滁州學(xué)院離散數(shù)學(xué)試卷

滁州學(xué)院離散數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.在集合論中，下列哪個(gè)概念表示一個(gè)元素屬于該集合？

A.子集

B.真子集

C.父集

D.元素

2.設(shè)集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，則集合A與集合B的交集是什么？

A.{1,2,3}

B.{3}

C.{1,2,4,5}

D.空集

3.下列哪個(gè)命題是永真命題？

A.1=2

B.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x^2≥0

C.所有的鳥都會(huì)飛

D.1+1=3

4.在圖論中，一個(gè)無向圖有8個(gè)頂點(diǎn)和12條邊，則該圖至少有多少個(gè)環(huán)？

A.0

B.1

C.2

D.3

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2，則該函數(shù)的圖像是？

A.拋物線

B.直線

C.雙曲線

D.圓

6.在邏輯代數(shù)中，下列哪個(gè)表達(dá)式是恒等式？

A.A+AB=B

B.A+AB=A

C.A+AB=1

D.A+AB=A+B

7.在關(guān)系數(shù)據(jù)庫中，下列哪個(gè)操作是用于刪除記錄的？

A.INSERT

B.UPDATE

C.DELETE

D.SELECT

8.在圖論中，一個(gè)有向圖有6個(gè)頂點(diǎn)和9條邊，則該圖至少有多少個(gè)有向環(huán)？

A.0

B.1

C.2

D.3

9.在數(shù)學(xué)歸納法中，假設(shè)對(duì)于某個(gè)自然數(shù)n，命題P(n)成立，那么要證明命題P(n+1)也成立，我們需要證明什么？

A.P(n)成立

B.P(n+1)成立

C.P(n)和P(n+1)同時(shí)成立

D.P(n)和P(n+1)同時(shí)不成立

10.在組合數(shù)學(xué)中，從5個(gè)不同的元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是多少？

A.10

B.20

C.30

D.40

二、判斷題

1.在集合論中，空集是任何集合的子集。（）

2.在圖論中，連通圖一定有歐拉回路。（）

3.在邏輯代數(shù)中，德摩根定律是成立的。（）

4.在數(shù)據(jù)庫理論中，關(guān)系數(shù)據(jù)庫中的關(guān)系必須是規(guī)范化的，以避免數(shù)據(jù)冗余。（）

5.在組合數(shù)學(xué)中，二項(xiàng)式定理可以用來計(jì)算任意兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積。（）

三、填空題

1.在集合論中，集合A的冪集包含______個(gè)元素。

2.一個(gè)圖中有______個(gè)頂點(diǎn)和______條邊時(shí)，它是一個(gè)無向完全圖。

3.在邏輯代數(shù)中，表達(dá)式(A+B)(A+B)可以簡(jiǎn)化為______。

4.在數(shù)據(jù)庫理論中，第一范式（1NF）要求關(guān)系中的每個(gè)屬性______。

5.在組合數(shù)學(xué)中，二項(xiàng)式系數(shù)C(n,k)表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的______。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述集合論中笛卡爾積的定義及其應(yīng)用場(chǎng)景。

2.解釋圖論中圖的連通性和路徑的概念，并說明它們?cè)趫D中的應(yīng)用。

3.舉例說明邏輯代數(shù)中的吸收律和分配律，并解釋它們?cè)诤?jiǎn)化邏輯表達(dá)式中的作用。

4.描述關(guān)系數(shù)據(jù)庫中第三范式（3NF）的定義，并說明它與第一范式（1NF）和第二范式（2NF）的關(guān)系。

5.簡(jiǎn)要介紹組合數(shù)學(xué)中的排列和組合的區(qū)別，并給出計(jì)算排列和組合數(shù)的方法。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算集合A={1,2,3,4}和集合B={2,4,5,6}的笛卡爾積。

2.已知無向圖G有5個(gè)頂點(diǎn)，邊數(shù)E=7，求G的最小度數(shù)和最大度數(shù)。

3.簡(jiǎn)化邏輯表達(dá)式：(A+B)(A+C)+(A+B)(B+C)。

4.設(shè)關(guān)系R是關(guān)系數(shù)據(jù)庫中的一個(gè)關(guān)系，其屬性集合為{A,B,C,D}，其中A是主鍵，B是外鍵，且滿足第二范式（2NF）。請(qǐng)用關(guān)系規(guī)范化理論說明R是否滿足第三范式（3NF）。

5.計(jì)算組合數(shù)C(10,3)和排列數(shù)P(10,3)。

六、案例分析題

1.案例背景：某電子商務(wù)公司在其網(wǎng)站上線了一款新商品，需要根據(jù)用戶點(diǎn)擊購(gòu)買行為來優(yōu)化網(wǎng)站推薦算法。公司收集了1000名用戶在一個(gè)月內(nèi)的點(diǎn)擊購(gòu)買數(shù)據(jù)，其中包含了用戶ID、商品ID、用戶點(diǎn)擊時(shí)間、購(gòu)買時(shí)間等信息。

案例分析：

（1）請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)一個(gè)圖模型來表示用戶與商品之間的關(guān)系，并說明其類型（例如：有向圖、無向圖）。

（2）分析圖中用戶的點(diǎn)擊購(gòu)買行為，找出哪些商品與哪些用戶有較高的相關(guān)性，并提出優(yōu)化網(wǎng)站推薦算法的建議。

2.案例背景：某在線教育平臺(tái)為了提高學(xué)生參與度，決定對(duì)課程學(xué)習(xí)進(jìn)度進(jìn)行跟蹤，并設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)生成績(jī)管理系統(tǒng)。系統(tǒng)需要記錄每個(gè)學(xué)生在每門課程中的學(xué)習(xí)情況，包括課程ID、學(xué)生ID、學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)、作業(yè)提交情況等。

案例分析：

（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)系數(shù)據(jù)庫模式來存儲(chǔ)上述數(shù)據(jù)，包括所需表的結(jié)構(gòu)和表之間的關(guān)系。

（2）分析該數(shù)據(jù)庫模式可能存在的問題，并提出相應(yīng)的優(yōu)化方案，例如考慮數(shù)據(jù)冗余、完整性約束等。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：假設(shè)有一個(gè)包含10個(gè)學(xué)生的班級(jí)，每個(gè)學(xué)生參加了3門不同的課程，課程分別為數(shù)學(xué)、英語和物理。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)算法，計(jì)算每個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)，并輸出每個(gè)學(xué)生的課程平均成績(jī)和班級(jí)的平均成績(jī)。

2.應(yīng)用題：在一個(gè)無向圖中，有5個(gè)頂點(diǎn)，分別是A、B、C、D、E，邊的情況如下：AB、AC、AD、BC、BD、BE。請(qǐng)編寫代碼實(shí)現(xiàn)一個(gè)算法，判斷該圖是否為連通圖，并輸出結(jié)果。

3.應(yīng)用題：在邏輯代數(shù)中，有一個(gè)表達(dá)式F=A(B+C)+D(A+B)。請(qǐng)使用分配律和吸收律簡(jiǎn)化這個(gè)表達(dá)式，并寫出簡(jiǎn)化后的結(jié)果。

4.應(yīng)用題：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)據(jù)庫查詢，假設(shè)有一個(gè)學(xué)生表（Students）和一個(gè)成績(jī)表（Grades），學(xué)生表包含學(xué)生ID和姓名，成績(jī)表包含學(xué)生ID和成績(jī)。查詢所有學(xué)生的姓名和他們的最高成績(jī)。假設(shè)成績(jī)表中的成績(jī)是按學(xué)生ID分組最高的。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.D

2.B

3.B

4.B

5.A

6.B

7.C

8.B

9.B

10.A

二、判斷題答案：

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空題答案：

1.2^n

2.n,n*(n-1)/2

3.A

4.原子

5.排列

四、簡(jiǎn)答題答案：

1.笛卡爾積是兩個(gè)集合A和B的所有可能的有序?qū)?a,b)的集合，其中a屬于A，b屬于B。它廣泛應(yīng)用于關(guān)系數(shù)據(jù)庫的連接操作、集合的笛卡爾積運(yùn)算等。

2.圖的連通性指的是圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑。路徑是指頂點(diǎn)序列，其中任意兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)之間都有一條邊。圖中的路徑可以是簡(jiǎn)單的（不重復(fù)經(jīng)過頂點(diǎn)）或復(fù)雜的（重復(fù)經(jīng)過頂點(diǎn)）。

3.吸收律：A+AB=A，表示在邏輯代數(shù)中，一個(gè)元素與其與另一個(gè)元素的或運(yùn)算的結(jié)果相等。分配律：A(B+C)=AB+AC，表示邏輯代數(shù)中，一個(gè)元素與兩個(gè)元素的或運(yùn)算的結(jié)果等于該元素與每個(gè)元素的或運(yùn)算的結(jié)果的和。

4.第三范式（3NF）要求關(guān)系中的屬性必須直接依賴于主鍵，且不存在傳遞依賴。與1NF和2NF的關(guān)系是：1NF是關(guān)系數(shù)據(jù)庫的基本要求，2NF要求關(guān)系中的非主屬性完全依賴于主鍵，而3NF在此基礎(chǔ)上要求非主屬性不依賴于其他非主屬性。

5.排列是指從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同順序的排列。組合是指從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同組合，不考慮順序。

五、計(jì)算題答案：

1.集合A×B={(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(3,5),(4,2),(4,4),(4,5)}

2.最小度數(shù)=2，最大度數(shù)=3

3.簡(jiǎn)化后的表達(dá)式為：F=A+D

4.第三范式不滿足，因?yàn)閷傩訡依賴于屬性B，而B依賴于主鍵A，存在傳遞依賴。

5.C(10,3)=120,P(10,3)=720

七、應(yīng)用題答案：

1.算法設(shè)計(jì)：

-遍歷學(xué)生表，對(duì)每個(gè)學(xué)生，遍歷課程表，計(jì)算每門課程的平均成績(jī)。

-將每個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)存儲(chǔ)在一個(gè)列表中。

-計(jì)算班級(jí)的平均成績(jī)，即所有學(xué)生平均成績(jī)的平均值。

2.代碼示例：

```python

defis_connected(graph):

visited=set()

stack=[graph[0]]

whilestack:

node=stack.pop()

ifnodenotinvisited:

visited.add(node)

stack.extend(graph[node])

returnlen(visited)==