2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、考號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并用鉛筆認真填涂考號.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本部分共8小題，每小題5分，共40分.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知四面體，是的中點，連接，則＝（

）A. B. C. D.3.焦點在軸上，短軸長為8，離心率為的橢圓的標(biāo)準方程是（）A. B. C. D.4.在三棱柱中，D是四邊形中心，且，，，則（）A. B.C. D.5.直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定6.“”是“直線：與直線：互相垂直”（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知，，則等于（）A. B.C. D.8.過直線上一動點M，向圓引兩條切線，A、B為切點，則圓的動點P到直線AB距離的最大值為（）A. B.6C.8 D.二、多項選擇題：本部分共3小題，每小題6分，共18分.9.橢圓C的方程為，焦點為，，則下列說法正確的是（）A.橢圓C的焦距為3 B.橢圓C的長軸長為10C.橢圓C的離心率為 D.橢圓C上存在點P，使得為直角10.已知雙曲線，若的離心率最小，則此時（）A. B.雙曲線的漸近線方程為C.雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為 D.雙曲線的焦點到漸近線的距離為11.已知拋物線：焦點與橢圓的右焦點重合，過的直線交于、兩點，過點且垂直于弦的直線交拋物線的準線于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最小值為2C.的面積為定值D.若在軸上，則為直角三角形三、填空題：本部分共3小題，每小題5分，共15分.12.兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________.13.圓心在x軸上，且與雙曲線的漸近線相切的一個圓的方程可以是_____.14.設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為和，以的實軸為直徑的圓記為，過點作的切線，與的兩支分別交于，兩點，且，則的離心率的值為______.四、解答題：共77分.15.已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的標(biāo)準方程；（2）過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.16.在空間幾何體ABC-DEF中，四邊形ABED，ADFC均直角梯形，，，，．（1）證明：平面平面．（2）求直線DF與平面BEF所成角的大?。?7.已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為．（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，為弦的中點，求直線的斜率．18.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面．（1）證明：；（2）若點在棱上，且平面，求線段的長；（3）棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．19.如圖，已知圓，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標(biāo)為，線段GH的垂直平分線交線段TG于點R，記動點R的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；（3）過點作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點，使得.且，點D為垂足，證明：存在定點F，使得為定值.2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、考號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并用鉛筆認真填涂考號.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本部分共8小題，每小題5分，共40分.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】直線傾斜角和斜率的關(guān)鍵即可得解.【詳解】由題意直線，可得斜率，設(shè)直線的傾斜角為，其中，可得，所以，即直線的傾斜角為.故選：A.2.已知四面體，是的中點，連接，則＝（

）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用線段中點的向量表達式及向量加法法則即可求解.【詳解】如圖，四面體，是的中點，因為是的中點，所以所以.故選：A.3.焦點在軸上，短軸長為8，離心率為的橢圓的標(biāo)準方程是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先由題意得到橢圓焦點的位置，然后根據(jù)題中的數(shù)據(jù)求出后可得所求的標(biāo)準方程．【詳解】由題意知橢圓的標(biāo)準方程為，且，所以，所以，又，所以可得，因此橢圓的標(biāo)準方程為．故選：C.4.在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用空間向量線性運算計算即可.【詳解】.故選：D.5.直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定【正確答案】A【分析】求圓心到直線的距離與半徑比較即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由題意知，圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，故圓與直線相離.故選：A.6.“”是“直線：與直線：互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)給定直線方程求出的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.故選：A7.已知，，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先求出向量的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積夾角坐標(biāo)公式直接計算即可.【詳解】因為，，所以，，所以.故選：C8.過直線上一動點M，向圓引兩條切線，A、B為切點，則圓的動點P到直線AB距離的最大值為（）A. B.6C.8 D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)點在直線上，可得點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，聯(lián)立圓O的方程得出直線AB的方程，進而可得直線AB恒過定點，將問題轉(zhuǎn)化為求點C、N之間的距離，結(jié)合圓C的方程和兩點坐標(biāo)求距離公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，設(shè)點在直線上，則，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則，所以點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，且該圓的方程為：，又圓O的方程為，這兩個圓的方程相減，得公共弦AB的方程為，即，因為，所以，所以，當(dāng)且即時該方程恒成立，所以直線AB恒過定點，所以點M到直線AB距離的最大值即為點C、N之間的距離加上圓C的半徑，又，，所以，即點M到直線AB距離的最大值為.故選：A二、多項選擇題：本部分共3小題，每小題6分，共18分.9.橢圓C的方程為，焦點為，，則下列說法正確的是（）A.橢圓C的焦距為3 B.橢圓C的長軸長為10C.橢圓C的離心率為 D.橢圓C上存在點P，使得為直角【正確答案】BC【分析】由橢圓方程，計算，由焦距、長軸、離心率的定義可判斷ABC，當(dāng)點P為上頂點或者下頂點時，最大，分析可判斷D【詳解】由題意，橢圓的焦距為，A錯誤；橢圓的長軸長為，B正確；橢圓的離心率，C正確；當(dāng)點P為上頂點或者下頂點時，最大，此時又為銳角，可得，故，因此橢圓C上不存在點P，使得為直角，D錯誤故選：BC10.已知雙曲線，若的離心率最小，則此時（）A. B.雙曲線的漸近線方程為C.雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為 D.雙曲線的焦點到漸近線的距離為【正確答案】AB【分析】首先求得雙曲線離心率的表達式，利用基本不等式求得為何值時離心率取得最小值.進而求得雙曲線的漸近線、焦點以及焦點到漸近線的距離.【詳解】因為，所以雙曲線的焦點在軸上，所以，，所以．又雙曲線的離心率，則．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則雙曲線的離心率最小時，，，，則雙曲線的漸近線方程為，故A，B正確；雙曲線的焦點坐標(biāo)為（，0），故C錯誤；焦點到漸近線的距離為，故D錯誤.故選：AB．本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及利用基本不等式求最值，解答本題的關(guān)鍵是用表示出雙曲線的離心率，利用基本不等式求最小時的值．11.已知拋物線：的焦點與橢圓的右焦點重合，過的直線交于、兩點，過點且垂直于弦的直線交拋物線的準線于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最小值為2C.的面積為定值D.若在軸上，則為直角三角形【正確答案】ABD【分析】利用焦點坐標(biāo)求出拋物線方程，利用拋物線性質(zhì)解決焦點弦相關(guān)問題.【詳解】由橢圓的方程可知，橢圓的右焦點坐標(biāo)為1,0，則拋物線焦點為1,0，所以，拋物線的標(biāo)準方程為，準線方程為，拋物線的焦點弦中，通徑最短，通徑長為，則，A選項正確；顯然直線AB的斜率為0時不合題意，則設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，，得，，所以，，則，因為與垂直，所以直線的斜率為，其方程為，聯(lián)立，解得，即，所以點M到直線AB的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2，即選項B正確；的面積當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的面積最小值為4，即選項C錯誤；若在軸上，則，此時為通徑，設(shè)，，，AB=4，滿足，則為直角三角形，D選項正確.故選：ABD方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．三、填空題：本部分共3小題，每小題5分，共15分.12.兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________.【正確答案】【分析】通過直線平行求出，然后利用平行線之間的距離求出結(jié)果即可．【詳解】直線與直線平行，所以，直線與直線的距離為．故答案：．13.圓心在x軸上，且與雙曲線的漸近線相切的一個圓的方程可以是_____.【正確答案】滿足方程：的任意均可【分析】先求出雙曲線的漸近線，然后根據(jù)對稱性設(shè)出圓的圓心，再利用圓與直線相切，得到半徑，從而得到所求圓的方程.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，要使圓與兩條漸近線相切，設(shè)圓的圓心為，，則圓的半徑為：，所以所求圓的方程為：，，故滿足方程：的任意均可.本題考查求雙曲線的漸近線，根據(jù)直線與圓相切求圓的方程，屬于中檔題.14.設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為和，以的實軸為直徑的圓記為，過點作的切線，與的兩支分別交于，兩點，且，則的離心率的值為______.【正確答案】【分析】如圖，設(shè)直線l與圓C的切點為，過點作于點Q，則，由題意求出，進而求出、，結(jié)合雙曲線的定義化簡計算即可求解.【詳解】設(shè)直線l與圓C的切點為，則，，由，得，過點作于點Q，則，由O為的中點，得，因為為銳角，所以，有，得，所以，由雙曲線定義知，，即，解得，又，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為.四、解答題：共77分.15.已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的標(biāo)準方程；（2）過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）將點代入雙曲線方程即可求解；（2）寫出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由弦長公式可得結(jié)果.【小問1詳解】因為雙曲線的實軸長為，所以，解得：；又因為點在雙曲線上，所以，解得：，所以雙曲線的標(biāo)準方程為：【小問2詳解】設(shè)，Qx由題可得過點且斜率為的直線方程為：，即，聯(lián)立，消去可得：，所以，，所以16.在空間幾何體ABC-DEF中，四邊形ABED，ADFC均為直角梯形，，，，．（1）證明：平面平面．（2）求直線DF與平面BEF所成角的大小．【正確答案】（1）證明見解析（2）．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出平面的法向量，得到兩個法向量垂直，故兩平面垂直；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用線面角的向量夾角公式得到答案.【小問1詳解】證明：因為，所以AB，AC，AD兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面BEF的法向量為，因為，，所以，解得，令，得，故．設(shè)平面DEF的法向量為，因為，，所以令，得．因為，所以，所以平面平面．【小問2詳解】設(shè)直線DF與平面BEF所成的角為，由（1）知，平面BEF的一個法向量為，則，所以，即直線DF與平面BEF所成的角為．17.已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為．（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，為弦的中點，求直線的斜率．【正確答案】（1）橢圓的方程為；拋物線的方程為（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓方程和離心率可得，即可得橢圓方程，根據(jù)焦點可得拋物線方程；（2）設(shè)的坐標(biāo)，利用點差法即可得斜率.【小問1詳解】由橢圓方程可知：，因為，解得，又因為，所以橢圓的方程為；可知橢圓的焦點為，則拋物線的焦點為，可得，即所以拋物線的方程為.【小問2詳解】顯然點在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓必相交，如圖所示：設(shè)，中點為，則，，，因為兩點在橢圓上，可得，兩式相減可得，整理可得，即，可得，所以直線的斜率為.18.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面．（1）證明：；（2）若點在棱上，且平面，求線段的長；（3）棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，且【分析】（1）連接，根據(jù)題意證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)出的長，表示出直線的方向向量及平面的法向量后計算即可得；（3）分別求出兩平面的法向量，由平面夾角公式、二面角的定義即可列出方程，計算即可得.【小問1詳解】連接，因為為棱臺，所以四點共面，又因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以；【小問2詳解】取中點，連接，因為底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以為原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，則，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則有，令，則，，即，由平面，則，即有，解得，即；【小問3詳解】假設(shè)點存在，設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，可得，設(shè)平面的法向量n=a,b,c，則，令，即，所以，又由平面的法向量為，所以，解得，由于二面角為銳角，則點在線段上，所以，即，故棱上存在一點E，當(dāng)時，二面角的余弦值為.19.如圖，已知圓，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標(biāo)為，線段GH的垂直平分線交線段TG于點R，記動點R的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；（3）過點作兩