2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)空間向量與立體幾何.第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若點(diǎn)關(guān)于平面和軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為，則（）A. B. C.1 D.9【正確答案】C【分析】結(jié)合空間中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面和坐標(biāo)軸對(duì)稱的特點(diǎn)，即可求解【詳解】由題意得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則，所以，故選：C.2.在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若、、、四點(diǎn)共面，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的共面向量定理的推論列式計(jì)算即得.【詳解】在四面體中，不共面，而則所以故選：D3.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】直接利用投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】向量在向量上的投影向量故選：C4.設(shè)，向量，，，且，，則（）．A. B. C.5 D.6【正確答案】D【分析】由條件結(jié)合垂直向量的坐標(biāo)表示和平行向量的坐標(biāo)關(guān)系求，由此可求的坐標(biāo)，再求其模即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，所?故選：D.5.在四棱錐中，平面，，則與之間的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，把異面直線的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解，利用向量來(lái)求解點(diǎn)到直線的距離，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值，即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)槠矫?，，，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)椋?，，則，，，，所以，設(shè)，，，距離，因?yàn)?，故所以異面直線與之間的距離，故選：A．6.已知為平行四邊形外的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.與是共線向量 B.與同向的單位向量為C.與夾角的余弦值為 D.平面的一個(gè)法向量為【正確答案】C【分析】首先求向量，的坐標(biāo)，再根據(jù)共線向量，單位向量，以及向量的夾角公式，以及法向量公式，即可求解.【詳解】，，，所以與不共線，故A錯(cuò)誤；，的單位向量為，故B錯(cuò)誤；，故，故C正確；設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則即令，則，，則，故D錯(cuò)誤．故選：C7.是被長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范圍．【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，設(shè)，，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)或1，或1時(shí)，取得最大值0，所以的取值范圍是.故選：B.8.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，平面，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出外接圓半徑，球心到平面的距離，再利用球的截面圓性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】在三棱錐中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面，則球心到平面的距離為，在中，由余弦定理得：，因此外接圓半徑，球的半徑，所以球O的表面積.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則B.若空間中任意一點(diǎn)O，有，則四點(diǎn)共面C.若空間向量，滿足，則與夾角為鈍角D.若空間向量，，則在上的投影向量為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由平面法向量的定義分析A，由空間向量基本定理分析B，由向量平行的性質(zhì)分析C，由投影向量分析D．【詳解】對(duì)于A：若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，易得，即，則有，A正確；對(duì)于B：在中，由于，故四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C：當(dāng)，反向共線時(shí)，也成立，但與夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：ABD．10.如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點(diǎn)，且，則（）A. B.直線與所成角的余弦值為C.平面 D.直線與平面所成角【正確答案】ABD【分析】通過(guò)建立空間的一組基底，將相關(guān)直線的方向向量用基向量表示，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長(zhǎng)判斷A項(xiàng)；利用空間向量的夾角公式計(jì)算判斷B項(xiàng)；利用向量的數(shù)量積是否為0判斷C項(xiàng)；通過(guò)求平面的法向量和空間向量的夾角判斷D項(xiàng).【詳解】不妨設(shè)則.對(duì)于A，因,故，故，故A正確；對(duì)于B，因，,則，，設(shè)直線與所成角為，則故B正確；對(duì)于C，因，即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，,因，，則有因平面，故平面，即平面的法向量可取為，又，設(shè)直線與平面所成角為，因，，，則，因，故，故D正確.故選：ABD.11.已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，平面，，，點(diǎn)P滿足，其中，，，則（）A.當(dāng)P為底面的中心時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為C.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最大值為6D.當(dāng)時(shí)，為定值【正確答案】BCD【分析】根據(jù)題意，利用空間向量進(jìn)行逐項(xiàng)進(jìn)行分析求解判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為底面的中心時(shí)，由，則故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，取最小值為，故B正確;對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在及內(nèi)部，而是以為球心，以為半徑的球面被平面所截圖形在四棱柱及內(nèi)的部分，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得最大值為，故C正確；對(duì)于D，，，而，所以，則為定值，故D正確.故答案選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，，點(diǎn)，若平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】由題意得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題可得，，平面ABC，，，，.故答案為.13.已知向量，，，則____.【正確答案】【分析】由，求出的值，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】向量，由，解得，則有，又，則故答案為.14.正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知，，進(jìn)一步只需求出即可得解．【詳解】由題意等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，當(dāng)點(diǎn)與某個(gè)側(cè)面的中心重合時(shí)，最小，且，當(dāng)點(diǎn)與正方體的頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，且，由于點(diǎn)是在正方體表面連續(xù)運(yùn)動(dòng)，所以的取值范圍是，的取值范圍是．故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是為與的交點(diǎn).若，（1）用表示；（2）求；【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用空間向量基本定理求解可得答案；（2）用向量法計(jì)算，再由利用空間向量的夾角公式求解可得答案.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?16.已知三棱錐中，平面為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作平行于平面的直線交于點(diǎn).（1）求直線與平面所成的角的正切值；（2）證明：平面平面，并求直線到平面的距離.【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)直線與平面夾角的定義即可知即為直線與平面所成的角，然后利用線段長(zhǎng)直接求解即可.（2）利用面面平行的判定定理直接證明即可；根據(jù)線面間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，連接，則即為直線與平面所成的角，又，，，為中點(diǎn)，可得，，所以，即直線與平面所成的角的正切值為.【小問(wèn)2詳解】由題知，平面，平面，，平面，所以平面平面.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以就是直線到平面距離，又為中點(diǎn)，則，即直線到平面的距離為.17.如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點(diǎn)是中點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．（1）當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；（2）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.（2）設(shè)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，表示出二面角的余弦值，再求其范圍.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴．點(diǎn)是中點(diǎn)，，∴，結(jié)合折疊前后圖形的關(guān)系可知，∵二面角為直二面角，則側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴平面，易知，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則P0,0,1，，，，D0,1,0，∴，，PD=0,1,?1．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，則為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離．【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)滿足（）．∵PD=0,1,?1，∴∴，∴．設(shè)平面的法向量為m=x又∵，，∴，取，則，，取為平面的一個(gè)法向量．易知平面的一個(gè)法向量為，二面角的余弦值為，由，所以，則，所以二面角的余弦值的取值范圍為.18.如圖，在平行六面體中，平面ABCD，，，（1）求證：；（2）求三棱錐的體積；（3）線段上是否存在點(diǎn)E，使得平面EBD與平面的夾角為?若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）4（3）不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）解法一，由平面ABCD，，可求得，證明，得證；解法二，在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為H，以D為原點(diǎn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由結(jié)合已知條件求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算證明，得證；解法三，在平面ABCD中，過(guò)B作DC的垂線，垂足為G，連結(jié)交于F，通過(guò)證明平面，得證，在各直角三角形中，通過(guò)相似比和勾股定理，求出的值，由，得證；（2）過(guò)作于H，由等體積，求值即可；（3）解法一，以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系；解法二，利用（1）中解法二的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，向量法求平面EBD與平面的夾角，由的值確定結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解法一：因?yàn)椤推矫鍭BCD，平面ABCD，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?所以，化簡(jiǎn)得.所以，所以.解法二：在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為H，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)，則，所以，，由得，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以，，，，所以，所?解法三：在平面ABCD中，過(guò)B作DC的垂線，垂足為G，連結(jié)交于F.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，所以，所以，，在中，，，，所以，在中，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋桑?）知，所以，過(guò)作于H，則.因?yàn)橹崩庵衅矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面，所以.【小問(wèn)3詳解】解法一：假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，因?yàn)椤推矫鍭BCD，，所以以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，得，令，得，所以.所以，因?yàn)槠矫鍱BD與平面D1BD的夾角為，即，解得，又因?yàn)?，所以舍去，所以線段上不存在點(diǎn)E使得平面EBD與平面的夾角為.解法二：由（1）解法二得平面的一個(gè)法向量為，假設(shè)存在E點(diǎn)滿足條件，設(shè)，則設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為，由，得，令，則，所以.所以，因?yàn)槠矫鍱BD與平面D1BD的夾角為，即，解得.又因?yàn)?，所以舍去，所以線段上不存在點(diǎn)E使得平面EBD與平面的夾角為.19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；（3）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用題中的定義分別計(jì)