三年高考真題（2022-2024）分類匯編數(shù)學(xué)專題04立體幾何（文）（八大考點）

專題04立體幾何（文）考點三年考情（20222024）命題趨勢考點1：三視圖2022年浙江卷2022年全國甲卷（理）2023年全國乙卷（理）從近三年高考命題來看，本節(jié)是高考的一個重點，立體幾何是高考的必考內(nèi)容，重點關(guān)注以下幾個方面：（1）掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，能夠解決簡單的實際問題；（2）多面體和球體的相關(guān)計算問題是近三年考查的重點；（3）運用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果，突出考查直觀想象和邏輯推理．考點2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積2022年全國I卷2024年天津卷2022年天津卷2024年全國Ⅰ卷考點3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷2024年天津卷2024年全國甲卷（理）考點4：線線角、線面角、二面角2022年全國I卷2022年浙江卷2024年全國Ⅱ卷考點5：外接球、內(nèi)切球問題2023年全國乙卷（文）2022年全國II卷考點6：立體幾何中的范圍與最值問題及定值問題2023年全國甲卷（文）2023年全國Ⅰ卷2022年全國乙卷（理）2022年全國I卷考點7：錐體的體積問題2023年全國甲卷（文）2023年天津卷2022年全國乙卷（文）2022年全國甲卷（文）2023年全國乙卷（文）考點8：距離及幾何體的高問題2024年北京卷2024年全國甲卷（文）2023年全國甲卷（文）

考點1：三視圖1．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個半球，一個圓柱，一個圓臺組合成的幾何體，球的半徑，圓柱的底面半徑，圓臺的上底面半徑都為，圓臺的下底面半徑為，所以該幾何體的體積．故選：C．2．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】由三視圖還原幾何體，如圖，則該直四棱柱的體積.故選：B.3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（

）

A．24 B．26 C．28 D．30【答案】D【解析】如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.考點2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積4．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．5．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用一個完全相同的五面體（頂點與五面體一一對應(yīng)）與該五面體相嵌，使得；;重合，因為，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為，.故選：C.6．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【解析】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因為，所以，因為重疊后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設(shè)重疊后的EG與交點為則則該幾何體的體積為.故選：D.7．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.考點3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷8．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交【答案】C【解析】對于A，若，，則平行或異面或相交，故A錯誤.對于B，若，則平行或異面或相交，故B錯誤.對于C，，過作平面，使得，因為，故，而，故，故，故C正確.對于D，若，則與相交或異面，故D錯誤.故選：C.9．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】對①，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.考點4：線線角、線面角、二面角10．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD11．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，過點作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．12．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】解法一：分別取的中點，則，可知，設(shè)正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.考點5：外接球、內(nèi)切球問題13．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．【答案】2【解析】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因為，即，解得.故答案為：2.14．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．考點6：立體幾何中的范圍與最值問題及定值問題15．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點，正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；分別取側(cè)棱的中點，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點，連接，則，當(dāng)球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為：16．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.17．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當(dāng)四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立)所以該四棱錐的體積最大時，其高.故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，最大，此時．故選：C.【點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．18．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時，得，則當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是考點7：錐體的體積問題19．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】取中點，連接，如圖，

是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A20．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B21．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．【解析】（1）由于，是的中點，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時，三角形的面積最小過作，垂足為，在中，，解得，所以，所以過作，垂足為，則，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換，，是邊長為2的等邊三角形，連接22．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．【解析】（1）如圖所示：分別取的中點，連接，因為為全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）[方法一]：分割法一如圖所示：分別取中點，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識可知，，，，所以該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍．因為，，點到平面的距離即為點到直線的距離，，所以該幾何體的體積．[方法二]：分割法二如圖所示：連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐OEFGH的體積加上三棱錐AOEH的倍,再加上三棱錐EOAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐OEFGH與三棱錐EOAB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積23．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．【解析】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過作垂直的延長線交于點，因為是中點，所以，在中，，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，