高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)新定義壓軸匯編04函數(shù)凸凹性與應(yīng)用

高一上期期末新定義壓軸匯編4.函數(shù)凸凹性與應(yīng)用一．基本原理1．定義在上為凸函數(shù).反之，.注：上述不等式也稱(chēng)為詹森不等式.特別地，若只取，則有：凸函數(shù)自變量的平均數(shù)的函數(shù)值不大于函數(shù)值的平均數(shù)幾何解釋?zhuān)和购瘮?shù)的圖象上弧線位于線段的下方；凹函數(shù)自變量的平均數(shù)的函數(shù)值不小于函數(shù)值的平均數(shù)幾何解釋?zhuān)喊己瘮?shù)的圖象上弧線位于線段的上方；(圖1：凸函數(shù))(圖2：凹函數(shù))2.運(yùn)算性：（1）兩凸函數(shù)之和為凸函數(shù)；（2）兩遞增非負(fù)凸函數(shù)之積為凸函數(shù).二．典例分析例1．閱讀材料：我們研究了函數(shù)的單調(diào)性?奇偶性和周期性，但是這些還不能夠準(zhǔn)確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，圖象在上都是上升的，但是卻有著顯著的不同.如圖1所示，函數(shù)的圖象是向下凸的，在上任意取兩個(gè)點(diǎn)，函數(shù)的圖象總是在線段的下方，此時(shí)函數(shù)稱(chēng)為下凸函數(shù)；函數(shù)的圖象是向上凸的，在上任意取兩個(gè)點(diǎn)，函數(shù)的圖象總是在線段的上方，則函數(shù)稱(chēng)為上凸函數(shù).具有這樣特征的函數(shù)通常稱(chēng)做凸函數(shù).定義1：設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，若，都有，則稱(chēng)為區(qū)間I上的下凸函數(shù).如圖2.下凸函數(shù)的形狀特征：曲線上任意兩點(diǎn)之間的部分位于線段的下方.定義2：設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，若，都有，則稱(chēng)為區(qū)間I上的上凸函數(shù).如圖3.上凸函數(shù)的形狀特征：曲線上任意兩點(diǎn)之間的部分位于線段的上方.上凸（下凸）函數(shù)與函數(shù)的定義域密切相關(guān)的.例如，函數(shù)在為上凸函數(shù)，在上為下凸函數(shù).函數(shù)的奇偶性和周期性分別反映的是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性和循環(huán)往復(fù)，屬于整體性質(zhì)；而函數(shù)的單調(diào)性和凸性分別刻畫(huà)的是函數(shù)圖象的升降和彎曲方向，屬于局部性質(zhì).關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的探索，對(duì)我們的啟示是：在認(rèn)識(shí)事物和研究問(wèn)題時(shí)，只有從多角度?全方位加以考查，才能使認(rèn)識(shí)和研究更加準(zhǔn)確.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：(1)請(qǐng)嘗試列舉一個(gè)下凸函數(shù)：___________；(2)求證：二次函數(shù)是上凸函數(shù)；(3)已知函數(shù)，若對(duì)任意，恒有，嘗試數(shù)形結(jié)合探究實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：（1），；（2）對(duì)于二次函數(shù)，，滿(mǎn)足，即，滿(mǎn)足上凸函數(shù)定義，二次函數(shù)是上凸函數(shù).（3）由（2）知二次函數(shù)是上凸函數(shù)，同理易得二次函數(shù)為下凸函數(shù)，對(duì)于函數(shù)，其圖像可以由兩個(gè)二次函數(shù)的部分圖像組成，如圖所示，若對(duì)任意，恒有，則函數(shù)滿(mǎn)足上凸函數(shù)定義，即，即.例2．函數(shù)的凹凸性的定義是由丹麥著名的數(shù)學(xué)家兼工程師在1905年提出來(lái)的．其中對(duì)于凸函數(shù)的定義如下：設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)椋ɑ蜷_(kāi)區(qū)間或，或都可以），若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)數(shù)，均有成立，則稱(chēng)為區(qū)間上的凸函數(shù)．容易證明諸如：；等函數(shù)都是凸函數(shù)．在1906年將上述不等式推廣到了n個(gè)變量的情形，即著名的不等式：若函數(shù)為其定義域上的凸函數(shù)，則對(duì)其定義域內(nèi)任意n個(gè)數(shù)，均有成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．(1)除上述給出的凸函數(shù)外，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出一個(gè)凸函數(shù)并利用凸函數(shù)的定義證明；(2)若函數(shù)為R上的凸函數(shù)，求a的取值范圍；(3)在中，求的最小值；解析：（1）函數(shù)為凸函數(shù)，證明如下：對(duì)任意，，有，故，即，所以函數(shù)是凸函數(shù)．（2）由于函數(shù)為R上的凸函數(shù)，所以對(duì)任意的，，有，故，因此，結(jié)合，故（3）由基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．由不等式有，從而有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故的最小值為；例3．若函數(shù)在定義域區(qū)間上連續(xù)，對(duì)任意，恒有，則稱(chēng)函數(shù)是區(qū)間上的上凸函數(shù)，若恒有，則稱(chēng)函數(shù)是區(qū)間上的下凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為函數(shù)的凹凸性．上述不等式可以推廣到取函數(shù)定義域中的任意n個(gè)點(diǎn)，即若是上凸函數(shù)，則對(duì)任意，，…，恒有，若是下凸函數(shù)，則對(duì)任意，，…，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．應(yīng)用以上知識(shí)解決下列問(wèn)題：(1)判斷函數(shù)在定義域上是上凸函數(shù)還是下凸函數(shù)（說(shuō)明理由）；(2)證明，上是上凸函數(shù)；(3)若A、B、C、，且，求的最大值．解析：（1）下凸函數(shù)，理由如下：任意取，因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故是下凸函數(shù).（2）任意取，不妨設(shè)，，由于，根據(jù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，即函數(shù)是上凸函數(shù).（3）當(dāng)，且，由（2）知是上凸函數(shù)，所以，故，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為.例4．臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無(wú)法準(zhǔn)確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異.通過(guò)觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念.已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱(chēng)為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù).對(duì)于函數(shù)的凹凸性，通過(guò)查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的,有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.小組成員通過(guò)詢(xún)問(wèn)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)對(duì)他們研究的建議，得到了如下評(píng)注：在運(yùn)用琴生不等式求多元最值問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.(1)設(shè)，求W=的最小值.(2)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明（提示：可設(shè)）(3)若a>1，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）記函數(shù)，首先證明其凹凸性：,則所以在0,1為凹函數(shù).由琴生不等式，得，即所以，當(dāng)時(shí)，W的最小值為.（2）設(shè),因?yàn)楣?，要證只需證，由琴生不等式，只需證在為凹函數(shù).設(shè)，下證，即證，即證,化簡(jiǎn)得.即證，式顯然成立，所以成立，hx在為凹函數(shù)，則得證.（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，因?yàn)?即恒成立，可得在時(shí)恒成立．因?yàn)?，所以，，所以．由，及，可得，所以．故．?．設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)任意的，有，則稱(chēng)為區(qū)間上的下凸函數(shù)；如果有，則稱(chēng)為區(qū)間上的上凸函數(shù)．(1)已知函數(shù)，求證：（?。唬áⅲ┖瘮?shù)為下凸函數(shù)；(2)已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．