高中數學講義（人教B版2019必修三）第05講723同角三角函數的基本關系式

7.2.3同角三角函數的基本關系式TOC\o"13"\h\u題型1已知某個三角函數值求其余的三角函數值 ②對“任意”一個角（在使函數有意義的前提下）關系式都成立，即與角的表達形式無關，如sin23α＋cos23α=1成立，但是sin2α＋cos2β=1就不一定成立.（2）sin2α是（sinα）2的簡寫；（3）在應用平方關系時，常用到平方根，算術平方根和絕對值的概念，應注意“”的選取。知識點二.同角三角函數基本關系式的變形1．平方關系式的變形：sin2α=1cos2α,cos2α=1sin2α，2．商數關系式的變形sinα=cosα?tanα,cosα=sinα題型1已知某個三角函數值求其余的三角函數值【方法總結】三角函數求值問題處理方法1、同角三角函數的關系揭示了同角三角函數之間的基本關系，其常用的用途是"知一求二"，即在sinα，cosα，tanα三個值之間，知道其中一個可以求其余兩個．解題時要注意角α的象限，從而判斷三角函數值的正負.2、已知三角函數值之間的關系式求其它三角函數值的問題，我們可利用平方關系或商數關系求解，其關鍵在于運用方程的思想及（sinαcosα）2=1±2sinαcosα的等價轉化，分析解決問題的突破口·◆類型1sinα，cosα，tanα的知一求二【例題11】（2022秋·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）已知cosα=?13，A．23 B．?23 C．2【答案】D【分析】根據角的范圍，確定sinα【詳解】因為α∈π,3π又cosα=?1故選：D.【變式11】1．（2022秋·廣東廣州·高一?？计谀┮阎猚osα=?4A．?34 B．43 C．?【答案】A【分析】根據同角三角函數的關系即可求解.【詳解】由于cosα=?45,0<故選：A【變式11】2.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝.【答案】－eq\f(\r(5),5)【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα<0，所以cosα＝－eq\f(\r(5),5).【變式11】3.(多選)（2023秋·湖北武漢·高一武漢市新洲區(qū)第一中學?？计谀┮阎猻inα=?5A．tanα<0 C．tan2α>1 【答案】ABC【分析】由已知可求出cosα【詳解】∵sinα=?53，∴tanαtan2sinα因為sinα=?53<0故選：ABC.【變式11】4．(多選)（2022春·廣西桂林·高一?？计谥校┫铝薪Y論中不可能成立的是（

）A．sinα=12且cosαC．tanα=1且cosα=?1 【答案】ACD【分析】利用同角三角函數公式即可判斷每個選項【詳解】對于A，因為sinα=12且對于B，當α=π時，sinα=0對于C，因為cosα=?1，且sin2所以tanα對于D，當α≠π2故選：ACD【變式11】5．（2023秋·上海徐匯·高一南洋中學校考期末）已知角a的終邊與單位圓的交點的橫坐標為12，則sin【答案】?32【分析】利用任意角的三角函數的定義及同角三角函數的平方關系即可求解.【詳解】由三角函數的定義知，cosα所以α是第一象限角或第四象限角.由sin2α+如果α是第一象限角，那么sinα>0.于是如果α是第四象限角，那么sinα<0.于是故答案為：?32或◆類型2由條件等式求三角函數值【例題12】已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．【解析】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα與cosα異號，∴角α的終邊在第二或第四象限．當角α的終邊在第二象限時，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3\r(10),10)；當角α的終邊在第四象限時，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3\r(10),10).【變式12】1．（2023秋·廣東廣州·高二鐵一中學?？计谀┤鬭∈0,π，2sinaA．?35 B．?45 C．【答案】C【分析】根據同角三角函數的平方關系先求出cosα=?4【詳解】因為2sina+cosa又因為sin2α+解得：cosα=?45或cosα因為a∈0,π，所以cosα=?4故選：C.【變式12】2.（2022·江西南昌·統(tǒng)考三模）若角α的終邊不在坐標軸上，且sinα+2cosαA．43 B．34 C．23【答案】A【分析】結合易知條件和同角三角函數的平方關系即可求出cosα，從而求出sinα，根據tan?α【詳解】sin2α+∵α的終邊不在坐標軸上，∴cos?α∴sinα=2?2×3故選：A．【變式12】3.（2022春·貴州·高二貴州師大附中?？奸_學考試）已知2cosA．12 B．22 C．32【答案】C【分析】由同角三角函數平方關系，將已知條件化為(2sinθ+1)(sinθ?2)=0求sinθ【詳解】由題設，2sin2θ?3sinθ又θ∈(?π2故選：C【變式12】4．（2023·廣東東莞·?？寄M預測）已知2sin2θ?3sinθA．33 B．32 C．22【答案】B【分析】由已知可得出sinθ∈?1,1，cosθ>0，解方程2【詳解】因為θ∈?π2,因為2sin2θ因此，cosθ故選：B.【例題13】（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博第六中學校考期末）已知α為第二象限角，sinα=5A．177 B．717 C．?17【答案】C【分析】根據α為第二象限角，sinα=513，利用同角三角函數的基本關系求出【詳解】因為α為第二象限角，且sinα=5則tanα=sin故選：C.【變式13】1．已知cosα＝－eq\f(3,5)，且tanα>0，則eq\f(sinαcos2α,1－sinα)＝.【答案】－eq\f(4,25)【解析】由cosα<0，tanα>0知α是第三象限角，且sinα＝－eq\f(4,5)，故原式＝eq\f(sinαcos2α,1－sinα)＝eq\f(sinα1－sin2α,1－sinα)＝sinα(1＋sinα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝－eq\f(4,25).【變式13】2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－eq\f(sinα,cosα)B．cosα＝－eq\r(1－sin2α)C．sinα＝－eq\r(1－cos2α)D．tanα＝eq\f(cosα,sinα)【答案】B【解析】由商數關系可知A，D均不正確．當α為第二象限角時，cosα<0，sinα>0，故B正確．【變式13】3.（2022秋·安徽安慶·高一安徽省桐城中學校考期末）已知集合A=sinα，cosα，1，B=sinA．－1 B．0 C．1 D．±1【答案】A【分析】由集合相等關系，即集合元素的互異性，得sinα和cos【詳解】因為A=B，又sin2α≠0則sin2α=1?cos2所以sin2023故選：A.【變式13】4.（2022春·浙江·校聯考階段練習）若2sinθ?cosθA．?425 B．425 C．?【答案】C【分析】由題設有3sinθ=4cosθ【詳解】由題設3sinθ=4cosθ所以sin2則cosθ故選：C【變式13】5．（2023秋·四川成都·高一成都實外?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，以Ox軸的非負半軸為始邊作兩個銳角β、α，它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點，已知A,B的橫坐標分別為(1)cosα，cos(2)求cosα【答案】(1)cosα=255【分析】（1）利用三角函數的定義即可求解.（2）根據（1）的結論及同角三角函數的平方關系即可求解.【詳解】（1）因為A,B的橫坐標分別為210所以cosα=2（2）因為α為銳角，cosα所以sinα因為α為銳角，所以cosα所以cos=cosα【變式13】6．（2022秋·江蘇無錫·高一?？茧A段練習）如圖，在平面坐標系xOy中，第二象限角α的終邊與單位圓交于點A，且點A的縱坐標為45(1)求tanα(2)求sin2【答案】(1)?43【分析】（1）根據三角函數的定義求出sinα=4（2）在第一問的基礎上，代入求解即可.【詳解】（1）由題知，sinα=4所以cosα=±3所以cosα=?（2）sin2題型2三角函數式的化簡【方法總結】同角三角函數關系化簡常用方法(1)化切為弦，減少函數名稱；(2)對含根號的，應先把被開方式化為完全平方，再去掉根號；(3)對含有高次的三角函數式，可借助于因式分解，或構造平方關系，以降冪化簡．【例題21】化簡eq\f(cosθ,1＋cosθ)－eq\f(cosθ,1－cosθ)得()A．－eq\f(2,tan2θ)B.eq\f(2,tan2θ)C．－eq\f(2,tanθ)D.eq\f(2,tanθ)【答案】A【解析】eq\f(cosθ,1＋cosθ)－eq\f(cosθ,1－cosθ)＝eq\f(cosθ1－cosθ－cosθ1＋cosθ,1－cos2θ)＝eq\f(－2cos2θ,sin2θ)＝－eq\f(2,tan2θ).【變式21】1.化簡求值：（1）tanα+cosαsinα?cos2α(4)1+tan2αcos2α【解析】（1）tanα+cos（2）sinx（3）2cos（4）1+tan（5）1+sin=(【變式21】2.（2022春·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）對于角θ，當分式tanθA．tanθ+cosθC．tanθsinθ【答案】D【分析】直接切化弦可得.【詳解】tanθ∵tan∵tan∵tan∴tanθ故選：D【例題22】化簡（1）；（2）；（3）1?sin2【解析】（1）1?sin2440（2）1?2sin40°cos（3）1?sin22=cos22【變式22】1.化簡求值（1）eq\f(cos36°－\r(1－cos236°),\r(1－2sin36°cos36°))；（2）eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))；（3）eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°))；（4）.（1）原式＝eq\f(cos36°－\r(sin236°),\r(sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°))＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(cos36°－sin36°2))＝eq\f(cos36°－sin36°,|cos36°－sin36°|)＝eq\f(cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1.（2）原式＝eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))＝eq\f(\r(cos10°－sin10°2),sin10°－\r(cos210°))＝eq\f(|cos10°－sin10°|,sin10°－cos10°)＝eq\f(cos10°－sin10°,sin10°－cos10°)＝－1.（3）原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.（4）原式＝1?2sin20°cos20°【變式22】2.（2023·高一單元測試）若a∈1?2sinα【答案】2cos【分析】根據sin2α+cos2【詳解】1+2sin=sin2=sinα+cosα當α∈0,π4時，sin所以原式=sin當α∈π4,π2所以原式sin當α∈π2,3π4時，所以原式=sin當α∈3π4,π時，sin所以原式=?綜上可知，原式=故答案為：2cosα【例題23】（2022春·江西九江·高一校聯考期末）化簡：1+sinα1?sinαA．?2cosα B．2cosα 【答案】C【分析】利用同角三角函數的基本關系式化簡所求表達式，由此得出正確選項．【詳解】1+sinα當α是第二、第三象限角時，原式=?2sin故選：C．【變式23】1.（1）若π<α<3（2）化簡1?cosα1+cosα【解析】(1)因為π<α<32π原式==?2（2）1?cos由題可得sinα<0，1?cosα∴原式=1?cos【變式23】2.化簡求值：(1)tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角；(2)eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα)).【解析】(1)因為α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.(2)原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝±1.【變式23】3.(多選)（2022秋·河北唐山·高一唐山一中?？茧A段練習）已知函數f(x)=A．?2tanα B．2tanα C．2cos【答案】AB【分析】由題意可得sinα∈[?1,1)，根據同解的平方關系可得f(sinα)=1+sinα|cosα|，【詳解】解：因為f(所以?1≤x即函數f(x)所以f(sinf(?sin所以fsinα?f?sinα=故選：AB.【例題24】化簡：（1）sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α；（2）sin2α＋sin2β﹣sin2αsin2β＋cos2αcos2β(3)tan2α?sin2α【解析】（1）原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.（2）sin2α+sin2β﹣sin2αsin2β+cos2αcos2β＝sin2α+1﹣cos2β﹣sin2αsin2β+cos2αcos2β＝sin2α（1﹣sin2β）+1﹣cos2β（1﹣cos2α）＝sin2αcos2β+1﹣cos2βsin2α＝1（3）tan=sin（4）［方法一］：【最優(yōu)解】“1”的代換化齊次式原式=(cos2［方法二］：公式降冪原式==1?1+2［方法三］：降冪原式==2【整體點評】方法一：根據cos2方法二：根據cos2方法三：根據平方差．立方差公式化簡降冪，變形難度稍大．題型3關于tanα的齊次式問題【方法總結】(1)已知tanα＝m，可以求eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的值，將分子分母同除以cosα或cos2α，化成關于tanα的式子，從而達到求值的目的．(2)對于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α進行代替后分子分母同時除以cos2α，得到關于tanα的式子，從而可以求值．(3)齊次式的化切求值問題，體現了數學運算的核心素養(yǎng)．【例題31】已知tanα＝3，求下列各式的值：(1)eq\f(4sinα－cosα,3sinα＋5cosα)；(2)eq\f(sin2α－2sinα·cosα－cos2α,4cos2α－3sin2α)；(3)eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α.【解析】(1)原式＝eq\f(4tanα－1,3tanα＋5)＝eq\f(4×3－1,3×3＋5)＝eq\f(11,14).(2)原式＝eq\f(tan2α－2tanα－1,4－3tan2α)＝eq\f(32－2×3－1,4－3×32)＝－eq\f(2,23).(3)原式＝eq\f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq\f(\f(3,4)×32＋\f(1,2),32＋1)＝eq\f(29,40).【變式31】1．已知tanα＝eq\f(2,3)，求下列各式的值：(1)eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)；(2)eq\f(1,sinαcosα).【解析】(1)eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＋eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(2,3),1＋\f(2,3))＋eq\f(1＋\f(2,3),1－\f(2,3))＝eq\f(26,5).(2)eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(tan2α＋1,tanα)＝eq\f(13,6).【變式31】2.已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，計算下列各式的值：(1)eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.【答案】（1）eq\f(8,9)；(2)eq\f(13,10).【解析】由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化簡得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.（1）法一(換元)原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二(弦化切)原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).(2)原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).【變式31】3.（2023秋·江蘇淮安·高一江蘇省淮安中學?？计谀┤魋inα?3cosαA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】正、余弦齊次式的計算求值.【詳解】由sinα?3cosα∴12sin故選：B【變式31】4．（2023秋·山西太原·高一太原市進山中學校?？计谀┮阎猼anαA．sinα=3cosαC．3sinα?cosα2sinα+3cosα【答案】ACD【分析】利用同角三角函數的平方關系及商數關系，結合正余弦齊次式即可求解.【詳解】由tanα=3，得sinα因為tanα=3，所以因為tanα=3，所以sin2故選：ACD.【變式31】5．（2023秋·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┮阎?+2sinθcosθ【答案】3【分析】將已知式中分子1=sin2θ【詳解】由題意sin2即tanθ+1tan故答案為：3.【變式31】6.（2021秋·新疆喀什·高一?？计谀┤魋inx+cosxA．4 B．3 C．3 D．0【答案】C【分析】利用同角三角函數基本關系式的商數關系求解.【詳解】解：由sinx兩邊同除以cosx得tan解得tanx故選：C題型4關于sinθcosθ、sinθ+cosθ、sinθ?cosθ的相互轉化【方法總結】(1)sinθ＋cosθ，sinθcosθ，sinθ－cosθ三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”．(2)求sinθ＋cosθ或sinθ－cosθ的值，要注意判斷它們的符號．【例題4】已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，求：(1)tanθ；(2)sinθ－cosθ.【解析】(1)由sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，得cosθ＝eq\f(1,5)－sinθ.又sin2θ＋cos2θ＝1，代入得sin2θ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－sinθ))2＝1，整理得sin2θ－eq\f(1,5)sinθ－eq\f(12,25)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(4,5)))＝0，解得sinθ＝－eq\f(3,5)或sinθ＝eq\f(4,5).又θ∈(0，π)，所以sinθ>0，故sinθ＝eq\f(4,5).所以cosθ＝eq\f(1,5)－sinθ＝eq\f(1,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(3,5)，故tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3).(2)方法一由(1)可知，sinθ－cosθ＝eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq\f(7,5).方法二因為θ∈(0，π)，所以sinθ>0，又sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，兩邊平方，整理得sinθcosθ＝－eq\f(12,25)<0，所以cosθ<0.又(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，∴sinθ－cosθ＝eq\f(7,5).【變式41】1.若sinθ－cosθ＝eq\r(2)，則tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝.【答案】2【解析】由已知得(sinθ－cosθ)2＝2，∴sinθcosθ＝eq\f(1,2).∴tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝2.【變式41】2.（多選）（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┮阎取?π,0，A．θ∈?π,?πC．tanθ=8【答案】BD【分析】由sinθ+cosθ=717，平方可得【詳解】對A：因為sinθ+cosθ所以2sinθ又因為θ∈?π,0，則sinθ所以θ∈對D：可得sinθ?cosθ所以sinθ對B：聯立sinθ+cosθ=7對C：可得tanθ故選：BD.【變式41】3.（多選）2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學?？计谀┮阎猻inαcosαA．sinα+cosαC．cosα?sinα【答案】ACD【分析】利用同角三角函數的基本關系求解即可.【詳解】因為sinα且π4<α<π故A正確；cosα且π4<α<πB錯誤，C正確；聯立sinα+cosα所以tanα故選:ACD.【變式41】4.（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┤籀取?,π，tanA．233 B．±233 【答案】D【分析】根據已知條件可得sinθcosθ【詳解】因為tanθ所以sinθcosθ=14>0則(sinθ+cosθ故選：D.【變式41】5．（多選）（2023秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期末）已知sinθcosθA．θ2是第二象限角 B．C．sinθ?cosθ=【答案】BD【分析】A選項，根據題目條件得到sinθ<0，cosθ<0，得到θ為第三象限角，判斷出θ2可能為第二或第四象限角，故A錯誤；B選項，求出sinθ+cos【詳解】對于A，∵sinθ=?sinθ∴sinθ<0，∴θ為第三象限角，∴π+2k∴π2當k為偶數時，θ2為第二象限角，當k為奇數時，θθ2對于B，sinθ∵sinθ<0，∴sinθ∴sinθ對于C，由sinθ∵sinθ<0，∴sinθ∴sinθ對于D，當sinθ?cosθ=10故tanθ當sinθ?cosθ=?故tan故tanθ故選：BD.【變式41】6.已知2sin2α+2sinαcosα【答案】?【分析】由已知化簡得出2sinαcosα=k，根據同角三角函數的運算得出sin【詳解】2sin=2sin=2sin=2sinαsinα∵0<α<π4時，則sinα故答案為：?1?【變式41】7.（2023秋·甘肅慶陽·高一統(tǒng)考期末）已知fsinα+cos【答案】?12【分析】利用同角三角函數的關系，求出函數解析式，再代入求值.【詳解】已知fsin因為sinα所以令t=sinα+cos則fcos故答案為：?【例題42】已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos23B.?23C.【解析】A由sin4θ+cos4θ=59,得(sin2θ+cos2θ)22sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=29，θ是第三象限角，sinθ【例題43】若α是三角形的內角，且sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，則此三角形是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】將sinα＋cosα＝eq\f(2,3)兩邊平方，得1＋2sinαcosα＝eq\f(4,9)，即2sinα·cosα＝－eq\f(5,9).又α是三角形的內角，所以sinα>0，cosα<0，所以α為鈍角．題型5與參數有關的三角函數問題【例題5】（2023秋·吉林松原·高一?？计谀┮阎P于x的方程2x2?(?3+1)x+2【答案】?【分析】根據給定條件，利用韋達定理結合同角公式求解作答.【詳解】關于x的方程2x2?(?3+1)則sinθ+cosθ故答案為：?【變式51】1.在△ABC中，eq\r(2)sinA＝eq\r(3cosA)，則角A等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)【答案】C【解析】由題意知cosA>0，即A為銳角．將eq\r(2)sinA＝eq\r(3cosA)兩邊平方得2sin2A＝3cosA，∴2cos2A＋3cosA－2＝0，解得cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)．∴A＝eq\f(π,3).【變式51】2.（2022春·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學?？茧A段練習）已知sinθ=1?a1+a，【答案】1【分析】利用同角三角函數基本關系式sin2θ+【詳解】∵sin∴(1?a1+a當a=1時，sinθ=0,cos當a=19時，sinθ=所以a=故答案為：1【變式51】3.（2021·高一課時練習）已知sinα=2m?5m+1【答案】

4

?【分析】由同角三角函數的基本關系及角所在象限即可列出方程及不等式求解.【詳解】∵sinα=2∴2m∴m=4或m∵α為第二象限角，∴2m?5m+1>0∴sinα=3∴tanα故答案為：4；?3【變式51】4.（2023秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期末）已知sinθ、cosθ是關于x的方程(1)求實數a的值；(2)若θ是第四象限的角，求sinθ【答案】(1)?14(2)?【分析】（1）由韋達定理可得sinθ+cosθ=22asinθ?cos（2）由θ是第四象限的角，可以得出a=?14且sin【詳解】（1）由題意，Δ=8a2?4a≥0因為sinθ所以1+2a=8a2，解得所以a=?14（2）因為θ是第四象限的角，所以sinθ<0，所以a=?14所以sinθ即sinθ【變式51】5.（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？茧A段練習）已知sinθ，cosθ是關于x的方程5x(1)求sin2(2)求sin3【答案】(1)?1(2)?91【分析】（1）根據韋達定理及同角關系式化簡即得；（2）由題可得sinθ【詳解】（1）因為sinθ，cosθ是關于x的方程所以sinθ所以sin2θ=sin（2）由sinθ+cosθ所以sinθcosθ=?1225，∵∴cosθ>0，∴sinθ可得sinθ?cosθ【變式51】6.已知、是關于的方程的兩個根．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）2﹣2（2）?1?【解析】（1）由題意利用韋達定理知：sinθ+cosθ＝a，sinθ?cosθ＝a．∵（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ，∴a2＝1+2a．解得：a＝1﹣2或a＝1+2．∵sinθ≤1，cosθ≤1，∴sinθcosθ≤1，即a≤1，∴a＝1+2舍去，a＝1﹣2．∴sin3θ+cos3θ＝（sinθ+cosθ）（sin2θ﹣sinθcosθ+cos2θ）＝（sinθ+cosθ）（1﹣sinθcosθ）＝a（1﹣a）＝2﹣2．（2）tanθ+1tanθ＝sinθco