2024年江蘇寧海中學提前自主招生數(shù)學試卷真題（含答案詳解）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024年江蘇省連云港市寧海中學創(chuàng)新班提前招生數(shù)學試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題4分，共48分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，則m的值為(

)A.0 B.3 C.1 D.0或32.小明同學在計算出8個數(shù)的平均數(shù)后，不小心將這個數(shù)也混到數(shù)據(jù)中了，那么重新計算這些新數(shù)據(jù)后一定不變的量是(

)A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差3.已知直線上橫、縱坐標都是整數(shù)的點的個數(shù)是(

)A.0個 B.1個 C.不少于2個但有限個 D.無數(shù)個4.如圖四邊形ABCD與BEFG是并列放在一起的兩個正方形，O是BF與EG的交點.如果正方形ABCD的面積是9，，則的面積為(

)A.1

B.

C.4

D.5.將正三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的方式擺放，其中正方形和正五邊形的下底邊是水平共線的，如果，那么(

)A.

B.

C.

D.6.若實數(shù)x滿足，則x應(yīng)滿足的條件是(

)A.或 B. C. D.7.如圖的三條高相交于點G，CH是角平分線，已知，，則圖中的等腰三角形共有個.A.5

B.6

C.7

D.88.如圖，截的三條邊所得的弦長相等，若，則的度數(shù)為(

)

A. B. C. D.9.如圖，在紙片中，，，，點D，E分別在AB，AC上，連結(jié)DE，將沿DE翻折，使點A的對應(yīng)點F落在BC的延長線上，若FD平分，則AD的長為(

)A.

B.

C.

D.10.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊BC在x軸上，點D的坐標為，反比例函數(shù)經(jīng)過點D，若AC的延長線交y軸于點E，連接BE，則的面積為(

)A.3

B.5

C.6

D.711.如圖，正方形ABCD的邊長是3，，連接AQ，DP交于點O，并分別與邊CD，BC交于點F，E，連接AE，下列結(jié)論：①；②；③；④當時，，其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A.1

B.2

C.3

D.412.在中，，，，點P是所在平面內(nèi)一點，則取得最小值時，下列結(jié)論正確的是(

)A.點P是三邊垂直平分線的交點 B.點P是三條內(nèi)角平分線的交點

C.點P是三條高的交點 D.點P是三條中線的交點二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。13.已知a是一元二次方程的一個解，則代數(shù)式的值是______.14.如圖，正八邊形ABCDEFGH中，______.

15.若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為______.

16.有五本形狀為長方體的書放置在方形書架中，如圖所示，其中四本豎放，第五本斜放，點G正好在書架邊框上．每本書的厚度為5cm，高度為20cm，書架寬為40cm，則FI的長______.

17.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，將邊AD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到DE，線段DE交邊BC于點F，連接若，，，則線段BC的長為______.

18.如圖，等腰直角的斜邊AB下方有一動點D，，BE平分交CD于點E，則的最小值是

.

三、解答題：本題共6小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題6分

已知實數(shù)a、b滿足，，求的值.20.本小題8分

今年6月份，永州市某中學開展“六城同創(chuàng)”知識競賽活動．賽后，隨機抽取了部分參賽學生的成績，按得分劃為A，B，C，D四個等級，A：，B：，C：，D：并繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給信息，解答下列問題：

請把條形統(tǒng)計圖補充完整．

扇形統(tǒng)計圖中______，______，B等級所占扇形的圓心角度數(shù)為______.

該校準備從上述獲得A等級的四名學生中選取兩人參加永州市舉行的“六城同創(chuàng)”知識競賽，已知這四人中有兩名男生用，表示，兩名女生用，表示，請利用樹狀圖法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．21.本小題8分

定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點，將繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？

如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，，，，點B到直線AD的距離為

①求BE的長；

②若M、N分別是AB、AD邊上的動點，求周長的最小值．

22.本小題8分

已知在平面直角坐標系中，直線：交坐標軸于A、B兩點，直線：交坐標軸于C、D兩點，已知點，

設(shè)與交于點E，試判斷的形狀，并說明理由；

點P、Q在的邊上，且滿足與全等點Q異于點，直接寫出點Q的坐標.

23.本小題8分

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過、、

求拋物線的函數(shù)表達式；

點D是線段BC上一動點，點D關(guān)于AC、AB的對稱點分別為點M、N，連接MN交線段AC、AB于E、求最小值；

在的條件下請直接寫出線段MN的取值范圍.24.本小題10分

如圖，在矩形ABCD中，，，對角線AC、BD相交于點O，動點P、Q分別從點C、A同時出發(fā)，運動速度均為，點P沿運動.到點B停止，點Q沿運動，到點C停止.連接AP、AQ、PQ，設(shè)的面積為這里規(guī)定：線段是面積為0的幾何圖形，點Q的運動時間為

當時，求x的值；

當時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

直接寫出在整運動過程中，使的所有x的值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，

函數(shù)的解析式形式應(yīng)該是型，

，

解得：或，

二次函數(shù)的二次系數(shù)不能為0，

故選：

由于函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)的解析式形式應(yīng)該是型，由此求得問題的答案．

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，能夠明確函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱是解題的關(guān)鍵．2.【答案】A

【解析】解：小明同學在計算出8個數(shù)的平均數(shù)后，不小心將這個數(shù)也混到數(shù)據(jù)中了，那么重新計算這些新數(shù)據(jù)后一定不變的量是平均數(shù)，

故選：

由平均數(shù)的定義可得答案．

本題主要考查平均數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的定義．3.【答案】A

【解析】解：由直線，

得，

如果直線上存在橫、縱坐標都是整數(shù)的點，

得x，y都是整數(shù)，

得4y，2x都是偶數(shù)，

與中13為奇數(shù)矛盾，

故選：

由直線，可得，如果直線上存在橫、縱坐標都是整數(shù)的點，可得x，y都是整數(shù)，即可得4y，2x都是偶數(shù)，與中13為奇數(shù)矛盾，故應(yīng)選：

本題主要考查了不定方程問題，解題關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用．4.【答案】D

【解析】解：連接BD，

正方形ABCD的面積是9，

，

，

，

正方形BEFG的面積，

四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，

，

，

的面積的面積正方形BEFG的面積，

故選：

連接BD，根據(jù)正方形的面積可得，從而可得，進而可得正方形BEFG的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用平行線間的距離處處相等可得：的面積的面積正方形BEFG的面積，即可解答．

本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5.【答案】B

【解析】解：如下圖所示：

為正三角形，

，

，，

，

五邊形PQRST為正五邊形，

，

，

四邊形ABCD為正方形，

，

，

，

，

，

，

，

，

故選：

根據(jù)正三角形的內(nèi)角等于，得，根據(jù)正五邊形的內(nèi)角等于，得，再根據(jù)正方形的內(nèi)角等于得，進而得，然后由三角形的內(nèi)角和定理得，最后再根據(jù)可得出的度數(shù)．

此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，準確識圖，熟練掌握正三角形的內(nèi)角等于，正方形的內(nèi)角等于，正五邊形的內(nèi)角等于，三角形的內(nèi)角和等于是解決問題的關(guān)鍵．6.【答案】C

【解析】解：當時，則，

，

；

當時，則，

，，

；

當時，則，

，，

綜上所述：若實數(shù)x滿足，則x應(yīng)滿足的條件是

故選：

當時，則，，由此可得；當時，則，，由此得；當時，，，由此得；綜上所述即可得出答案．

此題主要考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點，也是易錯點．7.【答案】D

【解析】解：①，，

是等腰三角形；

②，，

是等腰三角形；

③，

，

是角平分線，

，

，

是等腰三角形；

④，

，

，

是等腰三角形；

⑤，

，

，

，

是等腰三角形；

⑥，

是等腰三角形；

⑦，

，

，

是等腰三角形；

⑧是等腰三角形；

綜上分析，圖中等腰三角形共有8個：、、、、、、、

故選：

根據(jù)條件和等腰三角形的判定分別找出等腰三角形即可．

本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．8.【答案】C

【解析】解：過點O作于E，于D，于F，

，

，

由題意得，，

，

，，，

平分，OC平分，

，，

，

，

故選：

過點O作于E，于D，于F，根據(jù)心角、弧、弦的關(guān)系定理得到，根據(jù)角平分線的判定定理、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．

本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系、角平分線的判定，掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．9.【答案】D

【解析】解：作于H，

在紙片中，，

由勾股定理得：，

將沿DE翻折得，

，，

平分，

，

，

設(shè)，

在中，，

，

，

∽，

，

，

，

故選：

由翻折得出，，再根據(jù)FD平分，得出，然后借助相似列出方程即可．

本題考查了以直角三角形為背景的翻折問題，緊扣翻折前后對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等來解決問題，通過相似表示線段和列方程是解題本題的關(guān)鍵．10.【答案】C

【解析】解：點D的坐標為，，

，，

，

，

，

即，

的面積，

故選：

依據(jù)點D的坐標為，，即可得出，，進而得到，再根據(jù)，可得，進而得到的面積

本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是將的面積與點D的坐標聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．11.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

由四邊形ABCD是正方形，得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到；故①正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由，得到；故②錯誤；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，于是得到，即；故③正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得，，，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

【解答】

解：四邊形ABCD是正方形，

，，

，

，

在與中，，

≌，

，

，

，

，

；

故①正確；

，，

，

∽，

，

，

，

，

，

；故②錯誤；

在與中，

≌，

，

，

在與中，，

≌，

，

即；故③正確；

，，

，

∽，

，

，，

∽，

，

，，

，

，故④正確，

故選：12.【答案】D

【解析】解：過P作于D，過P作于E，延長CP交AB于M，延長BP交AC于N，如圖：

，，，

四邊形AEPD是矩形，

設(shè)，，

中，，

中，，

中，，

，

，時，的值最小，

此時，，

，，

，

，即，

，

，即M是AB的中點，

同理可得，N為AC中點，

是三條中線的交點，

故選：

過P作于D，過P作于E，延長CP交AB于M，延長BP交AC于N，設(shè)，，則，當，時，的值最小，此時，，由，得，M是AB的中點，同理可得，N為AC中點，即P是三條中線的交點．

本題考查直角三角形中的最小值，涉及勾股定理、二次函數(shù)的最大值、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出，13.【答案】2

【解析】解：把代入方程得：，

，，

，

故答案為：

把代入方程得：，從而求出，

的值，再整體代入是代數(shù)式進行計算即可．

本題主要考查了一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．14.【答案】

【解析】解：八邊形ABCDEFGH是正八邊形，

，

平分，

，

故答案為：

根據(jù)多邊形內(nèi)角和與正多邊形的性質(zhì)求得的度數(shù)，然后根據(jù)BF平分即可求得答案．

本題考查多邊形的內(nèi)角和及正多邊形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得出BF平分是解題的關(guān)鍵．15.【答案】或

【解析】解：由函數(shù)圖象可知，當或時，函數(shù)圖象在x軸的下方，

函數(shù)的圖象與x軸的交點為3，5，

不等式的解集為或

故答案為：或

直接利用函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．

本題考查的是二次函數(shù)與不等式組，能根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵．16.【答案】

【解析】解：由題知，，，，

，，

，

，

∽，

，

即，

，

在中，由勾股定理得，

即，

解得或舍去，

故答案為：

根據(jù)題意得出，，，證∽，根據(jù)線段比例關(guān)系得出FI的長度即可．

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)并根據(jù)比例關(guān)系求值是解題的關(guān)鍵．17.【答案】

【解析】解：連接AE，過點E作于點G，

四邊形ABCD是平行四邊形，

，，

將邊AD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到DE，

，，

是等邊三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案為

連接AE，過E作于G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，證出，由等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，以及旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)．18.【答案】

【解析】解：如圖，取AB的中點O，連接OC，OD，

，，

，

，C，B，D四點共圓，

，

，

，，

，

平分，

點E是的角平分線的交點，

平分，

，

，，

，

定值，

當CD的值最大時，的值最小，

是直徑時，的值最小，最小值，

故答案為：

如圖，取AB的中點O，連接OC，OD，想辦法證明，當CD是直徑時的值最?。?/p>

本題考查了三角形的內(nèi)心、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理、等腰三角形的判定等知識；證明是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：，

，

，

，

，

【解析】根據(jù)完全平方公式進行計算即可．

本題考查了完全平方公式，靈活應(yīng)用完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．20.【答案】解：被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，

等級人數(shù)為人，

補全圖形如下：

，5，；

畫樹狀圖如下：

共有12種可能的結(jié)果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8種結(jié)果，

恰好抽到1名男生和1名女生的概率為

【解析】解：見答案；

，即，

，即；

B等級所占扇形的圓心角度數(shù)為，

故答案為：15，5，；

見答案．

先由A等級人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，再根據(jù)四個等級人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出C等級人數(shù)，從而補全圖形；

根據(jù)種補全圖形得出C、D人數(shù)，利用百分比概念求解可得m、n的值，用乘以B等級對應(yīng)的百分比可得其對應(yīng)圓心角度數(shù)；

分別用樹狀圖方法表示出所有等可能結(jié)果，從中找到恰好抽到1名男生和1名女生的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計算可得．

本題考查了列表法與樹狀圖法、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖；通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．21.【答案】解：四邊形ABCD是正方形，

，

將繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點F在DA的延長線上，

，，

，

，

四邊形BEDF為“直等補”四邊形；

①過C作于點F，如圖1，

則，

四邊形ABCD是“直等補”四邊形，，，，

，，

，

，

，

四邊形CDEF是矩形，

，

，

，

，，

≌，

，

設(shè)，則，

，

，

解得，，或舍，

；

②如圖2，延長CB到F，使得，延長CD到G，使得，連接FG，分別與AB、AD交于點M、N，過G作，與BC的延長線交于點

則，，

，

，，

的周長的值最小，

四邊形ABCD是“直等補”四邊形，

，

，

，

，

∽

，，

，

，

，，

，

，

周長的最小值為

【解析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，再證明，便可；

①過點C作于點F，證明≌得，設(shè)，在中，則勾股定理列出x的方程解答便可；

②延長CB到F，使得，延長CD到G，使得，連接FG，分別與AB、AD交于點M、N，求出FG便是的最小周長．

本題是四邊形的一個綜合題，主要考查新定義，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，第①題關(guān)鍵在證明全等三角形，第②題關(guān)鍵確定M、N的位置．22.【答案】解：把，代入：得，

解得，，

直線的解析式為；

聯(lián)立，得，

解得，

點E的坐標為，

對于直線，當時，，

，

又，

，

即，，，

，

是等腰三角形；

①當P，Q在CE上時，如圖1，此時，≌，

，

設(shè)，

又，

，

解得，舍去，

，

；

②當P在CE上，Q在AE上時，

如圖2，此時，≌，

，，

，

設(shè)，則，

代入，得，

解得，

則，

；

③P在AE上，Q在AC上時，

如圖3，此時，≌，

，

；

④當P在AC上，Q與點E重合時，

如圖4，此時，≌，

則，

，

，

，

與點E重合，

；

綜上，點Q在坐標為，，，

【解析】由待定系數(shù)法求出的解析式為，聯(lián)立方程組聯(lián)立，得，得到點E的坐標為，由，求出點A的坐標，分別求出，，，從而可判斷出為等腰三角形；

分①P，Q在CE上；②P在CE上，Q在AE上；③P在AE上，Q在AC上；④P在AC上，Q與點E重合四種情況結(jié)合圖形求解即可

本題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了求一次函數(shù)解析式，坐標與圖形以及一次函數(shù)與幾何綜合等知識，正確進行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．23.【答案】解：拋物線經(jīng)過、、，

，

拋物線的函數(shù)表達式為；

連接AD，DM，DN，如圖，

點D關(guān)于AC、AB的對稱點分別為點M、N，

垂直平分DM，AB垂直平分DN，

，，

，

，

、、，

，

，

為等腰直角三角形，

，，

，

∽，

，

，

點D是