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文檔簡介
2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第二章一元二次函數(shù)、方程和
不等式】八大題型歸納(基礎(chǔ)篇)(含答案)高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第
二章八大題型歸納(基礎(chǔ)篇)
【人教A版(2019)]
不等關(guān)系的建立。|
1.(2023上?甘肅酒泉?高一統(tǒng)考期末)鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下:乘坐動車組列車攜帶品的外部
尺寸長、寬、高之和不超過130cm,且體積不超過72000cm3,設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a,b,
c(單位:cm),這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為()
A.a+b+c<130且abc<72000B.a+b+c>130且abc>72000
C.a+b+c<130且abc<72000D.a+b+c>130且abc>72000
2.(2023上?貴州遵義?高一統(tǒng)考階段練習(xí))持續(xù)的高溫干燥天氣導(dǎo)致某地突發(fā)山火,現(xiàn)需將物資運往滅火
前線.從物資集散地到滅火前線-共40km,其中靠近滅火前線5km的山路崎嶇,需摩托車運送,其他路段可
用汽車運送.已知在可用汽車運送的路段,運送的平均速度為60km/h,設(shè)需摩托車運送的路段平均速度為
xkm/h,為使物資能在1小時內(nèi)到達滅火前線,則x應(yīng)該滿足的不等式為().
、Y
A.--4-°-->1B.段<1
60+x
355
C.—+->1D.-+-<1
60X60X
3.(2023?全國?高一專題練習(xí))用一段長為30機的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18小,要求菜園
的面積不小于216nl2,靠墻的一邊長為久皿試用不等式表示其中的不等關(guān)系.
4.(2023上?廣東?高一統(tǒng)考期末)一般認(rèn)為,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積,但窗戶面積與地板
面積的比應(yīng)不小于10%,而且這個比值越大,采光效果越好.設(shè)某所公寓的窗戶面積與地板面積分別為am?,
bm2.
(1)若這所公寓的窗戶面積與地板面積的總和為220m2,求這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米;
(2)若同時增加窗戶面積和地板面積各ran?,判斷這所公寓的采光效果是否變好了,并說明理由.
題型2卜利用不等式的性質(zhì)判斷正誤
1.(2023下?上海寶山?高一統(tǒng)考期末)如果。<6<0,那么下列式子中一定成立的是(
A.-<-B.a2<b2C.-<1D.a2>ab
abb
2.(2023下?云南玉溪?高一統(tǒng)考期末)下列說法正確的是()
A.若a>b>0,則ac>beB.若a>b,則|a|>|b|
C.若a<b<0,則a2〉abD.若a〉6>c,則藍〉箸
3.(2023?全國?高一隨堂練習(xí))判斷下列命題的真假,并說明理由:
⑴若a>b,則加2>be2;
(2)若ac?>be2,則a>b;
(3)若a>b,c>d,則ac>bd;
(4)若a>6,則工<3
ab
4.(2022?高一課時練習(xí))下列結(jié)論是否成立?若成立,試說明理由;若不成立,試舉出反例.
(1)如果c—a>c—b9那么a<b;
(2)若ab>c,b>0,則a>,
(3)若ac>be,則a>b;
(4)若a>b,c>d,則a—c>b—d.
由基本不等式比較大小
1.(2023下?安徽馬鞍山?高一統(tǒng)考期中)若0<a<1,0<b<1,且a76,貝!|a+6,2y[ab,2a6,a12+b2
中最大的一個是()
A.a2+b2B.2y[ab
C.2abD.a+b
2.(2023上?上海寶山?高一??茧A段練習(xí))某城市為控制用水,計劃提高水價,現(xiàn)有以下四種方案,其中
提價最多的方案是(其中0<qVp<l)()
A.先提價p%,再提價q%B.先提價q%,再提價p%
C.分兩次,都提價住£%D.分兩次,都提價平%
722
3.(2023?上海?高一專題練習(xí))已知0<a<1,0<b<1,則a+b,24ab,a2+62,2ab中哪一個最大?
4.(2023?高一課時練習(xí))已知a,b,ce(0,+8)且a+b+c=1,試比較小+廣+0?,ab+be+ca,1的大
小.
題型42利用基本不等式求最值(無條件)
1.(2023下?廣東揭陽?高一統(tǒng)考期末)設(shè)X>0,則函數(shù)y=-+:+25的最小值為()
A.6B.7C.11D.12
2.(2022上.湖南長沙.高一長沙一中??茧A段練習(xí))以下說法正確的是()
A.%+工的最小值為2
X
B.信+白的最小值為2
|%|
C./+2+2的最小值為2
xz+2
D.若正實數(shù)a,Z?滿足〃+。=1,則(a++》的最小值為4
3.(2023上?江蘇連云港?高一??茧A段練習(xí))已知0<汽<3,求:
(1)x(3一%)的最大值;
(2)%(3-2%)的最大值.
4.(2023上?新疆阿克蘇?高一??茧A段練習(xí))(1)已知求2%(1-2%)的最大值;
(2)已知%>々求4%-2H——'的最小值.
44%-5
題型5N利用基本不能求最值(有條件)。|
1.(2023上?重慶?高一統(tǒng)考期末)若正實數(shù)x,y滿足2久+8y-xy=0,則后的最大值為()
2131
A.-B.-C.-D.-
5679
2.(2023上?北京?高一??计谀┮阎獙崝?shù)第,y滿足%>0,y>0,且:+:=1,則久+3y的最小值為()
A.8B.10C.12D.14
3.(2023上?福建泉州?高一泉州五中??计谥校┮阎獙崝?shù)40,b>0,a+2b=2
(1)求工+1的最小值;
ab
⑵求a2+4b2+5ab的最大值.
4.(2023上?浙江?高一校聯(lián)考期中)已知%>0,y>0,且2/+y2=3.
(1)求xy的最大值;
(2)求+y2的最大值.
一元二次不等式的解法O|
1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知不等式a/++2>0的解集為{%|—1V%<2},則不等式2/+bx+
a<0的解集為()
1
A.{%|-1<x<-}B.{x\x<-1或%>|}
C.{%|—2<x<1}D.{x\x<—2或%>1}
2.(2023上?山東荷澤?高一??计谀┤袅?gt;1,則關(guān)于X的不等式(t-久)-3>0的解集是()
A.fx|<x<t|B.|x|x<|>t}C.{x[x<t或%>:}D.|x|t<x<
3.(2023上?內(nèi)蒙古赤峰?高一統(tǒng)考期末)解下列不等式:
(1)2%2+5%-3<0;
(2)-3尤2+6x<2;
⑶當(dāng)<|;
(4)(%—1)(%—2)<x(2x—5)+3
4.(2023上?河北承德?高一??计谥校┮阎坏仁絘/+(1+2口)%+2<0.
(1)若a=—2,解不等式a/+(1+2a)x+2<0.
(2)當(dāng)a>0時,求關(guān)于%的不等式a/+(1+2a)x+2<0的解集.
題型7\三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用
1.(2023?全國?高一課堂例題)不等式a/—ft%+c>。的解集為{%|—2<%<1},則函數(shù)y=ax2—bx+c
的圖象大致為()
2.(2023上?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí))二次方程a/++c=0(a>0)的兩根為2,-3,那么關(guān)于%的
不等式a/+力%+。>o的解集為()
A.{x\x>3或%<—2}B.{x\x>2或久<—3}
C.{%|-2<%<3}D.{劃一3<x<2]
3.(2023上?山西臨汾?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知二次函數(shù)y=%2-(a-l)x-a-1的圖象與l軸交于
8(%2,。)兩點.
(1)當(dāng)a=3時,求就+底的值;
(2)求關(guān)于x的不等式y(tǒng)+1>0的解集.
4.(2023上?江西萍鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末)已知二次函數(shù)/(%)滿足/(0)=0,請從下列①和②兩個條件中選一
個作為已知條件,完成下面問題.
①/(%+2)=/(x+1)+2%+1;②不等式f(=<x+4的解集為(一1,4).
⑴求/(%)的解析式;
(2)若/(%)在[-1,河上的值域為[-1,3],求實數(shù)zn的取值范圍.
-元二次不等式的實際應(yīng)用。I
1.(2022上?高一校考單元測試)某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣,售價P(單位:元/件)與月銷售量x(單位:
件)之間的關(guān)系為P=160-2%,生產(chǎn)%件的成本(單位:元)R=500+30久.若每月獲得的利潤y(單位:
元)不少于1300元,則該廠的月銷售量x的取值范圍為()
A.(20,45)B.[20,45)
C.(20,45]D.[20,45]
2.(2023上?山西呂梁?高三統(tǒng)考階段練習(xí))第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉
行,參賽的各國運動員在比賽、訓(xùn)練之余,都愛逛逛杭州亞運會特許商品零售店,開啟“買買買”模式.某商
店售賣的一種亞運會紀(jì)念章,每枚的最低售價為15元,若每枚按最低售價銷售,每天能賣出45枚,每枚
售價每提高1元,日銷售量將減少3枚,為了使這批紀(jì)念章每天獲得600元以上的銷售收入,則這批紀(jì)念
章的銷售單價x(單位:元)的取值范圍是()
A.(10,20)B.[15,20)C.(16,20)D.[15,25)
3.(2023上?陜西寶雞?高一校考階段練習(xí))如圖,在長為8m,寬為6m的矩形地面的四周種植花卉,中間
種植草坪,如果要求草坪外側(cè)四周的花卉帶的寬度都相同,且草坪的面積不超過總面積的一半,則花卉帶
的寬度至少應(yīng)為多少米?
訃
IV
4.(2023上?重慶?高一統(tǒng)考期末)2022年10月16日上午,中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民
大會堂開幕.二十大報告提出,全面推進鄉(xiāng)村振興,堅持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展,鞏固拓展脫貧攻堅成果.某
地政府為深入推進鄉(xiāng)村振興,決定調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu).該地區(qū)現(xiàn)有260戶農(nóng)民,且都從事水果種植,平均每戶
的年收入為3.5萬元.為增加農(nóng)民收入,當(dāng)?shù)卣疀Q定動員部分農(nóng)民從事水果加工.據(jù)測算,若動員x(x>0)
戶農(nóng)民只從事水果加工,剩下的只從事水果種植,則從事水果加工的農(nóng)民平均每戶收入將為3.5(a-
篙)(a>0)萬元,而從事水果種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高5尤%.
(1)若動員尤戶農(nóng)民從事水果加工后,要使從事水果種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事水果種植的農(nóng)
民的總年收入,求尤的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,要使這260戶農(nóng)民中從事水果加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事水果種植的農(nóng)民的
總收入,求a的最大值.
高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第二章八大題型歸納(基礎(chǔ)篇)
【人教A版(2019)]
不等關(guān)系的建立—01
1.(2023上?甘肅酒泉?高一統(tǒng)考期末)鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下:乘坐動車組列車攜帶品的外部
尺寸長、寬、高之和不超過130cm,且體積不超過72000cm3,設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a,b,
c(單位:cm),這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為()
A.a+b+c<130且abc<72000B.a+b+c>130且abc>72000
C.a+b+c<130且abcW72000D.a+b+cN130且abcN72000
【解題思路】根據(jù)數(shù)量關(guān)系列不等式,“不超過”不等號為“小于等于”.
【解答過程】由長、寬、高之和不超過130cm得a+6+cW130,由體積不超過72000cm3得abcW72000.
故選:C.
2.(2023上?貴州遵義?高一統(tǒng)考階段練習(xí))持續(xù)的高溫干燥天氣導(dǎo)致某地突發(fā)山火,現(xiàn)需將物資運往滅火
前線.從物資集散地到滅火前線-共40km,其中靠近滅火前線5km的山路崎嶇,需摩托車運送,其他路段可
用汽車運送.已知在可用汽車運送的路段,運送的平均速度為60km/h,設(shè)需摩托車運送的路段平均速度為
xkm/h,為使物資能在1小時內(nèi)到達滅火前線,則x應(yīng)該滿足的不等式為().
40
A.段>1B.----<1
60+X
35,5y
C.—+->1D.-+-<1
60X60X
【解題思路】根據(jù)總時長小于1列不等式,即汽車所用時間加上摩托車所用時間小于1小時即得.
【解答過程】由題意汽車所用時間加上摩托車所用時間小于1小時,即卷+《<1,
故選:D.
3.(2023?全國?高一專題練習(xí))用一段長為307n的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18小,要求菜園
的面積不小于216巾2,靠墻的一邊長為xm.試用不等式表示其中的不等關(guān)系.
【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合矩形菜園的邊長和面積列出不等關(guān)系即可.
【解答過程】解:因為矩形菜園靠墻的一邊長為xm,而墻長為18小,所以0<xW18,
則菜園的另一條邊長為等=(15-|)m.
所以菜園面積S=x-(15-今,
根據(jù)題意有S2216,即工.(15-|)N216,
故不等關(guān)系可用不等式表示為卜(15>216?
4.(2023上?廣東?高一統(tǒng)考期末)一般認(rèn)為,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積,但窗戶面積與地板
面積的比應(yīng)不小于10%,而且這個比值越大,采光效果越好.設(shè)某所公寓的窗戶面積與地板面積分別為am?,
bm2.
(1)若這所公寓的窗戶面積與地板面積的總和為220m2,求這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米;
(2)若同時增加窗戶面積和地板面積各ran?,判斷這所公寓的采光效果是否變好了,并說明理由.
【解題思路】(1)設(shè)公寓窗戶面積與地板面積分別為am2,bm2,則1b-10%,化簡得a220即得解;
ia+b=220
(2)設(shè)。和6分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積,n表示窗戶和地板所增加的面積,再比較出和甘勺大
b+nb
小即得解.
【解答過程】(1)設(shè)公寓窗戶面積與地板面積分別為am2,bm2,則16-10%,
(a+b=220
所以b4——=10a,所以a+b=220Wa+10a,所以aN20.
10%
所以這所公寓的窗戶面積至少為20平方米.
(2)設(shè)a和b分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積,n表示窗戶和地板所增加的面積(面積單位都相同),
由題意得:0<a<b,n>0,
rji.ia+na_ab+bn-ab-an_n(ft-a)
、b+nbZ?(d+n)b(b+n)'
因為力>0,n>0,所以+n)>0.
又因為a<b,所以九(b-a)>0.
rnj-irrCL八口門61+九CL
因此------即一>
b+nb>0,b+nb
所以窗戶和地板同時增加相等的面積,住宅的采光條件變好了.
題型2N利用不等式的性質(zhì)判斷正誤
1.(2023下?上海寶山?高一統(tǒng)考期末)如果a<6<0,那么下列式子中一定成立的是()
222ab
A.-a<-bB.a<bC.-b<1D.a>
【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.
【解答過程】因為a<6<0,所以工>:,故A錯誤;
ab
因為QVb<0,所以|a|>|b|,所以小>62,故B錯誤;
因為QVb<0,所以故C錯誤;
b
因為avbvo,所以小>ab,故D正確.
故選:D.
2.(2023下?云南玉溪?高一統(tǒng)考期末)下列說法正確的是()
A.若a>h>0,貝!Jac>beB.若a>b,貝>\b\
C.若a<bV0,則a2>abD.若a>b>c,貝盧>
bb+c
【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合舉反例的方法,可得答案.
【解答過程】對于A,若c=0,則ac=bc,故A錯誤;
對于B,若a=l,b=-2,貝”㈤<聞,故B錯誤;
對于C,若a<b<0,a<0,可得a?>ab,故C正確;
對于D,若a=3,b—2,c--1,貝哈==:=2,(<產(chǎn),故D錯誤.
b2b+c1bb+c
故選:c.
3.(2023?全國?高一隨堂練習(xí))判斷下列命題的真假,并說明理由:
(1)若a>b,貝!Jac?>be2;
(2)若tie?>be2,則a>b;
(3)若a>b,c>d,貝!Jac>bd;
(4)若a>6,則
ab
【解題思路】(1)取c=0即可判斷,
(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解,
(3)(4)舉反例即可求解.
【解答過程】(1)若a>b,當(dāng)c=0時,貝b02=乩2=0;故為假命題;
(2)由于ac2>bc2,故c?工0,則c?>0,進而可得a>b;故為真命題;
(3)若a=2,b=1,c——2,d=-3,貝!Jac=-4,bd--3,
此時滿足a>b,c>d,但是無法得到ac>bd,故為假命題;
(4)若a>b,不妨取a=l,b=0,貝吟無意義,故無法得到工<i故為假命題.
bab
4.(2022.高一課時練習(xí))下列結(jié)論是否成立?若成立,試說明理由;若不成立,試舉出反例.
(1)如果c—a>c—b,那么。<b;
(2)若ab>c,b>0,則a>
(3)若ac>be,則a>b;
(4)若a>b,c>d,則a—c>b—d.
【解題思路】由不等式的性質(zhì)判斷(1)(2)成立,取特殊值判斷(3)(4)不成立.
【解答過程】(l),?,c-a>c-b,
:.-a>-b9
a<b,
故成立.
(2)vab>c,b>0,
???ah?->c-
b匕'
即Q>£.
b
(3)取a=l,b=2,c=一1時,滿足ac>be,但是a>b不成立.
(4)取。=l,b=0,c=3,d=—1,滿足a>b,c>df但是a—c>b—d不成立.
由基本不等式比較大小。|
1.(2023下?安徽馬鞍山?高一統(tǒng)考期中)若0<aV1,0<b<1,且aHb,貝!Ja+b,2y[ab,2ab,a2+b2
中最大的一個是()
A.a2+b2B.2>J~ab
C.2abD.a+h
【解題思路】首先利用均值不等式比較小+廿與2ab的大小和。+b與2屆的大小,然后結(jié)合不等式的性質(zhì)
即可確定四個表達式中最大的一個.
【解答過程】v0<a<1,0<6<1,且aHb,
a2+b2>2ab,a+b>2y[ab,a>a2,b>b2,
???a+b>+82
故選:D.
2.(2023上?上海寶山?高一??茧A段練習(xí))某城市為控制用水,計劃提高水價,現(xiàn)有以下四種方案,其中
提價最多的方案是(其中0<q<pV1)()
A.先提價p%,再提價q%B.先提價q%,再提價p%
C.分兩次,都提價/孚%D.分兩次,都提價等%
【解題思路】求出每個選項中提價后的水價,結(jié)合基本不等式比較大小可得合適的選項.
【解答過程】設(shè)原來的水價為a,AB選項中,兩次提價后的水價為a(l+p%)(l+q%),
C選項中,兩次提價后的水價為a(1+竹Q%),
D選項中,兩次提價后的水價為1%)【
22
因為0<q<p<1,貝Up?+q2>2pq,則2(p2+Q2)>p+Q2+2pq=(p+Q),
所以,亨〉(等)2,則產(chǎn)學(xué)〉等,
即a(l+J^p%)>口(1+等%)2,
由基本不等式可得a(l+p%)(l+Q%)Va(1+-%)'
所以,a(l+>a(l+.%y>a(l+p%)(l+q%).
故選:C.
3.(2023?上海?高一專題練習(xí))已知0VaV1,0<b<1,則a+b,2y[ab,a2+b2,2ab中哪一個最大?
【解題思路】先利用基本不等式判斷最大數(shù)為Q+b或小+廬,再做差判斷正負(fù)可得出最大的數(shù).
【解答過程】因為a>0,h>0,所以。+b>2VH反a2+b2>2ab,
所以四個數(shù)中最大的數(shù)應(yīng)為a+b或小+爐;
又因為0<。<1,0<6<1,所以
小+b2—(Q+b)=a2—a+b2—b——1)+b(b-1)V0
所以小+力2V0+力,所以Q+b最大.
4.(2023?高一課時練習(xí))已知a,b,cE(0,+8)且a+b+c=1,試比較M+F+c?,ab+be+ca,1的大
小.
【解題思路】首先利用綜合法,結(jié)合基本不等式,證得2m2+墳+。2)》2帥+2這+2左,由此兩邊加上
小+/+c2,求得小+h2+c2>兩邊加上2ab+2ac+2bc,求得ab+be+ca4].由此比較出三者的
大小關(guān)系.
【解答過程】Va2+62>2ab,a2+c2>2ac,b2+c2>2bc,A2(a2+桐+c2)>2ab+2ac+2bc.①
a2+h2+c2>ah+ac+be(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立).②
①式兩邊分別加上。2+/+。2,得3(小++。2)>(Q+匕+C)2=1,?“十爐十£
②式兩邊分別加上2ab+2ac+2兒,得
3(ab+be+ca)<a2+/?2+c2+2ab+2bc+lac=(a+b+c)2=1,ab+he+ca<
綜上,a2+b2+c2>|>aZ?+be+ca,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=[時等號成立.
題型4t利用基本不等式求最值(無條件)
1.(2023下?廣東揭陽?高一統(tǒng)考期末)設(shè)x>0,則函數(shù)丫=五產(chǎn)的最小值為()
A.6B.7C.11D.12
【解題思路】先化簡為丫=五上交=x+交+1,再利用基本不等式即可求解.
XX
【解答過程】???x>0,y=x2+x+25=x+—+l>2lx--+1=11,
XXVX
當(dāng)且僅當(dāng)乂=空,即x=5時,等號成立,
X
所以函數(shù)y=立產(chǎn)的最小值為11.
故選:C.
2.(2022上.湖南長沙?高一長沙一中??茧A段練習(xí))以下說法正確的是()
A.x+工的最小值為2
X
B.疹+左的最小值為2
|%|
C./+2+六的最小值為2
xz+2
D.若正實數(shù)a,6滿足a+b=l,則(a++》的最小值為4
【解題思路】利用基本不等式可判斷BD的正誤,根據(jù)反例及取等條件可判斷AC的正誤.
【解答過程】對于A,取x=-1,則刀+工=-2,故x+工的最小值不是2,故A錯誤;
XX
對于B,+77=|%|+77>2,當(dāng)且僅當(dāng)工=±1時等號成立,故B正確.
田|x|
對于C,/+2+222,因/+2=1無實數(shù)解,故等號不可取,
xz+2
故/+2+為的最小值不是2,故C錯誤.
xz+2
對于D,(a+/)("+])=ab+—+2,
若缶+》3+》的最小值為4,則存在正數(shù)a,b,使得勘+烹+2=4,
即ab+==2,解得ab=1,
ab
而a+b=1,故1>24ab§Pab<當(dāng)且僅當(dāng)a=b=工時等號成立,
42
故ab=1不成立即(。+》9+》的最小值不為4.
故選:B.
3.(2023上?江蘇連云港?高一??茧A段練習(xí))己知0〈尤<3,求:
(1)x(3-x)的最大值;
(2)x(3—2比)的最大值.
【解題思路】利用基本不等式計算即可.
【解答過程】(l):0<x<3,
:.x(3—x)三(亨)2.
當(dāng)且僅當(dāng)%=3-x,即%=決寸等號成立,
所以%(3—%)的最大值為:;
4
(2)0<x<3,
.,.x(3-2x)=|x2xx(3-2%)<|x(2x+^~2x)2='
當(dāng)且僅當(dāng)2%=3-2%,即%=^時取等號,
4
所以%(3-2%)的最大值為!
4.(2023上?新疆阿克蘇?高一??茧A段練習(xí))(1)已知求2%(1-2%)的最大值;
(2)已知%,求4%—24——匚的最小值.
44X-5
【解題思路】(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值;
(2)對4x-2+々變形后利用基本不等式求解.
4x-5
[解答過程](1)記/(%)=2x(1—2%),0<%<1,
則/(%)=2x(1-2%)=-4-+%
所以當(dāng)汽=;時,函數(shù)/(、)=2x(1-2%)取到最大值為
44
所以2x(1-2%)的最大值為
(2)因為x>§,所以4x-5>0,
4
所以以一2+七=4%-5+表+322"軌-5).表+3=2+3=5,
4x-5
當(dāng)且僅當(dāng)4x-5=£即x=|時等號成立,所以4”一2+高的最小值為5.
利用基本不等式求最值(有條件)
1.(2023上?重慶?高一統(tǒng)考期末)若正實數(shù)尤,y滿足2x+8y-孫=0,則京的最大值為()
A.-B.-C.-D.-
5679
【解題思路】根據(jù)等式計算得出1,再結(jié)合常值代換求和的最值,計算可得最大值.
[解答過程]v%>0,y>0,2x+8y—=0,??.(+g=L
x+y=(x+y)f-+-)=—+8+2+—>2/—x—+10=18,
\yx/yxyx
,,
x+y~18=9,
故選:D.
2.(2023上?北京?高一??计谀?已知實數(shù)x,y滿足x>0,y>0,且:+(=1,則久+3y的最小值為()
A.8B.10C.12D.14
【解題思路】利用1的妙用,結(jié)合基本不等式求解最值即可.
【解答過程】因為x>0,y>0,且三+工=1,
xy
所以%+3y=(%+3y)(-+-)=—+-4-6>2I—--+6=12,
\xyjxy-Jxy
當(dāng)且僅當(dāng)々=三,即%=6/=2時取等號,
xy
則%+3y的最小值為12.
故選:C.
3.(2023上?福建泉州?高一泉州五中??计谥?已知實數(shù)a>0,b>0,a+2b=2
(1)求工+:的最小值;
(2)求a2+4b2+5ab的最大值.
【解題思路】(1)利用5+:=|(a+2b)&+目轉(zhuǎn)化為用基本不等式求解;
(2)a2+4b2+Sab=(a+2b)2+ab=4+ab,根據(jù)a+2b—2利用基本不等式求出ab范圍即可.
【解答過程】(1)":=*。+2切&+§=乂5+系+手)
?.%>0”>0,《(5+^+午"*5+24)建
當(dāng)且僅當(dāng)電=吆,即a=b=2時,等號成立.
ab3
**--+[的最小值為:;
ab2
(2)Va2+4廬+Sab=(a+2b)2+ab=4+ab,
又a+2b=2>2"2ab,.\ab<故小+4b2_|_5ab<4+1=|,
當(dāng)且僅當(dāng)。=2力,即Q=l,b=:時,等號成立.
故小+4爐+5ab取得最大值:
4.(2023上?浙江?高一校聯(lián)考期中)已知%>0,y>0,且2/+y2=3.
(1)求的最大值;
(2)求//1+y2的最大值.
【解題思路】(1)利用基本不等式求xy的最大值;(2)首先構(gòu)造???尤聲亍=Jx2(i+y2)=產(chǎn)(產(chǎn)),
再利用基本不等式求最值.
【解答過程】(1)2x2+y2=322y/2xy
3V2
???孫w丁
當(dāng)且僅當(dāng)%=產(chǎn)療=當(dāng)時,等號成立.
孫的最大值是乎
2
(2)?-?xjl+y=,x2(1+y2)=』2/(了)三2/盛y2=&
當(dāng)且僅當(dāng)2%2=1+y2即%=Ly=1時,等號成立.
%J1+y2的最大值是魚.
-元二次不等式的解法一。|
1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知不等式a/+ft%+2>0的解集為{%|—1V%<2},則不等式2/+bx+
a<0的解集為()
A.[%|—1<x<B.{%[%<—1或%>1}
C.{%|—2<x<1]D.{x\x<—2或%>1]
【解題思路】根據(jù)不等式。/+力%+2>0的解集求出。,b,代入不等式2%2+故+。<0中,化簡求出不
等式的解集.
【解答過程】解:因為不等式"2+力%+2>0的解集為{%|-1<%V2},
ax2+b%+2=0的兩根為—1,2,且a<0,即—1+2=(―1)X2=-,解得a=-1,b=1,
aa
則不等式可化為2/+%—1<0,解得—1<久<],則不等式2%2++Q<0的解集為{%|—1<%v
故選:A.
2.(2023上?山東荷澤?高一??计谀?若力>1,則關(guān)于%的不等式(t—%)(%—{)>0的解集是()
A.|<x<tjB.{%[%<}或第>1}C.{%[%<「或%>:}D.^x\t<%<1j
【解題思路】首先根據(jù)不等式的性質(zhì)可得:<3進而將不等式轉(zhuǎn)化為(%-。-{JV0,求解即可得出結(jié)
果.
【解答過程】因為"(="產(chǎn)2,t>i,所以一ro,所以七>也
原不等式(t一%)(%-3>0可化為所以(%-t)(%-:)<0,解得:<x<t.
所以,不等式住一%)(第一3>0的解集為卜|十V%<tj.
故選:A.
3.(2023上?內(nèi)蒙古赤峰?高一統(tǒng)考期末)解下列不等式:
(1)2/+5久一3<0;
⑵—3久2+6x<2;
(3)—<1;
(4)(x—l)(x—2)<x(2x—5)+3
【解題思路】(1)先因式分解,然后直接求解即可;
(2)利用求根公式即可求解不等式;
(3)分類討論,將分式不等式變?yōu)檎讲坏仁角蠼猓?/p>
(4)先整理,然后直接求解即可.
【解答過程】(1)2x2+5X-3<0,
(2%-1)(%+3)<0,
(2)v—3x2+6x<2,
???3x2—6%+2>0,
解得%<1—當(dāng)或x>1+苧;
即不等式的解集為(一8,1-4]U[1+'+8);
(3)VX—32
,fx+5<|(%-3)或卜+5>|(%-3)
Ix—3>01%—3<0
解得一13<%<3,
即不等式的解集為[-13,3);
(4)(x-1)(%—2)<x(2x—5)+3,
整理得/-2x+1>0,
解得久豐1,
即不等式的解集為(一8,1)U(1,+8).
4.(2023上?河北承德?高一??计谥?已知不等式a/+(1+2a)久+2<0.
(1)若a=-2,解不等式a/+(1+2d)x+2<0.
(2)當(dāng)a>0時,求關(guān)于x的不等式a久2+(1+2a)x+2<0的解集.
【解題思路】根據(jù)十字相乘,對不等式進行因式分解,計算對應(yīng)方程的根,通過根的大小比較,確定解的
范圍即可.
【解答過程】(1)當(dāng)a=—2時,代入不等式得—2/—3X+2<0,
整理式子(—2x+l)(x+2)<0,
所以不等式的解集為:(―8,—2)UC,+8).
(2)當(dāng)a=0時,代入不等式得x+2<0,解得x<-2.
當(dāng)a>0時,不等式整理得(<2久+l)(x+2)<0,對應(yīng)得方程(ax+1)(久+2)=0,有兩個根尤=一2或無=-2
a
所以對兩根大小進行討論:
當(dāng)—2<—:,即時,不等式的解集為:(—2,—:).
當(dāng)—2=—士即a=;時,不等式的解集為:0.
a2
當(dāng)—2>—工,即0<a<;時,不等式的解集為:(—工,—2).
綜上所述:當(dāng)a=0時,不等式的解集為:(-8,-2).
當(dāng)0<a<用寸,不等式的解集為:
當(dāng)a=4時,不等式的解集為:0.
當(dāng)a>弼,不等式的解集為:(-2,-i).
2\a/
題型7
1.(2023?全國?高一課堂例題)不等式a——/)%+c>。的解集為{%|—2<%<1},則函數(shù)y=ax2—bx+c
的圖象大致為()
【解題思路】根據(jù)題意,可得方程。%2一塊+。=0的兩個根為i=-2和%=1,且Q<0,結(jié)合二次方程根與
系數(shù)的關(guān)系得到。、氏c的關(guān)系,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【解答過程】因為a/-fa%+c>0的解集為{%[-2<%<1},
所以方程。%2—1)x+c=0的兩根分別為—2和1,且a<0,
則-2+1=—a,變形可得(b~—a
(-2)x1-(c=—2a,
a
故函數(shù)y=ax2-bx+c=ax2+ax—2a=a(%+2)(%—1)的圖象開口向下,
且與x軸的交點坐標(biāo)為(1,0)和(-2,0),故A選項的圖象符合.
故選:A.
2.(2023上?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí))二次方程a/++c=0(a>0)的兩根為2,-3,那么關(guān)于黑的
不等式a/+ft%+c>0的解集為()
A.[x\x>3或%<—2}B.{x\x>2或%<—3}
C.{x|-2<%<3}D.{x\—3<x<2]
2
【解題思路】根據(jù)a>0,確定二次函數(shù)y=ax+b%+c的圖象開口方向,再由二次方程Q/+入%+。=
0(。>0)的兩根為2,-3,寫出不等式的解集.
【解答過程】因為二次方程a/+fax+c=0(a>0)的兩根為2,-3,
又二次函數(shù)y=ax2+b%+c的圖象開口向上,
所以不等式a%2+力%+c>0的解集為{汽>2或%V—3),
故選:B.
3.(2023上?山西臨汾?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知二次函數(shù)y=%2-(a-1)%-a-1的圖象與l軸交于
A(%i,0),8(%2,0)兩點.
(1)當(dāng)a=3時,求媚+好的值;
⑵求關(guān)于x的不等式y(tǒng)+1>0的解集.
【解題思路】(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得/+%2=2,%i%2=-4,再利用完全平方公式的變形求解;
(2)討論兩根大小求解一元二次不等式.
【解答過程】(1)當(dāng)a=3時,y=/一2%-4.
由題意可知%i,%2是方程%2-2%-4=0的兩個不同實根,則%1+冷=2,%1%2=一4,
22
故好+x2=(%i+%2)—2%I%2=2—2X(—4)=12.
(2)不等式y(tǒng)+1>0可轉(zhuǎn)化為(%—a)(%+1)>0.
當(dāng)a>一1時,不等式y(tǒng)>1的解集是{%,<-1或%>a};
當(dāng)a=-l時,不等式y(tǒng)Z1的解集是{%|%ER};
當(dāng)a<一1時,不等式y(tǒng)>1的解集是{%,<a或汽>-1}.
4.(2023上?江西萍鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末)已知二次函數(shù)/(%)滿足/(0)=0,請從下列①和②兩個條件中選一
個作為已知條件,完成下面問題.
①f(%+2)=/(%+1)+2x+1;②不等式/(=<x+4的解集為(-1,4).
(1)求/(%)的解析式;
⑵若f(%)在[-1,詞上的值域為求實數(shù)ZH的取值范圍.
【解題思路】(1)若選擇①,設(shè)/(%)=a%2+b%+c(a00),根據(jù)條件代入列出關(guān)系式,求解即可;若選
擇②,設(shè)f(%)=ax2+bx+c(aW0),原題可轉(zhuǎn)化為已知一元二次不等式的解集求系數(shù),根據(jù)一元二次方
程與不等式的關(guān)系即可得出答案.
(2)由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【解答過程】(1)設(shè)/(%)=Cl/+5%+。0),由f(0)=0得,C=0,即/(%)=a/+W0),
若選擇①:貝!Ja(%+2)2+b(x4-2)=a(x+l)2+b(x+1)+2%+1,
BP2ax+3a+b=2%+1,
貝U2a=2,3Q+b=1,解得a=1,b=-2,即f(%)=x2-2x;
若選擇②:則不等式a/+(b—l)x—4<0的解集為(一1,4),即a>0,且方程a/+(b—l)x—4=0的兩
根為-1和4,
貝!](-1)+4=一等,(-1)x4=?,解得a=1,b=-2,即/(%)=/一2%;
(2)由(1)知,函數(shù)/(%)="—2%開口向上,
對稱軸為直線%=1,且f(l)=一1,/(—1)=3,
若/(%)在[-1,前上的值域為[-1,3],則血>1,
令/一2%=3,解得%=-1或%=3,根據(jù)二次函數(shù)的圖象知,m<3,
綜上所述:實數(shù)m的取值范圍為[1,3].
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