2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)（原卷版）

專題13二次函數(shù)

【專題目錄】

技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關(guān)系

技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型

技巧3：求二次函數(shù)表達(dá)式的常見類型

【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系

【題型】三、二次函數(shù)的對稱性

【題型】四、二次函數(shù)的最值

【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

【題型】六、二次函數(shù)平移問題

【題型】七、二次函數(shù)解決實際問題

【考綱要求】

1、理解二次函數(shù)的有關(guān)概念，會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì).

2、會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸，并能掌握二次函數(shù)圖象的平移.

3、熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關(guān)的實際問題.

【考點總結(jié)】一、二次函數(shù)

一般地，如果y=ax2+bx+c3,b,c是常數(shù)，aWO)那么y叫做x的二次函數(shù).

注意：

二次

(1廠次項系數(shù)aWQ

函數(shù)(2bx2+bx+c必須是整式；

的概念(3人次項可以為零，常數(shù)項也可以為零,一次項和常數(shù)項可以同時為零；

(4)自變量x的取值范圍是全體實數(shù).

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a7^0)

次

一次函數(shù)

函的圖象及

性質(zhì)

數(shù)

L一-A-

/A"

型象

?>o)fe<0)

開口方向開口向上開口向下

直線x=一2直線x=一點

對稱軸

乙d乙cl

b4ac—b2b4ac-b2

頂點坐標(biāo)

2a'4a2a'4a

當(dāng)xV—2時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x<—2時，y隨x的增大而增大；

噌減性

當(dāng)x>—/時，y隨x的增大而增大當(dāng)x>一2時，y隨x的增大而減小

、“b4?曰?..4ac-b2、“bj'曰上4ac-b2

最值當(dāng)X—2a時，y有取小值4a當(dāng)X—2a時，y有取大值4a

【考點總結(jié)】二、二次函數(shù)yaxh2的性質(zhì)

1、拋物線yaxh2的頂點式h,0,對稱軸是平行于y軸的直線xh。

2、當(dāng)a0時，拋物線yaxh2在x軸的上方（除頂點外），它的開口向上,

并且向上無限伸展；

1

11:

當(dāng)a°時，拋物線yaxh2在x軸的下方（除頂點外），它的開口向下，并1

1

且向下無限伸展。L1

\/

/

3、當(dāng)a0時，在對稱軸（xh）的左側(cè)，y隨著x的增大而減??；在對稱軸/

■￥

1-

（Xh）的右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)Xh時，函數(shù)y的值最?。ㄊ莖）；/

1/

當(dāng)a0時，在對稱軸（Xh）的左側(cè)，y隨著x的增大而增大;在對稱軸（Xh）

??

的右側(cè)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)xh時，函數(shù)y的值最大（是0）。1:

4、二次函數(shù)yax卜2與丫ax2的圖像形狀相同，可以看作是拋物線

yax2整體沿x軸平移了個單位（當(dāng)h0時，向右平移四個單位；當(dāng)h0

時，向左平移|h|個單位）得到的。

【考點總結(jié)】三、二次函數(shù)yaxh2k與yax2的關(guān)系

二次函數(shù)丫axh2k與yax2的關(guān)系

①一般地，由yax2的圖像便可得到二次函數(shù)yaxh2k的圖像：yaxh2ka0的

圖像可以看成yax2先沿x軸整體左（右）平移了個單位（當(dāng)h°時，向右平移|川個單位；當(dāng)

h0時，向左平移四個單位），再沿y軸整體上（下）平移了四個單位（當(dāng)k0時，向上平移四

個單位；當(dāng)k0時，向下平移四個單位）。

②因此，二次函數(shù)yaxh2k的圖像是一條拋物線，它的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)與a,h,k

的值有關(guān)

二次函數(shù)yaxh2k的圖像與性質(zhì)

拋物線yaxh2ka0yaxh2ka0

頂點坐標(biāo)h,kh,k

對稱軸直線Xh直線Xh

位置由h和k的符號確定由h和k的符號確定

開口方向向上向下

增減性在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減??；在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增大；

在對稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大。在對稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小。

最值當(dāng)Xh時，最小值為k當(dāng)Xh時，最大值為k

開口大小/越大，開口越小，bl越小，開口越大。

【注意】

二次函數(shù)ax2+bx+c=0

①a決定開口方向及開口大小，這與kax2中的a完全一樣.

a〉0時，拋物線開口向上；a〈0時，拋物線開口向下；a的絕對值越大，開口越小.

①b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線尸ax2+bx+c的對稱軸是直線XA,故：

2a

bb

A.后0時，對稱軸為y軸；B.x—>0（即a,b同號）時，對稱軸在y軸左側(cè)；C.x—<0（即a,b

2a2a

異號）時，對稱軸在y軸右側(cè).口訣：左同右異”）

【技巧歸納】

技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關(guān)系

【類型】一、a與圖像的關(guān)系

1.如圖，四個函數(shù)■的圖像分別對應(yīng)的是①y=ax2；②丫^*?；③丫…乂?；@y=dx2,則a,b,c,d的大小

關(guān)系為（）

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.b>a>d>c

【類型】二、b與圖像的關(guān)系

2.若二次函數(shù)y=3x2+（b-3）x-4的圖像如圖所示，則b的值是（）

3.當(dāng)拋物線y=x2—nx+2的對稱軸是y軸時，n0；當(dāng)對稱軸在y軸左側(cè)時，n0；當(dāng)對稱軸在

y軸右側(cè)時，n0.填域i）

【類型】三、c與圖像的關(guān)系

4.下列拋物線可能是y=ax2+bx的圖像的是（）

5.若將拋物線y=ax2+bx+c—3向上平移4個單位長度后得到的圖像如圖所示，則c=

【類型】四、a,b與圖像的關(guān)系

6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則卜列說法中不正確的是（

A.a>0B.b<0C.3a+b>0D.b>—2a-

【類型】五、a,c與圖像的關(guān)系

7.二次函數(shù)y=（3—m）x2—x+n+5的圖像如圖所示，試求：（m—3）2+^^—|m+n的值.

【類型】六、b,c與圖像的關(guān)系

8.【中考立盤水】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，貝（

A.b>0,c>0B.b>0,c<0C.b<0,c<0D.b<0,c>0

【類型】七、a,b,c與圖像的關(guān)系

9.在二次函數(shù)y.=ax2+bx+c中，a<0,b>0,c<0,則符合條件的圖像是（）

10.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW瞰!圖象如圖所示，給出以下四個,結(jié)論:

①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac—b2<0.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型

【類型】一、根據(jù)拋物線的特征確定a,b,c及與其有關(guān)的代數(shù)式的符號

1.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW瞰圖像與x軸交于A,B兩點，與y軸「交于點C,且0A=0C.則下

列結(jié)論：

卜2—4App

①abc<0；(2)-7—>0；③ac—b+l=0；④0A?0B=一；.其中正確結(jié)論的個數(shù)懸()

Cda

A.4B.3C.2D.1

【類型】二、利用二次函數(shù)的圖像比較大小

2.二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像如圖，若點A(x/y),B(x2，y2)在此函數(shù)圖像上，且x/x/l,則丫］

與丫2的大小關(guān)系是()

A.y】W%B,Y1<y2C,D.y/y?

【類型】三、利用二次函數(shù)的圖像求方程的解或不等式的解集

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW瞰圖像如圖所示，則當(dāng)函數(shù)值y>0>時，x的取值范圍是()

A.x<—1B.x>3C.—l<x<3D.x<—1或x>3

4.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像經(jīng)過點A(—1,0),B(3,0)r,那么一元二次方程ax2+bx=0的根

【類型】四、根據(jù)拋物線的特征確定其他函數(shù)的圖像

6.如圖，A(—1,0),B(2,—3)兩點在一次函數(shù)y】=—x+m與二次函數(shù)y2=ax2+bx—3的圖像上.

(1球m的值和二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2股二次函數(shù)的圖像交y軸于點C,求4ABC的面積.

技巧3：求二次函數(shù)表達(dá)式的常見類型

【類型】一、由函數(shù)的基本形式求表達(dá)式

題型1：利用一般式求二次函數(shù)表達(dá)式

1.已知二次函數(shù)y=x2+b,x+c的圖像與y軸交于點C(0,—6),與x軸的一個交點坐標(biāo)是A(—2,0).

(1球二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出頂點D的坐標(biāo)；

5

(2聘二次函數(shù)的圖像沿x軸向左平移/個單位長度，當(dāng)y〈0時，求x的取值范圍.

題型2：利用頂點式求二次函數(shù)表達(dá)式

2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)x=l時，有最大值8,其圖像的形狀、開口方向與拋物線y=-2x2相

同，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式是()

A.y=-2x2—x+3B.y=—2xz+4

C.y=-2X2+4X+8D.y=-2xz+4x+6

3.已知某個二次函數(shù)的最大值是2,圖像頂點在直線y=x+l上，并且圖像經(jīng)過點(3,-6).求這個二次函

數(shù)的表達(dá)式.

題型3：利用交點式求二次函數(shù)表達(dá)式

4.已知拋物線與x軸交于A(l,0),B(—4,0)兩點，與y軸交于點C,且AB=BC,求此拋物線對應(yīng)的函

數(shù)表達(dá)式.

題型4：利用平移法求二次函數(shù)表達(dá)式

5.把二次函數(shù)y=2x2的圖像向左平移1個.單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的表達(dá)式是

6.已知y=x+bx+c的圖像向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的圖像的表達(dá)式為y

=x2—2x~3.

(l)b=,c=；

(2求原函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)；

(3球兩個圖像頂點之間的距離.

題型5：利用對稱軸法求二次函數(shù)表達(dá)式

7.如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c的對稱軸為直線x=l,且與x軸的一個交點為(3,0),那么它對應(yīng)的

函數(shù)表達(dá)式是_______________一

8.如圖，拋物線與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點，點A的坐標(biāo)為（20）,點C的坐標(biāo)為（0,3）,

拋物線的對稱軸是直線x=—今

（1球拋物線的表達(dá)式；

（2）M是線段AB上的任意一點，當(dāng)△MBC為等腰三角形時，求點M的坐標(biāo).

題型6：靈活運(yùn)用方法求二次函數(shù)的表達(dá)式

9.已知拋物線的頂點坐標(biāo)為（一2,4）,且與x軸的一個交點坐標(biāo)為（1,0）,求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

【類型】二、由函數(shù)圖像中的信息求表達(dá)式

10.如圖，是某個二次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知，該二次函數(shù)的表達(dá)式是（）

11.某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等.如圖中的折線ABD,線段CD分別表示該產(chǎn)品

每千克生產(chǎn)成本X（單位：元），銷售價丫2（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系.

（1）請解釋圖中點D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實際意義；

（2球線段AB所表不的刀與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（3當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

【類型】三、由表格信息求表達(dá)式

12.若y=ax2+bx+c,則由表格中信息可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（）

X-101

ax21

ax2+bx+c83

A.尸X2—4x+3B.y=x2—3x+4C.y=x2—3x+3D.y=x2—4x+8

13.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a2的變量x和函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表:

_3_113

X???-i01???

一2~222

_5_9_57

.??-2-20???

y一a~4~44

則該二次函數(shù)的表達(dá)式為.

【類型】四、幾何應(yīng)用中求二次函數(shù)的表達(dá)式

14.某校校園內(nèi)有一個大正方形花壇，如圖甲所示，它由四個邊長為3米的小正方形組成，且每個小正方

形的種植方案相同.其中的一個小正方形ABCD如圖乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五邊形EFBCG

區(qū)域上種植花卉，則大正方形花壇種植花卉的面積y與x的函數(shù)圖像大致是（）

【類型】五、實際問題中求二次函數(shù)表達(dá)式

15.在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角兩墻足夠長），用28nl長的籬笆圍成一

個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB,BC兩邊），設(shè)AB=xm,花園的面積為Sm2.

（1球S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2港在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是151n和6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)給邊界，不考

慮樹的粗細(xì)），求花園面積的最大值.

【題型講解】

【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

例1、二次函數(shù)yax2bxC的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（）

A.若2,y,5,y2是圖象上的兩點，則iY2

B.3ac0

C.方程ax2bxc2有兩個不相等的實數(shù)根

D.當(dāng)X0時，y隨x的增大而減小

【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系

例2、如圖，拋物線y=ax2+bx+c（aN0與x軸交于點（4,0）,其對稱軸為直線x=l,結(jié)合圖象給出下列

結(jié)論：

?c<0；

①電-2b+c>0；

3x>2時，y隨x的增大而增大；

碇于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.

其中正確的結(jié)論有（）

x

A.1個B.2個C.3個D.4個

【題型】三、二次函數(shù)的對稱性

例3、拋物線yax2bxc（a0）與x軸的一個交點坐標(biāo)為（1,0）,對稱軸是直線x1,其部分圖象如

圖所示，則此拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)是（）

75

A.-,0B.（3,0）C,0D.（2,0）

【題型】四、二次函數(shù)的最值

例4、點P限,n）在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y=x2+ax+4的圖象上.則m-n的最大值等于（）

151517

A.——B.4C.——D.--

444

【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

例5、已知二次函數(shù)yaxzbxc（a,b,c是常數(shù)，a0）的丫與x的部分對應(yīng)值如下表:

X54202

y60646

下列結(jié)論：

①a0；

d&x2時，函數(shù)最小值為6;

①若點&彳，點8,y2在二次函數(shù)圖象上，則*Y2；

M程ax2bxc5有兩個不相等的實數(shù)根.

其中，正確結(jié)論的序號是.（把所有正確結(jié)論的序號都填上）

【題型】六、二次函數(shù)平移問題

例6、把函數(shù)y（x1）22的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）

A.yx22B.y（x1）21

C.y（x2）22D,y（x1）23

【題型】七、二次函數(shù)解決實際問題

例7、如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形空地ABCD,為美化環(huán)境，用總長為100m的籬笆

圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計）.

（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE=3BE；

（2）在（1）的條件下，設(shè)BC的長度為xm,矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出自變量x的取值范圍.

〃〃/〃〃/〃〃〃〃/〃

A\H\p

"----------------G---------------N

E----------------------------------F

B----------------------------------C

二次函數(shù)（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.（2022廣東廣州一模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象開口向下，且經(jīng)過第三象限的點P.若點P的

橫坐標(biāo)為-1,則一次函數(shù)y=（a-b）x+b的圖象大致是（）

2.（2022山東煙臺匚模）二次函數(shù)產(chǎn)ax2+bx+c?#0的圖象如圖所示,對稱軸為直線x=l.下列結(jié)論:?bc〉0；

0^（3y）,（4丫2）在拋物線上，則葉〈丫2；1缸3時，y<0時；①出+c〉。.其中正確的有（）

C.①①①D.①①

3.（2022河南新鄉(xiāng)匚模）二次函數(shù)尸X2+4X+7的頂點坐標(biāo)和對稱軸分別是（）

A.2,11,x=2B.2,3,x=2C.2,11,x=—2D.2,3,x=2

1

4.（2022黑龍江哈爾濱三模）將拋物線y-X2向左平移2個單位長度,在向上平移1個單位長度，則平

2

移后得到的拋物線解析式是（）.

1

A.yx221B.y-x221

22

11x221

c.yx221D.y

22

5.（2022福建福州一模）下列y關(guān)于x的函數(shù)中,是二次函數(shù)的是（)

A.y222xB.y5x2

1

C.y2x23x3+1D.y

X2

二、填空題

6.（2022河南駐馬店市第二初級中學(xué)模擬預(yù)測）觀察函數(shù)｛X1與y2xz1的圖像，寫出一條它們

的共同特征:

7.（2022甘肅一模）已知拋物線yX2bxc的部分圖像如圖所示，則方程x2bxc0的解是

三、解答題

8.（2022浙江麗水一模）如圖，拋物線yax2bx3與x軸相交于點A（1,0）B⑶0）,與y軸相交于點C.

（2）點Mx,y,Nx,y是拋物線上不同的兩點.

1122

?^yy,求x,x之間的數(shù)量關(guān)系.

1212

@若Xx2xx,求yy的最小值.

121212

二次函數(shù)（提升測評）

一、單選題

1.（2022內(nèi)蒙古包頭市第三十五中學(xué)三模）已知二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)

論：①abc0；①4a2bc0；①jac；①Bac；①abm(amb）（m1,m為實數(shù)），其中正確

3個C.4個D.5個

2.（2022廣東揭陽市實驗中學(xué)模擬預(yù)測）在二次函數(shù)yX24xk的圖像上有點

-5,「-3,y,2,y,則