初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題22 與圓相關(guān)的比例線段

專題21、專題22－－錄入：江陰夏建平（QQ：705269007）專題22與圓相關(guān)的比例線段閱讀與思考比例線段是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)核心問題.我們開始是用平行線截線段成比例進(jìn)行研究的，隨著學(xué)習(xí)的深入、知識(shí)的增加，在平行線法的基礎(chǔ)上，我們可以利用相似三角形研究證明比例線段，在這兩種最基本的研究與證明比例線段方法的基礎(chǔ)上，在不同的圖形中又發(fā)展為新的形式.在直角三角形中，以積的形式更明快地表示直角三角形內(nèi)線段間的比例關(guān)系.在圓中，又有相交弦定理、切割線定理及其推論，這些定理用乘積的形式反映了圓內(nèi)的線段的比例關(guān)系.相交弦定理、切割線定理及其推論，它們之間有著密切的聯(lián)系：1．從定理的形式上看，都涉及兩條相交直線與圓的位置關(guān)系；2．從定理的證明方法上看，都是先證明一對(duì)三角形相似，再由對(duì)應(yīng)邊成比例而得到等積式.熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.例題與求解【例1】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓的切線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.若DE=eq\f(3,4)CE，AC=8eq\r(,5)，點(diǎn)D為EF的中點(diǎn)，則AB=.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：設(shè)法求出AE、BE的長(zhǎng)，可考慮用相交弦定理，勾股定理等.例1題圖例2題圖【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一點(diǎn)O為圓心作⊙O與AC、AB都相切，又⊙O與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則線段BD的長(zhǎng)為（）A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)（武漢市中考試題）解題思路：由切割線定理知BE2=BD·BC，欲求BD，應(yīng)先求BE.須加強(qiáng)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，充分挖掘隱含條件.【例3】如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切半圓于D，DE⊥AB于E.已知AE∶EB=4∶1，CD=2，求BC的長(zhǎng).（成都市中考試題）解題思路：由題設(shè)條件“直徑、切線”等關(guān)鍵詞聯(lián)想到相應(yīng)的知識(shí)，尋找解題的突破口.【例4】如圖，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，eq\f(DB,DP)=eq\f(DC,DO)=eq\f(2,3).（1）求證：直線PB是⊙O的切線；（2）求cos∠BCA的值.（呼和浩特市中考試題）解題思路：對(duì)于（1），恰當(dāng)連線，為已知條件的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件；對(duì)于（2），將問題轉(zhuǎn)化為求線段的比值.【例5】如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn).延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BF交⊙O于F，AF交CE于P.求證：PE=PC.（太原市競(jìng)賽試題）解題思路：易證PC為⊙O切線，則PC2=PF·PA，只需證明PE2=PF·PA.證△PEF∽△PAE，作出常用輔助線，突破相關(guān)角.【例6】如圖，已知點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PS、PT是⊙O的兩條切線.過點(diǎn)P作⊙O的割線PAB，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，與ST交于點(diǎn)C.求證：eq\f(1,PC)=eq\f(1,2)（eq\f(1,PA)+eq\f(1,PB)）.（國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題）解題思路：利用切割線定理，再由三角形相似即可證.能力訓(xùn)練A級(jí)1．如圖，PA切⊙O于A點(diǎn)，PC交⊙O于B、C兩點(diǎn)，M是BC上一點(diǎn)，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，則⊙O的半徑為.（青島市中考試題）2．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE的中點(diǎn).如果BD∥CF，BC=2eq\r(,5)，則CD=.（四川省競(jìng)賽試題）（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）（第4題圖）3．如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，AD交⊙O于點(diǎn)C、D，OP⊥CD于點(diǎn)P.若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半徑為5cm，則OP=.（天津市中考試題）4．如圖，已知⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于點(diǎn)A，AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AE=2eq\r(,5)，那么PE的長(zhǎng)為.（成都市中考試題）5．如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OC相交于點(diǎn)M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，則OC的長(zhǎng)為（）A．2eq\r(,6)B．eq\r(,6)C．2eq\r(,3)D．2eq\r(,2)（遼寧省中考試題）（第5題圖）（第6題圖）（第7題圖）6．如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)P，大圓的弦CD經(jīng)過點(diǎn)P，且CD=13，PD=4，則兩圓組成的圓環(huán)的面積為（）A．16πB．36πC．52πD．81π（南京市中考試題）7．如圖，兩圓相交于C、D，AB為公切線，若AB=12，CD=9，則MD=（）A．3B．3eq\r(,3)C．6D．6eq\r(,3)8．如圖，⊙O的直徑AB=10，E是OB上一點(diǎn)，弦CD過點(diǎn)E，且BE=2，DE=2eq\r(,2)，則弦心距OF為（）A．1B．eq\r(,2)C．eq\r(,7)D．eq\r(,3)（包頭市中考試題）（第8題圖）（第9題圖）（第10題圖）9．如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分線，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圓.（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AD=6，AE=6eq\r(,2)，求DE的長(zhǎng).（南京市中考試題）10．如圖，PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B、C兩點(diǎn)，D為PC的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交⊙O于E，已知：BE2=DE·EA.求證：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.（天津市中考試題）11．如圖，△ABC是直角三角形，點(diǎn)D在斜邊BC上，BD=4DC.已知⊙O過點(diǎn)C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點(diǎn)G.求證：AD⊥BF.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）（第11題圖）（第12題圖）12．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A.連結(jié)CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD并延長(zhǎng)交邊AC于點(diǎn)F.（1）求證：AD·AC=DC·EA；（2）若AC=nAB（n為正整數(shù)），求tan∠CDF的值.（太原市競(jìng)賽試題）B級(jí)1．如圖，兩個(gè)同心圓，點(diǎn)A在大圓上，AXY為小圓的割線，若AX·AY=8，則圓環(huán)的面積為（）A．4πB．8πC．12πD．16π（咸陽市中考試題）2．如圖，P為圓外一點(diǎn)，PA切圓于A，PA=8，直線PCB交圓于C、B，且PC=4，AD⊥BC于D，∠ABC=α，∠ACB=β.連結(jié)AB、AC，則eq\f(sinα,sinβ)的值等于（）A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．4（黑龍江省中考試題）（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）3．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點(diǎn)，直線BE交⊙O于點(diǎn)F，若⊙O的半徑為eq\r(,2)，則BF的長(zhǎng)為（）A．B．C．D．（南京市中考試題）4．如圖，已知⊙O的半徑為12，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，則sin∠CBD的值等于（）A．OM的長(zhǎng)B．2OM的長(zhǎng)C．CD的長(zhǎng)D．2CD的長(zhǎng)（武漢市中考試題）（第4題圖）（第5題圖）（第6題圖）5．如圖，PC為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，PAB是過O點(diǎn)的割線，CD⊥AB于D.若tan∠B=eq\f(1,2)，PC=10cm，求△BCD的面積.（北京市海淀區(qū)中考試題）6．如圖，已知CF為⊙O的直徑，CB為⊙O的弦，CB的延長(zhǎng)線與過F的⊙O的切線交于點(diǎn)P.（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半徑的長(zhǎng)；（2）若E為BC上一點(diǎn)，且滿足PE2=PB·PC，連結(jié)FE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)A.求證：點(diǎn)A是eq\o(⌒,BC)的中點(diǎn).（濟(jì)南市中考試題）7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.（1）如圖1，能否在AB上確定一點(diǎn)E，使AC2=AE·AB?為什么？（2）如圖2，在條件（1）的結(jié)論下延長(zhǎng)EC到P，連結(jié)PB，如果PB=PE，試判斷PB與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；（3）在條件（2）的情況下，如果E是PD的中點(diǎn)，那么C是PE的中點(diǎn)嗎？為什么？（重慶市中考試題）（第7題圖）（第8題圖）8．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O切于A，PBC是⊙O的割線，AD⊥PO于D，求證：eq\f(PB,BD)=eq\f(PC,CD).（四川省競(jìng)賽試題）9．如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA邊和AB邊所在的直線的解析式分別為：y=x和y=.D、E分別為邊OC和AB的中點(diǎn)，P為OA邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合），連接DE和CP，其交點(diǎn)為Q．（1）求證：點(diǎn)Q為△COP的外心；（2）求正方形OABC的邊長(zhǎng)；（3）當(dāng)⊙Q與AB相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（河北省中