2025年上海嘉定區(qū)九年級(jí)中考一模數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)樣卷（時(shí)間100分鐘，滿分150分）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共25題；2．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．下列關(guān)于的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．拋物線一定經(jīng)過點(diǎn)（

）A． B． C． D．3．下列兩個(gè)三角形一定相似的是（

）A．兩個(gè)直角三角形 B．有一個(gè)內(nèi)角為的兩個(gè)直角三角形C．兩個(gè)等腰三角形 D．有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形4．如圖，在直角梯形中，，，如果對(duì)角線，那么的值是（

）A． B． C． D．5．下列命題正確的是（

）A．如果，那么 B．如果和都是單位向量，那么C． D．如果，那么6．如圖，兩條不平行的直線與直線相交于點(diǎn)，四條平行線分別交直線于點(diǎn)、、、，分別交直線于點(diǎn)、、、，則有．如果，，，那么在下列結(jié)果中，線段之差最大的是（

）A． B．C． D．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】7．已知，那么．8．如果拋物線的開口向下，那么的取值范圍是．9．將拋物線向右平移3個(gè)單位，得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．10．已知點(diǎn)、在函數(shù)的圖像上，如果，那么．（填“>”、“=”、“<”）11．已知某二次函數(shù)一部分自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)情況如表所示，根據(jù)表中信息可知這個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線．…124……1111143…12．如圖，，、相交于點(diǎn)，如果，那么的值是．

13．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，連接，如果，，那么．（用含向量、的式子表示）14．在等腰中，，如果，那么的值是．15．手影戲是一種獨(dú)特的藝術(shù)形式，它通過手勢(shì)和光影創(chuàng)造出生動(dòng)的形象．它的原理是利用光的直線傳播，將手影投射到幕布上形成各種影像．如圖，為了投影出一個(gè)動(dòng)物造型，手的長(zhǎng)度是15厘米，，光源到手的距離是100厘米，手到幕布的距離是20厘米．此時(shí)的長(zhǎng)度是厘米．16．如圖，某商場(chǎng)開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，已知樓梯高，坡面的坡度，則至少需要紅地毯m．

17．平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當(dāng)兩交點(diǎn)分別是兩腰的黃金分割點(diǎn)時(shí)，我們稱這條線段是梯形的“黃金分割線”．如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，如果是梯形的“黃金分割線”，那么．18．如圖，將一塊含角的實(shí)心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面內(nèi)繞著它的重心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．如果這塊三角板的斜邊長(zhǎng)12厘米，那么運(yùn)動(dòng)前后兩個(gè)三角形重疊部分的面積為平方厘米．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．計(jì)算：．20．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，(1)為了確定這條拋物線，需要再添加一個(gè)條件，請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)：①它與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是；②頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．你選擇的條件是（填寫編號(hào)），并求、的值．(2)由（1）確定的拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，求的值．21．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，且．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)，時(shí)，求的面積．22．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，作，垂足為點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)取邊的中點(diǎn)，連接，求證：．23．火車作為我國(guó)重要的交通運(yùn)輸形式之一，其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車的運(yùn)行安全．我國(guó)目前軌道檢測(cè)的主要方法是機(jī)械檢測(cè)，通過使用機(jī)械傳感器和無損檢測(cè)設(shè)備（包括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來測(cè)量軌道的各種參數(shù)（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷軌道是否有損傷或缺陷．某?？苿?chuàng)活動(dòng)小組率先就“激光三角位移計(jì)”這一設(shè)備開展了學(xué)習(xí)與探究：閱讀概述激光三角位移計(jì)是由半導(dǎo)體激光向目標(biāo)物照射激光，聚集目標(biāo)物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦離目標(biāo)物的距離發(fā)生改變，聚集反射光的角度也會(huì)改變，成像的位置也隨之改變．可以通過成像的位移來計(jì)算物體實(shí)際的移動(dòng)距離．發(fā)現(xiàn)原理被測(cè)量物體從初始位置移動(dòng)到最終位置，需要測(cè)量的是參考平面與目標(biāo)測(cè)量平面的距離，也就是圖中點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．假設(shè)激光通過接收透鏡后仍按照原直線方向傳播，最后在光學(xué)成像設(shè)備上成像．建立模型如圖，直線直線直線，直線垂直于和，垂足分別為和，線段與線段交于點(diǎn)，．探究（1）設(shè)，請(qǐng)用含和的式子表示點(diǎn)到直線的距離．探究（2）已知，，，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到個(gè)位，，，）24．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)2,3和點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，該拋物線上有三個(gè)點(diǎn)、、，軸，，，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)）．①如果點(diǎn)到拋物線對(duì)稱軸的距離為，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．25．如圖1，在中，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且滿足，設(shè)．(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求證：；(3)設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】本題考查二次函數(shù)的識(shí)別，根據(jù)形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)，不符合題意；B、，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、，是二次函數(shù)，符合題意；D、，不是二次函數(shù)，不符合題意；故選C．2．B【分析】本題二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，根據(jù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)圖象不經(jīng)過點(diǎn)1,0；B、當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)；C、當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)圖象不經(jīng)過點(diǎn)；D、當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)圖象不經(jīng)過點(diǎn)；故選B3．B【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、兩個(gè)直角三角形不一定相似，不符合題意；B、根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似，可以得到有一個(gè)內(nèi)角為的兩個(gè)直角三角形一定相似，符合題意；C、兩個(gè)等腰三角形不一定相似，不符合題意；D、有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，比如一個(gè)的角是頂角，一個(gè)的角為底角，不符合題意；故選B．4．B【分析】本題考查了三角函數(shù)的比值關(guān)系，平行線的性質(zhì)，熟悉掌握角三角函數(shù)的比值關(guān)系是解題的關(guān)鍵．利用角的等量代換和三角函數(shù)的比值關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，故選：B．5．D【分析】本題考查命題與定理，平面向量，解答本題的關(guān)鍵是掌握平面向量的基本概念和性質(zhì)．由平面向量的基本概念和性質(zhì)，即可判斷．【詳解】解：A、兩向量的模相等，方向不一定相同，故A選項(xiàng)不符合題意；B、兩單位向量的方向可能不同，故B選項(xiàng)不符合題意；C、，故C選項(xiàng)不符合題意；D、如果，那么，正確，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．6．D【分析】本題考查平行線分線段成比例，根據(jù)平行線分線段成比例，分別求出線段之間的數(shù)量關(guān)系，逐一計(jì)算，比較大小即可．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，∴，∴，，，∵，∴的差最大；故選D．7．##【分析】本題考查了代數(shù)式的運(yùn)算，熟悉掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)推出，再整體代入運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴把代入可得：，故答案為：．8．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口向下可得出，再結(jié)合二次函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知：且，解得：，故答案為：9．【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)平移規(guī)則：左加右減，上加下減，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：拋物線向右平移3個(gè)單位，得到：，∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；故答案為：．10．【分析】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值大小，根據(jù)開口向下的拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵，∴，∴；故答案為：．11．【分析】本題考查根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求對(duì)稱軸，找到表格中函數(shù)值相同的兩個(gè)自變量的值，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由表格可知：當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等，即：點(diǎn)和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴對(duì)稱軸為直線；故答案為：．12．【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)同高三角形的面積之比等于底邊長(zhǎng)之比得到，再證明，最后根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13．【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算，三角形法則求出，證明，求出的值，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：．14．【分析】本題考查求角的正弦值，勾股定理．過點(diǎn)作，根據(jù)，不妨設(shè)，，設(shè)，勾股定理列出方程求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖，設(shè)，∵，∴不妨設(shè)，則：，在中，，在中，，∴，即：，解得：，∴，∴，在中，，故答案為：．15．18【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，先證明，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比求解即可．【詳解】解∶根據(jù)題意，得，，，∴，∵，∴，∵，∴，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴的長(zhǎng)度是18厘米，故答案為∶18．16．14【分析】根據(jù)坡面的坡度，求出的長(zhǎng)度，從而利用平移的知識(shí)可得紅地毯的長(zhǎng)度為，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，坡面的坡度，∴，∴紅地毯的長(zhǎng)度為，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用坡度求出的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵，另外要掌握平移性質(zhì)的運(yùn)用．17．【分析】本題考查黃金分割，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，得到，求出的長(zhǎng)，利用求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵是梯形的“黃金分割線”，∴，，∴四邊形均為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．18．【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，推出，且相似比為，利用的面積減去三個(gè)小三角形的面積求出重疊部分的面積即可．【詳解】解：如圖，，，∴，∴，∵為重心，∴，∵繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理：，∴重疊部分的面積為：；故答案為：．19．【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，先把特殊角的三角函數(shù)值代入，然后再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：20．(1)②，(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵：（1）選擇②，寫出頂點(diǎn)式，再轉(zhuǎn)化為一般式求出、的值即可；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸，利用正切的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)選擇條件為①時(shí)，只有一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)無法求出兩個(gè)參數(shù)的值；故選擇②，此時(shí)：，∴；故答案為：②；（2）解：當(dāng)時(shí)，解得：，∴，∴，過點(diǎn)作軸，則：，∴，∴．21．(1)；(2)．【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理．根據(jù)：，，可證，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得：，從而可求AB的長(zhǎng)度；過點(diǎn)作，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求，利用勾股定理可求，利用三角形的面積公式可求，因?yàn)椋?，可證，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可知．【詳解】（1）解：，，，，，，，，是線段，，；（2）解：如下圖所示，過點(diǎn)作，，又，，，，，，，，，，，，．22．(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定以及性質(zhì)，三角形中位線的判定以及性質(zhì)，掌握這些判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，由線段中點(diǎn)的定義得出，等量代換可得出，結(jié)合，進(jìn)而可得出．（2）取邊的中點(diǎn)D，連接，先證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，，連接交于點(diǎn)H，連接，利用三角形中位線的判定以及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定得出，再證明，，再由相似三角形的性質(zhì)進(jìn)一步證明，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出．【詳解】（1）證明：∵，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，∴，，∴，∴，∴，∴∵，∴．（2）解：取邊的中點(diǎn)D，連接，∵，，∴，∵，∴，，連接交于點(diǎn)H，連接，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，，，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴．23．（1）（2）60【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵：（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，對(duì)頂角結(jié)合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的長(zhǎng)即可；（2）作，交于點(diǎn)，解直角三角形，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，，∵，∴，∴，在中，；（2）作，交于點(diǎn)∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．24．(1)(2)①；②【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解直角三角形，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）①連接，過點(diǎn)作直線，根據(jù)對(duì)稱性結(jié)合直角三角形斜邊上的中線推出為等邊三角形，在中，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②在中，利用銳角三角函數(shù)求出的值，進(jìn)而求出點(diǎn)