2025年北師大版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷255考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、在正四面體中，棱長為4，是BC的中點，在線段上運動（不與重合），過點作直線平面與平面交于點Q，給出下列命題：①面②Q點一定在直線DM上③其中正確的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③2、由1，2，3，4，5這5個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（）A.36個B.24個C.18個D.6個3、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則A1到平面ABC1D1的距離為（）

A.

B.

C.

D.

4、【題文】設(shè)，則的大小順序是()A.B.C.D.5、【題文】已知過兩點的直線與直線垂直，則的值（）A.4B.-8C.2D.-16、【題文】兒子的身高和父親的身高是：A.確定性關(guān)系B.相關(guān)關(guān)系C.函數(shù)關(guān)系D.無任何關(guān)系7、在平面幾何里有射影定理：設(shè)三角形ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC上的射影，則AB2=BD?BC．拓展到空間，在四面體A-BCD中，AD⊥面ABC，點O是A在面BCD內(nèi)的射影，且O在△BCD內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（）A.S△ABC2=S△BCO?S△BCDB.S△ABD2=S△BOD?S△BOCC.S△ADC2=S△DOC?S△BOCD.S△BDC2=S△ABD?S△ABC8、函數(shù)f(x)=x3鈭?3x2鈭?9x+3

若函數(shù)g(x)=f(x)鈭?m

在x隆脢[鈭?2,5]

上有3

個零點，則m

的取值范圍為(

)

A.(鈭?24,8)

B.(鈭?24,1]

C.[1,8]

D.[1,8)

評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)9、已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為____．10、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱BC，DD1上的點；給出下列命題：

①在平面ABF內(nèi)總存在與直線B1E平行的直線；

②若B1E⊥平面ABF；則CE與DF的長度之和為2；

③存在點F使二面角B1-AC-F的大小為45°；

④記A1A與平面ABF所成的角為α；BC與平面ABF所成的角為β，則α+β的大小與點F的位置無關(guān)．

其中真命題的序號是____．（寫出所有真命題的序號）

11、已知銳角三角形的三邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是____．12、命題“”的否定是．13、【題文】在中，已知給出以下四個論斷，正確的序號是____

①②③

④14、【題文】

某校開展“愛我惠州、愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分數(shù)如莖葉圖所示。記分員算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時，發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清.若記分員計算無誤，則數(shù)字應(yīng)該是__________；15、【題文】甲，乙兩輛車在某公路行駛方向如圖，為了安全，兩輛車在拐入同一公路時，需要有一車等待.已知甲車拐入需要的時間為2分鐘，乙車拐入需要的時間為1分鐘，倘若甲、乙兩車都在某5分鐘內(nèi)到達轉(zhuǎn)彎路口，則至少有一輛車轉(zhuǎn)彎時需要等待的概率____16、甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12

甲獲勝的概率是13

則甲不輸?shù)母怕蕿開_____．評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)17、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

18、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）19、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）20、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

21、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）22、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）23、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共4題，共36分)24、（本小題滿分12分）某統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖如圖。（1）求居民月收入在的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？25、已知函數(shù)f（x）=x3-3x+1

（I）求函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2；f（2））處的切線方程．

（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3；2]上的最大值．

26、【題文】盒中裝有5個產(chǎn)品,其中3個一等品,2個二等品,從中不放回地取產(chǎn)品,每次1個,求:

(1)取兩次,兩次都取得一等品的概率;

(2)取兩次,第二次取得一等品的概率;

(3)取三次,第三次才取得一等品的概率;

(4)取兩次,已知第二次取得一等品,求第一次取得是二等品的概率.27、如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1是菱形，四邊形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°．

（1）求證：平面CA1B⊥平面A1ABB1；

（2）求點C1到平面A1CB的距離．評卷人得分五、計算題(共3題，共24分)28、已知等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，那么x的值為____．29、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）?f（i）．30、已知復(fù)數(shù)z1滿足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1?z2是實數(shù)，求z2．評卷人得分六、綜合題(共3題，共18分)31、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標(biāo)是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．32、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當(dāng)AD+CD最小時點D的坐標(biāo)；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當(dāng)AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標(biāo)：____．33、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標(biāo)是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、A【分析】【解析】【答案】A2、B【分析】【解析】【答案】B3、B【分析】

以D為原點，DA，DC，DD1為x軸；y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系；

則A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），D1（0；0，1）；

∴

設(shè)平面ABC1D1的法向量為

∵

∴

∴

∴A1到平面ABC1D1的距離d===．

故選B．

【解析】【答案】以D為原點，DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面ABC1D1的法向量為由知由向量法能求出A1到平面ABC1D1的距離．

4、B【分析】【解析】解：因為

則【解析】【答案】B5、B【分析】【解析】直線y=x/2的斜率為1/2；

AB與直線y=x/2垂直；

則AB斜率為-2；

所以(4-m)/(m+2)=-2,

m=-8.【解析】【答案】B6、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B7、A【分析】解：由已知在平面幾何中，

若△ABC中；AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足；

則AB2=BD?BC；

我們可以類比這一性質(zhì)；推理出：

若三棱錐A-BCD中；AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O為垂足；

則（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC．

故選A．

這是一個類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，由已知在平面幾何中，（如圖所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，則AB2=BD?BC，我們可以類比這一性質(zhì)，推理出若三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O為垂足，則（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC

類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．【解析】【答案】A8、D【分析】解：函數(shù)g(x)=f(x)鈭?m

在x隆脢[鈭?2,5]

上有3

個零點；即函數(shù)f(x)=x3鈭?3x2鈭?9x+3

與y=m

兩個函數(shù)的圖象有三個交點，下研究函數(shù)f(x)=x3鈭?3x2鈭?9x+3

的性質(zhì)。

由題意f鈥?(x)=3x2鈭?6x鈭?9

令f鈥?(x)=3x2鈭?6x鈭?9>0

解得x>3

或x<鈭?1

又x隆脢[鈭?2,5]

故f(x)=x3鈭?3x2鈭?9x+3

在(鈭?2,鈭?1)

與(3,5)

上是增函數(shù)；在(鈭?1,3)

上是減函數(shù)；

x=鈭?2鈭?135

時，函數(shù)值對應(yīng)為18鈭?248

其圖象如圖，可得1鈮?m<8

故選D

函數(shù)g(x)=f(x)鈭?m

在x隆脢[鈭?2,5]

上有3

個零點；可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=x3鈭?3x2鈭?9x+3

與y=m

兩個函數(shù)的圖象有三個交點，故求出函數(shù)的單調(diào)性與極值，對研究出函數(shù)的圖象的特征，由圖象求出m

的取值范圍即可。

本題考查根的存在性及根的個數(shù)的判斷，正確解答本題，關(guān)鍵是將函數(shù)有零點的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有交點的問題，此轉(zhuǎn)化的好處是轉(zhuǎn)化后的兩個函數(shù)的中有一個函數(shù)是確定的，實現(xiàn)了由不定到定的轉(zhuǎn)化變，方便了研究問題，即求參數(shù)的范圍.

熟練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性也是解本題的關(guān)鍵，【解析】D

二、填空題(共8題，共16分)9、略

【分析】

由題意知此平面區(qū)域表示的是以O(shè)（0；0），P（4，0），Q（0，2）構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部；

且△OPQ是直角三角形；

所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，故圓心是（2，1），半徑是

所以圓C的方程是（x-2）2+（y-1）2=5．

故答案為：（x-2）2+（y-1）2=5．

【解析】【答案】根據(jù)題意可知平面區(qū)域表示的是三角形及其內(nèi)部；且△OPQ是直角三角形，進而可推斷出覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，進而求得圓心和半徑，則圓的方程可得．

10、略

【分析】

①在平面CD1內(nèi)，過點F作FG∥CD，則ABCF四點共面，連接BG，則BG與B1E一定相交，即直線B1E與平面ABF總相交；故①為假命題；

②B1E⊥平面ABF，則B1E⊥BG，△B1EB≌△BGC；∴CG=BE，∵CG=DF，BE+CE=2，∴CE與DF的長度之和為2，故②為真命題；

③連接AC，CF，BD，B1A，B1C，AC∩BD=0，則FO⊥AC，B1O⊥AC，∴∠B1OF為二面角B1-AC-F的平面角。

當(dāng)點F在點D1處時，D1O=B1O=B1D1=2∴∴∠B1OD1＞45°

∴不存在點F使二面角B1-AC-F的大小為45°；故③為假命題；

④∵BC∥AD；BC與平面ABF所成的角為β，∴AD與平面ABF所成的角為β

∵平面ABF⊥平面D1A，∴∠A1AF=α，∠DAF=β，∴α+β=90°，∴α+β的大小與點F的位置無關(guān)，故④為真命題

綜上知；真命題的序號是②④

故答案為：②④

【解析】【答案】①在平面CD1內(nèi)，過點F作FG∥CD，則ABCF四點共面，連接BG，可知直線B1E與平面ABF總相交；

②利用B1E⊥平面ABF，可以證明△B1EB≌△BGC；所以CG=BE，從而可得CE與DF的長度之和為2；

③連接AC，CF，BD，B1A，B1C，AC∩BD=0，則FO⊥AC，B1O⊥AC，從而∠B1OF為二面角B1-AC-F的平面角．由于點F在點D1處時，∠B1OD1＞45°；故可得結(jié)論；

④確定AD與平面ABF所成的角為β，從而可知∠A1AF=α；∠DAF=β，α+β=90°，故可得結(jié)論。

11、略

【分析】

分兩種情況來做，當(dāng)x為最大邊時，由余弦定理可知只要22+32-x2＞0即可，可解得

當(dāng)x不是最大邊時，則3為最大邊，同理只要保證3所對的角為銳角就可以了，則有22+x2-32＞0，可解得

所以綜上可知x的取值范圍為

故答案為．

【解析】【答案】分兩種情況來做；當(dāng)x為最大邊時，只要保證x所對的角為銳角就可以了；當(dāng)x不是最大邊時，則3為最大邊，同理只要保證3所對的角為銳角就可以了．

12、略

【分析】試題分析：全稱命題的否定是特稱命題，“”改“”，并否定結(jié)論，所以答案為考點：全稱命題的否定【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

所以①；③錯誤。④正確。

②正確【解析】【答案】②④14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】115、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】16、略

【分析】解：隆脽

甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12

甲獲勝的概率是13

隆脿

甲不輸?shù)母怕蕿镻=12+13=56

．

故答案為：56

．

利用互斥事件概率加法公式能求出甲不輸?shù)母怕剩?/p>

本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．【解析】56

三、作圖題(共7題，共14分)17、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

18、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．20、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

21、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．23、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共4題，共36分)24、略

【分析】【解析】

（1）月收入在的頻率為0.0003×500=0.152分（2）因為0.0002×500=0.1,0.0004×500=0.2,0.0005×500=0.25,0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,-4分所以，樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)2000+（元）6分（3）居民月收入在的頻率為0.0005×500=0.25，8分所以10000人中月收入在的人數(shù)為0.25×10000=2500，10分再從10000人用分層抽樣方法抽100人，則月收入在這段應(yīng)抽取25人--12分【解析】【答案】(1)(2)25人25、略

【分析】

（I）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x2-3

∴f′（2）=9

∵f（2）=3

∴y=f（x）的圖象在點（2；f（2））處的切線方程為y-3=9（x-2），即9x-y-15=0；

（II）令f′（x）=3x2-3＞0，可得x＜-1或x＞1；令f′（x）=3x2-3＜0；可得-1＜x＜1；

∵x∈[-3；2]；

∴函數(shù)在（-3；-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，2）上單調(diào)遞減；

∴x=-1時；函數(shù)取得極大值，x=1時，函數(shù)取得極小值。

∵f（-3）=-17；f（-1）=3，f（2）=3

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3；2]上的最大值為3．

【解析】【答案】（I）求導(dǎo)函數(shù)；求出切線的斜率，切點的坐標(biāo)，即可得到切線方程；

（II）利用導(dǎo)數(shù)的正負；確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極大值，與端點函數(shù)值比較，即可得到結(jié)論．

26、略

【分析】【解析】

試題分析：（1）盒中裝有5個產(chǎn)品,其中3個一等品,2個二等品,從中不放回地取產(chǎn)品,每次1個，那么取兩次,兩次都取得一等品的概率即為

(2)取兩次,第二次取得一等品的概率

(3)取三次,第三次才取得一等品的概率

(4)取兩次,已知第二次取得一等品,求第一次取得是二等品的概率

考點：等可能事件的概率。

點評：本題考查了等可能事件的概率，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，則其概率公式為m:n得到，屬于基礎(chǔ)題。【解析】【答案】解:27、略

【分析】

（1）推導(dǎo)出BC⊥BB1，AB⊥BC，由此能證明平面CA1B⊥平面A1ABB1．

（2）由已知得C1到平面A1BC的距離即為B1到平面A1BC的距離，由此能求出C1到平面A1BC的距離．

本題考查平面與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．【解析】證明：（1）∵四邊形BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1；

又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1；

∵BC?平面CA1B，∴平面CA1B⊥平面A1ABB1．

解：（2）∵B1C1∥BC1，∴B1C1∥平面A1BC；

∴C1到平面A1BC的距離即為B1到平面A1BC的距離；

連結(jié)AB1，AB1與A1B交于點O；

∵四邊形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B；

∵CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，∴B1O即為C1到平面A1BC的距離；

∵B1O=2

∴C1到平面A1BC的距離為2．五、計算題(共3題，共24分)28、略

【分析】【分析】先移項并整理得到=，然后兩邊進行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化為=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案為：1或2．29、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根據(jù)定積分求出函數(shù)f（x）的解析式，然后分別求出f（1﹣i）與f（i）即可求出所求．30、解：∴z1=2﹣i

設(shè)z2=a+2i（a∈R）

∴z1?z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1?z2是實數(shù)。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則求出z1，設(shè)出復(fù)數(shù)z2；利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則求出z1?z2；利用當(dāng)虛部為0時復(fù)數(shù)為實數(shù)，求出z2．六、綜合題(共3題，共18分)31、略

【分析】【分析】根據(jù)OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，則△NBF也是等腰直角三角形，由于P的縱坐標(biāo)是b，因而F點的縱坐標(biāo)是b，即FM=b，則得到AF=b，同理BE=a，根據(jù)（a，b）是函數(shù)y=的圖象上的點，因而b=，ab=，則即可求出AF?BE．【解析】【解答】解：∵P的坐標(biāo)為（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐標(biāo)為（0，）；M點的坐標(biāo)為（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F點的坐標(biāo)為（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E點的坐標(biāo)為（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF?BE=1．

故答案為：1．32、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，點B與點A關(guān)于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設(shè)出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標(biāo)．

（3）由（2）可知，當(dāng)AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標(biāo)，根據(jù)線段之