高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修一）第24講233直線與圓的位置關(guān)系

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系TOC\o"13"\h\u題型1直線與圓的位置關(guān)系 ③過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線過(guò)圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說(shuō)明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.◆類型1過(guò)圓上一點(diǎn)的切線【例題31】（2022秋·福建莆田·高二校聯(lián)考期末）求圓Q:x2【答案】x【分析】根據(jù)點(diǎn)P(1,3)在圓Q上，求得可得k【詳解】由圓的方程Q:x2+y可得kPQ=?所以切線方程為y?3=【變式31】1.（2023春·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)12,?32作圓C:【答案】x【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)12,?3【詳解】圓C:x2∵122+?322則圓心到切點(diǎn)連線的斜率k=?32?0故切線l的方程y+32故答案為：x?【變式31】2.（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M1,?3在圓C:x2+y2=A．30° B．60° C．120°【答案】D【分析】先根據(jù)點(diǎn)在圓上，求出m=4，考慮l【詳解】由題意得m=1+3=4當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為x=1，與圓C當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的方程為y?則k?31+設(shè)l的傾斜角為0°≤θ故l的傾斜角為150°故選：D【變式31】3.（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A(1,0)，B(2,0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作圓(x?3)2+(【答案】2【分析】由直線與圓的位置關(guān)系作出切線，求得P0,1【詳解】如圖所示，設(shè)圓心為C點(diǎn)，則C3,22?32+0?22=5由PB與圓相切可得kPB?k令x=0，解得y=1，故所以AP故答案為：2.◆類型2過(guò)圓外一點(diǎn)的切線【例題32】（2021秋·北京·高二北京一七一中?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)(?4,3)的圓(x【答案】x=?4或【分析】根據(jù)切線斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時(shí)設(shè)直線方程，由圓心到切線距離等于半徑求解．【詳解】當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線的方程為x=?4，圓心(?3,1)當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)(?4,3)的切線方程為y?3=k(∵圓心到直線kx?∴|?3k?1+4k∴切線方程為3x綜上所述，切線方程為x=?4或3故答案為：x=?4或3【變式32】1.（2022秋·廣東陽(yáng)江·高二陽(yáng)江市陽(yáng)東區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)P(2,4)，圓O：x【答案】2x=2或【分析】根據(jù)給定條件，確定點(diǎn)P與圓O的位置關(guān)系即可作答.【詳解】依題意，22顯然圓心O(0,0)到直線x=2的距離為圓O的半徑2，即直線過(guò)點(diǎn)P的圓O的切線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y?4=k(由|?2k+4|k2+1所以所求切線方程為x=2或3故答案為：2；x=2或

【變式32】2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）從圓x2?2xA．12 B．35 C．3【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】由x2?2x+y2?2y+1=0得x?12由于PA=3?12由二倍角公式可得cos∠CPB故選:B

【變式32】3.（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）過(guò)直線x+y?4=0上一點(diǎn)向圓O：x2+A．429 B．229 C．【答案】C【分析】設(shè)P是直線x+y?4=0的動(dòng)點(diǎn)，由題意可得OP是圓心O到直線的距離時(shí)，兩切線所成的角α【詳解】由圓O:x2+y設(shè)P是直線x+y?4=0當(dāng)OP長(zhǎng)最短時(shí)，兩切線所成的角α最大，即OP是圓心O到直線的距離時(shí)，兩切線所成的角α最大，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=∴sinα2=12∴sinα故選：C．【變式32】4.（2023·北京大興·?？既＃┤酎c(diǎn)P是圓C:x2+y2?2x=0上的動(dòng)點(diǎn)，直線l:xA．π12 B．π6 C．π4【答案】A【分析】作出圖形，分析可知當(dāng)直線MP與圓C相切，且切點(diǎn)位于x軸下方時(shí)，∠PMN取最小值，求出∠OMN、∠CMP【詳解】如下圖所示：

直線l的斜率為?1，傾斜角為3π4，故∠圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?12+y2易知直線l交x軸于點(diǎn)A?1,0，所以MC由圖可知，當(dāng)直線PM與圓C相切，且切點(diǎn)位于x軸下方時(shí)，∠PMN由圓的幾何性質(zhì)可知CP⊥MP，且CP=1=故∠PMN故選：A【變式32】5.（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)和B(5,?2)，且圓C關(guān)于直線(1)求圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)D(?3,1)作直線l與圓C相切，求直線l【答案】(1)(x(2)x=?3和7【分析】（1）由題意可知圓心為AB中垂線與2x（2）分類討論，設(shè)切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑計(jì)算即可.【詳解】（1）∵A(1,2)，B(5,?2)，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為3,0，∴AB的垂直平分線為：y?0=?由y=x?32故圓C的方程為(x（2）若直線l的斜率存在，方程可設(shè)為y?1=k圓心C(1,?2)到直線l的距離為d=k所求的一條切線為7x當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，圓心C(1,?2)到x=?3的距離為4，即所以直線l的方程為x=?3和7◆類型3取值范圍問(wèn)題【例題33】（2022·高二單元測(cè)試）設(shè)點(diǎn)M(3,3)在圓x2+y2=rA．[3,22] B．[22,2【答案】D【分析】由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合x(chóng)2+y2=r2(r>0)上存在點(diǎn)N使得∠OMN【詳解】如圖所示，∵x2+y2=則∠OMN的最大值大于或者等于π4時(shí)，一定存在點(diǎn)N，使得當(dāng)MN與圓相切時(shí)，∠OMN此時(shí)，sin∠OMN解得：r=|又M(∴r綜上可得，6?故選：D．【變式33】1.（新課標(biāo)全國(guó)卷）設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)N，使得,則的取值范圍是（）C.[?2,2]D.【答案】：選A.【解析】∶過(guò)O作OP⊥MN于P，則|OP|=|OM|sin45°≤1，所以|OM|≤2，即x02+1≤2，所以x0【變式33】2.（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）設(shè)點(diǎn)Mx0,1，若在圓O:x2+【答案】1【分析】依題意可得圓心O到直線MN的距離小于等于1，作OA⊥MN，垂足為A，即可得到OM≤【詳解】由題意知直線MN與圓O有公共點(diǎn)，即圓心O到直線MN的距離小于等于1，如圖，作OA⊥MN，垂足為A，在直角△OMA所以O(shè)A=OMsin解得OM≤2，因?yàn)辄c(diǎn)Mx0,1故x0的取值范圍是?1,1，所以x07故答案為：1【變式33】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C：x+12+y?1A．k≤?815 B．C．k≤?815或k【答案】C【分析】根據(jù)切線夾角分析出|PC【詳解】設(shè)兩切點(diǎn)為A,B，則PA=PB，因此只要直線l上存在點(diǎn)P，使得PC=4圓心C(?1,1)，所以圓心到直線的距離d=?k?1+5故選：C．題型4弦長(zhǎng)問(wèn)題【方法總結(jié)】解決有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的常用方法及結(jié)論幾何法如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝|xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AB|＝|yA－yB|，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形，在解題時(shí)，要注意把它和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來(lái)使用◆類型1弦長(zhǎng)問(wèn)題【例題41】（2020秋·北京·高二校考期中）（1）求直線l：3x?4y（2）若圓x2+y2?2【答案】（1）4；（2）c=10或c【解析】（1）利用勾股定理可得弦長(zhǎng)；（2）利用點(diǎn)線距公式求出圓心C到直線5x?12y【詳解】（1）由題意得弦心距d=1，半徑r=5（2）由題意得圓心C1,?2，半徑r=5，圓心C到直線5x?12y+c=0的距離d=【變式41】1.（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）若直線l1:y=kx+1截圓【答案】0或?【分析】根據(jù)直線截圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算.【詳解】圓心2,0到直線l1:y由AB=2R2?d2得故答案為：0或?【變式41】2.（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓P過(guò)兩點(diǎn)M(0,2)，N(3(1)求圓P的方程；(2)過(guò)點(diǎn)Q(?1,2)的直線交圓P于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)AB【答案】(1)x(2)x=?1或【分析】（1）依題意可設(shè)圓P的方程為(x?a)2（2）由弦長(zhǎng)AB=23，可得圓心P(0,0)到直線AB的距離為1，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)驗(yàn)證即可，當(dāng)直線AB【詳解】（1）依題意圓心P在直線y=x上，可設(shè)圓P的方程為因?yàn)閳AP過(guò)兩點(diǎn)M(0,2)，N所以(0?a)2所以圓P的方程為x2（2）由（1）可知，圓心P(0,0)，半徑r當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，其方程為x=?1，圓心P(0,0)到直線此時(shí)AB=2當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y?2=k(當(dāng)AB=23時(shí)，圓心P(0,0)到直線AB即有d=k+2此時(shí)直線AB的方程為y?2=?34綜上，直線AB的方程為x=?1或3【變式41】3．（2022秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知圓C:x?2(1)當(dāng)m=1(2)當(dāng)直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，求m的值．【答案】(1)22(2)?1.【分析】(1)求出圓心C到直線l的距離，再利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算作答.(2)由直線過(guò)圓心即可計(jì)算作答.【詳解】（1）圓C:x?22+當(dāng)m=1時(shí)，直線l:x所以直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2r（2）由圓的性質(zhì)知，直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)直線l過(guò)圓C的圓心C，將2,2代入直線l的方程得：2+2m?m所以m的值為?1.◆類型2弦長(zhǎng)最短問(wèn)題【例題42】（2021秋·吉林長(zhǎng)春·高二統(tǒng)考期中）已知圓x2+yA．3x?y=0 B．2x+【答案】C【分析】結(jié)合圓心坐標(biāo)、P點(diǎn)坐標(biāo)求得正確答案.【詳解】圓心為O0,0，P1,3，kOP=3，所以所求直線方程為y?3=?故選：C【變式42】1.(2020·全國(guó)卷Ⅰ)已知圓x2＋y2－6x＝0，過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為()A．1B．2C．3D．4【解析】選B將圓的方程x2＋y2－6x＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x－3)2＋y2＝9.設(shè)圓心為C，則C(3,0)，半徑r＝3.設(shè)點(diǎn)(1,2)為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A(1,2)的直線為l.因?yàn)?1－3)2＋22＜9，所以點(diǎn)A(1,2)在圓C的內(nèi)部，則直線l與圓C必相交，設(shè)交點(diǎn)分別為B，D.易知當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，直線l被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度最?。O(shè)此時(shí)圓心C到直線l的距離為d，則d＝|AC|＝eq\r(3－12＋0－22)＝2eq\r(2)，所以|BD|min＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－2\r(2)2)＝2，即弦的長(zhǎng)度的最小值為2，故選B.【變式42】2.（2021秋·河南焦作·高二溫縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓C:x（1）判斷直線l和圓C的位置關(guān)系？（2）若直線l和圓C相交，求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)及此時(shí)的直線方程.【答案】（1）直線l與圓C總相交；（2）最短弦長(zhǎng)為22，此時(shí)直線方程為x【分析】（1）求得直線l的定點(diǎn)，判斷這個(gè)定點(diǎn)在圓內(nèi)，由此確定直線l與圓C的關(guān)系.（2）利用點(diǎn)斜式求得弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程；利用弦長(zhǎng)公式求得最短弦長(zhǎng).【詳解】（1）由直線l的方程可得，y?3=kx4,3，把4,3代入圓的C方程，得4?32所以點(diǎn)4，3在圓C的內(nèi)部，又因?yàn)橹本€l恒過(guò)點(diǎn)4，3，所以直線l與圓C總相交.（2）設(shè)定點(diǎn)為A4，3，由題可知當(dāng)直線l與CA直線垂直時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，而圓心為C3,4，所以kCA=4?33?4=?1，所以直線l的斜率為k設(shè)圓心C3,4到直線l距離為d，則所以直線l被圓C截得最短的弦長(zhǎng)為24?【變式42】3.（2021·高二單元測(cè)試）已知圓C與y軸相切于D0,1，與x軸正半軸相交于A，B兩點(diǎn)，且AB=23【答案】x?22+【分析】依題意求得半徑和圓心，即可求得圓C的方程；顯然，直線y=kx?k恒過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)E(1,0)，當(dāng)直線y=kx【詳解】依題意設(shè)圓C的方程為(x?a由|AB|=23可得r所以圓C的方程為(x顯然，直線y=kx?k恒過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)E(1,0)，易得當(dāng)直線y=kx?k與CE垂直時(shí)被圓C故答案為：①(x?2)2【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若動(dòng)直線l恒過(guò)圓C內(nèi)部一定點(diǎn)E，則當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，被圓C截得的弦長(zhǎng)最大（即直徑）；當(dāng)直線l⊥CE時(shí)，被圓◆類型3圓上的點(diǎn)到直線距離為定值型【例題43】（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））圓x2+yA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】通過(guò)計(jì)算可知:圓心到直線的距離等于圓的半徑的一半,由此可得結(jié)論.【詳解】圓x2+y2+2x?2圓心(?1,1)到直線l:x+y+2=0所以圓x2+y故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,屬于基礎(chǔ)題.【變式43】1．若圓(x?1)2+(y+1)A．(2,22] B．(2,2【答案】B【詳解】因?yàn)閳A心C(1,?1)到直線x?y+1=0的距離d=|1+1+1|2=322，所以當(dāng)半徑r=322+2【變式43】2.若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是()A．(eq\r(2)＋1，＋∞) B.(eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)C．(0，eq\r(2)－1) D.(0，eq\r(2)＋1)【解析】選A.計(jì)算得圓心到直線l的距離為eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)＞1，如圖．直線l：x－y－2＝0與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離eq\r(2)＋1.故選A.【變式43】3．若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax＋by＝0的距離為2eq\r(2)，則直線l的斜率的取值范圍是()A．[2－eq\r(3)，1]B．[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))D．[0，＋∞)【解析】選B圓x2＋y2－4x－4y－10＝0可化為(x－2)2＋(y－2)2＝18，則圓心為(2,2)，半徑為3eq\r(2).由圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax＋by＝0的距離為2eq\r(2)可得，圓心到直線l：ax＋by＝0的距離d≤3eq\r(2)－2eq\r(2)＝eq\r(2).即eq\f(|2a＋2b|,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，則a2＋b2＋4ab≤0.若a＝0，則d＝2，不符合題意；故a≠0，則上式可化為1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋4·eq\f(b,a)≤0，由于直線l的斜率k＝－eq\f(a,b)，所以上式可化為1＋k2－4k≤0，則k∈[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]，故選B.題型5與圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題【例題5】（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）若圓C:x2+y【答案】2【分析】首先根據(jù)條件確定圓心在直線上，代入求m后，即可求圓的半徑.【詳解】若圓C被直線2x圓C:x2+y解得：m=4則圓C:x+22+故答案為：2【變式51】1.（多選）（2023春·廣東深圳·高二深圳市耀華實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知圓C:A．圓C關(guān)于直線x+3y?3=0對(duì)稱C．點(diǎn)?1,4在圓C外 D．直線3x【答案】AC【分析】根據(jù)圓的一般方程寫(xiě)出圓心坐標(biāo)與半徑，對(duì)于選項(xiàng)A，判斷圓心是否在直線上即可；對(duì)于選項(xiàng)B，運(yùn)用圓的面積公式計(jì)算即可；對(duì)于選項(xiàng)C、D，運(yùn)用幾何法判斷點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系即可.【詳解】由x2+y2+6x?4因?yàn)閳A心C?3,2在直線x+3y因?yàn)榘霃綖?，所以圓C的面積是5π，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x=?1，y=4時(shí)，x2因?yàn)閳A心C?3,2到直線3x?4所以直線3x故選：AC.【變式51】2.（2022秋·安徽馬鞍山·高二校考期中）已知直線l:x+ay?1=0A．2 B．43 C．7 D．【答案】C【分析】由題可知圓心C及半徑r=2，結(jié)合條件可知直線l經(jīng)過(guò)圓心3,1，進(jìn)而得出點(diǎn)A【詳解】由題可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x?3可知圓心C的坐標(biāo)3,1，半徑為r=3因?yàn)橹本€l:x+所以直線l經(jīng)過(guò)圓心3,1，則3+a解得a=?2，故A由于過(guò)點(diǎn)A?4,?2作圓C的一條切線，切點(diǎn)為P∴PA故選：C.【變式51】3.（2023·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）點(diǎn)M、N在圓C:x2A．最大值為22 B．最小值為22 C．最小值為32【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑的表達(dá)式，利用已知條件，得到圓心在直線上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由x2+y所以圓心C為?k,?m由題意可得直線x?y+1=0經(jīng)過(guò)圓心C故有?k+m所以半徑為r=當(dāng)m=?12故選：C.【變式51】4.（2023春·河北唐山·高三開(kāi)灤第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓x?12+y?1A．12 B．98 C．3【答案】B【分析】求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出a，b的關(guān)系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.【詳解】圓x?12+y?12=4因此a+b?4=0，即a12當(dāng)且僅當(dāng)b2a=所以12a+故選：B.【變式51】5.（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎匠蘹2(1)若此方程表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若m的值為（1）中能取到的最大整數(shù)，則得到的圓設(shè)為圓E，若圓E與圓F關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)Px,y為圓F上任意一點(diǎn)，求P【答案】(1)?∞,(2)最大值為22+1【分析】（1）根據(jù)表示圓的限制條件可得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）先確定圓E的方程，再利用對(duì)稱性得到圓F的方程，根據(jù)圓心到直線的距離可得答案.【詳解】（1）若此方程表示圓，則(?2)2解得m<即實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞,5（2）由（1）可知m=1，此時(shí)圓E：x圓心坐標(biāo)為E1,?2因?yàn)閳AF和圓E關(guān)于y軸對(duì)稱，所以圓F圓心坐標(biāo)是?1,?2，半徑是1，故圓F方程為(x則圓心?1,?2到直線x+y?1=0故Px,y到直線x+y題型6與圓有關(guān)的最值問(wèn)題◆類型1點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【方法總結(jié)】圓上的點(diǎn)到直接距離最值:（1）把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r（2）利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離（3）判斷位置關(guān)系【例題61】已知圓C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，當(dāng)m變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)O的最短距離是________．【解析】圓C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圓心為C(2，－m＋4)，半徑r＝1的圓，則|OC|＝eq\r(22＋（－m＋4）2)，所以當(dāng)m＝4時(shí)，|OC|的最小值為2，故當(dāng)m變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)的最短距離是|OC|－r＝2－1＝1.【答案】1【變式61】1.（多選）（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P在⊙O：x2+y2A．點(diǎn)P到直線AB的距離最大值是22B．滿足AP⊥C．過(guò)直線AB上任意一點(diǎn)作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)D．2PA+【答案】ABD【分析】對(duì)A，求出直線AB的方程，算出圓心到該直線的距離，進(jìn)而通過(guò)圓的性質(zhì)判斷答案；對(duì)B，設(shè)點(diǎn)Px,y對(duì)C，舉反例判斷即可；對(duì)D，設(shè)Px,y，設(shè)存在定點(diǎn)C0,t，使得點(diǎn)P【詳解】對(duì)A，lAB:x3+對(duì)B，設(shè)點(diǎn)Px,y，則x2+兩圓的圓心距為0?322于是92對(duì)C，如圖，過(guò)A作切線時(shí)，直線MN顯然不經(jīng)過(guò)12,1，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D，即求2PA+12PB的最小值，設(shè)存在定點(diǎn)C0,t，使得點(diǎn)P在圓O上任意移動(dòng)時(shí)均有PC=1則有21?ty=1?t2，即所以2PA故選：ABD.【變式61】2.（2023·河北·校聯(lián)考一模）直線l:ax+by?4=0A．16 B．25 C．49 D．81【答案】C【分析】利用圓與直線的位置關(guān)系得出a,b的方程，根據(jù)方程分析利用【詳解】由直線l與圓O相切可得：圓心O0,0到直線l即?4a故a2+b(a?3)2+(由a2+b因?yàn)?2所以點(diǎn)(3,4)在圓a2所以點(diǎn)(a,b)到點(diǎn)即d+所以(a?3)2故選：C.【變式61】3.（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2【答案】36【分析】先求出x2+y2?4x+3=0【詳解】實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2?4x+3=0，即表示以C2，0為圓心、1為半徑的圓，x+2故答案為：36【變式61】4.（2023秋·高一單元測(cè)試）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(m,n【答案】10【分析】先利用阿氏圓定義設(shè)出Bx0,y0，由PB【詳解】設(shè)Px,y，不妨取Bx0整理得：x2此方程與x2+y2=1為同一方程，所以4+2所以2PA此時(shí)BC=所以2PA+PC故答案為：10.◆類型2圓上的點(diǎn)與直線距離最值問(wèn)題【例題62】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若點(diǎn)Px,y是圓x2+y2【答案】9+45/4【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用x2【詳解】由圓方程x2得x?12+y+2因?yàn)辄c(diǎn)Px,y所以x2連接OC并延長(zhǎng)OC交圓C于點(diǎn)A,如圖所示，由圖可得x2+y且OA2所以x2+y直線l:3

過(guò)點(diǎn)C作直線l的垂線，垂足為D，延長(zhǎng)DC與圓交于點(diǎn)B，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是BD，所以BD=所以點(diǎn)P到直線3x故答案為：9+45【變式62】1．已知圓(x－2)2＋y2＝1上的點(diǎn)到直線y＝eq\r(3)x＋b的最短距離為eq\r(3)，則b的值為()A．－2或2 B．2或4eq\r(3)＋2C．－2或4eq