2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.5全稱量詞與存在量詞課時分層作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊

PAGE1-課時分層作業(yè)(七)全稱量詞與存在量詞(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下列命題是“?x∈R，x2＞3”的另一種表述方式的是()A．有一個x∈R，使得x2＞3B．對有些x∈R，使得x2＞3C．任選一個x∈R，使得x2＞3D．至少有一個x∈R，使得x2＞3C[“?”和“任選一個”都是全稱量詞．]2．下列命題中的假命題是()A．?x∈R，|x|＝0B．?x∈R,2x－10＝1C．?x∈R，x3>0D．?x∈R，x2＋1>0C[當(dāng)x＝0時，x3＝0，故選項C為假命題．]3．下列命題中是存在量詞命題的是()A．?x∈R，x2＞0B．?x∈R，x2≤0C．平行四邊形的對邊平行D．矩形的任一組對邊相等B[A含有全稱量詞?，為全稱量詞命題；B含有存在量詞?，為存在量詞命題，滿意條件；C省略了全稱量詞全部，為全稱量詞命題；D省略了全稱量詞全部，為全稱量詞命題，故選B.]4．以下四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個負數(shù)x，使eq\f(1,x)>2B[A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱量詞命題；B中x＝0時，x2＝0，所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中因為eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命題；D中對于任一個負數(shù)x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命題．]5．命題“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是()A．對隨意實數(shù)x，都有x＞1B．不存在實數(shù)x，使x≤1C．對隨意實數(shù)x，都有x≤1D．存在實數(shù)x，使x≤1C[“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是“對隨意實數(shù)x，都有x≤1”．故選C.]二、填空題6．命題“存在實數(shù)x，y，使得x＋y＞1”是________(填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”)，用符號表示為________．存在量詞命題?x，y∈R，x＋y＞1[命題“存在實數(shù)x，y，使得x＋y＞1”是存在量詞命題，用符號表示為：“?x，y∈R，x＋y＞1”．]7．命題“隨意一個x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是______．存在一個x∈R，使得x2－2x＋4＞0[原命題為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，既要否定量詞又要否定結(jié)論，所以其否定為：存在一個x∈R，使得x2－2x＋4＞0.]8．若“?x∈R，x2＋4x≥m”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________．{m|m≤－4}[由題意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值為－4，所以m≤－4.]三、解答題9．推斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個二次函數(shù)的圖象都開口向下；(3)存在一個四邊形不是平行四邊形．[解](1)是全稱量詞命題且為真命題．命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個三角形的內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱量詞命題且為假命題．命題的否定：存在一個二次函數(shù)的圖象開口不向下．(3)是存在量詞命題且為真命題．命題的否定：全部的四邊形都是平行四邊形．10．寫出下列命題的否定，并推斷其真假：(1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有實根；(2)q：有些梯形的對角線相等．[解](1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0無實數(shù)根．由于當(dāng)m＝－1時，方程x2＋x－m＝0的根的判別式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0無實數(shù)根，故其是真命題．(2)q：?x∈{梯形}，x的對角線不相等，如等腰梯形對角線相等，故其是假命題．11．下列命題的否定是真命題的為()A．p1：每一個合數(shù)都是偶數(shù)B．p2：兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等C．p3：有些實數(shù)的肯定值是正數(shù)D．p4：某些平行四邊形是菱形A[若推斷某命題的否定的真假，只要推斷出原命題的真假即可得解，它們的真假性始終相反．因p1為全稱量詞命題，且是假命題，則p1是真命題．命題p2，p3，p4均為真命題，即p2，p3，p4均為假命題．]12．(多選題)下列四個命題：①一切實數(shù)均有相反數(shù)；②?a∈N，使得方程ax＋1＝0無實數(shù)根；③梯形的對角線相等；④有些三角形不是等腰三角形．其中，是真命題的是()A．① B．②C．③ D．④ABD[①為真命題；對于②，當(dāng)a＝0時，方程ax＋1＝0無實數(shù)根；對于③，等腰梯形的對角線相等，故③錯誤；④為真命題．]13．下列命題中正確的有________．(填序號)①?x∈R，x≤0；②至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)；③?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)．①②③[①?x∈R，x≤0，正確；②至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)，正確，例如數(shù)1滿意條件；③?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)，正確，例如x＝π.綜上可得①②③都正確．]14．(一題兩空)已知命題p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.(1)命題p的否定為：________；(2)若命題p是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．(1)?x∈R，x2＋2x＋a≠0(2){a|a≤1}[(1)命題“存在x∈R，x2＋2x＋a＝0是存在量詞命題，其否定為：?x∈R，x2＋2x＋a≠0.(2)存在x∈R，x2＋2x＋a＝0為真命題，∴Δ＝4－4a≥0，∴a15．已知命題p：?x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命題q：?x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命題p為真命題，q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．[解]由題意知命題p，q都是真命題．由?x∈