2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)高三年級上冊期末考試試卷（一模）含詳解

2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

一,填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個空格填對得4分，第7小題至第12小題每個空格填

對得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號后填寫答案，否則一律得零分。

1.設(shè)集合A={1,3,5,7},8={2,3,4},則AC2=.

2.不等式|2x-1|<3的解集為.

3.已知，是虛數(shù)單位，（加+i）（1-20是純虛數(shù)，則實數(shù)根的值為.

4.設(shè){斯}是等差數(shù)列⑷=-6,.3=0,則該數(shù)列的前8項的和S8的值為.

5.到兩點為（-3,0）,F2（3,0）的距離之和為10的點的軌跡方程是（寫成標(biāo)準形式）.

6.在△ABC中，己知BC=54C=4,B=2A,則cosA的值為.

7.已知物體的位移d（單位：相）與時間f（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系d=5sinf-2cosf廁該物體在（s）時刻的瞬

2

時速度為（加/s）.

8.若用f替換命題“對于任意實數(shù)d,有屋20,且等號當(dāng)且僅當(dāng)』=0時成立”中的4即可推出平均值不等式“任意兩個

正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號當(dāng)且僅當(dāng)這兩個正數(shù)相等時成立”.則t

9.以雙曲線式-工：=1的離心率為半徑，右焦點為圓心與雙曲線的漸近線相切，則m的值為.

4m

10.如圖所示，小明和小寧家都住在東方明珠塔附近的同一幢樓上，小明家在A層,小寧家位于小明家正上方的B層，已知

.小明在家測得東方明珠塔尖的仰角為a,小寧在家測得東方明珠塔尖的仰角為0,則他倆所住的這幢樓與東方

明珠塔之間的距離.

11.記/（x）=/+（a2+ZJ2-1）x+a2+2ab-b2.若函數(shù)y=/（x）是偶函數(shù)，則該函數(shù)圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)的最大值

為.

12.已知尤2,/gX3,/gX4,/gX5是從大到小連續(xù)的正整數(shù)，且（似無4）2</gxi?/gX5,則XI的最小值為.

二,選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題,14題各4分，第15題,16題各5分.每題有且僅有一個正確答案，考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上,將代表答案的小方格涂黑。

13.設(shè)a,b€R,則“a+b>0”是“a>0且6>0”的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

14.污水處理廠通過清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產(chǎn)肥料.該廠的污水處理裝置每小時從處理池清除掉12%

的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的10%,大約需要的時間為()

A.14小時B.18小時C.20小時D.24小時

15.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的空間四面體叫做“鱉席”.如圖是一個水平放置的4

A8C,CD，AB,/A=30°,/8=45°.現(xiàn)將Rt^ACO沿CD折起，使點A移動到點A',使得空間四面體A'BCD恰好

是一個“鱉腌”，則二面角A'-CD-B的大小為()

A.60°B.90°C.arctan2D.arccos-^-^-

3

16.在四棱錐尸-ABC。中，屈=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8)，則這個四棱錐的高力等于()

A.1B.2C.13D.26

三,解答題(本大題共5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。

17.(14分)設(shè)函數(shù)/(%)=x+—,xE(-8,0)u(o,+8).

X

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)求不等式/(%)V2x的解集.

18.(14分)已知向量@二(cos1~x,sin-^-x),b=(cos^-，且[0,■卜求：

乙乙乙乙乙

⑴a及Ia+bI-

(2)求函數(shù)f(x)=a*b-Ia+bI的最小值.

19.(14分)如圖所示，正三棱錐A-BCD的側(cè)面是邊長為2的正三角形.

(1)求正三棱錐A-BCD的體積V.

(2)設(shè)E,￡G分別是線段AC,A。,8c的中點.求證：

①CD〃平面EFG.

②若平面EFG交BD于點則四邊形EFHG是正方形.

C

20.(18分)如圖的封閉圖形的邊緣由拋物線「和垂直于拋物線對稱軸的線段A8組成.已知A8=4,拋物線的頂點到線

段AB所在直線的距離為2.

(1)請用數(shù)學(xué)符號語言表達這個封閉圖形的邊緣.

(2)在該封閉圖形上截取一個矩形其中點CQ在線段A8上，點E尸在拋物線「上.求以矩形跖為側(cè)面,C尸

為母線的圓柱的體積最大值.

(3)求證：拋物線「的任何兩條相互垂直的切線的交點都在同一條直線上.

21.(18分)如果函數(shù)y=/(x)滿足以下兩個條件,我們就稱函數(shù)y=/(x)為U型函數(shù).

①對任意的證[0,1],有/(x)-1。⑴=3.

②對于任意的x,y6[0,l],若無+yWl,則/(x+y)可(x)+f(j)-1.求證：

(1)y=3*是。型函數(shù).

(2)U型函數(shù)y=/(x)在[0,1]上為增函數(shù).

(3)對于U型函數(shù)y=/(x)，有/(_L)W2+1("為正整數(shù)).

2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(一模)

參考答案與試卷解析

題號13141516

答案BBDB

一,填空題(本大題共12小題，滿分54分)第1小題至第6小題每個空格填對得4分，第7小題至第12小題每個空格填

對得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號后填寫答案，否則一律得零分。

1?【解答】解：：A={1,3,5,7},2={2,3,4}.

.?.AAB={3}.

故答案為：{3}

2.【解答】解：：|2x-1|<3

=-3<2x-1<3

o-1cx<2.

不等式|2x-1|<3的解集為{x\-l<x<2}.

故答案為：{x|-l<x<2}.

3.【解答】解:因為(m+力(1-2z)=(m+2)+(1-2m)i.

當(dāng)［m+2=0時，即-2時,z是純虛數(shù).

Il-2m#0

故答案為：-2.

4.【解答］解：因為{劭}是等差數(shù)列⑷=-6,〃3=0.

所以2d=〃3-=6,即d=3.

則該數(shù)列的前8項的和S8=8*(-6)+1^2.x3=36.

故答案為：36.

5.【解答】解：由題意可得動點的軌跡為以尸1(-3,0),F2(3,0)為焦點，且長軸為10的橢圓.

??c^3,2〃:=10,〃=5.

則lr—a2-<?=25-9=16.

22

動點的軌跡方程為三-上=1.

2516

2

故答案為：三

25

6.【解答］解：由正弦定理得一歲

sinAsinB

即L

sinAsin2A

所以上_=——4——

sinA2sinAcosA

解得cosA=—.

5

故答案為：2.

5

7.【解答】解：因為d=5sim-2cos，.

所以d'=5cosr+2sint

所以該物體在片匹（S）時刻的瞬時速度為5cos2L+2sin2L=2Gw/s）.

222

故答案為：2.

8.【解答】解:設(shè)40力>0.

將原命題中的d替換為-五,則得到（?-五）2》0.

展開得-2

即生也》當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

2

即“任意兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號當(dāng)且僅當(dāng)這兩個正數(shù)相等時成立”.

故答案為：Va-Vb-

9.【解答】解：由題意知,°2=4,廬=/°2=m+4

圓的半徑是右焦點（c,0）到其中一條漸近線>=以的距離.

a

所以R=|<iX“in+4|Nm+4.

\^4一2

解得：機=當(dāng)

3

故答案為：1.

3

10.【解答】解：由題意，作出示意圖.

其中C為塔頂,BZ）_LC及AE_LC￡

在中,CD=5Z)?tanB=dtanB.

在△CAE中,CE=AE?tana=dtana.

由A5=Q,可得CE-CD=d(tana-tanp)=a.

故a

tanCL-tan6

故答案為：------a

tan。-tanp

1.【解答】解:根據(jù)題意，函數(shù)/(無)=?+(/+.-D尤+/+2必是偶函數(shù).

則有/(”x)=/(%).

即/+(cP'+tr-1)x+c^+2ab-fe2=x2-(cT+b2-1)x+c^+2ab-b2.

變形可得：(T+b2-1=0,即aW=l.

則/(x)=/+/+2"-房,該函數(shù)圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)為cr+lab-b2.

設(shè)a=cos8,b=sinej=a2+2ab-b1.

貝ijt—cr+lab-i>2=cos20-sin20+2cos0sin0=cos20+sin20=A/2sin(20+^X-).

4

易得當(dāng)且僅當(dāng)e=hr+」L(tez)時等號成立.

8

故該函數(shù)圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)的最大值為我.

故答案為：V2.

12.【解答］解：已知/gXl,/gX2,/gX3,/gX4,/gX5是從大到小連續(xù)的正整數(shù)，且(/gX4)2<lgX\*lgX5.

設(shè)左=33,則(k-1)2<(A+2)()1-2)，得/〉包則心3.

2

于是/gxi=A+225,則XI2100000.

故答案為：100000.

二,選擇題(本大題共4小題，滿分18分)第13題,14題各4分，第15題,16題各5分.每題有且僅有一個正確答案，考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上,將代表答案的小方格涂黑。

13?【解答】解：當(dāng)。=2力=-1時,a+b>0,但不滿足。>0,6>0,充分性不成立.

當(dāng)a>0,b>Q時,a+6>0一定成立，即必要性成立.

故選：B.

14.【解答】解：設(shè)經(jīng)過"小時，處理池中的污染物水平降到最初的10%.

則(1-12%)"=10%.

則72=k>go.88O.l=1飄1心18.

lgO.88

故選：B.

15.【解答】解：由題意,在448(7,3)_148,44=30°,/8=45°.

設(shè)8=尤，則BD=x,BC=Hx4C=AC=2無,AO=A￡>=我x

翻折后，若A’3為△48。的斜邊，則AB=2尤.

此時△ABC不構(gòu)成直角三角形.

所以42為直角邊A2=&X.

因為CD±A'D,CD1BD.

所以二面角A'-CO-B的平面角為

則cosZA'Z)B=-7i—=2/1

愿x3

則二面角A'-CO-2的大小為arccosYS.

3

故選：D.

16.【解答］解：在四棱錐P-ABC。中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8).

設(shè)平面A8CD的法向量為：n=（x,y,z）.

亙=?？傻?

不妨令尸則

則4x2y+3z0,3,y=12,z=4.

ADwn=0-4x+y=0

可得n=(3,12,4).

AP=（-6,2,-8）在平面ABC。上的射影就是這個四棱錐的高/z.

/!=IAPIIcos<AP,n>l=l-^^-l=>18+24-32|=2.

Ini13

故選：B.

三,解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。

17?【解答】解：（1）由題意可得/（X）=1-（-8,0）U（0,+8）.

X

令f（無）>0,解得尤<-2或x>2,所以/（X）在（-8,-2）,（2,+8）上單調(diào)遞增.

令f（無）<0,解得-2<x<0或0<x<2,所以/（x）在（-2,0）,（0,2）上單調(diào)遞減.

即/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,-2）和（2,+8），單調(diào)遞減區(qū)間（-2,0）和（0,2）.

（2）由/（無）<2x,可得x-邑>0,即2々魚>0.

xx

所以卜之GO或b2_4<0

x>0x<0

解得尤>2或-2<尤<0.

即xe(-2,0)U(2,+8).

18.【解答】解：⑴(cos^x,sin-yx),b=(cos^>-sin-1-)-

a*b=cos_z-x*cos'z—sin_z-x,sin_z-=cos(,yx+yx)=cos2x-

乙乙乙乙乙乙

7a+b=(cos1x+c嶗，sin|x-si哈

Ti2223x2_________i--------

?,|a+b|(cos^-x+cos-)+(si吃x-sirr1")=V2+2cos2x=2vcos2

[0,得cos%>0.

Ia+bI=2Icosxl=2cosx.

(2)由(1)的結(jié)論，可得

2123

f(x)=cos2x-2cosx=2cosx-2cosx-l=2(cosx--),

[0,:]，可得OWcosxWl.

.?.當(dāng)cosx=4時，即x=；時/G)取得最小值-1.

232

19.【解答】解：(1):正三棱錐A-BCD的側(cè)面是邊長為2的正三角形.

點A在底面BCD上的射影點。必是△BCD的中心.

連接BO且延長，與CD交于點M如圖.

,△BCD的面積為S=Xx2X2Xsin60°="應(yīng)

...正三棱錐A-BCD的體積V——xV3X—-

333

(2)①證明：分別是線段AC,AD,BC的中點.

J.CD//EF.

,：CZ5C平面尸u平面EFG.

.二C?！ㄆ矫鍱FG.

②證明：設(shè)BD與平面EFG交于點H,則平面EFGC平面BCD=GH.

：.GH//CD,點打是3。的中點.

EF//G”,同理,EG〃FH.

由三角形中位線的性質(zhì)，得到四邊形EFGH是菱形.

?/O￡)，BC,又OD為AD在底面BCD內(nèi)的射影.

.?.A8_LC￡),可得HG±EH.

二四邊形EFGH是正方形.

20.【解答】解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系尤Oy如下所示:

可得拋物線「過點(2,2).

2

所以拋物線「的方程為y=lx^e[-2,2],線段AB的方程為y=2xH-2,2].

(2)設(shè)E(x,y).

此時DE=2-]X2.

以DE為母線的圓柱的底面半徑n滿足2r=2irn.

所以該圓柱的體積Vl4(2x2-/x4)-

可得打'=-^-(4x-2x3)-

當(dāng)0＜無＜時,W＞0,Vi單調(diào)遞增.

當(dāng)J5Vx＜2時,V，＜0,Vi單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為2.

兀

即以矩形CDEF為側(cè)面,CF為母線的圓柱的體積最大值為2.

71

(3)證明：易知=x.

所以拋物線「上任意一點(x,y)的切線斜率為x.

設(shè)/1,/2是拋物線「上兩條相互垂直的切線，切點分別為(劉,yi),(X2,?).

設(shè)直線/i的方程為y-yi=xi(x-xi)，直線/2的方程為y-”=X2(x-%2)，且xix2=-1.

y=xi(x-xJ+y1