿足2/(x)+/=x,則〃2)=()

A?—2B.1iD.2

【例3-13](2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)｛x)滿足兀r)+次3—x)=*2,則1/U)的解析式為()

1,

A.1/(x)=x2—12x+18B.f(x)=-x'—4x+6C./(x)=6x+9D.f(x)=2x+3

【例3-14](2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃力，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

/(x)+g(x)=3用.求函數(shù)〃x),g(x)的解析式;

【題組練透】

1、(2023?全國?高三專題練習(xí)汨知函數(shù)/(x)滿足J〃-尤)-2/

4x(xw0),且3%《1,2],5/(x)>31og2a,

則a的取值范圍為()

A.(—0,16]B.(0,4]C.(-8,4]D.(0,16]

2、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知27(x-l)--(I-x)=2d-1,求二次函數(shù)〃x)的解析式；

3、(2023?全國?高三專題練習(xí))【多選】已知函數(shù)〃尤)，g(尤)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

/(x)-g(^)=x3+x2+l,則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.和g(x)在(0,+8)上的單調(diào)性相同B.和g(x)在(0,+“)上的單調(diào)性相反

C.和g(x)在(-j0)上的單調(diào)性相同D.“X)和g(x)在(e,0)上的單調(diào)性相反

(六)賦值法

【例3-15](2023?全國?高三專題練習(xí))已知是R上的函數(shù)，/(0)=1,并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有

/(x-v)=/(x)-y(2%-y+l),求函數(shù)的解析式.

【例3-16](2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有〃x+y)-/(y)=(x+2y+l)x成立,

且"1)=0.求的解析式；

【題組練透】

1、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)Ax)對(duì)一切的實(shí)數(shù)尤，兒都滿足

2于(x+y)-f(x-y)=x2+y2+6xy+x+3y-2,JE.f(0)=-2.

(1)求/⑵的值；

(2)求f(x)的解析式;

(3)求/(x)在上的值域.

2、(重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)滿足對(duì)任意非零實(shí)

數(shù)和均有〃x)=/⑴尤+空彳，則在(0,+e)上的最小值為.

3、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/⑺對(duì)于一切實(shí)數(shù)均有/(x+y)-/(y)=x(x+2y+l)成立，且

/(1)=0,則當(dāng)時(shí)，不等式“X)+2<log,x恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是().

考點(diǎn)四求函數(shù)的值域

解題方略：

(-)求函數(shù)的值域

(1)觀察法(有界函數(shù))——“拼圖”

解題步驟：

第一步，觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)；

xe7?,x2>0,|x|>0,Vx>Q,ax>0(〃>0且〃w1)

-1<sinx<1,-1<cosx<1

第二步，利用這些特殊函數(shù)的有界性，結(jié)合不等式推導(dǎo)出函數(shù)的值域.

【例4-1](2023?全國?高三專題練習(xí))求函數(shù)/(x)=,8-2,的值域.

【題組練透】

1、(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)〃尤)=七1的定義域是則/(x)的值域是.

2、(2。23?全國?高三專題練習(xí))函數(shù).臺(tái)的值域?yàn)?)

A.(0,+oo)B.(—co,1)C.(1,+co)D.(0,1)

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃尤）=卷F，則"X）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-oo,3]B.（2,3）C.（2,3]D.[3,+<?）

（2）配方法

以二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、圖像為依托，利用數(shù)形結(jié)合思想求解某函數(shù)在給定區(qū)間的最值和值域問題。

這種方法一般適用于形如v=a[f（x）]2+bf（x）+c（aH0）的函數(shù)的值域和最值問題

解題步驟：

第一步，將二次函數(shù)配方一成y=a（x-by+c；

第二步，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.（特別注意自變量的范圍）

（注：配方法配的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，對(duì)二次函數(shù)型值域問題，我們通?？梢圆捎门浞讲⒔Y(jié)合

圖像的方法求解。）

【例4-2]（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)>=犬-4工+1,xe[0,4]的值域是（）

A.[1,6]B.[-3,1]C.[-3,6]D.[-3,+oo)

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)>=二-2%+2（尤e[0,3]）的值域是（）

A.[1,5]B.[L2]C.[2,5]D.[1,+8）

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)股&一21的值域是.

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=j3+2x-f的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,4]B.（-8,2]C.[2,+oo）D.[0,2]

（3）分離常數(shù)法（即是求值域的方法也是化簡解析式的方法）

分離常數(shù)法是研究分式函數(shù)的一種代數(shù)變形的常用方法：

ax+bax2+bx+cmax+nmsmx+n

主要的分式函數(shù)有：y=------,y=-；---------,y=---,y=—；-------等

cx+amx+nx+ppa+qpsinx+q

解題的關(guān)鍵是通過恒等變形從分式函數(shù)中分離出常數(shù)。

解題步驟：

:第一步，觀察函數(shù)/■（%）類型，型如y（x）=竺土§；

cx+a

第二步，對(duì)函數(shù)/（X）變形成/（x）=?+—J形式；

ccx+a

第三步，求出函數(shù)丁="：在/'（X）定義域范圍內(nèi)的值域，進(jìn)而求函數(shù)/（無）的值域.

cx+a

【例4-3]（2023?全國?江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））函數(shù)〃》）=手|的值域（）

3x+l

A.,詞唱，+《b-HlKrd

c.【一°0'」—收]

D-

【題組練透】

=2■的值域是（）

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)Ax）

x+1

A.（ro,T）（1,+<?）B.（-oo,2）

C.（-co,2）（2,+co）D.[-l,+oo）

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y二（尤＞3）的值域是（）

￥—3

A.（1,+co）B.（0,+oo）C.（3,+oo）D.（4,+co）

COSX+1遼+2日/、

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y,------7的值域是（）

Zcosx-l

A.（一8,0]U[4,+8）B.（—8,0]D[2,+8）

C.[0,4]D.[0,2]

（4）換元法

解題步驟：

第一步，觀察函數(shù)解析式的形式，函數(shù)變量較多且相互關(guān)聯(lián)；

第二步，另新元代換整體，得一新函數(shù)，求出新函數(shù)的值域即為原函數(shù)的值域.

____________*2_J

如:函數(shù)/（%）=+b+wO）,可以令t=&x+d?20）,得至1]%=------，函數(shù)/（x）=av

c

+4+&x+d（acw0）可以化為y="（廠—"）+j（20），接下來求解關(guān)于f的二次函數(shù)的值域問題，求

c

解過程中要注意t的取值范圍的限制.

【例4-4]（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/⑺7+反三的值域是（）

A.[0,+co）B.[1,+co）C.2]D.

【例4-5]（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)丁=平+21+3"6出的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[2,+oo)B.(3,+8)D.[9,-HK)

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)），=2X+4A/T7的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（^?,-4]B.（^?,4]C.D.[2,-H?）

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=log2（2x）-log2（4x）的最小值為（）

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=V-1的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)y=/（/）+[/（x）『的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.-1,992B.」,24C.——>4D.--—2^2

2222

（5）判別式法

解題步驟:

第一步，觀察函數(shù)解析式的形式，型如y=@y的函數(shù)；

ax~+bx+c

第二步，將函數(shù)式化成關(guān)于％的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值

域.

【例4-6]（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（）

'X+X+1

【題組練透】

7Y2__J_1

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=午士r的值域?yàn)開_________

X—X+1

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=J——^的最大值為a,最小值為b,則a+b=（）

x+1

A.4B.6

C.7D.8

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)丫='龍+s；n2尤的值域?yàn)?/p>

1+sinx

（6）單調(diào)性法

解題步驟：

第一步，求出函數(shù)的單調(diào)性；

第二步，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.

【例4-7]（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=，[八

的值域是（）

A.（e,2]B.（0,2]C.[2,-H?）D.

【題組練透】

1、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知2'2+r]￡|,求函數(shù)y=2,-2f的值域

Y-I-1

2、(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(》)=2：(OVxW8)的值域?yàn)?/p>

?X十，八十L\J

A.B.[6,8]C.奈,)D.[6,10]

4

3、(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=%-―,若/(%)?相對(duì)任意工￡[1,4]恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

x

范圍為()

A.(-8,-3)B.(―℃),—3]C.(3,+oo)D.[3,+oo)

(7)基本不等式求值域

解題步驟：

fctx^+hx+C

第一步觀察函數(shù)解析式的形式，型如y=27或4=-------L的函數(shù)；

ax+bx+cex+J

b

第二步對(duì)函數(shù)進(jìn)行配湊成y=〃%+—形式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，進(jìn)而得到函數(shù)的值域.

x

注意根據(jù)基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”

【例4-8](2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)y=lnx+J的值域?yàn)?)

inx

A.(-oo,-2]B.[2,+oo)

C.(-oo,-2]一[2,+oo)D.[-2,2]

【題組練透】

l^(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/。)=?+號(hào)的值域?yàn)?/p>

2、(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=e'+2e-，的值域是.

3、【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”

的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”如下：設(shè)xeR,用[尤]表示不超過x的最大整數(shù)，則＞=[可稱為高斯

函數(shù).例如卜2』=-3,[3』=3,已知函數(shù)”無）=后，若函數(shù)y=[”％）]的值域集合為Q,則下列集合

是。的子集的是（）.

A.[0,E）B.{0,2}C.{1,2}D.{1,2,3}

（-）已知函數(shù)值域求參數(shù)

【例4-9]（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)"xhJm'm+l的值域?yàn)閇0,茁）,則加的取值范圍是

A.[0,4]B.（0,4]C.（0,4）D.[4,+oo）

【題組練透】