高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第04講專題正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用

9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用TOC\o"13"\h\u題型1利用正余弦定理判斷三角形形狀 2題型2多三角形問題 8◆類型1三角形角平分線 8◆類型2三角形中線 14◆類型3一般型 21◆類型4四邊形型 24題型3面積周長相關(guān)取值范圍問題 27◆類型1基本不等式法 27◆類型2正弦定理與三角函數(shù)法 35◆類型3二次函數(shù)法 44知識點一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)使用條件1.兩角一邊求角2.兩邊對應(yīng)角1.三邊求角2.兩邊一角求邊注意：上表中A為銳角時，a<bsinA，無解．A為鈍角或直角時，a＝b，a<b均無解．知識點二..三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．常用結(jié)論1．三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cos(A＋B)＝－cosC.(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4．三角形中的大角對大邊在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB.題型1利用正余弦定理判斷三角形形狀【方法總結(jié)】(1)判斷三角形形狀的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系．②化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．(2)三角形面積計算問題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化．【例題1】（2021春·吉林白城·高一?？茧A段練習(xí)）若(a+b+cA．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】化簡a+b+cb+c?a【詳解】由a+b+化簡得b2所以由余弦定理得cosA因為A∈0,π因為sinA所以由正余弦定理角化邊得a=2b?所以b=所以△ABC故選：B【變式11】1．（2023春·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知△ABC的內(nèi)角A，BA．若acosA=B．若acosA=C．若bcosC+cosD．若a2+b【答案】A【分析】由正弦定理化邊為角變形判斷AB，舉特例判斷C，由余弦定理及銳角三角形的定義判斷D．【詳解】由正弦定理asinA=bsinB=csin若acosA=bcosA,B∈(0,π)，則2A=2B或例如b=3，C=π3，Ba2+b2?c2故選：A．【點睛】易錯點睛：本題考查三角形形狀的判斷，解題時利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換后再進(jìn)行變形判斷是常用方法，解題時注意三角函數(shù)性質(zhì)的正確應(yīng)用，如選項B，在由sin2A=sin2B【變式11】2．（2022·高一課時練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosAA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到a2b2+c【詳解】∵cosA∴acos由余弦定理可得：a×整理可得：a2∵ba∴b2由①②得c2∴該三角形是直角三角形.故選：A【變式11】3．（2022春·吉林長春·高一長春吉大附中實驗學(xué)校?？计谀┰凇鰽BC中，角A,B,C的對邊分別為a,bA．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個角是π6的直角三角形 【答案】A【分析】由向量共線的坐標(biāo)運算可得acosB2=bcosA【詳解】∵向量m=(a,cosA2由正弦定理得：sinA∴2sinA2cos∵0<A2<π2，0<B2同理可得B=∴△ABC故選：A．【變式11】4．（2023·高一課時練習(xí)）在△ABC中，sinC=【答案】直角三角形【分析】利用正弦定理和余弦定理化簡已知條件，得到c2=a【詳解】因為sin據(jù)正、余弦定理得：c=∴b即ab化簡得：ac∴(a∴即c2所以△ABC故答案為：直角三角形.【變式11】5.在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判斷△ABC的形狀.【答案】△ABC為直角三角形或等腰三角形【解析】∵(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由余弦定理可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC為直角三角形或等腰三角形【變式11】6．(多選)（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，角A,B,A．若A>B，則sinA>sinB C．a(chǎn)sinA=b+c【答案】ACD【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和三角形的面積公式，比例的等比性質(zhì)的應(yīng)用判斷結(jié)論.【詳解】對于A，若A>B，所以a>b，利用正弦定理可得對于B，由于acosB=bcosA，利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，整理得1對于C，由正弦定理asinA=對于D，由于tanA所以tan=?tanC因為0<A,B,C故選：ACD.【變式11】7．（2023·高一課時練習(xí)）在△ABC中，已知2(1)求A；(2)若sinB+sinC【答案】(1)2π(2)△ABC【分析】(1)由正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理，可求出角A的余弦值.(2)利用三角形內(nèi)角和關(guān)系計算出B、C角,根據(jù)角度判斷三角形形狀.【詳解】（1）由正弦定理得2a∵余弦定理a∴2bc=?4bc而A為三角形內(nèi)角，∴A（2）△ABC中，A+B+∴sinB因為π3<B+π∴△ABC題型2多三角形問題【方法總結(jié)】（1）在多三角形中，隱含條件是鄰補角∠ADC與∠ADB，鄰補角的正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)；（2）三角形外找關(guān)系，三角形內(nèi)用定理?！纛愋?三角形角平分線【例題21】（2022春·江蘇宿遷·高一沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足2cb=1+tanAtanA．23 B．32 C．1【答案】A【分析】由條件及三角形中角的關(guān)系，結(jié)合正弦定理先求出角A，由三角形的內(nèi)角平分線定理可得AB=2AC，然后在△ACM，△ABM中，分別利用余弦定理結(jié)合∠BMA【詳解】由條件有：2sinC又sin(A+B即cosA=12由AM為∠CAB的角平分線，則ABAC=則∠CAM在△ACM中，cos∠即AC在在△ACM中，在△ABM中，由∠BMA+∠化簡得到：AM將②代入①可得：AM=將③代入②可得：CM=3所以AM故選：A【變式21】1．（2022春·江蘇蘇州·高一校聯(lián)考期末）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足(1)求角C；(2)CD是∠ACB的角平分線，若CD=433【答案】(1)C=(2)c【分析】（1）先由正弦定理得ab+c+b（2）先由面積求得ab=8，再由角平分線得ADBD=ba，結(jié)合平面向量得CD【詳解】（1）由正弦定理得ab+c+b化簡得a2+b2?c2（2）由面積公式得12absinC=12即ADBD=b所以CD2=a整理得163=3a2b2由（1）知c2=a【變式21】2．（2022·全國·高一假期作業(yè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足bcos(1)求A的大小；(2)若a=23，【答案】(1)2π(2)155【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，再由三角恒等變換化簡即可求出角A；（2）由數(shù)量積公式可得bc，再由余弦定理求出b+c，根據(jù)三角形面積公式利用【詳解】（1）因為bcos∴sinB因為B∈0,π所以sinA2=2sin∴cosA所以A2=π（2）由BA?AC=∴bc=3，又a∴a2可得b+∵S△∴12所以AD=【變式21】3．（2022春·江蘇蘇州·高一校考期末）如圖，設(shè)△ABC中的角A，B，C所對的邊是a，b，c，AD為∠BAC的角平分線，已知AB=1，AD=34AB+14AC，AB|AB(1)求邊BC的長度；(2)當(dāng)AG?EF=【答案】(1)7(2)9【分析】（1）根據(jù)AB|AB|?AC|AC|=（2）設(shè)AE=λAB，AF=μAC，AG=kAD（0≤λ，μ，k≤1），根據(jù)△AEF的面積是△ABC面積的一半，可得λμ【詳解】（1）解：由AB|AB|因為A∈(0,π)因為AD為∠BAC的角平分線，所以BD所以BD=AD=又AD=34AB+因為a2所以BC=（2）解：設(shè)AE=λAB，AF=μAC，AG=因為△AEF的面積是△所以12所以λμ=AB?由AD=34因為E，F(xiàn)，G三點共線，所以1k=3所以AG=又EF=所以AG==27因為AG?EF=4528由①②解得λ=12所以k=因為AD=所以AD所以AD=由AG=47所以S△◆類型2三角形中線【例題22】（2022春·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為△ABC的邊BC上的中線，且b=4，c=2，【答案】11【分析】先求出sin∠BAD，然后在△ABD和△ADC分別利用正弦定理，結(jié)合sin∠ADB=sin∠ADC可得sin∠CAD【詳解】因為cos∠BAD=6所以sin∠BAD在△ABD中，由正弦定理得BDa2在△ADC中，由正弦定理得BDa2因為sin∠ADB所以兩式相除，得sin∠CAD因為0<∠BAC<π所以cos∠CAD所以sin∠=3所以S△故答案為：11【變式22】1．（2022春·北京·高一清華附中校考期末）△ABC中，已知3cosπ3?(1)求∠B(2)從以下三個條件中選擇兩個，使△ABC存在且唯一確定，并求AC和BD條件①：a2?b2+【答案】(1)B(2)選擇條件②和條件③；AC=14,【分析】（1）利用三角恒等變換對已知等式進(jìn)行化簡，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用余弦定理可判斷條件①錯誤；根據(jù)條件②和條件③，利用三角形面積公式可得c=10，利用余弦定理可得b=14，在△ABC中，利用正弦定理可得sinA=33【詳解】（1）解：因為3cos則3cos31又0<B<π，解得：B（2）解：由（1）得∠ABC又余弦定理得：cos∠ABC=a而條件①中a2?b由條件②a=6，條件③S△ABC由余弦定理可得b2=a在△ABC中，由正弦定理可得asinA又0<A<π因為BD為AC邊上的中線，所以AD=在△ABD中，由余弦定理可得BD2故AC=14,【變式22】2．（2022春·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）在①asin2B=bsin△ABC三個內(nèi)角A,B(1)求角B的大??；(2)若D為邊AC的中點，且a=3,注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)B(2)BD【分析】（1）若選①：由正弦定理把邊化為角即可求解；若選②：由正弦定理把邊化為角再結(jié)合三角恒等變換求解即可；若選③：由正弦定理把角化為邊，再結(jié)合余弦定理求解即可；（2）由余弦定理求解即可(1)若選①：asin2B=由正弦定理，可得2sinA因為A,所以cosB因為B∈所以B=若選②：由正弦定理，可得2sin移項得2sin即2sinC又因為C∈0,π所以cosB=1若選③：由正弦定理，可得a2由余弦定理，可得cosB因為B∈所以B(2)由余弦定理，可得b2=因為D為邊AC的中點，所以AD=在△ABD中，由余弦定理，可得cos∠在△BCD中，由余弦定理，可得cos∠因為∠ADB+∠BDC即AD解得BD【變式22】3．（2022春·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(1)求C的大??；(2)若c=2bcosB，_____，求在“①CA?CB=?2；②周長為4+23；③【答案】(1)2π(2)3【分析】（1）先由正弦定理得c2?b（2）先由c=2bcosB結(jié)合正弦定理求得B=π6，A(1)由正弦定理得c2?b2=a2(2)由正弦定理得sinC=2sinBcosB，即sin2B=32若選①，CA?CB=CA?CBcosC=?2即BM2=1+4?2×1×4×若選②，由asinA=bsin可得a=b=2，由余弦定理可得BM2若選③，由12absinC=34ab=即BM2=1+4?2×1×4×【變式22】4．（2022春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）在△ABC中，若AC=23，A=【答案】答案見解析.【分析】如果選擇條件①或者③，可以分析得到三角形的解不唯一；如果選擇條件②：先求出c=2【詳解】解：如果選擇條件①：由正弦定理得212=所以三角形有兩解，與已知不相符，所以舍去；如果選擇條件②：由題得12由余弦定理得a=12+4?2×23所以BC邊上的中線AD=所以BC邊上的中線長為7.如果選擇條件③：由題得a2由a+c=6?2所以該三角形無解，與已知不相符.【變式22】5．（多選）（2022春·湖北襄陽·高一襄陽五中?？茧A段練習(xí)）△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2，BC邊上的中線A．AB?AC=3 B．b2+【答案】ABC【分析】利用向量的數(shù)量積公式,余弦定理及基本不等式對各個選項進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵AB?∵cos∠ADC∴b=2A由余弦定理及基本不等式得cosA=b2+c2?42bc≥2bc?42bc=1?2bc故選:ABC◆類型3一般型【例題23】如圖，在△中，是邊上的點，且，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，，在中，由余弦定理得，則，在中，由正弦定理得，解得．【變式23】1.已知，，．

點為延長線上一點，，連結(jié)，則的面積是____，=____．【答案】，【解析】由余弦定理可得，，由所以，．因為，所以，所以，．【變式23】2.如圖中，已知點D在BC邊上，ADAC，，，，則的長為_______________．【答案】【解析】∵∴根據(jù)余弦定理可得，．【變式23】3.在中，，，，點在線段上，若，則____，________.【解析】在直角三角形ABC中，QUOTEAB=4，QUOTEBC=3，QUOTEAC=5，QUOTEsinC=45，在QUOTE△BCD中QUOTE322=BDsinC可得QUOTEBD=1225；，QUOTEsin∠CBD=sin(135°C)=22(cosC+sinC)=22×(45+35)=7210，所以QUOTEcos∠ABD=cos(90°∠CBD)=sin∠CBD=7210.【變式23】4.在①;②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題.在中，角的對邊分別為，已知，.(1)求;(2)如圖，為邊上一點，，求的面積【解析】若選擇條件①，則答案為:(1)在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，因為，所以.(2)解法1:設(shè)，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因為，所以，因為所以，所以因為為銳角，所以又所以所以若選擇條件②，則答案為:(1)因為，所以，由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，則，所以.(2)同選擇①◆類型4四邊形型【例題24】在①面積，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.【答案】見解析【解析】選擇①：所以；由余弦定理可得，所以選擇②設(shè)，則，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.【變式24】1.在平面四邊形中，，，，．(1)求；【答案】（1）25【解析】(1)在中，由正弦定理得．由題設(shè)知，，所以．由題設(shè)知，，所以．(2)由題設(shè)及(1)知，．在中，由余弦定理得．所以．【變式24】2.如圖，在平面四邊形中，，，，，．（1）求的長；（2）求的長．【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中，，則，又由正弦定理，得（2）在中，，則，又即是等腰三角形，得.由余弦定理，得所以.在中，由余弦定理，得所以.【變式24】3.（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀榱擞觼嗊\會，濱江區(qū)決定改造一個公園，準(zhǔn)備在道路AB的一側(cè)建一個四邊形花圃種薰衣草（如圖）.已知道路AB長為4km，四邊形的另外兩個頂點C，D設(shè)計在以AB為直徑的半圓O上.記∠COB(1)為了觀賞效果，需要保證∠COD=π3，若薰衣草的種植面積不能少于(2)若BC=AD，求當(dāng)α為何值時，四邊形ABCD的周長最大，并求出此最大值.【答案】(1)π(2)α=【分析】（1）由SABCD=S（2）由BC=AD得到∠AOD=∠COB=α【詳解】（1）解：SABCD=2sinα由題意，3+2sin(α因為0<α<π解得π6（2）由BC=AD可知，∠AOD故AB+=4+8sinα從而四邊形ABCD周長最大值是10km，當(dāng)且僅當(dāng)sinα2=題型3面積周長相關(guān)取值范圍問題◆類型1基本不等式法【例題31】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知△ABC的外接圓面積為16π，且cos【答案】8【分析】設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，由題意求出R，再由同角三角函數(shù)的平方公式和正、余弦定理可求出B，再由均值不等式即可求出a【詳解】設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R．∵△ABC的外接圓面積為∴16π=πR2，解得R∴1?sin2C即c2+a2?b2解得B=2π∴(a+c當(dāng)且僅當(dāng)a=故答案為：8.【變式31】1．（多選）（2022春·吉林長春·高一長春市實驗中學(xué)?？计谀┮阎狧為△ABC的垂心，面積為S，a=bA．B=60° B．S=33 C．b【答案】ABC【分析】對于A，由正弦定理邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和以及三角恒等變換即可求出角B；對于B，根據(jù)已知條件將BH?BC=6轉(zhuǎn)化為BA?BC=6，運用數(shù)量積公式求出ac=12，再根據(jù)面積公式求出△ABC的面積；對于C，根據(jù)余弦定理以及重要不等式即可求解；對于D，取AC的中點【詳解】依題意，如圖所示，對于A，∵a=b∵A+B∴sin180°?B+∵sinC≠0，∴cosB=1對于B，∵BH?BC=6，∵H為△ABC的垂心，∴AH?∴BA?BC∴S對于C，由余弦定理得，b2當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2對于D，取AC的中點D，連接BD，則BC+假設(shè)BH=13BC+又∵BH⊥AC，AD∴△ABC故選：ABC.【變式31】2．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，角A,B,CA．若A=π4，則a=C．△ABC周長有最大值12 D．△ABC【答案】ABC【分析】對于ABC，根據(jù)正，余弦定理，基本不等式，即可解決；對于D，由正弦定理得S△【詳解】對于A，B=60°,b=4，所以a=對于B，由正弦定理得bsinB=因為a>所以該三角形有兩解，故B正確；對于C，由b216=a所以a+c≤8對于D，由432=故S=====由于A∈(無最小值，所以△ABC面積無最小值，有最大值為4故選：ABC【變式31】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)3(1)求B；(2)若△ABC的面積等于3，求△【答案】(1)B(2)4+2【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)輔助角公式及三角函數(shù)即可得解；（2）由題意可得ac＝4，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）解：因為3b所以3sin因為sinA所以3sin所以2sinB∵B∈(0,π)，所以B所以B?π6（2）解：依題意3ac所以a+c≥2又由余弦定理得b2∴b≥2所以△ABC的周長最小值為4+2【變式31】4.（2022春·浙江杭州·高一杭十四中校考期中）在①cos2B+2cos2B已知△ABC的內(nèi)角A,B(1)求角B；(2)若b=1，且△ABC的面積S∈0,3【答案】(1)B(2)2,【分析】（1）選①：由余弦的二倍角公式化簡可求cosB的值，結(jié)合角B的范圍即可求角B選②：由切化弦結(jié)合正弦定理化邊為角可求cosB的值，結(jié)合角B的范圍即可求角B選③：由sinA+B=sinC（2）根據(jù)三角形面積公式可得ac∈0,1（1）選①：∵cos2B+2cos2B∴cosB=1∵B∈0,π，∴cosB選②：∵2bsinA=a即2sinB∵A,B∈0,π，∴∴cosB=12，∵選③：由內(nèi)角和定理得：sinA∴(a由正弦定理邊角互化得：(a?c∴cosB=a2+（2）由題意S=12acsin由（1）B=π3，余弦定理可得a2+c2?b即△ABC的周長l的取值范圍為【變式31】5．（2022春·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a(1)求角A的值；(2)若a=2，求△【答案】(1)A=(2)(4,6].【分析】（1）利用向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，余弦定理化簡、計算作答.（2）由（1）中信息，利用均值不等式求解作答.（1）因m=(2cosC,c2?b),n=(a2,1)，且m（2）由（1）知，4=a2=b2+c2?bc=(b【變式31】6.（2022春·河南信陽·高一信陽高中校考期末）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b(1)求角C；(2)若c=23，求【答案】(1)π(2)4【分析】（1）由正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）由余弦定理、基本不等式計算可得.【詳解】（1）解：由正弦定理asinA=bsin所以由余弦定理得cosC又C∈0,π（2）解：因為c=23，C=則a+b2?2ab即a+b24≤12所以a+b的最大值為【變式31】7．（2022春·黑龍江佳木斯·高一建三江分局第一中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，b=23，(1)求角B的大??；(2)若AD是BAC的內(nèi)角平分線，當(dāng)△ABC面積最大時，求AD的長．【答案】(1)2π3(2)6．【分析】（1）根據(jù)正弦定理先角化邊，然后由余弦定理即可解出；（2）由（1）知，B=2π3，根據(jù)三角形的面積公式S=12ac【詳解】（1）因為sin2A+由余弦定理得cosB=a2+（2）在△ABC中，由余弦定理得b則12=a2+∵a>0，c>0，∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2所以S△此時，∠BAC在△ABD中，∠由正弦定理得ADsin◆類型2正弦定理與三角函數(shù)法【例題32】在△ABC中，若C＝2B，則eq\f(c,b)的取值范圍為________.【答案】(1，2)【解析】因為A＋B＋C＝π，C＝2B，所以A＝π－3B>0，所以0<B<eq\f(π,3)，所以eq\f(1,2)<cosB<1.因為eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin2B,sinB)＝2cosB，所以1<2cosB<2，故1<eq\f(c,b)<2.【變式32】1．（2022春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，A，B，C分別為△ABC三邊a，b，c所對的角，若cosB+3A．1 B．3 C．2 D．2【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得B,b，再利用正弦定理將角化邊，將問題轉(zhuǎn)化為求【詳解】cosB+3sinB=2得在△ABCcos所以b=32sin故當(dāng)A+π6=π2故選：D【變式32】2．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，a,b,c分別是角A,A．C=π3 B．A∈π6【答案】AB【分析】利用正弦定理與余弦定理化簡等式，即可求出C=π3，結(jié)合△ABC為銳角三角形，即可得出π6<A<π【詳解】由正弦定理及已知可得a2由余弦定理可得cosC因為C∈0,π所以asin故a==4sinA因為0<A<π2，所以π所以sinA+π因為0<B<π2，故選：AB．【變式32】3．（2022春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知銳角三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,△A．1,2 B．0,3 C．1,3 D．0,2【答案】A【分析】根據(jù)面積公式，余弦定理和題干條件得到c=a?2ccosB，結(jié)合正弦定理得到B=2C，由【詳解】因為S=12即b2所以ac+整理得：ac=因為a>0所以c=由正弦定理得：sinC因為sinA所以sinC因為△ABC所以B?所以C=B?由B∈0,π因為a=所以cosB解得：k∈故選：A【點睛】三角形相關(guān)的邊的取值范圍問題，通常轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)恒等變換及三角函數(shù)的值域等求出邊的取值范圍，或利用基本不等式進(jìn)行求解.【變式32】4．（2022春·廣西桂林·高一?？计谀┰阡J角△ABC中，a,b,c(1)求角A；(2)若a=2，求b【答案】(1)π(2)2【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換即可求解；（2）利用正弦定理可得b+c=asin【詳解】（1）因為△ABC中2b?由正弦定理得2sinB所以2sinB又因為銳角△ABC，sinB≠0所以cosA=1（2）由正弦定理可得：b+c=asinAsin因為△ABC是銳角三角形A=π解得π6<B所以sinB所以b+【變式32】5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在①a+acosC=這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，__________，且S△(1)求角C的值；(2)求a的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分．【答案】(1)C(2)2【分析】（1）選擇條件①，則利用正弦定理化簡已知條件，從而求得C.選擇條件②，則利用余弦定理化簡已知條件，從而求得C.選擇條件③，則利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，從而求得C.（2）利用三角形的面積公式求得ab，結(jié)合正弦定理，用tanB表示出a2并求得a2【詳解】（1）選擇條件①．∵a+∴由正弦定理，得sinA∵0<A<π∴1+cosC=3即32sinC∵0<C<π2,?選擇條件②．由a+b+∴a2則由余弦定理，得cosC∵0<C<π選擇條件③．∵A+B+結(jié)合a?bsin由正弦定理，得a?ba則由余弦定理，得cosC∵0<C<π（2）∵S△ABC=∵△ABC為銳角三角形，且C∴A=2π3又0<B<π2，∴由正弦定理asinA=∴a2∴2<a2<8，∴2【變式32】6．（2022春·天津河?xùn)|·高一統(tǒng)考期中）已知△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b(1)求A的值；(2)若a=3，求△【答案】(1)π(2)6,9【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)運算可整理求得cosA，由此可得A（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識可化簡得到b+c=6sinB+π6【詳解】（1）∵m//n，∴∴b2+c2?a（2）由正弦定理得：bsinB=csin∴b+c∵B∈0,2π3，∴a+b+c【變式32】7．（2022春·遼寧沈陽·高一新民市第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2c(1)求角B的大??；(2)若b=23，求【答案】(1)B(2)4【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再利用內(nèi)角和定理兩角和的正弦定理化簡求角B（2）由正弦定理，可得a+c=4sinA+4sin（1）由已知及正弦定理，得2sinC∵C=180°化簡，得sinA∵sinA≠0，∴cosB=1（2）由已知及正弦定理，得bsin即a=4sinA,c=4sinC．從而a+因為0<A<2π3當(dāng)A=π3時，a【變式32】8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，BC=3AC，∠BAC=π3，點D與點B分別在直線A．3 B．33 C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可以判斷△ABC是直角三角形，且隨著∠ADC的變化△ABC三條邊的長度也會隨著發(fā)生改變，因此先根據(jù)余弦定理和正弦定理確定∠ADC與邊的變化關(guān)系，再構(gòu)造一個關(guān)于BD邊的三角形，根據(jù)【詳解】由BC=3AC?BCAC=設(shè)AC=x，BC=得AC2由正弦定理得ADsin∠ACD=連接BD，在△BCD中，由余弦定理，得B當(dāng)θ=π2+故選:B【點睛】思路點睛：可變動圖形與某一變量的變化關(guān)系引出的求邊求角類問題（以本題為例）：①確定變動圖形的變化規(guī)律：如上題△ABC②確定圖形變化與某個變量的聯(lián)系：∠ADC變化→AC發(fā)生變化→△③找到有直接聯(lián)系的兩個變量的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后推廣到整體變化上：此處最為困難，需要學(xué)生根據(jù)已知條件活用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識.◆類