2024年高考數(shù)學模擬試題及參考答案

2024年高考數(shù)學模擬試題及參考答案

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/■（x）=（2"+2）lnx+2ax?+5.設若對任意不相等的正數(shù)再，/，恒有

則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（—3,—1）B.（—2,—1）

C.（-co,-3]D.（-oo,-2]

2.在一個數(shù)列中，如果V/eN*，都有a/“+M,+2=左（左為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，上叫做這個數(shù)列的

公積.已知數(shù)列｛q｝是等積數(shù)列，且4=1,%=2,公積為8,則％+4+…+4020=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

3.已知廠為拋物線V=4x的焦點，點A在拋物線上，且|A3=5,過點口的動直線/與拋物線瓦C交于兩點，。為

坐標原點，拋物線的準線與x軸的交點為給出下列四個命題：

①在拋物線上滿足條件的點A僅有一個；

②若P是拋物線準線上一動點，貝!||/么|+歸。|的最小值為2而；

③無論過點尸的直線/在什么位置，總有AOMB=NOMC；

④若點。在拋物線準線上的射影為。，則三點3、。、。在同一條直線上.

其中所有正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.將一張邊長為12cm的紙片按如圖（1）所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個

有底的正四棱錐模型，如圖（2）放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖（3）所示，則正四棱錐的體積是（）

由人△

n（n圖⑵m（3）

B.…D.…

A.C.

3

1-X

5.函數(shù)〃x)=ln的大致圖像為（)

1+x

sinB—cosAsinC,SABC=6,尸為線段AB上的一點，且

CACB

CP=x則工+工的最小值為（）

k同%y

7g4

A.----1-----B.12C.

123I°方￥

7.已知abRR,3+ai=b-(2a-l)z,則（)

A.b=3aB.6=6aC.b=9aD.b=12a

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n的值為（

A.1B.2

C.3D.4

9.閱讀下側程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為3i，則①處應填的數(shù)字為

10.已知集合“={》|/=1}.N為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是()

A.leMB.Af={-1,1}C.D.M匚N

11.下列函數(shù)中，在定義域上單調遞增，且值域為［0,+8)的是()

A.y=|lg(x+l)|B.y=x2C.y=2"D.y=In|x|

X

12.己知定義在R上的奇函數(shù)/(x),其導函數(shù)為/(x),當x?0時，恒有§/'(x)+/(x)>0.則不等式

x37(x)-(1+2x)3/(I+2x)<0的解集為().

A.{x|-3<%<-1}B.{x|-l<x<——}

C.｛%[x<—3或x>-l｝D.或x>-g｝

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.AABC的三個內角4B,C所對應的邊分別為a,b,c,已知26cosA=2c+氐，則/B=.

14.已知函數(shù)/(x)=/+^+4X2+8X，-(X<,若函數(shù)g(x)=d〃x)+l有6個零點，則實數(shù)。的取值范圍

%2+2%-1,x<-2,%>0

是.

15.若復數(shù)z=l—3i(i是虛數(shù)單位)，貝Uz4-10)=

16.已知函數(shù)/(xh-V+sinx,若/(a)=M,則/(—a)=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在AABC中，角4，B,C所對的邊分別是。，b,c,且2a—c=26cosC.

⑴求sin(若C+B|的值；

(2)若人=如，求c—。的取值范圍.

18.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足對任意〃eN*都有2a“+i=a“+a〃+2,其前"項和為S"，且87=49,%是由與%3的等

比中項，4V4.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式4;

(2)已知數(shù)列也｝滿足a=2%+i,c=anbn,設數(shù)列｛%｝的前〃項和為求組3大于1000的最小的正整數(shù)九

on-5

的值.

19.(12分)某藝術品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內接圓錐組成，圓錐的側面用于

藝術裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓。及其內接等腰三角形ABC繞底邊5C上的高所在直線AO

JT

旋轉180°而成，如圖2.已知圓。的半徑為10an,設/849=。,0<。<彳，圓錐的側面積為Sc".

(1)求S關于。的函數(shù)關系式；

(2)為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側面積S最大.求S取得最大值時腰A3的長度.

!A

E1圖2

22p

20.(12分)已知橢圓M：T+￡=l(a〉〃〉0)經(jīng)過點40,—2),離心率為］

(1)求橢圓M的方程;

(2)經(jīng)過點E(O,D且斜率存在的直線/交橢圓于2N兩點，點3與點Q關于坐標原點對稱.連接求證:

存在實數(shù)；I,使得左.=幾^成立.

21.(12分)設函數(shù)/"(x)=x-Lg(x)=rlnx,其中xw(0,1),，為正實數(shù).

X

(1)若/(%)的圖象總在函數(shù)g(x)的圖象的下方，求實數(shù)?的取值范圍；

(2)設H(x)=(lnx—/+1)1+卜2_1)(1」1,證明：對任意尤40,1),都有〃(力＞0.

22.(10分)如圖，三棱柱ABC—4用￡中，側面為菱形，ACLABl,AB=BC.

(1)求證：平面AB。；

(2)若AB,與C,NC34=60°,求二面角與-明-G的余弦值?

參考答案

、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

求解/（尤）的導函數(shù)，研究其單調性，對任意不相等的正數(shù)玉,馬，構造新函數(shù)，討論其單調性即可求解.

【詳解】

/（X）的定義域為（0,+8），f'（x\=即土2+4以=2（2加+。+1）,

XX

當QV—1時，/（%）<0,故/（X）在（。,+8）單調遞減；

不妨設再〈％,而av-1,知/（X）在（0,+8）單調遞減，

從而對任意占、%2e（0,+co）,恒有/（?）―/（/）=8,

%-%

即|/（再）-/（%2）|>8|再一

〃玉）-〃工2）28（巧-%），/（%）+8叫>/（^2）+8X2,

令g（*）=〃x）+8%，貝Ug〈x）=網(wǎng)±2+4G+8,原不等式等價于g（x）在（0,+。）單調遞減，即

JC

6Z+1_.?

-------F26IX+4<0,

從而4<41="1）2因為（2x—l）2_

2/+12X2+12X2+1

所以實數(shù)a的取值范圍是（-0-2]

故選：D.

【點睛】

此題考查含參函數(shù)研究單調性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構造新函數(shù)轉換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.

2、B

【解析】

計算出名的值，推導出4+3=%（〃eN*）,再由2020=3x673+1,結合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列｛4｝的前2020項

和.

【詳解】

8,

由題意可知+14+2=8,則對任意的〃eN*，4/0，則2a3=8,，%=----=4,

由anan+ian+2=8,得％+。+2%+3=8，/.=?！?1%+24+3，,二4+3=%，

2020=3x673+1,因此，tZj+tz9H-----=673(q+a。+/)+?=673x7+1=4712.

故選：B.

【點睛】

本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導出數(shù)列的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等

題.

3、C

【解析】

①：由拋物線的定義可知愣同=。+1=5,從而可求A的坐標；②：做A關于準線x=—1的對稱點為A',通過分析

可知當A',尸,O三點共線時|B4|+|PO|取最小值，由兩點間的距離公式，可求此時最小值|4。|；③：設出直線/方程,

聯(lián)立直線與拋物線方程，結合韋達定理，可知焦點坐標的關系，進而可求左+左MC=0,從而可判斷出NOMB/OMC

的關系；④：計算直線8,03的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進而可判斷三點3、。、。在同一條直線上.

【詳解】

解：對于①，設4(。力)，由拋物線的方程得/(1,0),貝U|AE|=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,-4),所以滿足條件的點A有二個，故①不正確；

對于②，不妨設4(4,4),則A關于準線x=—l的對稱點為4(—6,4),

H\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>|A'O|=V52=2而,

當且僅當A',尸,O三點共線時等號成立，故②正確；

對于③，由題意知，M(-l,0),且/的斜率不為0,則設/方程為：x=wy+l(m^0),

設,與拋物線的交點坐標為，聯(lián)立直線與拋物線的方程為，

x=my+1。

<2"，整理得y~—4根>一4=0,貝1|%+%=4私乂%=-4,所以

Iy=4x

222

Xj+x2=4m+2,xYx2=(myl+l)(my9+1)=-4m+4m+1=1

：

刖“+kX?_%(々+1)+為(3+1)_2%+2%+2切1%

、MBMC%+]x2+1(Xj+1)(X2+1)Xx+X2+X1X2+1

2XA777—2^/7X4

=-3-------------=0.故MB,的傾斜角互補，所以NQWB=NOMC,故③正確.

4m2+2+1+1

對于④，由題意知。(一1,%),由③知，%+%=4血,%%=-4

則自B=&=—，左0￡)=-丁2，由上OB-"攵0?=—+，2=--也2=0,

占％%%

知喘=%，即三點5、。、。在同一條直線上，故④正確.

故選:C.

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關系，考查了拋物線的性質，考查了直線方程，考查了兩點的

斜率公式.本題的難點在于第二個命題，結合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.

4、B

【解析】

設折成的四棱錐的底面邊長為。，高為h,則/?=@a，故由題設可得，a+a=12xY2na=4應，所以四棱錐的

222

體積V=；(4亞『x5xd應=8^6。m3,應選答案民

5、D

【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結果.

【詳解】

函數(shù)〃x)=ln￡的定義域為{x|xw±l},當x=g時，/(1)=-ln3<0,排除B和C；

當x=—2時，/(-2)=ln3>0,排除A.

故選：D.

【點睛】

本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.

6、A

【解析】

JT

在LABC中，設AB=c,5C=a,AC=Z?,結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求cosC=0,可得C=5,

再由已知條件求得a=4,b=3,c=5,考慮建立以AC所在的直線為x軸，以所在的直線為V軸建立直角坐標

11

系，根據(jù)已知條件結合向量的坐標運算求得4x+3y=12,然后利用基本不等式可求得一+一的最小值.

xy

【詳解】

在匕ABC中，設AB=c,BC=a,AC=b,

sinB=cosAsinC,即sin(A+C)=cosAsinC,即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,/.sinAcosC=0,

71

0<A<TT,/.sinA>0,/.COsC=0,0<C<?,：.C=一

2

IbesinA4Q

AB-AC=9，即仍cosA=9,X5=—bcsinA=6,/.tanA=----------,

ARC2becosA3b

q=3(o=4i___________

22

SABC=3"=6則"=12,所以，\b3，解得人..-.c=^a+b=5-

[ab=12年3

以AC所在的直線為X軸，以8C所在的直線為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,

則。(0,0)、4(3,0)、3(0,4),

P為線段AB上的一點，則存在實數(shù)彳使得AP=AAB=2(-3,4)=(-32,42)(0<2<1),

:.CP=CA+CB=(3-3A,42),

CACB

設6=【國則同=同=1,二1(1,0)，e2=(0,1)，

Cf昌+ygx=3—32

=xe,+ye2=(x,y),,消去;I得4x+3y=12,;.±+2=l,

CACBy=4A34

(11)區(qū).上+工=

所以，—+—=—+—^+i+ii-2

xyy八343y4x12

當且僅當x=時，等號成立,

2-

因此，一1+一1的最小值為J3火+，7.

%y312

故選：A.

【點睛】

本題是一道構思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,

CA

解題的關鍵是理解可是一個單位向量，從而可用x、y表示。尸，建立工、y與參數(shù)的關系，解決本題的第二個關

1cAi

鍵點在于由x=3-34,y=42發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計算能力，屬

于難題.

7、C

【解析】

兩復數(shù)相等，實部與虛部對應相等.

【詳解】

由3+以=b—（2a-l）z,

b—9a.

故選：C.

【點睛】

本題考查復數(shù)的概念，屬于基礎題.

8、B

【解析】

列出循環(huán)的每一步，進而可求得輸出的九值.

【詳解】

根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：a=0,b=0,n=Q,

執(zhí)行第一次循環(huán)時：a=l,b=2,所以：92+82<40不成立.

繼續(xù)進行循環(huán)，…，

當。=4,6=8時，6?+2?=40成立，”=1,

由于a25不成立，執(zhí)行下一次循環(huán)，

a=5,b=10,52+。2<40成立，71=2,aN5成立，輸出的〃的值為2.

故選：B.

【點睛】

本題考查的知識要點：程序框圖的循環(huán)結構和條件結構的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題型.

9、B

【解析】

考點：程序框圖.

分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我

們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案.

解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：

Si是否繼續(xù)循環(huán)

循環(huán)前11/

第一圈32是

第二圈73是

第三圈154是

第四圈315否

故最后當i<5時退出，

故選B.

10、D

【解析】

集合〃={2*=1}={_1』.N為自然數(shù)集，由此能求出結果.

【詳解】

解：集合M={%|%2=1}={_1,1}.N為自然數(shù)集,

在A中，le",正確；

在B中，"={—11},正確；

在C中，0cM,正確；

在D中，加■不是N的子集，故D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

11、B

【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結果.

【詳解】

對于A,y=|ig(x+i)|圖象如下圖所示:

則函數(shù)》=旭5+1)|在定義域上不單調，a錯誤;

則y=4在定義域上單調遞增，且值域為［0,+8),3正確;

對于C,y=2*的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=2,單調遞增，但值域為(0,+“)，C錯誤;

對于。，y=1川］|的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=ln|x|在定義域上不單調，。錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)單調性和值域的判斷問題，屬于基礎題.

12、D

【解析】

先通過二/'(x)+/co>o得到原函數(shù)g(x)=x"x)為增函數(shù)且為偶函數(shù),再利用到V軸距離求解不等式即可.

33

【詳解】

構造函數(shù)g(x)=x3[。),

則g'(X)=//(x)+51(X)=X2(X)+/(X)]

由題可知：/'(x)+/(x)〉O,所以g(x)=x3]))在X?O時為增函數(shù);

由V為奇函數(shù)，/(%)為奇函數(shù)，所以g(x)=>[(x)為偶函數(shù);

又%7(x)-(1+2x)3/(I+2x)<0,即d/(x)<(1+2x)3/(I+2x)

即g(x)<g(l+2x)

又g(x)為開口向上的偶函數(shù)

所以|x|<|l+2x|,解得x<—1或x〉—；

故選：D

【點睛】

此題考查根據(jù)導函數(shù)構造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識點，屬于較難題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、150°

【解析】

利用正弦定理邊化角可得ZsinAcosB+J^sinAuO，從而可得cosB=，進而求解.

2

【詳解】

由2Z?cosA=2。+百〃，

由正弦定理可得2sinBcosA=2sinC+J^sinA,

即2sin3cos4=2sin（A+B）+&sinA,

整理可得2sinAcosB+J^sinA=0，

又因為sinAwO,所以cos5=旦

2

因為0<5<180，

所以5=150，

故答案為：150°

【點睛】

本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎題.

【解析】

由題意首先研究函數(shù)y=,(x)|的性質，然后結合函數(shù)的性質數(shù)形結合得到關于a的不等式，求解不等式即可確定實

數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

當—1<x<0時，函數(shù)《X)=Y+2%在區(qū)間(-1,0)上單調遞增,

很明顯《X)e(TO)，且存在唯一的實數(shù)網(wǎng)滿足小內)=-g,

當—1W/<O時，由對勾函數(shù)的性質可知函數(shù)y=/在區(qū)間-L-g上單調遞減，在區(qū)間-g,0上單調遞增，

91

結合復合函數(shù)的單調性可知函數(shù)y=廠+2x+,在區(qū)間(-1,%)上單調遞減，在區(qū)間(七,0)上單調遞增，且當

4x2+8x

21

x=M時，y=x+2x+----=1,

4x2+8x

考查函數(shù)y=,+2x—I］在區(qū)間(0,+a)上的性質，

由二次函數(shù)的性質可知函數(shù)y=,+2x—I］在區(qū)間(o,0-1)上單調遞減，在區(qū)間(后-1,+8)上單調遞增,

函數(shù)g(x)=4/(刈+1有6個零點,即方程4/(刈+1=0有6個根,

也就是If(x)|=—!有6個根，即y=|/(%)I與y=—!有6個不同交點，

aa

注意到函數(shù)y=三+2x關于直線尤=—1對稱，則函數(shù)y=|/(x)|關于直線x=—1對稱,

a45

綜上可得，實數(shù)。的取值范圍是一1，一

故答案為一L—

【點睛】

本題主要考查分段函數(shù)的應用，復合函數(shù)的單調性，數(shù)形結合的數(shù)學思想，等價轉化的數(shù)學思想等知識，意在考查學

生的轉化能力和計算求解能力.

15、35

【解析】

直接根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可.

【詳解】

z=l+3z，z(z-10)=(l-3z)(l+3z-10)=30i.

【點睛】

本題主要考查復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應用.

16、-M

【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(九)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質求解即可.

【詳解】

因為函數(shù)/(無X-x'+sinx,其定義域為R,

所以其定義域關于原點對稱，

又/(-x)=_(-xy+sin(—%)=—(尤3+sinx)=-/(x),

所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，因為

所以/(—a)=—

故答案為：

【點睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質；考查運算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關鍵;屬于中

檔題、?？碱}型.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、⑴冬⑵卜點⑹

【解析】

(1)利用正弦定理邊化角，結合兩角和差正弦公式可整理求得cos5,進而求得3和A+C,代入求得結果；

(2)利用正弦定理可將c—a表示為2sinC—2sinA,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sin1C-,

根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結合。的范圍可求得結果.

【詳解】

(1)由正弦定理可得：2sinA—sinC=2sin5cos，C

A+B+C=7i/.sinA=sin(B+C)

2sin+C)—sinC=2sinBcosC+2cosBsin(7—sinC=2sinBcosC

即2cos5sinC=sinC

Ce(O,TT)..sinCwOCOSJB=-1

Be(O,^)=y:.A+C=^-

.(A+C八.2兀上

sin--------\-B=sin——二——

I2)32

rr.ac_b_A/3_

(2)由(1)知：sinB=sin—=——sinAsinCsinB^3

32

~2

:.c=2sinC9a=2sinA

/.c—<2=2sinC—2sinA=2sinC—2sin（B+C）=2sinC—2sinBcosC—2cosBsinC

=2sinC-^/3cosC-sinC=sinC-A/3COSC=2sin^C-^

…八2?八八2萬n（n

QA+C=—..0<C<—..CG,一

333I3

2sin〔C—g1e[-6,6）,即c—a的取值范圍為卜退,退）

【點睛】

本題考查解三角形知識的相關應用，涉及到正弦定理邊化角的應用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應用、與三角

函數(shù)值域有關的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉化為三角函數(shù)的問題,

進而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結果.

18、（1）an=2n-l（2）4

【解析】

⑴利用2a“+i=%+a“+2判斷｛4｝是等差數(shù)列，利用S7=49,求出%=7,利用等比中項建立方程，求出公差可得.

（2）利用｛4｝的通項公式?！?，求出d=22"=4",c“=（2〃—>4",用錯位相減法求出看=?+包『乂4華，最后

建立不等式求出最小的正整數(shù).

【詳解】

解：（1）任意〃eN*都有2?！?1=?！??！?2，

二數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

?/87=49,/.7g=49,「.a=n,

又，生是生與％3的等比中項，%<%，設數(shù)列｛%｝的公差為d，且d>0,

貝式7—dp=（7—3d）（7+9d）,解得d=2,

q=7—3d=1,

/.ctn=1+2（幾一1）=2〃-1；

（2）由題意可知d=2?"=4",c'=（2〃一1卜平，

12

.-.7；!=1X4+3X4+?+（?〃—1①，

23

47；!=21X4+^X4+?+(n-)x向②，

①-②得：-37；,=4+2X42+2X43+?--+2X4,!-(2H-1)X4,1+1,

:.T=也+&±4向，

"99

.9。-2°_《Hi_^2n+2

6n-5

由叱-20>1000得，22n+2>1000-

6n-5

/.2〃+2210,

:.n>4,

「?滿足條件的最小的正整數(shù)〃的值為4.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式和前九項和公式及錯位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項的思路(1)在等差數(shù)列｛凡｝

中，％、d是最基本的兩個量，一般可設出四和d,利用等差數(shù)列的通項公式和前九項和公式列方程(組)求解即可.(2)

錯位相減法求和的方法：如果數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛。"女｝的前〃項和時，可采用錯位相

減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列｛2｝的公比，然后作差求解；在寫“S.”與“qS“”的表達式時應特別注意將

兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“S，,-qSj的表達式

19、(1)S=400兀sin6cos26，(0<0<-)(2)側面積S取得最大值時，等腰三角形的腰的長度為竺園cm

23

【解析】

JT

試題分析：(1)由條件，AB=20cos^,BD=20cos^-sin^,所以S=400?sinecos2。，(0<^<—)；(2)

S=400萬sin氏<”2。=400Hsine—sin3g)^x=sin。，所以得〃無)=》一/，通過求導分析，得“力在％=#

時取得極大值，也是最大值.

試題解析：

B

(1)設B］交BC于點D,過Ci作垂足為E,

在AAOE中，AE=lOcos。，AB=2AE=20cos^,

在AABD中，BD=AB-sin^=20cos^-sin^,

JI

所以S=400^sin0cos20，(0<^<—)

(2)要使側面積最大，由(1)得：

S=4007rsin6^cos2^=400萬卜ine-sin3?)

☆x=sin6,所以得了(%)=無一%3,

由/'(x)=l—3f=o得：%=乎

時，r(%)>o,當rW<o

所以/(%)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減,

所以/(%)在x=￥時取得極大值，也是最大值;

所以當sin。=立時，側面積S取得最大值,

3

此時等腰三角形的腰長AB=2Ocos0=20Vl-sin2^=20

答：側面積S取得最大值時，等腰三角形的腰A5的長度為空

3

22

20、(1)—+^-=1(2)證明見解析

64

【解析】

（1）由點A（0,—2）可得沙=2,由6=工=走，根據(jù)a?—。2=〃即可求解;

a3

y=kx+l

（2）設直線/的方程為丁=辰+1,聯(lián)立Ix2y2可得（2+3左2）f+6日—9=0,設Q（XQ1）,N（X,,%）,由韋達定

—+—=1

I64

6k9

理可得石+羽=------7，x/2=----------7,再根據(jù)直線的斜率公式求得左AQ?陽N；由點6與點。關于原點對稱，可設

2+3k~2+3k~

3（一和一%）,可求得心。^■AB，,即可求證.

【詳解】

解：（1）由題意可知b=2,e=$=W,

a3

又a?一c?=",得a=A/6,c=^2,

22

所以橢圓M的方程為士+匕=1

64

（2）證明：設直線/的方程為丁=丘+1,

y=kx+1

2

聯(lián)立《Xy2，可得（2+3左2）%2+6求—9=0,

—+—=1

164

設。（%，%）以（%2，為），

.6k9

則nl有X+九2=------7，尤1兀2=-------7,

122+3左2122+3左2

7y+27必+2

因為左AQ=，左4V=，

玉x2

所以.仁V=生生.比也="*2+33+%）+9=左2+2/_2—3k2=-2,

玉X?工1%2

7-必+2

又因為點6與點。關于原點對稱，所以3（一和一％）,即怎B—,

一再

則有kAQ-kAB=A±Z.ZA±Z=1Z2L；由點Q在橢圓c：《+厘=1上，得4—%2=1石2,所以KB=--，

再一%]一%]6433

L=-AQ?L=3

所以/一丁石一下一，即&N=3&B，

3

所以存在實數(shù)X=3,使頻N=^kAB成立

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程,考查直線的斜率公式的應用,考查運算能力.

21、(1)(0,2](2)證明見解析

【解析】

⑴據(jù)題意可得E(x)=/(x)-g(x)=x-L-lnx<0在區(qū)間(0,1)上恒成立，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，從而求

xr2_1X2_1

出滿足不等式的f的取值范圍；(2)不等式整理為」e——<-―由(1)可知當/=2時，-一->2,利用導數(shù)判

xex-x+1xlnxxlnx

斷函數(shù)一-—的單調性從而證明一--<2在區(qū)間(0,1)上成立，從而證明對任意xe(0,1),都有H(x)>0.

xcx-x+1xcx-x+1''

【詳解】

(1)解：因為函數(shù)/(九)的圖象恒在g(x)的圖象的下方，

所以;'(%)—g(x)=x—1—〃nx<。在區(qū)間(0,1)上恒成立.

設廠(%)二%一工一〃nx,其中%￡(0,1),

所以嚴(x)=l+!—工=匚4掃，其中A=/一4，t>0.

XXX

①當4,,0,即0＜友2時，F(xiàn)(x)..O,

所以函數(shù)歹(%)在(0,1)上單調遞增，F(xiàn)(%)<F(l)=0,

故/(x)-g(x)<。成立，滿足題意.

②當產(chǎn)—4>0，即/>2時，設。(%)=三一比+1(0<]<1),

則。⑴圖象的對稱軸x=；〉l,6?(0)=1,。⑴=2一<0,

所以6(%)在(0,1)上存在唯一實根，設為的,則。(力<0,F(x)<0,

所以廠(工)在(罰,1)上單調遞減，此時/(%)〉/(1)=0,不合題意.

綜上可得，實數(shù)f的取值范圍是(0,2].

(2)證明：由題意得H(x)=e*lnx

因為當xe(O,l)時，xe'—x+l>0，lnx<0,

g、i，、(x2-l)(xel-x+1)e*x2-1

所以H(x)>0oeXlnx>--------------------0~;------;<——?

v7xxe-x+1xinx

令h(x)=ex-x-l(O<x<l),則/zr(x)=ex-l>0,

所以/<%)在(0,1)上單調遞增，可力〉/2(0)=0,即e，>x+l，

XX

所以xex-x+l>x(x+1)-1+1=X2+1,從而----------<—-——.

xex-x+1x+1

由(1)知當t=2時，x—工―21nx<0在xe(O,l)上恒成立，整理得三二1〉2.

xxlnx

令m(x)=——(0(尤<1),則要證H(x)>0,只需證m(x)<2.

因為機(力=后~￡>0,所以加(九)在(0,1)上單調遞增，

[x+1J''

所以7〃(x)<m⑴=/<2,即加(％)<2在(0,1)上恒成立.

綜上可得，對任意％e(0,1),都有H(x)>0成立.

【點睛】

本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的作用，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性與求函數(shù)最值，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.

22、(1)見解析(2)-

7

【解析】

(1)根據(jù)菱形性質可知，51C,結合AC1A8]可得。4=。。=。4,進而可證明三A3OC,即

Be11OA,即可由線面垂直的判定定理證明BQ1平面AB。；

(2)結合(1)可證明0Ao5。4兩兩互相垂直.即以。為坐標原點，的方向為X軸正方向，|08|為單位長度,

建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面與的和平面C]AA的法向量，即可求得二面角四-A4-&的

余弦值.

【詳解】

(1)證明：設3clBC=O,連接。4,如下圖所示:

?.?側面54GC為菱形,

ABCX1BXC,且。為用C及Bq的中點，

又AC1A8],則AC43]為直角三角形，

：.OA=OC=OBl,

又AB=BC,

:.ABOA=ABOC,(SSS)

.-.OA±OB,即

而OA,B?為平面AB?內的兩條相交直線,

BQ，平面A31G.

(2)AB上B[C,BQ工BQ,ABcBQ=B

.?.4C_L平面ABO,

QAOu平面ABO,

BXC1AO,即Q4_LO%

從而OA,OB,OBl兩兩互相垂直.

以。為坐標原點，05的方向為x軸正方向，|03|為單位長度，建立如圖的空間直角坐標系O-孫z

NCBB[=60°,

???ACBB]為等邊三角形,

AB=BC,

?，-A(0,0,^(0,~~~,0),C(0,-,0)，

.?.A耳=[o,g,—今],朋=34=1—1，4,O]AG=AC=[o「￥，-

人人J〃?的=0z)=o

設平面耳的法向量為〃=(x,y,z),則「八，即《「，

n-AA.=0J3

1"-x+—y=Q

[3?

可取〃=(1,6,百)，

_..m-AC=0

設平面。[叫的法向量為加，貝葉??.

m-AAj=0

同理可取m=(1,一道)

n-m11

■/cos<n,m>=?-----r=p-=——=r=—,

/i-|m|xV?7

由圖示可知二面角B.-M-Q為銳二面角，

二面角片—A4—G的余弦值為1.

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值,注意建系時先證明三條兩兩垂直的直線,

屬于中檔題.

2024年上海高考數(shù)學試題及答案

2024年上海市高考數(shù)學試卷

2024.06

填空題(本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7~12題每題5分)

1.設全集。={1,2,3,4,5},集合/={2,4},求，=

2,已知小)=產(chǎn)X>°,/(3)=________

1,x<0

3.已知xeR,則不等式x?-2x-3<0的解集為

4.已知/(x)=x3+a(xeR),且/(x)是奇函數(shù)，則°=

5.已知AeR,￡=(2,5),b=(6,k),且￡〃譏則左的值為

6.在(x+1)"的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32,則X2項的系數(shù)為

7.已知拋物線/=4x上有一點尸到準線的距離為9,那么點尸到x軸的距離為

8.某校舉辦科學競技比賽，有A、B、C3種題庫，4題庫有5000道題，B題庫有4000道題,

C題庫有3000道題，小申已完成所有題，已知他回答《題庫的正確率是0.92,8題庫的正

確率是0.86,C題庫的正確率是0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是

2

9.已知虛數(shù)z,其實部為1,且z+—=m(meR),則實數(shù)加為

z

10.設集合4中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，

則集合中元素個數(shù)的最大值為

11.已知點3在點C正北方向，點。在點C的正東方向，BC=CD,存在點4滿足

ZBAC=\6.5°,ND4c=37。，則乙BC4=(精確到0.1度)

12.無窮等比數(shù)列{0“}滿足首項％>0,q>\,記/“={x-y|x,y?