《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件匯編》數(shù)列的極限

數(shù)列的極限本課件將介紹數(shù)列的極限概念、性質(zhì)和計(jì)算方法。數(shù)列極限是微積分中的重要概念，它為我們理解函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和積分奠定了基礎(chǔ)。by數(shù)列的概念數(shù)列是指按照一定順序排列的一列數(shù)。每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的長(zhǎng)度。數(shù)列可以用通項(xiàng)公式來(lái)表示，通項(xiàng)公式表示數(shù)列的第n項(xiàng)與項(xiàng)號(hào)n之間的關(guān)系。數(shù)列可以用圖形來(lái)表示，在坐標(biāo)軸上將項(xiàng)號(hào)n與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)an連接起來(lái)形成一個(gè)點(diǎn)，所有點(diǎn)連接起來(lái)形成數(shù)列的圖形。數(shù)列的收斂與發(fā)散1收斂數(shù)列當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)趨于一個(gè)確定的數(shù)值時(shí)，我們稱該數(shù)列收斂。2發(fā)散數(shù)列如果數(shù)列的項(xiàng)不趨于任何確定的數(shù)值，我們稱該數(shù)列發(fā)散。3收斂性判定我們可以通過(guò)各種方法來(lái)判斷數(shù)列的收斂性，例如柯西收斂準(zhǔn)則。數(shù)列收斂的充分必要條件ε-N定義對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式|an-a|<ε成立。這個(gè)定義表明，當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列an越來(lái)越接近于a?？挛魇諗繙?zhǔn)則對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m,n>N時(shí)，不等式|am-an|<ε成立。該準(zhǔn)則說(shuō)明，當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列an的項(xiàng)之間的距離越來(lái)越小。單調(diào)數(shù)列的收斂性單調(diào)遞增數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都大于或等于前一項(xiàng)，則稱該數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列。單調(diào)遞減數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都小于或等于前一項(xiàng)，則稱該數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列。收斂性單調(diào)數(shù)列收斂的充分必要條件是該數(shù)列有界。數(shù)列極限的性質(zhì)唯一性如果數(shù)列收斂，那么它的極限是唯一的。有界性如果數(shù)列收斂，那么它是有界的。保號(hào)性如果數(shù)列的極限大于0，那么從某項(xiàng)起，數(shù)列的各項(xiàng)都大于0。無(wú)窮大與無(wú)窮小無(wú)窮大當(dāng)一個(gè)數(shù)列的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，該數(shù)列趨于無(wú)窮大，記作limn→∞an=∞。無(wú)窮小當(dāng)一個(gè)數(shù)列的極限為零時(shí)，該數(shù)列稱為無(wú)窮小，記作limn→∞an=0。利用無(wú)窮大與無(wú)窮小判斷極限1無(wú)窮大當(dāng)自變量趨于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限增大，則稱該函數(shù)為無(wú)窮大。2無(wú)窮小當(dāng)自變量趨于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨于零，則稱該函數(shù)為無(wú)窮小。3判斷極限利用無(wú)窮大與無(wú)窮小的性質(zhì)，可以判斷極限是否存在，以及極限的值是多少。夾逼定理定義如果對(duì)于任何一個(gè)正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式an≤bn≤cn成立，且limn→∞an=limn→∞cn=A，則數(shù)列{bn}也收斂，且limn→∞bn=A。幾何意義夾逼定理的幾何意義是，如果兩個(gè)數(shù)列的極限相等，并且一個(gè)數(shù)列始終介于這兩個(gè)數(shù)列之間，那么這個(gè)數(shù)列的極限也等于這兩個(gè)數(shù)列的極限。利用夾逼定理求極限1夾逼定理如果數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足an≤bn≤cn，并且liman=limcn=A，那么limbn=A2應(yīng)用當(dāng)直接求極限困難時(shí)，可以構(gòu)造兩個(gè)收斂于同一極限的數(shù)列，夾住目標(biāo)數(shù)列，從而求出目標(biāo)數(shù)列的極限3舉例例如，求極限limn→∞(sinn)/n，可以構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列an=-1/n，cn=1/n，夾住目標(biāo)數(shù)列鄰域和順序極限1鄰域在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)x的鄰域是指包含x的一個(gè)開區(qū)間，它可以是任意大小的，但必須包含x。2順序極限一個(gè)數(shù)列的極限是指當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限接近于一個(gè)特定值，這個(gè)值被稱為數(shù)列的極限。3關(guān)系鄰域和順序極限密切相關(guān)，一個(gè)數(shù)列的極限存在當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列在極限點(diǎn)處有一個(gè)鄰域，使得當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)都落在該鄰域內(nèi)。數(shù)列極限的運(yùn)算加法如果lim(n->∞)an=A，lim(n->∞)bn=B，則lim(n->∞)(an+bn)=A+B減法如果lim(n->∞)an=A，lim(n->∞)bn=B，則lim(n->∞)(an-bn)=A-B乘法如果lim(n->∞)an=A，lim(n->∞)bn=B，則lim(n->∞)(an*bn)=A*B除法如果lim(n->∞)an=A，lim(n->∞)bn=B，且B≠0，則lim(n->∞)(an/bn)=A/B無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念無(wú)窮多個(gè)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)數(shù)的和求和運(yùn)算通過(guò)求和運(yùn)算，分析級(jí)數(shù)的收斂性圖形表示用圖形直觀地展示無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂過(guò)程正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性1定義如果正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的各項(xiàng)之和收斂到一個(gè)有限值，則稱該級(jí)數(shù)收斂。否則稱該級(jí)數(shù)發(fā)散。2比較判別法若存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)和發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且對(duì)于所有n，都有an≤bn，則an也收斂。3比值判別法若lim(n→∞)an+1/an=L，則當(dāng)L<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)L>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)L=1時(shí)，判別法失效。4根值判別法若lim(n→∞)√(n)an=L，則當(dāng)L<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)L>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)L=1時(shí)，判別法失效。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判定法比較判別法如果兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足某種大小關(guān)系，則可以根據(jù)一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂性判斷另一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂性。比值判別法通過(guò)計(jì)算級(jí)數(shù)項(xiàng)的比值，可以判斷級(jí)數(shù)的收斂性。根式判別法通過(guò)計(jì)算級(jí)數(shù)項(xiàng)的根式，可以判斷級(jí)數(shù)的收斂性。交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性萊布尼茨判別法如果一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足以下條件，則該級(jí)數(shù)收斂：每一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于或等于前一項(xiàng)的絕對(duì)值當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，每一項(xiàng)的絕對(duì)值趨于0收斂性分析當(dāng)滿足萊布尼茨判別法時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性可以使用該定理來(lái)判斷。如果滿足萊布尼茨判別法，則該級(jí)數(shù)收斂。絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)Σan絕對(duì)收斂是指級(jí)數(shù)Σ|an|收斂。條件收斂級(jí)數(shù)Σan條件收斂是指級(jí)數(shù)Σan收斂，但級(jí)數(shù)Σ|an|發(fā)散。冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)是形如∑n=0∞an(x-x0)n的無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中an是常數(shù)，x是變量，x0是常數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)的中心。冪級(jí)數(shù)的收斂域是使冪級(jí)數(shù)收斂的x值的集合。收斂域可以是單個(gè)點(diǎn)，也可以是開區(qū)間，閉區(qū)間，或整個(gè)實(shí)數(shù)軸。冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的極限函數(shù)。和函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，且在收斂域內(nèi)可微分，可積。冪級(jí)數(shù)的收斂域收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂域通常是一個(gè)以原點(diǎn)為中心的區(qū)間。收斂半徑表示該區(qū)間的一半長(zhǎng)度。端點(diǎn)收斂需要單獨(dú)判斷冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂情況。冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)收斂域在一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂域內(nèi)，該級(jí)數(shù)的和是一個(gè)函數(shù)，稱為該冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。解析函數(shù)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù)，這意味著它可以被表示為一個(gè)冪級(jí)數(shù)。性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)具有許多良好的性質(zhì)，例如連續(xù)性、可微性和可積性。泰勒級(jí)數(shù)的概念1定義泰勒級(jí)數(shù)是以函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值為系數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)2表示函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處的泰勒級(jí)數(shù)為3意義用多項(xiàng)式函數(shù)逼近函數(shù)，為研究函數(shù)的性質(zhì)提供了一種工具泰勒級(jí)數(shù)的收斂性收斂半徑泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑?jīng)Q定了其收斂區(qū)域的大小。收斂區(qū)間在收斂半徑內(nèi)，泰勒級(jí)數(shù)可能收斂于某個(gè)區(qū)間，稱為收斂區(qū)間。收斂條件泰勒級(jí)數(shù)的收斂性需要滿足一定的條件，例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在性。泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用逼近函數(shù)用泰勒級(jí)數(shù)可以逼近許多函數(shù)，例如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。求解微分方程泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)求解一些微分方程的解，例如常系數(shù)線性微分方程。數(shù)值積分泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)近似計(jì)算積分，例如使用牛頓-科特斯公式。物理學(xué)和工程學(xué)泰勒級(jí)數(shù)在物理學(xué)和工程學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，例如計(jì)算電磁場(chǎng)、振動(dòng)和波的傳播等。函數(shù)的極限定義當(dāng)自變量x無(wú)限接近某個(gè)值c（但不等于c）時(shí)，函數(shù)值f(x)無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨近于c時(shí)的極限，記作：limx→cf(x)=A.求極限常見的求極限方法包括：直接代入法、因式分解法、等價(jià)無(wú)窮小代換法、洛必達(dá)法則等.應(yīng)用函數(shù)極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)概念之一，在微積分、微分方程、線性代數(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.函數(shù)連續(xù)性的概念與性質(zhì)定義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且lim(x->x0)f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)包括：在閉區(qū)間上的最大值和最小值定理、介值定理、零點(diǎn)定理等。函數(shù)間斷點(diǎn)的分類1第一類間斷點(diǎn)當(dāng)自變量趨近于該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值有限且存在，但左右極限不相等，或函數(shù)值與左右極限之一不相等。2第二類間斷點(diǎn)當(dāng)自變量趨近于該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值無(wú)窮大或不存在，左右極限不存在或不相等，或左右極限都存在但函數(shù)值不存在。基本初等函數(shù)的連續(xù)性冪函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，冪函數(shù)y=xa在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。指數(shù)函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。三角函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)如果函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u0處連續(xù)，函數(shù)u=g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且g(x0)=u0，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在點(diǎn)x0處連續(xù)。反函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)且連續(xù)，則它的反函數(shù)x=f-1(y)在對(duì)應(yīng)區(qū)間f(I)上也連續(xù)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有界，即存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。最大值最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得最大值和最小值，即存在x1，x2∈[a,b]，使得對(duì)于任意的x∈[a,b]，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)。介值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，那么對(duì)于任意介于f(a)和f(b)之間的數(shù)y，一定存在x0∈