2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高二上冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算和的性質(zhì)可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.某車間從生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取了1000個(gè)進(jìn)行一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的檢測(cè)，整理檢測(cè)結(jié)果得到此項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間的零件中抽取170個(gè)進(jìn)行再次檢測(cè)，則質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間內(nèi)的零件應(yīng)抽?。ǎ〢.30個(gè) B.40個(gè) C.60個(gè) D.70個(gè)【正確答案】C【分析】由分層抽樣按比例計(jì)算．【詳解】設(shè)質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間內(nèi)的零件應(yīng)抽取個(gè)，則，解得，故選：C．3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件與事件互斥B.C.D.事件與事件不相互獨(dú)立【正確答案】C【分析】由互斥事件的定義判斷A；應(yīng)用列舉法計(jì)算，判斷BC；利用獨(dú)立事件的定義判斷D.【詳解】顯然事件A與事件B可以同時(shí)發(fā)生，事件與事件不互斥，A錯(cuò)誤；拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種：，，，，，，事件B的樣本點(diǎn)為，共18種，事件C的樣本點(diǎn)為，共12種，事件的樣本點(diǎn)為，共6種，因此，B錯(cuò)誤；，C正確；而，于是，則事件B與事件C相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤.故選：C4.已知兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，給出四個(gè)命題：①若，，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由面面垂直的判定定理，可判斷①的真假；由面面平行的判定定理及線面垂直的幾何特征，可以判斷②的真假；由面面垂直的判定定理，及線面垂直的幾何特征，可以判斷③的真假；根據(jù)線面平行的幾何特征及面面平行的判定方法，可以判斷④的真假．【詳解】①若，，，如圖，則與不一定垂直，故①為假命題；②若，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，則；故②為真命題；③若，則，故③為真命題；④若，如圖，則與可能相交，故④為假命題．故選B．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定定理、性質(zhì)定義、幾何特征是解答的關(guān)鍵．5.若非零向量、滿足，且，則與的夾角為()A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算法則即可計(jì)算.【詳解】，，∴，.故選：B.6.靈運(yùn)塔，位于九江市都昌縣東湖南山濱水區(qū)，踞南山之巔，南望鄱湖，當(dāng)代新建仿古塔．某校開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量靈運(yùn)塔的高度，為此，他們?cè)O(shè)計(jì)了測(cè)量方案．如圖，靈運(yùn)塔垂直于水平面，他們選擇了與靈運(yùn)塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測(cè)得米，在A，B兩點(diǎn)觀察塔頂C點(diǎn)，仰角分別為和，，則靈運(yùn)塔的高度CD是（）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米【正確答案】B【分析】設(shè)，進(jìn)而可得，由余弦定理得：，可求．【詳解】設(shè)米，在中，，則，在中，，則，因?yàn)?，所以由余弦定理得：，整理得：，解?米).故選：B7.已知圓錐的高為，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】直接利用扇形弧長(zhǎng)公式和面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則，底面圓周長(zhǎng)為，又扇形的弧長(zhǎng)為，所以，解得，得，所以底面圓的面積為，扇形面積為，所以圓錐的表面積為.故選：A8.如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.3【正確答案】B【分析】連接，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，判斷出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.分別求出,,利用余弦定理即可求解.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中?,由余弦定理得.故選B.（1）立體幾何中的翻折（展開(kāi)）問(wèn)題截圖的關(guān)鍵是：翻折（展開(kāi)）過(guò)程中的不變量；（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：①幾何法：通過(guò)位置關(guān)系，找到取最值的位置（條件），直接求最值；②代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用代數(shù)法求最值.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在三棱錐中，能推出的條件是（）A.， B.，C.平面平面， D.平面【正確答案】BCD【分析】利用線面垂直的判定與性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于A，，，不能證明，不能推出；對(duì)于B，，，，則平面，，能推出；對(duì)于C，平面平面，平面平面，，平面，，能推出；對(duì)于D，平面，，能推出；故選：BCD．10.某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意之匠心，技能動(dòng)天下”的文創(chuàng)大賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開(kāi)），畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖），下列說(shuō)法正確的是（）A.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有160人B.圖中的值為0.020C.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為86.7D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的80%分位數(shù)為95【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A，由頻率分布直方圖求出的頻率，再乘以400可得結(jié)果，對(duì)于B，由各組的頻率和為1可求得結(jié)果，對(duì)于C，先判斷中位數(shù)所在的區(qū)間，再列方程求解，對(duì)于D，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.【詳解】由題意，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故A正確；由，得，故B錯(cuò)誤；由于前3組的頻率和，前4組的頻率和，所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為，則，得，故C正確；低于90分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為，則，解得，故D正確.故選：ACD.11.在中，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則為銳角三角形.C.等式恒成立.D.若，則【正確答案】ACD【分析】由正弦定理可得即結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可判斷A；由余弦定理可判斷為銳角，而角和角無(wú)法確定即可判斷B；由正弦定理以及兩角和的正弦公式可判斷C；求出角，，，由正弦定理可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：在中，若，則，由正弦定理可得，所以，即，所以，可得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由余弦定理可得只能判斷角為銳角，而角和角無(wú)法確定是什么角，所以得不出為銳角三角形，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：由正弦定理可得，右邊等于左邊顯然成立，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，所以，，由正弦定理可得，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為_(kāi)__________.【正確答案】且．【分析】由數(shù)量積大于0，再除去共線的值即可參數(shù)范圍．【詳解】由題意，，又，時(shí)，兩向量相等，夾角為0，所以的范圍是且．故且．13.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，是等邊三角形，且面積為，則______．【正確答案】##【分析】求出，，再利用余弦定理求解.【詳解】解：因?yàn)槭堑冗吶切危颐娣e為，所以，解得，所以．因?yàn)?，所以，由題得，在中，由余弦定理得，即，解得．故答案：14.在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)____．【正確答案】【分析】結(jié)合題意，建立坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的數(shù)量積公式，計(jì)算夾角余弦值，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖形，建立坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：故，所以本道題考查了向量數(shù)量積公式，考查了異面直線所成角余弦值計(jì)算方法，難度中等．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知中，，是邊上一點(diǎn)，，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求的面積.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，由正弦定理求出的長(zhǎng)；（2）在中，求出，由余弦定理求出，再由三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）由已知，則中，；（2）中，，，，由余弦定理得：，解得，所以的面積為.本題主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.16.如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.將△ADE與△BCF分別沿AE，BF折起，使得點(diǎn)D、C重合(記為點(diǎn)P)，形成圖2，且△PEF是等腰直角三角形.（1）證明：平面PAE⊥平面PBF；（2）求二面角的正弦值；（3）若，求四棱錐的體積.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）應(yīng)用線面垂直判定證面，再由面面垂直的判定證結(jié)論；（2）連接PG，PH，GH，且G，H分別為AB，EF的中點(diǎn)，根據(jù)二面角的定義找到其對(duì)應(yīng)的平面角，根據(jù)題設(shè)求該角正弦值即可；（3）根據(jù)已知求得PH，結(jié)合PH⊥平面ABFE，棱錐的體積公式求體積.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，易知，又為等腰直角三角形，故，由且都在面內(nèi)，故面，面，所以平面PAE⊥平面PBF；【小問(wèn)2詳解】如圖，連接PG，PH，GH，且G，H分別為AB，EF的中點(diǎn)，由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB，∴GH⊥AB，故∠PGH為二面角的平面角，由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE，又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，設(shè)，則，，，，故二面角的正弦值為；【小問(wèn)3詳解】由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，則，故四棱錐的體積為1.17.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.（1）求角C；（2）求△ABC的外接圓的半徑R，并求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.【正確答案】（1）（2），【分析】（1）由正弦定理結(jié)合和角公式得出角C；（2）由正弦定理得出，由正弦定理的邊化角公式得出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題，因?yàn)樗杂烧叶ɡ砜傻眉丛凇鰽BC中，，且，B，又，所以，則【小問(wèn)2詳解】由正弦定理得，所以由（1）知，，所以因?yàn)?，所以則即△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為18.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會(huì)成功舉辦的重要保障．某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并按照，，，，分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第二、三、四組的頻率之和為0.9，第一組和第五組的頻率相同．（1）求，的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.1）；（3）若先用分層隨機(jī)抽樣的方法從面試成績(jī)?cè)诙蔚暮蜻x者中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段的概率．【正確答案】（1），（2）69.4（3）【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程組即能求出的值；（2）由于第一、二組的頻率之和為0.3而第三組的頻率為0.45，所以中位數(shù)在第三組，根據(jù)比例即可求解中位數(shù)；（3）根據(jù)分層抽樣，在段和段的候選者分別有1人和5人，列舉出這6人中選出2人的總的基本事件數(shù)，和選出的兩人來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈诙⑷?、四組的頻率之和為0.9，所以，解得．再由第一組、第五組的頻率之和為，即，得．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知，第一、二組的頻率之和為0.3，第三組的頻率為0.45，所以中位數(shù)在第三組，且為．【小問(wèn)3詳解】由（Ⅰ）可得面試成績(jī)?cè)诙魏投蔚暮蜻x者分別有5人和25人，若用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取6人，則需在段中抽取1人，設(shè)為，在段中抽取5人，分別設(shè)為，，，，．該試驗(yàn)的樣本空間為，共有15個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)“從這6人中隨機(jī)抽取2人，這2人來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段”為事件，則，有10個(gè)樣本點(diǎn)，故．19.已知直三棱柱滿足，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面（3）求三棱錐的體積.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）連接，，只需證明即可，由中位線定理結(jié)合線面平行