2024-2025學(xué)年滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末沖刺復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)的六大實際問題（解析版）

專題10反比例函數(shù)的六大實際問題

目錄

解題知識必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................2

類型一、幾何類..................................................................2

類型二、表格類..................................................................9

類型三、圖形類.................................................................17

類型四、探究類.................................................................23

類型五、利潤類.................................................................30

類型六、新定義問題.............................................................34

壓軸能力測評...................................................................43

“解題知識必備??

1幾何類

反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點

坐標(biāo)的計算方法，函數(shù)之間相交的交點的計算方法。

2表格類

解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題.

3圖形類

反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量

之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

4探究類

反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.還能利用圖

像直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問題的一種常用方法.

5利潤類

反比例函數(shù)的利潤問題，往往和二次函數(shù)或者一次函數(shù)結(jié)合，單價、總價、數(shù)量的關(guān)系，以及函數(shù)解析式

的求法，要熟練掌握；同時，一次函數(shù)解析式，分段函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，

綜合性較強，熟練掌握各函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵；表格類問題的利潤一般合理從表格中獲取關(guān)鍵信息列式是

解題的關(guān)鍵.

6新定義問題

弄懂新定義的概念和性質(zhì)是關(guān)鍵。

X壓軸題型講練”

類型一、幾何類

反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點

坐標(biāo)的計算方法，函數(shù)之間相交的交點的計算方法。

例.如圖，一次函數(shù)＞=h+2(左wO)的圖象與反比例函數(shù)y='(〃2片0,尤＞0)的圖象交于點A(2,〃)，

與＞軸交于點8,與x軸交于點c(-4,o).

(1)求左與機的值；

3

(2)P(a,0)為x軸上的一動點，連接3P,若A即的面積為..CBO面積的1，求。的值.

【答案】(1)4=m=6；

(2)°=-10或2.

【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系

數(shù)法，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

(1)把點C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式求出左，再求出點A的坐標(biāo)，把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解

析式中，可得結(jié)論；

(2)根據(jù)以皿=S^ABPfcBP，構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】(1)解：把C(T,O)代入y=履+2,得"=1,

1?

y=-x+2,

把A(2,")代入y=gx+2,得〃=3,

42,3),

把A(2,3)代入y=',得加=6,

X

「?％=—,m=6；

2

(2)解：當(dāng)x=0時，y=2,

???伏0,2),

.P(〃,0)為x軸上的動點，

/.尸C=|a+4|,

=

SMBP=~,PC.OB——x|+41x2=|Q+41,^ACAP5PC,yA=—x|tz+41x3,

1—3

SACAP=S^BP+SACBP，SCO"/X4X2=4,AB尸的面積為二CBO面積的,

33

/.—|a+4|=4x—+|?+4|,

.,.。二-10或2.

【變式訓(xùn)練U如圖，一次函數(shù)乂=◎+方的圖象與反比例函數(shù)%=9的圖象交于點A(l,6)和點3(〃,-2).

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式以及m的值；

⑵根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)x>2時，上的取值范圍;

⑶連接。4、OB,求VAOB的面積？

【答案】⑴一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=2x+4,反比例函數(shù)表達(dá)式%=9;

X

⑵Ovy<3；

⑶S^AOB=8.

k

【分析】(1)把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式>2=勺即可求出反比例函數(shù)的解析式，把8的坐標(biāo)代入

x

求出8的坐標(biāo)，把A3的坐標(biāo)代入一次函數(shù)即可求出函數(shù)的解析式；

(2)首先求出反比例函數(shù)經(jīng)過點(2,3),然后利用圖象求解即可；

(3)求出一次函數(shù)與x軸的交點C的坐標(biāo)，分別求出△AOC和的面積，即可求出答案；

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】(1)把4(1,6)代入反比例函數(shù)%=?得m=6,

團反比例函數(shù)的表達(dá)式是必=，

X

團反比例函數(shù)必=?的圖象過點B(n,-2),

0-2=-,得〃=一3,

n

03,-2),

團一次函數(shù)％=◎+)的圖象過點A(l,6)和點5(—3,—2),

[a+b=6

回《，

[-3a+b=-2

fa=2

解得：,

[6=4

回一次函數(shù)的表達(dá)式是％=2x+4；

(2)當(dāng)x=2時，y=—=3

2x

團反比例函數(shù)經(jīng)過點(2,3)

由圖象可得，當(dāng)x>2時，0<y<3；

(3)如圖，設(shè)一次函數(shù)％=2x+4的圖象與x軸交于點c,

解得x=-2

0C(-2,O),

回OC=2,

團SAOB=SAOC+SBOC=gx2x6+gx2x2=8.

3k

【變式訓(xùn)練2].如圖，直線％=r+4,%=9+b都與雙曲線y」交于點A（l,附，這兩條直線分別與1軸

4x

⑴求為和雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；

k

⑵直接寫出當(dāng)x>0時，不等式-%+4〉一的解集；

x

⑶若點尸在工軸上，連接AP把VABC的面積分成1:3兩部分，求此時點夕的坐標(biāo).

3Q3

【答案】（1）%,y=—；

（2）l<x<3；

⑶或0o].

【分析】（1）把點A（l,〃z）代入X=-x+4,確定A（L3）,分別代入%=：x+b,y=計算即可.

k

（2）首先求出％=-江+4與>=勺相交時兩橫坐標(biāo)分別為1,3,結(jié)合不等式，運用數(shù)形結(jié)合思想求解即可.

X

(3)分SAPB=3SAPC，3sAPB=SAPC計算即可.

【詳解】(1)把點代入M=-x+4,得〃z=_l+4=3,

0A(1,3),

把A(L3)分另I」代入%=[x+b,y=|,得3=：+仇3=；,

9

解得〃=:,左=3,

4

393

回為=片+“>=--

kq

(2)團當(dāng)-x+4=一時，由y=一，

x光

43

回一元+4=一,

x

去分母得_X2+41=3,

團(x—3)(x—1)—0,

k

回％=一工+4與丁=—相交時兩橫坐標(biāo)分別為1,3,

x

根據(jù)圖象可知不等式-x+4>幺的解集是l<x<3.

X

3Q

(3)團直線％=—兀+4,y=：%+：,

44

團5(4,0),C(-3,0),

設(shè)P(見0),貝iJBP=4—m，PC=m+3；

團SAM：SApc-BP：PC,

團AP把VABC的面積分成1:3兩部分，

當(dāng)sAPB=3S"C時，得4_根=3(m+3),

解得加=二，

4

故尸序。:

當(dāng)3sApB=SAPC時，得3(4-機)=(m+3),

9

解得

4

故哈。；

故點的坐標(biāo)為尸［-jo］或尸g，o］.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，數(shù)形結(jié)合確定解析式構(gòu)成不等式的解集，三角形

面積之比，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】.如圖，直線>=工+匕與雙曲線>=：">0)的交點為4(1,0),與X軸的交點為3(-1,0),點C

為雙曲線y=§x>o)上的一點.

(1)求。的值及反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)如圖1,當(dāng)點C的橫坐標(biāo)為4時，判斷△AOC的形狀，并說明理由;

(3)如圖2,當(dāng)NAOC=45。時，求點C的坐標(biāo).

2

【答案】(l)a=2,y=-(x>0)

X

?！魅恕?。為直角三角形，理由見解析

⑶cV6,

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，勾股定理的逆定理，熟練利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利

用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

(1)把鞏-1,0)代入一次函數(shù)，求得一次函數(shù)的解析式，再求出點A坐標(biāo)即可；再將點A坐標(biāo)代入反比例

函數(shù)，即可解答；

(2)求出點C坐標(biāo)，利用勾股定理的逆定理即可判斷△AOC為直角三角形；

(3)過點A做AF垂直。4交射線OC于點尸，過點A做AD垂直，軸交V軸于點D,過點尸做FE垂直AD

交直線AD于點尸，利用全等三角形的性質(zhì)得到點歹的坐標(biāo)，求得。尸的解析式，點C即為反比例函數(shù)與一

次函數(shù)的交點.

【詳解】(1)解：.直線AB過點B(TO),

二.-1+8=0,解得：b=l,

「?直線AB的表達(dá)式為y=%+1.

點A(l,a)在直線A8上，

Q=1+1=2,

，點A的坐標(biāo)為(1,2).

又「雙曲線y=1(x>0)過點A(l,2),

k=1x2=2,

2

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=—?！?).

(2)解：△AOC為直角三角形，理由如下:

?點。在y=*上，且點。的橫坐標(biāo)為4,

x

???點。的縱坐標(biāo)為

2

即點

.-.OA2=(l-0)2+(2-0)2=5,

3=(4一iy+g一=：,

OC?=(4-0)2+&一0)=?,

.-.OA2+AC2=5+—=—=OC2

44

.：AOC為直角三角形；

(3)解：如圖(2),過點A做AF垂直。4交射線OC于點尸，過點A做AD垂直，軸交y軸于點。，過點尸

做FE垂直AD交直線AD于點尸.

AF±OA

.-.ZOAF=90

又iZAOC=45

:.OA=AF

AO_Ly軸，F(xiàn)E1AD

:.ZADO=90=ZAEF

ZDOA+ZOAD=9Q

又?.NQ4月=90

ZDAO+ZEAF=90

.\ZAOD=ZEAF

ADO^AEF(AAS)

:.AE=OD=2,EF=AD=1

?二易得/(3,1),

設(shè)。廠的函數(shù)解析式為y=mc

.,.l=3mBPm=1

二.Ob的函數(shù)解析式為y=gx

,2

y=—

聯(lián)立:，

2]

BP—=—x,x=±^6

x3

x>0

(

即。瓜

類型二、表格類

解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題.

例.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)w標(biāo)的圖象與性質(zhì)進行了探究，請補充完峪

y

r-5

：-4

；-3

\-2-

kl-

45-443T2口0123455

尸2

尸3

尸4

y.

⑴根=_,再根據(jù)表格數(shù)據(jù)，利用描點法在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象;

-5-4-3-20123

x-37

y=—~23m-3-10

X+17~3

⑵結(jié)合函數(shù)的圖象，說出兩條不同類型的性質(zhì)；

①」

②_y=X=—3的圖象是由>4的圖象如何平移得到？

⑶當(dāng)函數(shù)值=>-1時，X的取值范圍是一.

【答案】（1）5,見解析

（2）①函數(shù)圖象為雙曲線；關(guān)于點（-LD中心對稱；②向左平移一個單位，再向上平移一個單位

⑶了<—1或x>1

【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象與幾何變

換，解題的關(guān)鍵是理解題意，數(shù)形結(jié)合解決問題.

（1）把x=-2代入解析式即可求得小的值，利用描點法畫出函數(shù)圖象即可

（2）①根據(jù)圖象解答問題即可；②根據(jù)平移的性質(zhì)解決問題即可.

（3）根據(jù)圖象即可求得.

【詳解】（1）解：把x=—2代入y得，>=二4=5,

x+l-2+1

,'.m=5,

畫出函數(shù)圖象如圖:

(2)解：觀察圖象，

①函數(shù)圖象為雙曲線；關(guān)于點(T」)中心對稱；

故答案為：函數(shù)圖象為雙曲線；關(guān)于點(T/)中心對稱；

②y=匚的圖象是由y=-？的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位得到；

故答案為：向左平移一個單位，再向上平移一個單位；

(3)解：由圖象可知，當(dāng)函數(shù)值=>-1時，x的取值范圍是》<-1或x>l.

X+1

故答案為：X<-1或X>1.

【變式訓(xùn)練1】.為了探索函數(shù)y=x+L(x>0)的圖像與性質(zhì)，我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法.

X

列表：

￡1

X12345

432

17105_5_101726

y2

~422T~4y

描點：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量X的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點，如

圖1所示：

圖1

(1)如圖1,觀察所描出點的分布，用一條光滑曲線將點順次連接起來，作出函數(shù)圖像；

⑵已知點(看,匕)，(4，無)在函數(shù)圖像上，結(jié)合表格和函數(shù)圖像，回答下列問題：

若則若1cAic無2，則

若》尬=1,則%“2(填"或

⑶某農(nóng)戶要建造一個圖2所示的長方體形無蓋水池，其底面積為1平方米，深為1米.已知底面造價為1

千元/平方米，側(cè)面造價為0.5千元/平方米.設(shè)水池底面一邊的長為X米，水池總造價為y千元.

X

圖2

①請寫出y與X的函數(shù)關(guān)系式；

②若該農(nóng)戶預(yù)算不超過5.25千元，則水池底面一邊的長x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?

【答案】⑴見解析

(2)>;<;=

(3)(1)y=l+x+—(x>0)；②：WxW4

【分析】(1)用光滑曲線將點順次連接起來，作出函數(shù)圖像即可;

(2)利用圖像解決問題;

(3)①總造價=底面的造價+側(cè)面的造價，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可;

②轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解決問題.

【詳解】(1)解：函數(shù)圖像如圖：

(2)由圖像可知，

若。y隨x的增大而減小，則%>上;

若1<玉<尤2，y隨x的增大而增大，則以〈必；

若初犯=1,則用，X2互為倒數(shù)，由題意可得y尸為

故答案為：>;V;

(3)(1)y=1+^2x+—jx0.5=1+x+—(x>0)

(2)l+x+-<5.25

X

BPx+-<4.25

X

結(jié)合圖像可得[WxW4.

4

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學(xué)會轉(zhuǎn)化思想.

【變式訓(xùn)練2].如圖，如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=4,AC=3,點尸從點B出發(fā)，沿折線

3

B-C-A運動，當(dāng)它到達(dá)點A時停止，設(shè)點尸運動的路程為龍，點。是射線C4上一點，CQ=~,連接

x

設(shè)%=SAcBQ>%=S4ABP-

8---------1------------1---------r-------■---------1-----------'-----------'-------、

7____]_______I_____1____I____L______I______I____J

6---1----1---------j-------1---------1-----------1-----------1-------1

5---1------------|---------1-------1---------4-----------1-----------1-------4

4—：—

11

3--------r--1---------r---------1-----------1-------1

2；——；——\——?——：——[——1——J

1---；------------]---------r-------'----------1----------1-----------!-------1

????????

012345678\

(1)求出力,力與X的函數(shù)關(guān)系式，并注明X的取值范圍;

(2)補全表格中為的值;

以表中各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點，并在x的取值范圍內(nèi)畫出%的函數(shù)圖象;

⑶在直角坐標(biāo)系內(nèi)直接畫出內(nèi)函數(shù)圖象，結(jié)合％和％的函數(shù)圖象，求出當(dāng)m<%時，尤的取值范圍.

3x

【答案】⑴%=?(0K7),%=,—(0<x<4)

-2x+14(4<x<7)

⑵見解析

⑶2<x<*

2

【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式求解即可;

（2）分別將x=l,x=2,x=3,x=4,x=6代入％=色，求出對應(yīng)y值，即可填表，再描點連線即得出

X

其圖象；

（3）描點連線即可得出為的圖象，再聯(lián)立必，為，求出其交點，根據(jù)求必＜%，即求力圖象在為圖象下

方時工的取值范圍，再結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】（1）解：由題意可得，

3

4Ax—

)BCxCQx6.

x

回點尸從點8出發(fā)，沿折線C-A運動,

0O<^<BC+AC=7,

[?]Ji=—(0<x<7)；

Y.33無

當(dāng)。K4時，％—F，

當(dāng)4K7時，2+14,

3x

(0<x<4)

回％=<2

-2x+14(4<x<7)

(2)解：y1=—(0<x<7),

.??當(dāng)％=1時，y=6；

當(dāng)x=2時，y=3；

當(dāng)x=3時，y=2；

3

當(dāng)X=4時，y=-；

當(dāng)％=6時，y=l；

補全表格中為的值如下:

X12346

2

6321

2

在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點，并在x的取值范圍內(nèi)畫出％的函數(shù)圖象，如圖所示:

則為函數(shù)圖象如圖所示,

解得：％=2或1=—2（舍去）;

當(dāng)9=-2彳+14時,

解得：x==短或彳=上巨（舍去）;

22

則由圖象可得，當(dāng)％%時，X的取值范圍是2＜無＜三巨.

2

【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，利用圖象求不等式的解集.利用

數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】.數(shù)學(xué)興趣小組了解到一款如圖1所示的電子托盤秤，它是通過所稱重物調(diào)節(jié)可變電阻R的

大小，從而改變電路中的電流/,最終通過顯示器顯示物體質(zhì)量.已知可變電阻R（單位ElkQ）與物體質(zhì)量加（單

位團kg）之間的關(guān)系如圖2所示，電流/（單位團mA）與可變電阻R之間關(guān)系為Z=-^-（7?>0）.

R+3

A7/mA

2.25—；--「一；--「工

1.75r--r--i

1.251—r—i—r--1—ir-i—i

100___1__L-_l__U_J__l__4__l__J

0.75—-r-!—!---1--

0.50—…—一一…

0.25--：--r--；--r-y-r-7--：---：

O\123456789R/]^Q

圖1圖2圖3

（1）該小組先探究函數(shù)上0）的圖像與性質(zhì)，并根據(jù)/與R之間關(guān)系得到如下表格:

ZV+3

i?(kQ)01234567

/(mA)21.51.2P0.750.6

①表格中的p=_;

②請在圖3中畫出/=，（RN0）對應(yīng)的函數(shù)圖像；

（2）該小組綜合圖2和圖3發(fā)現(xiàn)，/隨著m的增大而「（填"增大"或"減小"）

⑶若將該款電子秤中的電路電流范圍設(shè)定為0.2</40.4（單位：mA）,判斷該電子托盤秤能否稱出質(zhì)量為

2kg的物體的質(zhì)量？請說明理由.

【答案】⑴1

⑵見解析，減小

⑶不能，理由見解析

【分析】本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式及其應(yīng)用：

（1）①選用相應(yīng)的已知值代入函數(shù)解析式求解即可；②描點，連線得出函數(shù)圖象，

（2）觀察函數(shù)圖象解答即可；

（3）先求出電子稱通過最大電流時的電阻，再求出質(zhì)量與電阻之間的函數(shù)關(guān)系式，代入最大電阻即可得出

電子體重秤可稱的最大質(zhì)量，進而判斷是否能稱出質(zhì)量為2kg的物體的質(zhì)量.

【詳解】（1）①解：=

R+3

當(dāng)R=3時，/=鼻=1網(wǎng)；

②描點，連線，如圖：

(2)觀察圖象可知，電流/隨可變電阻R的增大而減小，可變電阻R隨物體質(zhì)量機的增大而減小,

故電流/隨物體質(zhì)量m的增大而減小，

故答案為：減小；

(3)不能，理由如下：

當(dāng)電流取最大0.4mA時，電子秤所稱重的質(zhì)量最大，此時R接入電阻值最小，

0/?=12(Q),

設(shè)R=km+b,

當(dāng)機=0時，R=24。，代入得：6=24；

當(dāng)〃z=3kg,R=0代入得，3無+24=0,解得，上=—8；

I3R與，〃的關(guān)系式為R=—8〃z+24；

當(dāng)R=12時，12=-8m+24,

解得，機=1.5

即電子體重秤可稱的最大質(zhì)量為加=1.5千克，

所以該電子托盤秤不能稱出質(zhì)量為2kg的物體的質(zhì)量.

類型三、圖形類

反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量

之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

例.某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長溫度為15~2(TC(包含15℃和2CTC)的新品

種，如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y(C)隨時間x(h)變化的函數(shù)圖像，其中48

段是恒溫階段，BC段是雙曲線y=：(x>0)的一部分，請根據(jù)圖中信息解答下列問題:

x/h

(1)求y與尤之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)x=18時，大棚內(nèi)的溫度是否適宜該品種蔬菜的生長？

⑶恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚內(nèi)該品種蔬菜適宜生長溫度的時間為多少？

5x+10(0<x<2)

【答案】⑴尸20(2<X<12)

—(12<x<24)

⑵當(dāng)x=18時，大棚內(nèi)的溫度不適宜該品種蔬菜的生長

⑶恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚內(nèi)該品種蔬菜適宜生長溫度的時間為15小時

【分析】(1)利用待定系數(shù)法分段求解即可；

(2)將x=18代入y=包240求出y的值，比較后可得答案;

x

(3)分別求出y=15時X的值，然后進行計算即可.

【詳解】(1)解：設(shè)0~2h的解析式為y=

/、/、，f2m+n=20

將點(0,10)，(2,20),代入得：〃=10,

fm=5

解得in,

0O~2h的解析式為y=5x+10(0WxW2)；

回A3段大棚內(nèi)溫度>一直不變，恒等于20,

0A3段的解析式為y=20(2<x<12)；

團3C段是雙曲線y=：(%>0)的一部分，經(jīng)過3(12,20),

回20=—,

12

解得左=240,

0BC段的解析式為>=—（12<x<24）；

x

5x+10(0<x<2)

綜上所述，y與x的函數(shù)解析式為：y=20(2<x<12)

—(12<x<24)

240_40

(2)當(dāng)無=18時,

TT-T

40?

團——<15

3

回當(dāng)x=18時，大棚內(nèi)的溫度不適宜該品種蔬菜的生長;

(3)把y=15代入y=5x+10得15=5x+10,

解得：x=l；

才巴y=15代入y=一得15=—,

xx

解得：x=16；

016-1=15（小時），

回恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚內(nèi)該品種蔬菜適宜生長溫度的時間為15小時.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，熟練掌握待定系數(shù)法，求出函數(shù)關(guān)系式

是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練11.某醫(yī)藥企業(yè)幾年前研制并上市一種新的特效藥，銷售部門根據(jù)該藥品過去幾年的銷售數(shù)據(jù)、

同類特效藥的銷售數(shù)據(jù)以及對市場的分析、預(yù)估，繪制了該藥品年銷售量丫（單位：萬盒）隨價格x（單位：

元/盒）變化的大致圖象（圖象由部分雙曲線A3與線段BC組成），如圖所示.該藥品2021年價格為60元/

盒，經(jīng)國家醫(yī)保局與該醫(yī)藥企業(yè)談判，將該藥納入醫(yī)保，2022年價格下調(diào)至30元/盒.但在制藥成本不變

的情況下，當(dāng)年銷售該藥品的利潤還是與2021年相同，根據(jù)已知信息解決下列問題：

（1）求2022年該藥品的年銷售量；

（2）該企業(yè)2023年將使用新研發(fā)的制藥技術(shù)，使制藥成本降低40%.為惠及更多患者，該企業(yè)計劃在2023

年繼續(xù)下調(diào)該藥品的價格，并希望當(dāng)年銷售該藥品的利潤比2022年至少增加2500萬元用于制藥技術(shù)的研

發(fā)，請你為該企業(yè)設(shè)定該藥品價格的范圍，并說明理由.

【答案】⑴700萬盒

⑵該藥品價格x滿足21Wx<30元/盒，見解析

【分析】（1）設(shè)雙曲線43的解析式為丫=勺人二0）,代入點（28,750）,求出解析式，再將x=30代入即可解

答；

（2）設(shè)2021年的制藥成本為。元/盒，由圖象可知，價格為60元/盒時，該藥品的年銷售量為100萬盒，

根據(jù)2022年銷售該藥品的利潤與2021年相同，歹幅700（30-4=100（60-“），求出處根據(jù)2023年該藥

品的價格X430,則年銷售量為可叫萬盒，歹?。莸每墒罚蹮o一25x（l-40%）］z700x（30-25）+2500,即可求

出答案.

k

【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線AB的解析式為y=：（%二。），

由圖可知：反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點（28,750）,

可得左=28x750=21000,

21000

所以y=（0<x<30）

X

所以當(dāng)x=30時，y=30=700；

答：2022年該藥品的年銷售量是700萬盒；

（2）設(shè)2021年的制藥成本為。元/盒，

由圖象可知，價格為60元/盒時，該藥品的年銷售量為100萬盒,

因為2022年銷售該藥品的利潤與2021年相同，

可得700（30-a）=100（60-a）,

化簡得7（30—a）=60—a,

解得a=25,

因為2023年繼續(xù)下調(diào)該藥品的價格，

所以2023年該藥品的價格尤430,則年銷售量為型S萬盒，

X

依題意得［%-25x（1-40%）］>700x（30-25）+2500,

化簡得2上141,

x

因為尤>。，根據(jù)不等式的性質(zhì)，不等式兩邊同乘以正數(shù)工，可得了之21,

所以214x<30,

答：該藥品價格》滿足21Wx<30元/盒.

【點睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元一次不等式的應(yīng)

用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】.實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時間的變化而變化，上課開始時，

學(xué)生興趣激增，中間一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散.學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時間x（分

鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，其中當(dāng)204x445時，圖象是反比例函數(shù)的一部分.

,(指標(biāo))

BC

O102045》（分鐘）

⑴求點C,D所在反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線48的表達(dá)式；

⑵張老師想在數(shù)學(xué)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題，希望學(xué)生注意力指標(biāo)不低于36,那么她最多可以講分

鐘.

【答案】（1），=嗎y=25x+20

(2)18.6

【分析】（1）設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=：，將點C代入確定反比例函數(shù)解析式，然后即可確定。（45,20）,

設(shè)的表達(dá)式為”，利用待定系數(shù)法代入求解即可；

（2）求出當(dāng)y=36時，兩個函數(shù)的值，然后即可求解.

k

【詳解】（1）解：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為

將C（20,45）代入得：左=20*45=900,

當(dāng)x=45時，y=2。,

00(45,20).

04(0,20).

設(shè)的表達(dá)式為,=苻比一”，

將4(0,20),3(10,45)代入,

n=20m=2.5

得:1。利+〃=45,解得

n=20

團y=2.5x+20

(2)當(dāng)y=36時，36=—,解得x=25,

X

36=2.5x+20,解得：x=6.4,

團25—6.4=18.6,

故答案為：18.6.

【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】.某疫苗生產(chǎn)企業(yè)于2021年1月份開始技術(shù)改造，其月生產(chǎn)數(shù)量y(萬支)與月份了之間的

變化如圖所示，技術(shù)改造完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，技術(shù)改造完成后是一次函數(shù)圖象的一部分,

⑴該企業(yè)4月份的生產(chǎn)數(shù)量為多少萬支?

⑵該企業(yè)有幾個月的月生產(chǎn)數(shù)量不超過90萬支?

【答案】⑴該疫苗生產(chǎn)企業(yè)4月份的生產(chǎn)數(shù)量為45萬支

(2)該疫苗生產(chǎn)企業(yè)有6個月的月生產(chǎn)數(shù)量不超過90萬支

【分析】(1)根據(jù)題意和圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出技術(shù)改造完成前對應(yīng)的函數(shù)解析式，然后將x=4代入

求出相應(yīng)的y的值即可;

(2)根據(jù)題意和圖象中的數(shù)據(jù)，可以技術(shù)改造完成后y與x的函數(shù)解析式，然后即可列出相應(yīng)的不等式組,

求解即可，注意尤為正整數(shù).

【詳解】(1)解：當(dāng)14尤W4時，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為＞=勺k,

x

團點(1,180)在該函數(shù)圖象上,

0180=>得上=180,

180

團y=——

X

當(dāng)x=4時，>=理=45,

4

即該疫苗生產(chǎn)企業(yè)4月份的生產(chǎn)數(shù)量為45萬支；

（2）設(shè)技術(shù)改造完成后對應(yīng)的函數(shù)解析式為丁=必+/

回點（4,45）,（5,60）在該函數(shù)圖象上，

[4a+b=45

切，

\5a+b=60

團技術(shù)改造完成后對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=15x-15,

[理V9。

,X，

1515<90

解得2KxW7,

經(jīng)檢驗符合題意，

以為正整數(shù)，

團x=2,3,4,567,

答：該疫苗生產(chǎn)企業(yè)有6個月的月生產(chǎn)數(shù)量不超過90萬支.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想

解答是解答本題的關(guān)鍵.

類型四、探究類

反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.還能利用圖

像直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問題的一種常用方法.

例.心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上

課時，學(xué)生的注意力逐步增強，中間有一段時間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意

力開始分散.經(jīng)過實驗分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、

分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：

01025x

⑴求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系；

(2)開始上課后第5分鐘時與第30分鐘時相比較，何時學(xué)生的注意力更集中？

⑶一道數(shù)學(xué)競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到36,那么經(jīng)過適當(dāng)

安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？說明理由.

2x+20,(0<x<10)

【答案］⑴尸40,(10<x<25)；

(2)第30分鐘注意力更集中;

⑶能達(dá)到，理由見解析.

【分析】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關(guān)系式，從實際意義中找到對應(yīng)的

變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值求算對應(yīng)的函數(shù)值.

(1)分別從圖象中找到其經(jīng)過的點，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式即可；

(2)根據(jù)上題求出的A3和的函數(shù)表達(dá)式，再分別求第5分鐘和第30分鐘的注意力指數(shù)，最后比較判

斷；

(3)分別求出注意力指數(shù)為36時的兩個時間，再將兩時間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能.

【詳解】⑴解：當(dāng)OVxVIO時，設(shè)線段所在的直線的解析式為％=勺+20化H0),

把3(10,40)代入得，勺=2,

回％=2尤+20.

當(dāng)10Vx<25時，%=40,

當(dāng)尤225時，

設(shè)c、。所在雙曲線的解析式為為=+的-0)，

把C(25,40)代入得，^=1000,

2x+20,(0<x<10)

%與x之間的函數(shù)關(guān)系為：7=<40,(10<x<25)；

1000z

------,(<x>25)

(2)當(dāng)x=5時，y=2x5+20=30,

1000_100

當(dāng)尤=30時,~w~~r

回%<%,

回第30分鐘注意力更集中.

(3)能達(dá)到；

令%=36,

036=2x+2O,

回了=8,

令％=36，

“1000

回36=------

x

1000M

0x=------b27.8O

236

027.8-8=19.8>19,

團經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目.

【變式訓(xùn)練模具廠計劃生產(chǎn)面積為4,周長為的矩形模具，對于7"的取值范圍，小亮已經(jīng)能用"代數(shù)"

的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從"圖形"的角度進行探究，過程如下：

(1)建立函數(shù)模型：

設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為x，y,由矩形的面積為4,得孫=4,即》=二；由周長為機，得2(x+y)=加,

即y=-》+￡.滿足要求的(x,y)應(yīng)是兩個函數(shù)圖像在第象限內(nèi)的交點的坐標(biāo).

(2)畫出函數(shù)圖像：

4m

函數(shù)y=—(x>0)的圖像如圖所示，而函數(shù)y=-工+”的圖像可由直線了=一天平移得到.請在同一直角坐標(biāo)

x2

系中直接畫出直線

(3)平移直線,=-工，觀察函數(shù)圖像：

當(dāng)直線平移到與函數(shù)y=d(尤>0)的圖像有唯一交點(2,2)時，寫出周長機的值__________；

X

⑷得出結(jié)論:

若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，求出周長加的取值范圍__________.（直接寫出結(jié)論）

【答案】（1）一

⑵見詳解

（3）8

（4）m>8

【分析】（1）根據(jù)題意可知蒼，都是正數(shù)，即可獲得答案；

（2）結(jié)合題意作出圖形即可；

（3）將點（2,2）代入y=r+￡,求解即可；

rvj

（4）在直線^二-尤+彳平移過程中，可知交點個數(shù)有。個、1個、2個三種情況，滿足題意的是交點個數(shù)為

4m

1個或2個，然后聯(lián)立^=—和y=+u并整理，由一元二次方程的根的判別式求解即可.

x2

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，都是邊長，

回x，y都是正數(shù)，

回點（x,y）在第一象限.

故答案為：一；

（2）圖像如下所示；

可得2=-2+；,

2

解得m=8.

故答案為：8；

（4）在直線y=-尤+￡平移過程中，交點個數(shù)有：0個、1個、2個三種情況,

4H7

聯(lián)立>和y=—x十二并整理，

x2

可得d——mx+4=0，

2

當(dāng)。=((加)2-4、420時，兩個函數(shù)有交點，

2

解得m28或加4-8(不合題意，舍去)，

團周長的取值范圍為帆28.

故答案為：加28.

【點睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征、繪制一次函數(shù)圖像、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜

合應(yīng)用、一元二次方程的根的判別式等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題.

【變式訓(xùn)練2].函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)

圖象，然后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程請結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，畫出函數(shù)丁=-乎7的圖象，

x+4

并探究其性質(zhì).

(1)列表，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；

X

y

⑵觀察函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的命題:

①當(dāng)-24x42時，函數(shù)圖象關(guān)于直線丫=%對稱；

②當(dāng)x=2時，函數(shù)有最小值最小值為一2；

③時，函數(shù)y的值隨尤的增大而減小

其中正確的是(請寫出所有正確命題的序號)

⑶結(jié)合圖象，請直接寫出不等式與v>x的解集

x+4

【答案】⑴見詳解

(2)②③

(3)x<-2或0<尤<2

【分析】（1）利用函數(shù)解析式分別求出X和X對應(yīng)的函數(shù)值；然后利用描點法畫出圖象即可;

（2）觀察圖象可知當(dāng)x<0時，y隨尤值的增大而增大;

（3）利用圖象即可解決問題.

【詳解】（1）列表得:

X-4-3-2-101234

8248_824_8

20-2

y5135-513-5

①當(dāng)-2&正2時，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱；錯誤；

②x=2時，函數(shù)有最小值，最小值為-2；正確；

③時，函數(shù)y的值隨x的增大而減小，正確.

故答案為②③；

Qy

（3）由圖象可知，函數(shù)產(chǎn)--2—~7與直線y=-x的交點為（-2,2）、（0,0）、（2,-2）

尤+4

8x

團不等式>x的解集為尤<-2或0cx<2.

尤2+4

故答案為：x<-2或0cx<2.

【點睛】本題考查函數(shù)圖象和性質(zhì)，能夠從表格中獲取信息，利用描點法畫出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)圖象

解題是關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)>=履（%>。）與反比例函數(shù)>=：的圖象分別交于

A、C兩點，已知點8與點￡）關(guān)于坐標(biāo)原點。成中心對稱，且點B的坐標(biāo)為（利0）.其中根>0.

（1）四邊形A3CD是—.（填寫四邊形ABC。的形狀）

（2）當(dāng)點A的坐