2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上冊(cè)中適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期中適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分、選錯(cuò)得0分．1.已知向量在基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意可知，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量基本定理列方程組即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，所以，所以，所以在基底下的坐標(biāo)為.故選：A2.直線的傾斜角是A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意，取得直線的斜率，進(jìn)而可求得傾斜角，得到答案．【詳解】由題意得，故傾斜角為.故選B.本題主要考查了直線的斜率與傾斜角，以及三角函數(shù)的求值，其中解答中根據(jù)直線的方程，求得直線的斜率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3.某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）進(jìn)行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班共抽取10名同學(xué)，相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：高三（1）班答對(duì)題目的平均數(shù)為，方差為；高三（2）班答對(duì)題目的平均數(shù)為，方差為，則這10人答對(duì)題目的方差為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)分層抽樣求各層的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)、方差的公式運(yùn)算求解.【詳解】由分層抽樣可得高三（1）班抽取的人數(shù)為，高三（2）班抽取的人數(shù)為，設(shè)高三（1）班（6人）答對(duì)題目數(shù)依次為，高三（2）班（4人）答對(duì)題目數(shù)依次為，由題意可得：，可得，則這10人答對(duì)題目的平均數(shù)，這10人答對(duì)題目的方差.故選：D.4.如圖，在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱，連接，則（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱，由題易得底面為菱形，且為等邊三角形.連接，易得，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.設(shè)1，則，所以.故選：D.5.如圖,二面角等于,是棱上兩點(diǎn),分別在半平面內(nèi),,,且則的長(zhǎng)等于（）A.4 B. C. D.【正確答案】A【分析】借助向量來(lái)解決,由二面角的平面角的定義可得,求的模即為的長(zhǎng).【詳解】由二面角的平面角的定義知,,由,,得,,,,所以,即．故選：A．6.在四棱柱中，平面，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為，為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則（）A.對(duì)任意的，存在點(diǎn)，使得B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得【正確答案】C【分析】若存在點(diǎn)，使得，則必有，且由題設(shè)條件易得平面,得到,再通過(guò)△∽△即可求得的范圍.【詳解】連接，在四棱柱中，因?yàn)槠矫?，所以平面，則,又由底面正方形，得，所以平面，得.若存在點(diǎn)，使得，則平面,得,則△∽△，得，即，所以故選：C.7.在空間中，“經(jīng)過(guò)點(diǎn)，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系）是：”．如果給出平面的方程是，平面的方程是，則由這兩平面所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由定義得出兩平面的法向量，利用數(shù)量積公式求出法向量的夾角余弦，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦即可選出正確答案【詳解】由題意，因?yàn)槠矫娴姆匠淌牵苑ㄏ蛄坑善矫娴姆匠淌?，所以法向量，所以cos<所以sin<故選：A.8.已知，都是正實(shí)數(shù)，且直線與直線互相垂直，則的最小值為（）A.12 B.10 C.8 D.25【正確答案】D【分析】根據(jù)兩條直線垂直得出,再根據(jù)基本不等式計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以即得,所以,因?yàn)椋际钦龑?shí)數(shù)，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值25.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.直線的方程為，若在軸上的截距為，且.則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，直線在軸上的截距是B.已知直線經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，的方程為C.已知?jiǎng)又本€經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)，當(dāng)原點(diǎn)到距離最大時(shí)，到距離為D.直線，，若，則或2【正確答案】AC【分析】求出直線方程，解出兩直線交點(diǎn)判斷A，根據(jù)截距的關(guān)系求出直線方程判斷B，根據(jù)條件求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求解判斷C，根據(jù)直線平行求出再檢驗(yàn)即可判斷D.【詳解】由，可知，由在軸上的截距為知過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即，對(duì)A，聯(lián)立，解得，即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，由可得，即直線在軸上的截距是，故A正確；對(duì)B，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)且過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為，即，滿足題意，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)2,1可得，所以直線方程為，綜上滿足條件的直線為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由題意過(guò)2,1點(diǎn)的動(dòng)直線中，到原點(diǎn)距離最大的直線與原點(diǎn)和2,1連線所在直線垂直，故所求直線的斜率為，所以直線為，即，所以到距離為，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋?，解得?，當(dāng)時(shí)，直線與平行，當(dāng)時(shí)，直線與重合，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.如圖為2022年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅情況，則（

）A.環(huán)比漲跌幅的極差小于同比漲跌幅的極差 B.環(huán)比漲跌幅的平均數(shù)為0.1%C.環(huán)比漲跌幅的方差小于同比漲跌幅的方差 D.同比漲跌幅的上四分位數(shù)為1.55%【正確答案】AC【分析】根據(jù)給定的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合極差、平均數(shù)、百分位數(shù)，以及方差的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】選項(xiàng)A中：環(huán)比漲跌幅的極差為，同比漲跌幅的極差為，因?yàn)?，所以A正確；選項(xiàng)B中：環(huán)比漲跌幅的平均數(shù)為，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中，環(huán)比漲跌螎的波動(dòng)性小于同比漲跌幅的波動(dòng)性，所以環(huán)比漲跌螎的方差小于同比漲跌幅的方差，所以C正確；選項(xiàng)D中：同比漲跌幅的上四分位數(shù)為，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)，，時(shí)，對(duì)任意的點(diǎn)，都有三棱錐的體積為定值B.當(dāng)，，時(shí)，存在點(diǎn)，使得C.當(dāng)，，時(shí)，存在唯一點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，的最小值是【正確答案】AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，判斷點(diǎn)在直線上，利用棱錐體積公式判斷即可；對(duì)于B，先利用空間向量夾角余弦公式判斷cosBP,BC>cosBP,BA，即可求解；對(duì)于C，利用列方程，判斷方程是否有解即可；對(duì)于【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，取為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，以，，，，，，由，所以，，即，當(dāng)時(shí)，則，故，點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)到直線距離為1，三角形面積為，又因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為，所以是定值，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，則，，因?yàn)?，故cosBP,BC>cos即不存在點(diǎn)，使得，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，若，則，解得或，又因?yàn)椋蚀嫖ㄒ稽c(diǎn)使得，故C正確；若時(shí)，則四點(diǎn)共面，當(dāng)與平面垂直時(shí)，的最小，利用等體積法，則，則可求解到的距離為，，則，則的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題；：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若的平分線方程為，則所在的直線方程為_(kāi)_________．【正確答案】【分析】先求得直線與直線的交點(diǎn)，然后利用角平分線定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程.【詳解】，直線的方程為，由解得，設(shè)，依題意，的平分線為直線，由正弦定理得，由于，由此整理得,則，設(shè)，則，整理得，解得或（舍去），則，，直線的方程為.故13.如圖，已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2024，過(guò)其底面中心作動(dòng)平面，交線段PC于點(diǎn)，交PA，PB的延長(zhǎng)線于M，N兩點(diǎn).則_______________.【正確答案】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算得到，再利用空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，，，由為底面中心，，又因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以且，所以，即，即.故答案為.14.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____________．【正確答案】0.18【分析】本題應(yīng)注意分情況討論，即前五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨(dú)立事件的概率的計(jì)算公式求解．題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力及分類討論思想的考查．【詳解】前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是綜上所述，甲隊(duì)以獲勝的概率是由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊(duì)以獲勝的兩種情況；易錯(cuò)點(diǎn)之三是是否能夠準(zhǔn)確計(jì)算．四、解答題：本題共5小題，其中15題13分，16、17題每題15分，18，19題每題17分，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)白球（標(biāo)號(hào)為3和4），甲、乙兩人先后從袋中不放回地各摸出1個(gè)球.設(shè)“甲摸到紅球”為事件，“乙摸到紅球”為事件.（1）小明同學(xué)認(rèn)為：由于甲先摸球，所以事件發(fā)生的可能性大于發(fā)生的可能性.小明的判斷是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）判斷事件與是否相互獨(dú)立，并證明.【正確答案】（1）不正確；理由見(jiàn)解析；（2）事件與不相互獨(dú)立，理由見(jiàn)解析【分析】（1）先求出摸球的所有情況，利用古典概率求解，比較即可判斷；（2）利用獨(dú)立事件的判定方法進(jìn)行判斷.【小問(wèn)1詳解】?jī)扇嗣銮虻乃星闆r：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12種；事件包含的情況有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6種；事件包含的情況有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6種；所以，故小明的判斷不正確.【小問(wèn)2詳解】事件包含的情況有：（1,2），（2,1），故；因?yàn)?，；所以事件與不相互獨(dú)立.16.如圖所示，平行六面體中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算與模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量線性運(yùn)算與夾角公式計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)榍?，所以，，則.17.在三棱錐中，，平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，且滿足平面平面，．（1）求證：；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，（?。┣笕忮F的體積．（ⅱ）直線與面所成角的余弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（?。áⅲ痉治觥浚?）作，證得平面，得到，再由平面，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；（2）（?。┮詾樵c(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，由，得到，求得，再求得平面和的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)棱錐的體積公式，即可求解.（ⅱ）根據(jù)線面角的向量法求解得出線面角正弦值，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出余弦值.【小問(wèn)1詳解】作交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)椋?，且平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】（ⅰ）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為，建立空間直角坐標(biāo)，如圖所示，則，設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，又由，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，又因?yàn)闉槠矫娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，因?yàn)?，解得（舍去）或，所以點(diǎn)或，即點(diǎn)到平面的距離為.所以三棱錐的體積為.

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)時(shí)，,又平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與面所成角，則，所以，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，同理可得，綜上，直線與面所成角的余弦值為.18.《中國(guó)制造2025》是中國(guó)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng)，制造業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國(guó)之本、興國(guó)之器、強(qiáng)國(guó)之基發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國(guó)的生命線.某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)效率，對(duì)現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測(cè)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測(cè)數(shù)據(jù)得到下表（單位：件）.質(zhì)量指標(biāo)產(chǎn)品6010016030020010080（1）估計(jì)這組樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；（2）設(shè)x表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，精確到個(gè)位，，，根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級(jí)改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有65%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定；若有95%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，可認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.請(qǐng)問(wèn)：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造是成功的？（3）為了檢測(cè)技術(shù)人員的業(yè)務(wù)知識(shí)，該企業(yè)對(duì)兩名業(yè)務(wù)人員進(jìn)行知識(shí)考核競(jìng)賽，規(guī)則如下：在初賽中有兩輪答題：第一輪從類的5個(gè)問(wèn)題中任選兩題作答，若兩題都答對(duì)，則得20分，否則得0分；第二輪從類的4個(gè)問(wèn)題中任選兩題依次作答，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分．若兩輪總得分不低于40分，則晉級(jí)復(fù)賽．甲和乙同時(shí)參賽，已知在類的5個(gè)問(wèn)題中，甲只能答對(duì)4個(gè)問(wèn)題，在類的4個(gè)問(wèn)題中，甲答對(duì)的概率都為0.4；乙答對(duì)每個(gè)問(wèn)題的概率都為0.6．甲、乙回答任一問(wèn)題正確與否互不影響．（?。┣蠹自诘谝惠啽荣愔械?分的概率；（ⅱ）以晉級(jí)復(fù)賽概率大小為依據(jù)，甲和乙誰(shuí)更容易晉級(jí)復(fù)賽？【正確答案】（1）61，241；（2）可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.（3）（?。áⅲ┮腋菀讜x級(jí)復(fù)賽【分析】（1）利用表格中的數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題中公式，計(jì)算出區(qū)間并判段數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，計(jì)算出區(qū)間并判段數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，與題中條件比較即可得出結(jié)論.（3）（?。?duì)A類的5個(gè)問(wèn)題進(jìn)行編號(hào)：，其中甲能答對(duì)的4個(gè)問(wèn)題的編號(hào)為，利用列舉法，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；（ⅱ）根據(jù)題意按第一輪得20分且第二輪至少得20和第一輪得0分且第二輪得40分，結(jié)合獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式，分別計(jì)算甲、乙晉級(jí)復(fù)賽的概率，從而可判斷.【小問(wèn)1詳解】由題，可知．．【小問(wèn)2詳解】由知，，則，，該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率約為；又，，該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率約為，∴可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．【小問(wèn)3詳解】（ⅰ）對(duì)A類的5個(gè)問(wèn)題進(jìn)行編號(hào)：，其中甲能答對(duì)的4個(gè)問(wèn)題的編號(hào)為，第一輪從A類的5個(gè)問(wèn)題中任選兩題作答，則所選的兩個(gè)題的情況為：，共10種，其中得0分的情況有：，4種，所以甲在第一輪比賽中得0分的概率為；（ⅱ）甲晉級(jí)復(fù)賽分兩種情況：甲第一輪得20分且第二輪至少得20分的概率為：，甲第一輪得0分且第二輪得40分的概率為：，所以甲晉級(jí)復(fù)賽的概率為；乙晉級(jí)復(fù)賽分兩種情況：乙第一輪得20分且第二輪至少得20分的概率為：，乙第一輪得0分且第二輪得40分的概率為：，所以乙晉級(jí)復(fù)賽的概率為，因?yàn)?，所以乙更容易晉級(jí)復(fù)賽.19.在棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱中，E為的中點(diǎn)．過(guò)AE的截面與棱分別交于點(diǎn)F，G