四川省南充市閬中東風(fēng)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

東風(fēng)中學(xué)校高2022級12月月考試題數(shù)學(xué)試卷一．單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1已知集合，，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.或12.為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分出不必要條件4.已知圓錐和圓柱底面半徑相等，若圓錐的母線長是底面半徑的倍，圓柱的高與底面半徑相等，則圓錐與圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.5.若曲線在處的切線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.36.在中，邊上中線，則（）A.1 B.2 C.4 D.87.已知數(shù)列的首項，前n項和，滿足，則（）A. B. C. D.8.已知定義在[，]上的函數(shù)滿足，且當(dāng)x[，1]時，，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(，] B.(，]C.(，] D.(，]二?多選題（本題共3個小題，每個小題6分，共計18分，在每小題給出的選項中，有多要符合題目要求，全部遠(yuǎn)對的每6分，部分遠(yuǎn)對的得部分分有選錯的得0分）9.已知拋物線的焦點為為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，若，則（）A.的坐標(biāo)為 B.C. D.10.從中隨機取一個數(shù)記為，從中隨機取一個數(shù)記為，則下列說法正確的是（）A.事件“為偶數(shù)”的概率為B.事件“為偶數(shù)”的概率為C.設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望為D.設(shè)，則在的所有可能的取值中最有可能取到的值是1211.在直棱柱中，底面為正方形，為線段上動點，分別為和的中點，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)，則三線交于一點B.三棱錐的體積為定值C.直線與所成角的余弦值為D.的最小值為三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分把答案填在題中的橫線上）12.的展開式中常數(shù)項是______．（用數(shù)字作答）13.若數(shù)列滿足，其前項和，若，則__________.14.設(shè)雙曲線（）的右頂點為F，且F是拋物線的焦點．過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，滿足，若點A也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為__________．四?解答題（本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.如圖，正四棱柱中，為的中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.（1）求、的值；（2）若，當(dāng)時，的最小值為，求的值.17.中，設(shè)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求的大小；（2）若的周長等于3，求的面積的最大值.18.某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產(chǎn)電池的機器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產(chǎn)品合格不合格合計調(diào)試前451560調(diào)試后35540合計8020100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；（2）現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為，求使事件“”的概率最大時的取值.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82819.已知是首項為等差數(shù)列，其前項和為，，為等比數(shù)列，，．（1）求和通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）記，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．東風(fēng)中學(xué)校高2022級12月月考試題數(shù)學(xué)試卷一．單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知集合，，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.或1【答案】C【解析】【分析】由集合間的關(guān)系建立等量關(guān)系，求得實數(shù)的值.【詳解】∵，∴，即.故選：C.2.為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)虛部的定義即可求解.【詳解】，所以的虛部為，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分出不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式，根據(jù)必要不充分條件的概念可判斷.【詳解】由得，因為是的真子集，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知圓錐和圓柱底面半徑相等，若圓錐的母線長是底面半徑的倍，圓柱的高與底面半徑相等，則圓錐與圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐和圓柱底面半徑為，表示圓錐和圓柱的高，利用圓錐和圓柱的體積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐和圓柱底面半徑為，則圓錐母線長，圓柱的高為，故圓錐高，圓錐體積，圓柱體積，所以.故選：C.5.若曲線在處的切線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將2代入導(dǎo)數(shù)求出的值，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，則.故選：D.6.在中，邊上的中線，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】利用，由數(shù)量積定義計算即可．【詳解】因為，所以.故選：B.7.已知數(shù)列的首項，前n項和，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到，兩式相減得到，求出即可求解.【詳解】因為，所以，兩式相減得，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.8.已知定義在[，]上的函數(shù)滿足，且當(dāng)x[，1]時，，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(，] B.(，]C.(，] D.(，]【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)，求分段函數(shù)的解析式并畫出圖像，將方程有三個不同實根轉(zhuǎn)化為和有三個不同的交點問題，由數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的交點情況，進(jìn)而求參數(shù)的范圍.【詳解】∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，綜上，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，∵有三個不同的實數(shù)根，∴的圖像和直線有三個不同的交點，作的大致圖像如圖所示，當(dāng)直線和的圖像相切時，設(shè)切點為，∴，可得，，代入，可得，當(dāng)過點時，，由圖知，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將方程有三個不同的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有三個不同交點問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的交點情況，求參數(shù).二?多選題（本題共3個小題，每個小題6分，共計18分，在每小題給出的選項中，有多要符合題目要求，全部遠(yuǎn)對的每6分，部分遠(yuǎn)對的得部分分有選錯的得0分）9.已知拋物線的焦點為為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，若，則（）A.的坐標(biāo)為 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線的幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，且焦點在y軸正半軸上，則焦點，所以A錯誤；由拋物線定義,可得，解得，所以B正確；由，可得，所以，則，所以C不正確；由，所以D正確．故選：BD．10.從中隨機取一個數(shù)記為，從中隨機取一個數(shù)記為，則下列說法正確的是（）A.事件“為偶數(shù)”的概率為B.事件“為偶數(shù)”的概率為C.設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望為D.設(shè)，則在的所有可能的取值中最有可能取到的值是12【答案】ACD【解析】【分析】由古典概型的概率模型求解概率即可判斷A，B選項；求出的分布情況，利用公式求解數(shù)學(xué)期望即可判斷C選項；求出的所有可能的取值的概率即可判斷D選項.【詳解】從中隨機取一個數(shù)記為，從中隨機取一個數(shù)記為，則樣本空間為：，對于A：所以為偶數(shù)有：四種，所以概率為，故A正確；對于B：為偶數(shù)的有：七種情況，所以概率為，故B錯誤；對于C：設(shè)，則，，，，，，所以，故C正確；對于D：設(shè)，則，,，所以在的所有可能的取值中最有可能取到的值是，故D正確；故選：ACD11.在直棱柱中，底面為正方形，為線段上動點，分別為和的中點，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)，則三線交于一點B.三棱錐的體積為定值C.直線與所成角的余弦值為D.最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)中點關(guān)系，可得三角形全等，即可判斷A，根據(jù)等體積法即可求解B，利用余弦定理即可求解CD.【詳解】由于分別為和的中點，延長,相交于，則,故,取中點,連接交于，則,故,又,是中點，，故在一條直線上，因此與重合，故三線交于一點,正確，由于平面,平面，故平面，又為線段上動點，因此到平面的距離與到平面的距離相等，故,故B正確，對于C，由于故即為直線與所成角或其補角，由于,故由余弦定理可得，故C錯誤，對于D，如圖，沿著將四邊形展開，得到平面圖，連接交于，則由余弦定理可得，故D正確，故選：ABD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分把答案填在題中的橫線上）12.的展開式中常數(shù)項是______．（用數(shù)字作答）【答案】15【解析】【分析】寫出二項展開式的通項，由的指數(shù)為0求得值，則答案可求．【詳解】解：由．取，得．展開式中常數(shù)項為．故答案為：15．13.若數(shù)列滿足，其前項和為，若，則__________.【答案】17【解析】【分析】由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求出的值，可得出的值，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】因為數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則，可得，所以，所以.故答案為：.14.設(shè)雙曲線（）的右頂點為F，且F是拋物線的焦點．過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，滿足，若點A也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為__________．【答案】##【解析】【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點坐標(biāo)，再結(jié)合已知求出雙曲線的離心率.【詳解】拋物線的焦點，直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，由消去得：，設(shè)，則，由，得，由對稱性不妨令點在第一象限，解得，，由點在雙曲線上得，，又，解得，所以雙曲線C的離心率.故答案為：四?解答題（本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.如圖，正四棱柱中，為的中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，利用空間向量法證明即可；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取；設(shè)平面的法向量為，則，取；因為，即，所以平面平面；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.（1）求、的值；（2）若，當(dāng)時，的最小值為，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知可得出，可得出關(guān)于、的方程組，即可解得這兩個未知數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，分、兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)在上的最小值為，可求得實數(shù)的值.【小問1詳解】依題意，，即，所以，，所以，.【小問2詳解】由（1）可知，，則，所以當(dāng)時，f′x<0，當(dāng)x∈1,+∞時，f′若，則在區(qū)間內(nèi)的最小值為，即，解得或，均不符題意；若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在區(qū)間內(nèi)的最小值為，解得，符合題意..17.中，設(shè)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求的大?。唬?）若的周長等于3，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式對原式變形化簡可得，再結(jié)合角的范圍，可求出角的值，（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，然后利用三角形的面積公式可求出面積的最大值.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得，又，所以，所以，即.因為，，所以，即.【小問2詳解】解：在中，由余弦定理得，即①，又，所以，代入①得，整理得，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為，所以，所以，解得或（舍去），故，故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積的最大值為.18.某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產(chǎn)電池的機器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產(chǎn)品合格不合格合計調(diào)試前451560調(diào)試后35540合計8020100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；（2）現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為，求使事件“”的概率最大時的取值.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）依據(jù)的獨立性檢驗，可認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（3）875【解析】【分析】（1）計算的值，將其與對應(yīng)的小概率值比較即得；（2）先算出抽取的8件產(chǎn)品中的合格品與不合格品的數(shù)目，再從中抽取3件，根據(jù)合格品件數(shù)的可能值運用超幾何分布概率計算出概率，列出分布列計算數(shù)學(xué)期望即得；（3）分析得出，利用二項分布概率公式得出再利用作商法分析得時，事件“”的概率最大.【小問1詳解】零假設(shè)為：假設(shè)依據(jù)的獨立性檢驗，認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)；則，故依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)說明零假設(shè)不成立，因此可認(rèn)為成立，即認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)