初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題16 等腰三角形的性質(zhì)

專題16 等腰三角形的性質(zhì)閱讀與思考等腰三角形是一類特殊三角形，具有特殊的性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計(jì)算、線段相等、直線位置關(guān)系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)．因此，在解與等腰三角形相關(guān)的問題時(shí)，除了要運(yùn)用全等三角形知識(shí)方法外，又不能囿于全等三角形，應(yīng)善于利用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑，應(yīng)熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論．⑴圖1中，，，．⑵圖2中，只要下述四個(gè)條件：①；②；③；④中任意兩個(gè)成立，就可以推出其余兩個(gè)成立．BBCAD圖1ADBC12圖2例題與求解【例1】如圖，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，則∠A=___________．（五城市聯(lián)賽試題）解題思路：圖中有很多相關(guān)的角，用∠A的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠A的等式．AABCDE【例2】如圖，在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D為AC中點(diǎn)，AE⊥BD于E，延長(zhǎng)AE交BC于F，求證：∠ADB=∠CDF．（安徽省競(jìng)賽試題）解題思路：∠ADB與∠CDF對(duì)應(yīng)的三角形不全等，因此，需構(gòu)造全等三角形，而在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是一條常用的輔助線．AABCDEF【例3】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E，又AE=BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故應(yīng)作輔助線補(bǔ)全圖形，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．AAEBCD【例4】如圖，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度數(shù)．（北京市競(jìng)賽試題）BBCMABCMA圖3N解題思路：作等腰△ABC的對(duì)稱軸(如圖1)，通過計(jì)算，證明全等三角形，又440+160=600；可以AB為一邊，向點(diǎn)C所在的一側(cè)作等邊△ABN，連結(jié)CN，MN(如圖2)；或以AC為一邊，向點(diǎn)BBCMA圖3NBBCMA圖1DOBBCMA圖2N【例5】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN，形成一個(gè)三角形．求證：△AMN的周長(zhǎng)等于2．（天津市競(jìng)賽試題）解題思路：欲證△AMN的周長(zhǎng)等于2，只需證明MN=BM+CN，考慮用補(bǔ)短法證明．BBACDNM【例6】如圖，△ABC中，∠ABC=460，D是BC邊上一點(diǎn)，DC=AB，∠DAB=210，試確定∠CAD的度數(shù)．（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：解本題的關(guān)鍵是利用DC=AB這一條件．BBDCA能力訓(xùn)練A級(jí)1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為450，那么這個(gè)等腰三角形的底角為_____________．2．如圖，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，則∠FEM=_____________．3．如圖，在等邊△ABC的AC，BC邊上各取一點(diǎn)P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點(diǎn)O，則∠BOQ=____________.4．如圖，在△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延長(zhǎng)線取點(diǎn)D，使AD=AB，則D，B兩點(diǎn)之間的距離是____________．(第2題)(第2題)BACDEFMNABCQPO(第3題)ABCD(第4題)5．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（ ）A．900-∠A B．900-∠A C．1800-∠A D．450-∠A6．如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，則∠ECF=（ ）A．600 B．450 C．300 D．不確定（安徽省競(jìng)賽試題）ACACBEF第5題圖第6題圖7．△ABC的一個(gè)內(nèi)角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（ ）A．1400 B．800或1000 C．1000或1400 D．800或1400(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)8．三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，則三角形一定是（ ）A．等邊三角形 B．以為底邊的等腰三角形C．以為底邊的等腰三角形 D．等腰三角形（北京市競(jìng)賽試題）9．如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E分別是腰AB，AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BD=CE，連結(jié)DE交BC于G，求證：DG=EG．（湖北省競(jìng)賽試題）AABCDGE10．如圖，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求證：CE=BD．（江蘇省競(jìng)賽試題）AABCDE11．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D為AB邊中點(diǎn)，∠EDF=900，將∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC，BC(或它們的延長(zhǎng)線)于E、F，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)(如圖1)，易證：S△DEF+S△CEF=S△ABC，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．（牡丹江市中考試題）AABCABCABCEDFEDFDF圖1圖2圖312．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度數(shù)．（天津市競(jìng)賽試題）B級(jí)1．如圖，在△ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，則∠MNP=_________．AABCNMP(第1題)ABCPEF(第2題)ABCNM(第3題)2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下4個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S△ABC；④EF=AP．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A，B重合)．上述結(jié)論正確的是____________．（蘇州市中考試題）3．如圖，在△ABC中，AB=BC，M，N為BC邊上兩點(diǎn)，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，則∠MAC的度數(shù)是____________．4．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（ ）A．800 B．500 C．400 D．200AA(第4題)BCD(第5題)ABCDABDECM(第6題)5．如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，則∠C的大小是（ ）A．200 B．250 C．300 D．4506．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于M，連CD，下列四個(gè)結(jié)論：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC至D，延長(zhǎng)BA至E，并且使AE=BD，連結(jié)CE、DE，求證：CE=DE．AABCDE8．如圖，△ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等邊三角形，而點(diǎn)D在AC上，且BC=DC．⑴證明：△C′BD≌△B′DC；⑵證明：△AC′D≌△DB′A；⑶對(duì)△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C，從面積大小關(guān)系上，你能得出什么結(jié)論？（江蘇省競(jìng)賽試題）ABABCDA′B′C′9．在△ABC中，已知AB=AC，且過△ABC某一頂點(diǎn)的直線可將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，試求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)．（江蘇省揚(yáng)州中學(xué)測(cè)