2023年銳角三角函數(shù)知識點總結(jié)與復(fù)習(xí)

銳角三角函數(shù)知識點總結(jié)與復(fù)習(xí)

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊。、。的平方和等于斜邊c的平方。a2+b2^c2

2、如下圖，在RtZ\ABC中，NC為直角，

則ZA的銳角三角函數(shù)為（NA可換成NB）：

邳訪

X定義體現(xiàn)式取值范圍關(guān)系

..ZA的對邊.Aa0<sinA<l

正弦sinA=-----------s-inA=一sinA=cosB

斜邊c為銳角)

(NAcosA=sinB

,的鄰邊,b0<cosA<l22

余弦cosA=---——-----cosA=—sinA+cosA=1

斜邊c(NA為銳角)

,乙4的對邊,atanA>0tanA=cotB

正切tanA=-----一人、,tanA=—

NA的鄰邊b（NA為銳角）cotA=tanB

tanA=’(倒數(shù))

cotA

*./A的鄰邊,bcotA>0

余切cotA=—

/A的對邊a(NA為銳角)tanAcotA=l

3、任意銳角時正弦值等于它的余角的電算值:任意銳角的余弦值等于它的余角的正

弦值。由/4+4=90°

得ZB=90°-/A

sinA=cosBsinA=cos(90°-A)

cosA=sinBcosA=sin(90°-A)

4、任意銳角時正切值等于它的余角的余圾值:任意銳角的余切值等于它的余角的正

切值。由4+4=90。

得ZB=90°-NA

tanA=cot3tanA=cot(90°-A)

cotA=tan3cotA=tan(90°-A)

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

j_V2V3

sina01

2F

V3V2j_

cosa1~r~20

V3

V3不存在

tana0可1

V3

cota不存在V310

3

6,正弦、余弦的增減性:

當(dāng)0。W1W90。時，sine隨a的增大而增大，cos1隨a的增大而減小。

7、正切、余切的增減性：當(dāng)0°<tz<90°時，tana隨成的增大而增大，cota

隨&的增大而減小。

一、知識性專題

專題1：銳角三角函數(shù)的定義

例1在RtAABC中，ZACB=90°,5c=1,AB=2,則下列結(jié)論對時的是

?A-6

)A.sinA------B.tan—C.cosB=—D.tanB=

222

.，BC1,BCy/3

分析sinA=----=-,tan----=——,cosB=—=—.故選

AB2AC3AB2

3

例2在△A8C中，NC=90。，cosA=§,則tanA等于；分析RtAABC

4k4

中，設(shè)AC=3A,AB=5k,則BC=4?,由定義可知tanA=—=—=-.

AC3k3

分析在RtZkABC中，BC=A/AB2-AC2=752-42=3,/.sinA=—=-.故填』.

AB55

例3（12?哈爾濱）在RSABC中，NC=90°,AC=4,AB=5,貝?。﹕inB時值是一；

【解析】本題考察了銳角三角函數(shù)的意義.解題思緒：在直角三角形中，銳角的正弦等于

4

對邊比鄰邊，故sinB=1.

例4（內(nèi)江）如圖4所示，4ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA時值為

醫(yī)I4閔4

【解析】欲求sinA,需先尋找NA所在的直角三角形，而圖形中NA所在的AABC并

不是直角三角形，因此需要作高.觀測格點圖形發(fā)現(xiàn)連接CD（如下圖所示），恰好可證得

IAo工曰右?ACDA/2y/5

CD±AB,于是有sinA=----=—==——.

AC7105

2

例5（寧波），RtAABC,ZC=90°,AB=6,cosBq，則BC的長為；

【解析】cosB=^=|,又?.,AB=6???BC=4

例6（貴州銅仁）如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角。的鄰邊與對邊的比叫做

角。的余切，記作ctan。，即ctano=四@型卷=江，根據(jù)卜狀告胴全切宗▽.解下

角。的對邊BCJ

列問題：（1）ctan300=；

（2）如圖，已知tanA=』，其中NA為銳角，試求ctanA差生------------

4A（

時值.99斯國

【分析】（1）可先設(shè)最小邊長為一種特殊數(shù)（這樣做是為了計算以便），然后在計算出其他

3

邊長，根據(jù)余切定義進而求出ctan30”（2）由tanA=-為了計算以便，可以設(shè)BC=3AC=4

4,

根據(jù)余切定義就可以求出ctanA時值.【解析】（1）設(shè)BC=1,Va=30。

AC3

AB=2.?.由勾股定理得：AC=A/3ctan300=-----=也（2）*.*tanA=—

BC4

、幾AC4

設(shè)BC=3AC=4.,.ctanA=-----=—

BC3

例7（山東濱州）把AABC三邊的長度都擴大為本來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值

（）A.不變B.縮小為本來的！C.擴大為本來的3倍D.不能確定

3

【解析】由于aABC三邊的長度都擴大為本來的3倍所得的三角形與原三角形相似，因此

銳角A的大小沒變化，因此銳角A的正弦函數(shù)值也不變.【答案】選A.

例8（湖南）觀測下列等式

（l）sin30o=—cos60°=—（2）sin45°=2!L￡:cos=45°=2L±（3）sin60o=2/_3cos30°=—

222222

根據(jù)上述規(guī)律，計算siMa+sii?（90。-a）=—.

解析：根據(jù)①②③可得出規(guī)律，即sin2a+sin2（90。-a）=1,繼而可得出答案.

答案：解：由題意得，sin230°+sin2（90°-30°）=1；sin245°+sin2（90°-45"）=1；

sin260°+sin2（90°-60°）=1；故可得si/a+sin?（90°-a）=1.故答案為:1.

點評：此題考察了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于規(guī)律型題目，注意根據(jù)題意總結(jié)，此

外siMa+sii?（900-a）=1是個恒等式，同學(xué)們可以記住并直接運用.

例9（山東德州）為了測量被池塘隔開的A,5兩點之間的距離，根據(jù)實際狀況，作出如下圖

形，其中A3,BE,EF±BE,A尸交5E于。，C在30上.有四位同學(xué)分別測量出如

下四組數(shù)據(jù)：①3C,ZACB；②CD,ZACB,ZADB；③EEDE,BD；?DE,DC,

BC.能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A,3間距離的有哪一組

【解析】對于①，可由公式AB=BCXtanNACB求出A、B兩點間的距離；對于②，可設(shè)

xx

AB時長為x,貝!|BC=----------------,BD=-----------------,BD-BC=CD,可解出AB.對于③,

tanNACBtanNADB

易知△DEFsaDBA,則匹=/，可求出AB的長；對于④無法求得，故有①、②、

EFAB

③三組【點評】此題考察解直角三角形和三角形相似的性質(zhì)與鑒定.在直角三角形中至少

要有已知一邊和一角才能求出其他未知元素；鑒定兩三角形相似的措施有：AA,SAS,SSS,

兩直角三角形相似的鑒定尚有HL.

例10（江蘇泰州18）如圖，在邊長相似的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這

些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P,貝（JtanNAPD的J值是.

【解析】規(guī)定tanNAPD的值，只要將NAPD放在直角三角形中，故過B作CD的垂線,

然后運用勾股定理計算出線段的長度，最終運用正切的定義計算出成果即可.

【答案】作BM_LCD,DN_LAB垂足分別為M、N,貝!）BM=DM=也，易得：DN=^-,

Vid

設(shè)PM=x,貝！|PD=-J?-x,由△DNPs/\BMP,得：——PN=-D--N-,即——PN=-^InL

PMBM

,*.PN=—^-x,DN2+PN2=PD2,得：—+—x2=（—--x）2,解得：xi=——,X2=A/2（舍去）,

510524

e

.".tanZAPD=型~=*=2.

PM

彳

例11.（江蘇蘇州）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，若EF=2,

Ar------F一F

BC=5,CD=3,則tanC等于.

分析:根據(jù)三角形的中位線定理即可求得BD的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得4

BCD是直角三角形，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解.

解答:解：連接BD.VE,F分別是AB、AD的中點..\BD=2EF=4；BC=5,CD=3二△

BCD是直角三角形.，tanC=3

例12（山東日照）在RtZkABC中，NC=90。，把NA的鄰邊與對邊的比叫做NA的余

b

切，記作cotA=2.則下列關(guān)系式中不成立的是（）

B

A.tanA*cotA=lB.sinA=tanAecosAC.cosA=cotA*sinAD.tan*2A+cot2A=l

解答：解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得

A、tanA*cotA=—-—=1,關(guān)系式成立；B、sinA=—,tanA*cosA=—?—=—,關(guān)系式成立；

bacbec

C>cosA=,cotA*sinA=------二—,關(guān)系式成立；D、tan2A+cot2A=（—）2+（—）2/l,

cacba

關(guān)系式不成立.故選D.點評:本題考察了同角三角函數(shù)的關(guān)系.（1）平方關(guān)系:sin2A+cos2A=1

（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一種角的正切值等于這個角的正弦與余弦時

sinA.

比，即tanA=^-------或sinA=tanA?cosA.（3）正切之間的J關(guān)系：tanA?tanB=L

cosB

例13（?貴港）如圖所示，在4ABC中，ZC=90°,AD是BC邊上的J中線，BD=4,AD=2v5,

則tanNCAD時值是,DC

解答：解：VAD是BC邊上的中線，BD=4,.\CD=BD=4,在RtAACD中，

AC=JAD^*CZ^=I-4（2=2,...tanNCAD=%=；=2.故選A.

例14（煙臺）假如△ABC中，sinA=cosb=Y^,則下列最確切的結(jié)論是（）A.AABC

2

是直角三角形B.△A5C是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△AbC是銳角三

角形

解：VsinA=cosB=,/.ZA=ZB=45°,工△ABC是等腰直角三角形.故選C.

2

例15（四川）如圖所示，在數(shù)軸上點A所示時數(shù)”的范圍是（）

A

------1------------>-------e--i-----

0------1-------^2------1

33

A、—sin3GQ<%<sin60°B、cos30°<x<—cos45°

22

33

C、—tan300<x<tan45°D、—cot450<x<cot30°

22

解答：故選O.

同步練習(xí)1（甘肅）如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A

逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC/，，貝!|tanB9的值為.

解答：解：過。點作CDLA3,垂足為D根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，NB，=NB.在

上11

中，tanB=CD：BD--,.'.tanfi-tanB=—.

33

2（甘肅蘭州）點M（—sin60°,cos60°）有關(guān)x軸對稱的點的坐標(biāo)是.

一J31J31

解：Vsin60°=,cos60°=—,.,.點-----,—）.,點PCm,n）有關(guān)x軸對稱

2222

J31

點的坐標(biāo)P（m,-〃），，拉有關(guān)x軸時對稱點的坐標(biāo)是（一匚，.故選B.

22

3（廣東）已知：45°<4<90°,則下列各式成立的是（）

A、sinA=cosAB、sinA>cosAC>sintanAD>sinA<.cosA

解答：解：；45。<4<90。，.?.根據(jù)s加45。=945。，sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角

度的增大而減小，當(dāng)NA>45。時，sinA>cosA,故選：B.

4、（?宜昌）教學(xué)用直角三角板，邊AC=30cm,ZC=90°,tanZBAC=—,則邊BC時長

3

為.cm

解：在直角三角形ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義可知：tanNBAC=-----,又AC=30cm,

AC

tanZBAC=-^-,貝!|BC=ACtanNBAC=30x避^=10石cm.故選C.

33

5、（福建莆田）如圖，在矩形A8CD中，點E在A8邊上，沿CE折疊矩形A3C。，使

點3落在4。邊上的點F處，若A3=4,BC=5,則加〃NA尸E的值為.

解答：解：?..四邊形被力是矩形，:.NMNB=ND=90°,CD=AB=4,AD=Bg

由題意得：ZEFC=ZB=90°,CF=BC=5,：.ZAFE+ZDFC=90°,ZDFC+ZFCD=^°,

:./DC聲/AFE,':在RtADCF中,C百5,。4,:.DF%

DF3

tanZ.AFE=tanZ.DCF=---=—.

DC4

6、（連云港）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B

的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在

BC上時點F處，這樣就可以求出67.5。的角時正切值是.

【答案】設(shè)AB=x廁BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=JIx,于是BF=

（V2+1）x.在直角三角形ABF中，tanNFAB=g￡=+I=tan67.5°.選B。

ABx

7、（福州）如圖15,已知△ABC,AB=AC=1,ZA=36°,NABC的平分線BD交AC于點D,

則AD的長是,cosA時值是.（成果保留根號）

解析：由已知條件，可知aBDC、4ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC,可證△BDCsaABC,

則有生=生，設(shè)BC=x,則DC=l-x,因此二=上三，即V+x—1=0,解方程得，

ACBC1%

N2y（不合題意‘舍去）’即A。、?。挥?/p>

AB

AV11A/5—1.>.4iV5+i

cosA=-----=--------7=--=—7=---——答AA案:

ADA/5—1V5—142'4

2x----

2

8、（南京）如圖，將45°的NAOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點O與尺下沿

的端點重疊，OA與尺下沿重疊.OB與尺上沿的交點B在尺上的讀書恰為2厘米，若按相似

的方式將37°的/AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺

上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為厘米.（成果精確到

0.1厘米，參照數(shù)據(jù)sin37。"0.60,cos37°g0.80,tan370?

0.75）

解析：由于NAOB=45。，B點讀書為2厘米，則直尺的寬為2厘米，解直角三角形得點C

的讀數(shù)為2+tan37°弋2+0.75仁2.7厘米.答案：2.7

9、（?湖南張家界）黃巖島是我國南海上的一種島嶼，其平面圖如圖甲所示，小明據(jù)此構(gòu)

造出該島的一種數(shù)學(xué)模型如圖乙所示，其中NA=ND=90°,AB=BC=15千米，CD=3近千米,

請據(jù)此解答如下問題：（1）求該島的周長和面積（成果保留整數(shù)，參照數(shù)據(jù)414

V3?1.73V6?2.45）（2）求NACD的余弦值.

【解答】（1）結(jié)AC,,.,AB=BC=15千米，ZB=90°,

，NBAC=NACB=45。，AC=15A/I千米.XVZD=90°,

/.AD=^AC--CD-=J（15后產(chǎn)-（3回29百（千米）

二周長=AB+BC+CD+DA=30+3VI+126=30+4.242+20.784弋55（千米）.

面積=Sz\ABc+SziADc二[一X15X15+1—X12y/3X3二-2-2-5-+18，^=157（平方千米）.

222

⑵coSZACD=!|=1^1

5

10、（甘肅蘭州）在建筑樓梯時，設(shè)計者要考慮樓梯的安全程度。如圖（1）,虛線為樓梯

的傾斜度，斜度線與地面的夾角為傾角。，一般狀況下，傾角越小，樓梯的安全程度越高;

如圖（2）,設(shè)計者為了提高樓梯的安全程度，要把樓梯的傾角4減至。2,這樣樓梯占用地

板的長度由di增長到d2，已知山=4米，N4=40,za=36,樓梯占用地板的長度

增長了多少米?（計算成果精確到0.01米。參照數(shù)據(jù)：tan40°=0.839,tan36°=0.727）

解析：根據(jù)在RtAACB中，AB=ditan0i=4tan40°,在RtAADB中，AB=d2tan0

2=d2tan36。，即可得出d?的值，進而求出樓梯占用地板增長的長度.

解:由題意可知可得，ZACB=Z01,NADB=N02在RtAACB中，AB=ditan0i=4tan40°，

在RtZ\ADB中，AB=d2tan92=datan36°,得4tan40。=d2tan36°,.■.d2=———^4.616,

tan36

.-.d2-di=4.616-4=0.616^0.62,答：樓梯占用地板的長度增長了0.62米.

11、（貴州）為增進本市經(jīng)濟的迅速發(fā)展，加緊道路建設(shè)，某高速公路建設(shè)工程中需修隧道

AB,如圖，在山外一點C測得BC距離為200m,ZCAB=54°,NCBA=30。，求隧道AB

時長.(參照數(shù)據(jù)：sin54o=0.8Lcos54°=0.59,tan54o=1.38,后1.73,精確到個位)

解析：首先過點C作CDLAB于D,然后在RtABCD中，運用三角函數(shù)的知識，求得BD,CD的長，繼而彳

RtAACD中，運用NCAB時正切求得AD的長，繼而求得答案.

答案：解：過點C作CD_LAB于D；BC=200m,ZCBA=30",

，在RtABCD中，CD=lBC=100m,BD=BC?cos3(T=200x"=10oJ^=173(m),

22

???ZCAB=54°,在RtAACD中，AD=——=_1^=74(m),

tan5401.36

AB=AD+BD=173+74=247(m).

答：隧道AB的長為247m.

12、（新疆建設(shè)兵團）如圖，在△ABC中，NA=90。.（1）用尺規(guī)作圖的措施，作出△ABC

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。后的圖形AABiG（保留作圖痕跡）；

(2)若48=3,J?C=5,求tanNA51cl.

解答：解：（1）作NCA3的平分線，在平分線上截取4的=48,作C1ALA31，在AQ

上截取AQ=AC,如圖所示即是所求.（2）,：AB=2>,BC=5,：.AC=4,：.ABi=3,ACi

AC4

=4,tanZABiCi=-T5~=l-

ADIJ

專題2特殊角的三角函數(shù)值

例1（,湖北孝感）計算：cos245°+tan30°-sin60°=.【答案】1

例2（陜西）計算：2cos45。-3次+（1-血）°=.

【解析】原式=2x匕3x2行+1=5行+1【答案】-572+1

2

例3(廣安)計算：平一(一345。+3T；

解析：--(--)-cos45o+3^=—+—+-=72+1

232323

例4計算|—3|+2cos45°-(73-1)°.

解：原式=3+2X，^—1—^2+2.

2

例5計算一+次+(—1)—cos60°.

解：原式=工+3+(—1)一工=3—1=2.

22

例6計算|一夜|+(cos60。-tan30°)°+^8.

解：原式=應(yīng)+1十+2后=3亞+1.

例7計算-(Ji-3.14)°-|l-tan60°—.

UJV3-2

解：原式=8—1—\/3+1+A/3+2=10.

例8(呼和浩特)計算：———I1-V2I+2-1

sin45°

【解析】三角函數(shù)、絕對值、乘方

~T

［答案1------------11-A/2|+21=A/2—A/2+1H—

sin4502

_3

-2

例9(天水)計算：sin230o+/an44°tan46o+sin260°=.

分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算.3以?加〃(90°-A)=1.

13

解答：解：原式=—+1+士=2.故答案為2.

44

ft/_._.2.a—6〃+9V3

例10(?萊w+無+x)右a=3-tan60°,貝!)(1---------)+----------------=______________。----

a—1a—13

解答：解：a=3-tan60°=3V3,???原式

練習(xí)1、（浙江）計算：|一1|一，返一（5-n）°+4cos45°.

2

練習(xí)2、（浙江衢州）（1）計算：卜刀-（3-兀）°+2cos45。；

解答：解：（1）原式=2-l+2x，，=1+四；

2

練習(xí)3、計算：°+V8-2sin45°；

原式=1+2，^—V2=1+V2；

練習(xí)3、觀測下列各式：①sin59°>sin28°；②OVcosaVl（。是銳角）；③tan30°+tan

60°=tan90°；@tan44°<1,其中成立時有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

練習(xí)3、C[提醒：sin59°>sin28°成立，OVcos。VI（。是銳角）成立，tan30°+tan60°=

—+A/3^tan90°,tan44°<tan45°，BPtan44°<1.]

3

練習(xí)4、計算2sin300—tan60°+tan45°=.

練習(xí)5、如圖28—146所示，在△ABC中，ZA=30°,tanB=-,BC=曬,

則AB的長為.圖28-146

練習(xí)6、當(dāng)乂=01160°時，代數(shù)式21一4尤-/+2x+上時值是.

%?—4x+42-x

練習(xí)7、已知cos59°24'g0.509,則sin30°36'=

練習(xí)8、若NA,NB互余，且tanA—tanB=2,貝!|tan2A+tan2B

BE

圖28-147

練習(xí)9、如圖28—147所示，在菱形A5CZ>中，AE_LBC于E,EC=1,cosB^—,則這

13

個菱形的面積是.

10.已知正方形A8CD的邊長為1,若將線段50繞著點8旋轉(zhuǎn)后，點。落在OC延長線

上的點。'處，則N5AO'的正弦值為.

11.如圖28-148所示，若將四根木條釘成的矩形木框變?yōu)槠叫兴倪呅?/p>

r--------1

/!Q

ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的二分之一，則這個平行四邊2/

BC

形的一種最小內(nèi)角等于.圖28-148

12.在△ABC中，ZB=30°,tanC=2,AB=2,貝！J8C=.

13.設(shè)夕為銳角，且爐+3丫+2疝夕=0時兩根之差為百.則0=.

14.如圖28-149所示，在△ABC中，ZC=90°,點。在3c邊上，BD=4,AD^BC,

3

cosZADC.⑴求OC時長；(2)求sinb時值.

練習(xí)4、2->/3［提醒：2sin30°-tan600+tan45°=2X,一g+1=2—

2

練習(xí)5,3+73［提醒:過點C作CDLAB,垂足為D,在Rt/\BDC中,tan5=L.?.生=L

3BD3

：.BD=3CD,"：BC=yflO,：.CD2+(3CD)2=(Vio)2,：.CD=1,BD=3.在RtaAOC中，

tanA=—,:.AD=6,：.AB^AD+BD^3+y/3.］

AD

練習(xí)6、.君［提醒：?;2廠一4x.尸+2x+=2%,原式=2sin60。=百.］

x+2x—4-x+42—x

練習(xí)7、0.509［提醒：sin30°36'=cos59-24'.］

練習(xí)8、6［提醒：VZA,.*.tanA*tanB=l?tan2A+tan2B=(tanA-tanB)2+2tanA,tan

B=22+2=6.]

練習(xí)9、—[W：VcosB=—,設(shè)b￡=5x,則A6=13x,：.AE=>JAB2-BE2=12X.V

1613

ii3

AB=BC=BE+CE：.13x=5x+l,Ax=-,貝!|AE=12x=12X—=—,BC=5x+l=5

9882

11331339

X-+l=—9：.s=-X—=—.]

882816

10.日[提醒:如圖28—155所示，根據(jù)題意得O。'=2DC,設(shè)正方形的邊長為x,則A。

=x,DD'=2x.VAADD'=90°,根據(jù)勾股定理得AO'=dAD。+DD，。=逐x.V

AD=x,：.sinZAD'D=—=-^-=—.'：AB//DD',：.ZBAD'=ZAD'D,Asin

AD'05

11.30°[提醒：如圖28=156所示，,:S口ABCD='S矩形BEFC,且笈C=3C(底相似)，???

2

1111

GC=-FC.9：CF=DC：.GC=-DC,——VZDGC=90°,sin30°=—,:,乙

2f2DC22

CDG=30°,即這個平行四邊形的一種最小內(nèi)角為30°.]

12.~+y/3

2

13.30°[提醒：xi?X2=2sin0,xi+x2=-3,貝！|(對一切)2=。：1+"2)2—4XIM=9—8sin。=

(■)2,Asin0=-,二0=30。.]EF

2r-------1

I

14.解：(l)VcosZADC=-,.,.設(shè)CZ>=3x,則AO=5x,AC=4x,：.BC—<

5EC

圖28-156

=AD=5x.?：BD=BC-CD,A5x-3x=4,：.x=2,：.CD=3x=6.(2)

VAC=4x=8,BC=5x=10,：.AB=7AC2+BC2=>/82+102=2A/41,AsinB=

AC_8_4A/41

AB-2A/4T-41

★專題三：題型一俯角與仰角仰角：視線在水平線上方的角；

鉛垂線

★俯角：視線在水平線下方的角。

例1、（湖北襄陽）在一次數(shù)學(xué)活動中，李明運用一根拴有小錘的細線和一種半圓形量角器

制作了一種測角儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD.如圖5,已知李明距假山的水平距

離BD為12m,他的眼睛距地面的高度為1.6m,李明的視線通過量角器零刻度線OA和假

山的最高點C,此時，鉛垂線OE通過量角器的60°刻度線，則假山的高度為

RnR

【解析】如下圖，過點A作AF±CD于F,則AF=BD=12m,FD=AB=1.6m.再

ApL

由OE〃CF可知NC=NAOE=60。.因此，在RtZkACF中，CF=---------=4百，那么

tan60

CD=CF+FD=(4g+1.6)m.

例2、（珠海）如圖，水渠邊有一棵大木瓜樹，樹干DO（不計粗細）上有兩個木瓜A、B

（不計大小），樹干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的對面與O處在同一水平面的C

處測得木瓜A的仰角為45°、木瓜B的仰角為30°.求C處到樹干DO的距離CO.（成果

精確到1米）（參照數(shù)據(jù):當(dāng)。1.73,來。1.41）

第16題圖第24顆圖

【解析】如圖，根據(jù)題意，得NCOD=90°,NACO=45°,NBCO=30°,AB=2,求CO.

設(shè)CO為x米，根據(jù)A0=C0,列方程,解得即可.

【答案】解:設(shè)CO為x米在m△BCO中,tan30°=—,JJl!jB0=—x

CO3

Jj

在Rt/\KCO中,A0=C0,得方程+2=x解得x^5.答:CO長大概是5米.

3

例3、（江蘇鹽城）如圖所示，當(dāng)小華站立在鏡子EF前A處時，他看自己的腳在鏡中的像

的俯角為45°：假如小華向后退0.5米到B處,這時他看自己的腳在鏡中的像的俯角為30°.

求小華的眼睛到地面的距離。（成果精確到0.1米，參照數(shù)據(jù)：V3?1.732）.

【答案】設(shè)AC=BD=x,在RtAACAitf,NAAIC=45°,,AAi=x,在RtADBBi中，BBj=—匚=島，

tan30°

又?.」BBi，AAi=L4dx8x1x=L解得：X=WE^：L4（米）.

2222222

例4、（山西）如圖，為了開發(fā)運用海洋資源，某勘測飛機預(yù)測量一島嶼兩端A.B的

距離，飛機在距海平面垂直高度為100米的點C處測得端點A的俯角為60%然后沿著平

行于AB時方向水平飛行了500米，在點D測得端點B的俯角為45。，求島嶼兩端A.B的

距離（成果精確到0.1米，參照數(shù)據(jù)：聲-L73,、歷-1.41）

【解析】解：過點A作AE±CD于點E,過點B作BF±CD于點F,

???ABIICD,..ZAEF=ZEFB=ZABF=90",/.四邊形ABFE為矩形.

..AB=EF,AE=BF.由題意可知：AE=BF=100米，CD=500米....2分

在RtAAEC中，ZC=60。，AE=100米.二CE=—空—=嬖=也2玄（米）....4分在

tan60°V3亍叱

RtABFD中，ZBDF=45°,BF=100.

DF=——=越=100（米）....6分,AB=EF=CD+DF-CE=500+100-^600-

tan45°1亍

竺41.73=600-57.67=542.3（米）.