2024-2025學年北京市海淀區(qū)中關村中學高二上學期期中考試數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市海淀區(qū)中關村中學高二上學期期中考試數學試卷一、選擇題：本大題共14小題，共70分。1.若AB=(?1,2,3),BC=1,?1,?4，則A.2 B.5 C.5 2.已知a=x,1,3，b=1,3,9，如果a與b為共線向量，則A.1 B.12 C.13 3.若長方體的三條棱長分別是1，2，3，則它的外接球的表面積(

)A.28π B.14π C.56π D.32π4.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是A.若m//α,n//α,則m//n B.若m⊥α，n?α，則m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，則n//α D.若m//α，m⊥n，則n⊥α5.如圖所示，三棱錐O?ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示NM，則A.12(?a+b+c) 6.已知A2,?4,1,B2,?1,4,C1,?3,1，則AC與A.30° B.60° C.7.已知兩條不同的直線m，n和平面α滿足m⊥α，則“m//n”是“n⊥α”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知A,B,C為球O的球面上的三個點，⊙O1為?ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1A.64π B.48π C.36π D.32π9.如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是(

)

A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(4) D.(1)(5)10.在正三棱錐P?ABC中，AB=3，PA=23，則直線PA與平面ABC所成角的大小為(

)A.30° B.45° C.60° D.75°11.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，折起后點D記為D′.若BD′=1，則四面體ABCD′的體積為(

)A.212 B.223 12.《九章算術·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以基，其形露矣．”文中“陽馬”是底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐．在陽馬P?ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，AB=AD=2，則點A到平面PBD的距離為(

)A.23 B.63 C.13.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ABC是邊長為4的正三角形，AA1=2，N為棱A1B1上的中點，M為棱CC1上的動點，過N作平面ABM的垂線段，垂足為點OA.π6 B.π4 C.π314.蜜蜂被譽為“天才的建筑師”.蜂巢結構是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結構.如圖是一個蜂房的立體模型，底面ABCDEF是正六邊形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上頂由三個全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG構成.設BC=1，∠GPI=∠IPK=∠KPG=θ，則上頂的面積為(

)

A.3sinθ B.32tanθ2 C.二、填空題：本大題共6小題，共30分。15.已知三角形ABC的三個頂點分別為A3,3,1，B1,1,5，C0,1,0，則AB的中點坐標為

；AB邊上的中線長為

16.已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則此圓錐的表面積為

．17.如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=1，AB=2，則點D1到點B的距離等于18.已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E為CC19.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別為C1D1，BC的中點，點P在正方體表面上運動，且DB1⊥平面20.如圖，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直．P為棱AB上的動點，DQ⊥平面EPC，Q為垂足.給出下列四個結論：①EQ=CQ；②線段DQ的長隨線段BP的長減小而增大；③存在點P，使得PQ//平面EDA；④存在點P，使得AQ?其中所有正確結論的序號是

．三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.設x,y∈R，向量a=(1,1,1),b=(1,y,1),c(1)求|a(2)求向量a+b與b22.如圖，在三棱錐P?ABC中，?PBC為等邊三角形，點O為BC的中點，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．(1)求證：直線AC⊥平面PBC；(2)已知E為PO的中點，F是線段AB上的點，AF=λAB.若EF⊥BC，求λ的值．23.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，BD1(1)求證：EF//平面B1(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(i)平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；(ii)點A到平面CEF的距離．條件①：CE⊥B條件②：B1D與平面ADD注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．24.已知?ABC中，AB⊥BC，BC=6，AB=3，分別取邊AB,AC的點D,E，使得AD=2,DE//BC，將?ADE沿DE折起到?A1DE的位置，設點M為棱A1D的中點，點P為的A1B中點，棱(1)求證：MN//平面A1(2)試探究在?ADE的折起過程中，是否存在一個位置，使得三棱錐N?PCE的體積為36，若存在，求出二面角A25.已知集合Rn=x1,xBb1,(1)當n=2時，以下命題正確的有__________(不需證明)：①若A1,2，B4,6，則②在?ABC中，若∠C=90°，則③在?ABC中，若dA,B=d(2)當n=2時，證明R2中任意三點A,B,C滿足關系d(3)當n=3時，設A0,0,0，B4,4,4，Px,y,zdA,P+dP,B=dA,B.求滿足P點的個數n，并證明從這n個點中任取11個點，其中必存在4個點，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c的三棱錐體積不大于參考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.D

10.C

11.A

12.B

13.C

14.D

15.2,2,3

；

；

；

；

；

；16.3π

17.6

；318.319.320.①②③

21.(1)向量a=(1,1,1),b=(1,y,1),故1+y+1=0，解得y=?2．由于b//所以1z=1故b=(1,?2,1),所以a+故|a(2)由于b=(1,?2,1),c=(2,?4,2)故cosa

22.(1)因為?PBC為等邊三角形，點O為BC的中點，所以PO⊥BC，又平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PO?平面PBC，所以PO⊥平面ABC，又AC?平面ABC，所以PO⊥AC，又AC⊥PB，PO∩PB=P,PO,PB?平面PBC，所以AC⊥平面PBC；(2)由(1)知，PO⊥BC，又EF⊥BC,PO∩EF=E,PO,EF?平面EOF，所以BC⊥平面EOF，又OF?平面EOF，所以OF⊥BC，又AC⊥平面PBC，BC?平面PBC，則AC⊥BC，所以AC//OF，由O為BC中點，可得F為AB中點，由AF=λAB，可得λ=1

23.(1)連接BC1,B1C,相交于點G，連接由長方體的性質知，點E是BD所以EG//C1D而F是AB的中點，且AB//C1D所以BF//EG,BF=EG，所以四邊形BFEG是平行四邊形，所以EF//BG，又EF?平面B1BCC1，所以EF//平面B1(2)選擇條件①：CE⊥B以D為原點建立空間直角坐標系，設DC=t(t>0)，則D(0,0,0),C(0,t,0),E1,所以CE=若CE⊥B1D，則CE(ⅰ)C(0,2所以CE=(1,?設平面CEF的法向量為n=(x,y,z)，則令x=1，則y=2,z=1設平面BCE的法向量為m=(a,b,c)，則令b=1，則a=0,c=2，所以所以cosn故平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值為6(ⅱ)AF由(ⅰ)平面CEF的法向量為n=(1,所以點A到平面CEF的距離為|AF選擇條件②：B1D與平面ADD以D為原點建立空間直角坐標系，設DC=t(t>0)，則D(0,0,0)，B1所以DB平面ADD1A因為B1D與平面ADD所以cosDB1(ⅰ)C(0,2所以CE=(1,?設平面CEF的法向量為n=(x,y,z)，則令x=1，則y=2,z=1設平面BCE的法向量為m=(a,b,c)，則令b=1，則a=0,c=2，所以所以cosn故平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值為6(ⅱ)AF由(ⅰ)平面CEF的法向量為n=(1,所以點A到平面CEF的距離為|AF

24.(1)取A1E中點F，連接MF，如圖所示：

∵M為棱A1D的中點，∴MF//DE且而?ABC中，AB=3，AD=2，則DE//BC，且DE=23BC=4，∴MF//DE且MF=13BC=NC，∴四邊形MFCN∵MN?平面A1EC，FC?平面A1(2)在?ADE的折起過程中，存在一個位置，滿足二面角A1?DE?B的大小為π3或2π3，使得三棱錐在?ABC中，DE//BC，AB⊥BC，DE⊥AB；所以在立體圖中，DE⊥A1D，DE⊥BD，A1D∩BD=D∴∠A1DB且DE⊥平面A1DB，∵DE?平面BCED，∴平面A在面A1DB內作PO⊥BD于則PO⊥平面BCED，∴PO為三棱錐P?NCE的高．S?NCE=12NC?BD=所以A1到BD的距離為當∠A1DB為銳角時，sin所以符合要求的?ADE的位置存在且二面角A1?DE?B的大小為π3

25.(1)當n=2時，①若A1,2，B4,6，則dA,B②在?ABC中，若∠C=90°，則AC2所以(而dA,BdA,C但2(x1③在?ABC中，若dA,B=dA,C，在②中的點坐標，有x1?x2+y空格處填①(2)證明：設A(xx1?x所以d(A,C)+d(B,C)≥d(A,B).，(3)d(A,B)=12，x+x?4≥4,y又由已知dA,P+dP,B又x,y,z∈Z，∴x,y,z=0,1,2,3,4，5×5×5=125，點P是以AB為對角線的正方體內部(含面上)的整數點，共125個，n=125．這125個點在z=0,z=1,z=2,z=3,z=4這五面內．這三個平面內，一個面上取不共線的3點，相鄰面上再取一點構成一個三棱錐．則這個三棱錐的體積最大為V=1現在任取11個點，若有四點共面，則命題已成立，若其中無4點共面，但11個點分在5個平面上至少有一個平面內有3個點(顯然不共線)，若這三點在z=1,z=2,z=3這三個平面中的