2024-2025學(xué)年滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末沖刺復(fù)習(xí)：拋物線的平移、對(duì)稱變換（原卷版）

專題01拋物線的平移、對(duì)稱變換

目錄

解題知識(shí)必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................4

類型一、拋物線上下平移..........................................................4

類型二、拋物線左右平移..........................................................5

類型三、拋物線沿傾斜方向平移...................................................6

類型四、沿x軸翻折..............................................................7

類型五、沿y軸翻折..............................................................8

類型六、旋轉(zhuǎn)....................................................................9

壓軸題能力測(cè)評(píng).................................................................10

“解題知識(shí)必備X

1.y=a/的圖像和性質(zhì)

。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸，蜩

久>0時(shí)，y隨%的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x的增大而減

a>0向上（°，°）y軸

小；久=。時(shí)，y有最小值0.

久>0時(shí)，y隨%的增大而減小；x<0時(shí)，y隨x的增大而增

a<0向下（°，°）y軸

大；X=。時(shí)，y有最大值。.

2.y=ax2+c的圖像和性質(zhì)

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸

%>0時(shí)，y隨%的增大而增大；%<0時(shí)，y隨工的增大而減

a>0向上（°，c）y軸

?。?=。時(shí),y有最小值c.

%>0時(shí)，y隨%的增大而減??；％<0時(shí)，y隨%的增大而增

a<0向下（°，c）y軸

大；％=0時(shí)，y有最大值c.

3y=a(x—/i)2的圖像和性質(zhì)

開口方

a的符號(hào)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向

%＞力時(shí),y隨%的增大而增大；》＜力時(shí)，y隨%的增大而減??；

a>0向上G，°)X=h

%=N時(shí)，y有最小值。.

%＞力時(shí),y隨%的增大而減小；》＜力時(shí)，y隨%的增大而增大；

a<0向下R，°)X=h

%=1時(shí)，y有最大值。.

開口方

a的符號(hào)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向

%〉力時(shí)，y隨%的增大而增大;%＜力時(shí)，y隨%的增大而減??；

a>0向上(力，°)X=h

x=為時(shí)，y有最小值0.

%/時(shí)，y隨%的增大而減小；％V%時(shí)，y隨%的增大而增大；

a<0向下a，°)X=h

%=為時(shí)，y有最大值0.

4y=。(霓一①2+々的圖像和性質(zhì)

開口方對(duì)稱

a的符號(hào)頂點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)

向軸

%>/時(shí)，y隨%的增大而增大；》<力時(shí)，y隨X的增大而

a>0向上,k)X=h

減?。粁=/時(shí)，y有最小值々.

X>力時(shí),y隨X的增大而減??；X<力時(shí),y隨X的增大而

a<0向下(//fc)X=h

增大；比=N時(shí)，y有最大值k.

5二次函數(shù)丫=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

2

用配方法可化成：y=a(%-%)+k的形式，其中』,k=爺土.

\/2a4a

二次函數(shù)卜=研+6*+《(awO):

2

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2，4a7b),

2a4a

對(duì)稱軸直線x=-2，

2a

二次函數(shù)〃=am+bx+c(a/0)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=a/+6x+c(a/0)的開口向上,

x<-"時(shí)，_/隨x的增大而減??；

x>-標(biāo)時(shí)，隨X的增大而增大；

2

x=-_L時(shí)，JZ取得最小值4ac-b,即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn).

2a4a

②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線片a層+6x+c(a/0)的開口向下，

x<-或-時(shí)，p隨x的增大而增大；

X>-與時(shí)，?7隨X的增大而減??；

2

%=-2時(shí)，J取得最大值“a”b,即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).

2a4a

③拋物線y=a/+bx+c(a/0)的圖象可由拋物線y=a*的圖象向右或向左平移|一旦|個(gè)單位，再向上或

向下平移1*1個(gè)單位得到的.

X壓軸題型講練??

類型一、拋物線上下平移

（0,4）,（5,4）.

（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線》=；

（2）當(dāng)。=1時(shí)，將拋物線向上平移左化＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后與線段MN僅有一個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是.

【變式訓(xùn)練11對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)相＞0,對(duì)于任意的函數(shù)值都滿足f/VyVm,

則稱這個(gè)函數(shù)是專務(wù)明藜，在所有滿足條件的機(jī)中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值.例如，如圖中的函

數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是L將函數(shù)y=-x2+l（-2＜x〈rjZ0）的圖象向上平移/個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊

95

界值〃滿足是時(shí)，則，的取值范圍是____.

42

【變式訓(xùn)練2］.如圖，拋物線〉=尤2-1與y軸交于點(diǎn)P,與X軸正半軸交于點(diǎn)A,將拋物線向上平移2個(gè)

單位長(zhǎng)度,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，則拋物線上段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為—

【變式訓(xùn)練3】.設(shè)拋物線>=/+（。+1）》+。，其中“為實(shí)數(shù).

（1）不論。為何值，該拋物線必經(jīng)過一定點(diǎn)—；

（2）將拋物線>=/+（。+1）龍+。向上平移2個(gè)單位，所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是

類型二、拋物線左右平移

向上（無>0）［或向下GKO）］平移個(gè)單位

向右（〃>0）或向右（〃>0）或

向左（〃<0）平向左（尿0）平

移防I個(gè)單位移％I個(gè)單位

W上（4>0）［或向下（M0）］平移出個(gè)單位

y=a(x-h)y=a(x-h)2+k

例.如圖，拋物線>=-/+12%-35與x軸交于42兩點(diǎn)，把拋物線在無軸及其上方的部分記作C］,將G

向左平移得到Q,G與x軸交于2,D兩點(diǎn)，若直線>=-彳+7%與G，。2共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則相的取

【變式訓(xùn)練2】.若把拋物線y=a(尤-4)2向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線y=-3(尤-切2,且知拋物線

y=a(x-4)2的頂點(diǎn)為A,且與丫軸交于點(diǎn)B,拋物線y=-3(x-〃)2的頂點(diǎn)為“，則<“<?=.

【變式訓(xùn)練3】.已知二次函數(shù)、=加+區(qū)+c("0)的圖象與％軸的交點(diǎn)為(-3,0),(6,0),點(diǎn)M在函數(shù)y=3x

的圖象上.若點(diǎn)M向左平移機(jī)⑺>。)個(gè)單位得加1，點(diǎn)/向右平移(切+6)(m>0)個(gè)單位得/2,當(dāng)點(diǎn)加”〃2

都落在二次函數(shù)的圖象上時(shí)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

類型三、拋物線沿傾斜方向平移

向上(％>0)［或向下(％<0)］平移個(gè)單位

y=ax~^-k

向右(人>0)或向右(a>0)或

向左(M0)平向左("0)平

移|〃|個(gè)單位移I力I個(gè)單位

位

向1:(在>0)［或向下(M0)］平移1后/單位

y=a(x-h)2y=a(x-A)2+k

例.將二次函數(shù)y=/+2x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的二次函數(shù)的

圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

【變式訓(xùn)練1】.把拋物線y=/+6x+c的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析

式為，=*2-2了+3,貝!]Z?+c=

【變式訓(xùn)練2】.將二次函數(shù)y=-Cr-左)2+4+1的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，頂點(diǎn)

恰好在直線y=2x+l上，則左的值為.

【變式訓(xùn)練3】.已知將二次函數(shù)y=/+法+。的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得圖象

的解析式為y=*-4x-5,則力=,C=.

類型四、沿x軸翻折

二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：

①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；

②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；

③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡(jiǎn)易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可

能性;

④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，求得題目中需要求解的值。

例.函數(shù)y=|以2+bx+c|(a>0,6?-4ac>0)的圖象是由函數(shù)y=at?+bx+c(a>0,b2-4ac>0)的圖象X軸上

方部分不變，尤軸下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是

①2a+A=0；②c=3；③必c>0；④3a+c=0；⑤將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交

點(diǎn).

【變式訓(xùn)練將拋物線y=2(尤+2)2-5向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，再沿x軸翻折，則變換后所得拋物

線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

【變式訓(xùn)練2].如圖，將二次函數(shù)廣-(x-2)2+4(A-<4)的圖象沿直線x=4翻折，翻折前后的圖象組成一個(gè)

新圖象若直線y=6和圖象M有四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，b的取值范圍是.

【變式訓(xùn)練3】.已知拋物線C°:y=--+2x+l.

(1)將C。向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)G的解析式為

(2)將C。沿x軸翻折得到函數(shù)G的解析式為.

(3)將C。沿>軸翻折得到函數(shù)C3的解析式為.

類型五、沿y軸翻折

二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：

①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；

②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；

③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡(jiǎn)易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可

能性；

④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，求得題目中需要求解的值。

例.將拋物線y=x2-6X+7沿y軸翻折，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式是(~)-

A.y=-x2+6x-l1B.y=x2+6x+7

C.y=-x2+6x+7D.y=x2-6x+ll

【變式訓(xùn)練11關(guān)于下列二次函數(shù)圖象之間的變換，敘述錯(cuò)誤的是()

A.將v=-2x2+1的圖象向下平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=-2x2-2的圖象

B.將y=-2(x-1)2的圖象向左平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=-2(x+2)2的圖象

C.將y=-2x2的圖象沿x軸翻折得到y(tǒng)=2x2的圖象

D.將y=-2(x-1)2+1的圖象沿y軸翻折得到y(tǒng)=-2(x+1)2-1的圖象

【變式訓(xùn)練2】.已知拋物線的解析式為y=6Z?+法則下列說法中錯(cuò)誤的是()

A.若將該拋物線沿，軸平移，則々人的值不變B.若將該拋物線沿x軸平移，貝U。的值不變

C.若將該拋物線沿，軸翻折，則。的值不變D.若將該拋物線沿x軸翻折，則。的值不變

【變式訓(xùn)練3】.已知拋物線的解析式為曠=辦2+云+跳。*0）,則下列說法中正確的是（）

A.將圖象沿y軸平移，則a,b的值不變B.將圖象沿x軸平移，則。的值不變

C.將圖象沿y軸翻折，則a,c的值不變D.將圖象沿x軸翻折，則6的值不變

類型六、旋轉(zhuǎn)

變換前變換方式變換后口訣

繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào)，h、k均不變

y=a(x-h)2+k

繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)

例.將拋物線y=Y-2尤+3繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后的圖象的解析式為.

【變式訓(xùn)練拋物線產(chǎn)2尤2-4廠5的圖象先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，再把拋物線繞頂點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)180。，得到的新圖象的解析式為.

【變式訓(xùn)練2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線＞=\（犬-4）一+2可以看作是拋物線y尤2+2經(jīng)

過若干次圖形的變化（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由拋物線y=3/+2得到拋物線

10

7=-—(^-4)+2的過程:

【變式訓(xùn)練3].如圖，一段拋物線：y=-x(x—3)(0<x<3),記為Ci,它與x軸交于點(diǎn)O,A/；將Ci繞點(diǎn)

A旋轉(zhuǎn)180。得C2,交x軸于點(diǎn)4;將C2繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180。得C3,交無軸于點(diǎn)A3；……如此進(jìn)行下去,直至

得C2019.若尸(m,2)在第2019段拋物線C2019上，則"”.

”壓軸能力測(cè)評(píng)“

1.將拋物線y=Y向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的表達(dá)式為()

A.y=(x+2)2+3B.y=(x+2)~-3

C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3

2.將拋物線y=2(x+l)2-3向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位所得到的拋物線解析式為()

A.y=2(x+4)2-4B.y=2(x+4)2-2

C.y=2(x-l)2-2D.y=2(x-l)2-4

3.函數(shù)y=+>0,62-4ac>。)的圖象是由函數(shù)y=G?+bx+c(^a>O,t>2-4ac>0)的圖象x軸上

方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

①2a+8=0；②c=3；③Hc>0；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn)

A.①②B.①③C.①③④D.②③

2

4.函數(shù)y=+6x+c|(。>0,62-4tzc>。)的圖象是由函數(shù)y=依?+hx+c^a>Q^-4?c>0)的圖象x軸上

方部分不變，下方部分沿X軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

①2a+6=0；②c=3；③a6c>0；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn).

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

5.將函數(shù)>=2/的圖像先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，再向上平移2個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位，則所得函數(shù)表達(dá)

式是()

A.y=-2(x+2)2+2B.y=-2(x+2)2+2C.y=-2(x-2)2+2

D.y——2(%+2)2—2

6.在平面直角坐標(biāo)系中，把一條拋物線先繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線

y=爐+5冗+6,則原拋物線的解析式是()

,5、213/5、211

A.y——(%—)-----B.y——(x—)-----

2424

/5”13/5.11

C.y=一(1+—)-----