2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：排列組合（原卷版）

專題43排列組合

【題型歸納目錄】

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

題型二：直接法

題型三：間接法

題型四：捆綁法

題型五：插空法

題型六：定序問(wèn)題（先選后排）

題型七：列舉法

題型八：多面手問(wèn)題

題型九：錯(cuò)位排列

題型十：涂色問(wèn)題

題型十一：分組問(wèn)題

題型十二：分配問(wèn)題

題型十三：隔板法

題型十四：數(shù)字排列

題型十五：幾何問(wèn)題

題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題

題型十七：排隊(duì)問(wèn)題

題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型

題型十九：環(huán)排問(wèn)題

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)1.排列與排列數(shù)

（1）定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.從個(gè)

不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.

（2）排列數(shù)的公式:.

特例：當(dāng)時(shí)，；規(guī)定：.

（3）排列數(shù)的性質(zhì)：

①；②；③.

（4）解排列應(yīng)用題的基本思路：

通過(guò)審題，找出問(wèn)題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無(wú)特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）.

注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)

行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用.

知識(shí)點(diǎn)2.組合與組合數(shù)

(1)定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合.從個(gè)

不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.

(2)組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來(lái)考慮：

第一步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)；

第二步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到；

A'"n(n-l](n-2](n-m+1)

因止匕cn,=-^=」---八--------1

"4：川

這里,，且，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.因?yàn)?，所以組合數(shù)公式還可表示為:.特例：.

注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題時(shí)，一般都是

按先取后排(先組合后排列)的順序解決問(wèn)題.公式常用于具體數(shù)字計(jì)算，常用于含字母算式的化簡(jiǎn)或證明.

(3)組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②.

(4)組合應(yīng)用題的常見(jiàn)題型：

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②“至少，，或“最多，，含有幾個(gè)元素的題型

知識(shí)點(diǎn)3.排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒(méi)有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注意：排歹I)、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題，它們之間的主要區(qū)別在

于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考慮順序的是排列問(wèn)題.排列是在

組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問(wèn)題的基本思維是“先組合，后排列”.

知識(shí)點(diǎn)4.解決排列組合綜合問(wèn)題的一般過(guò)程

1.認(rèn)真審題，確定要做什么事；

2.確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少

步；

3.確定每一步或每一類是排列(有序)問(wèn)題還是組合(無(wú)序)問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素；

4、解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

【方法技巧與總結(jié)】

1.如圖，在圓中，將圓分等份得到個(gè)區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對(duì)這個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂

不同的兩種顏色，則涂色的方案有種.

2.錯(cuò)位排列公式

3.數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)

（1）解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要

表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原

則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分

類討論.

4、定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被

限制的位置稱為特殊位置.這一類問(wèn)題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素;

（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置;

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).

5、解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰

位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起“，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他

元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法.根據(jù)分步乘

法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種.

6、解決不相鄰問(wèn)題的方法為“插空法”，其模型為將個(gè)不同元素排成一排，其中某個(gè)元素互不相鄰（），

求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把個(gè)元素插入個(gè)空隙中，共有種排

法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有?種.

【典例例題】

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

例1.（2022?山東?高密三中高三階段練習(xí)）已知n,m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯(cuò)誤的是（）

A.；B.；C.；D.

例2.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?高三開(kāi)學(xué)考試）已知，為正整數(shù)，且，則在下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①A：=i20；②A：2=CJA；；③C：+CM=C：3@c：=cr

A.1B.2C.3D.4

例3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若，則（）

A.7B.8C,9D.10

例4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知，則的值為（）

A.3B.3或4c.4D.4或5

例5.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知，則的可能取值是（）

A.0B.1C.2D.3

例6.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列等式正確的是（）

A.B.

C.D.

例7.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列等式中，正確的是（）

A.B.

C.D.

例8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）解下列不等式或方程

⑴&<6A>

J____1_7

（2）

cJF-cof-iocF/

例9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算：；

（2）計(jì)算：；

（3）解方程:.

例10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）利用組合數(shù)公式證明.

題型二：直接法

例11.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問(wèn)成

績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答

分析,5人的名次排列方式共有（）種

A.54B.72C.96D.120

例12.某校開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過(guò)初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名

的名次（沒(méi)有并列名次），和去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)說(shuō)“很遺撼，你和都末拿到冠軍；對(duì)說(shuō)“你當(dāng)然不是最

差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）

A.720種B.600種C.480種D.384種

例13.甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）

A.24種B.6種C.4種D,12種

例14.某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的

選法種數(shù)為（）.

A.10B.30C.40D.46

題型三：間接法

例15.將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站

法有（）.

A.I860種B.3696種C.3600種D.3648種

例16.某學(xué)校計(jì)劃從包含甲、乙,丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊(duì)去西部支教，若甲、乙、丙三位教師

至少一人被選中，則組隊(duì)支教的不同方式共有（）

A.21種B.231種C.238種D.252種

例17.中園古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”

和“御”就是體育和勞動(dòng)；''書(shū)”指各種歷史文化知識(shí)；''數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng),

每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不相鄰，則“六藝”講

座不同的次序共有（）

A.408種B.240種C.1092種.D.120種

例18.紅五月，某校團(tuán)委決定舉辦慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢(mèng)想”聯(lián)歡會(huì)，經(jīng)過(guò)初賽,

共有6個(gè)節(jié)目進(jìn)入決賽，其中2個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目，1個(gè)朗誦類節(jié)目，1個(gè)戲曲類節(jié)目.演出時(shí)要

求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（）

A.B.C.D.

題型四：捆綁法

例19.（2022?四川?樹(shù)德懷遠(yuǎn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））甲、乙等5人去北京天安門(mén)游玩，在天安門(mén)廣場(chǎng)

排成一排拍照留念，則甲和乙相鄰且都不站在兩端的排法有（）

A.12種B.24種C.48種D.120種

例20.（2022?四川成都?高三開(kāi)學(xué)考試（理））某一天的課程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、

生物六門(mén)課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（）種不

同的排法

A.B.C.D.

例21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，則甲、乙相鄰的排法有（）

A.72種B.60種C.48種D.36種

例22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）3位教師和4名學(xué)生站一排,3位教師必須站在一起，共有（）種站

法.

A.144B.360C.480D.720

例23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某晚會(huì)上需要安排4個(gè)歌舞類節(jié)目和2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目的演出順序，要

求語(yǔ)言類節(jié)目之間有且僅有2個(gè)歌舞類節(jié)目，則不同的演出方案的種數(shù)為（）.

A.72B.96C.120D.144

題型五：插空法

例24.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）2022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式以二

十四節(jié)氣的方式開(kāi)始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.衡陽(yáng)市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制

作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗

里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有

多少種？（）

A.24B.48C.144D.244

例25.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）高中數(shù)學(xué)新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一、二、三共5本書(shū),

把這5本書(shū)放在書(shū)架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是（）

A.72B.144C.48D.36

例26.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”.中國(guó)古樂(lè)

中的五聲音階依次為：宮、商、角、徽、羽，如果用上這五個(gè)音階，排成一個(gè)五音階音序，且商、角不相鄰,

徽位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音序有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

例27.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））馬路上有編號(hào)為1,2,3…,9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但

不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有（）種

A.15B.20C.10D.9

例28.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某等候區(qū)有7個(gè)座位（連成一排），甲、乙、丙三人隨機(jī)就坐，因受新冠

疫情影響，要求他們每?jī)扇酥g至少有一個(gè)空位，則不同的坐法有（）

A.4種B.10種C.20種D.60種

例29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為迎接新年到來(lái)，某中學(xué)2022作“唱響時(shí)代強(qiáng)音，放飛青春夢(mèng)想”

元旦文藝晚會(huì)如期舉行.校文娛組委員會(huì)要在原定排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，若保持原來(lái)的8

個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序不變，則不同排法的種數(shù)為（）

A.36B.45C.72D.90

題型六：定序問(wèn)題（先選后排）

例30.滿足，且的有序數(shù)組共有（）個(gè).

A.B.C.D.

例31.五人并排站成一排，如果必須站在的右邊，（可以不相鄰）那么不同的排法有（）

A.120種B.90種C.60種D.24種

例32.DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子,由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像

是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈,兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合.在DNA中只有4種類型的堿基,分別用

A.C.G和T表示,DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T,或者是C-G,

不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此,如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序,那么我們也就知道了另一條鏈

上堿基的順序.如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖,現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基

A,2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T,則不同的插入方式的種數(shù)為（）

...AGGATCGG...

A.20B.40C.60D.120

例33.某次演出有5個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有（）

A.120種B.80種C.20種D.48種

例34.某次數(shù)學(xué)獲獎(jiǎng)的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)，則共

有多少種站法（）

A.36B.90C.360D.720

例35.花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有

懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（）

&

A.2520B.5040C.7560D.10080

例36.如圖所示，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上

面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是（）

題型七：列舉法

例37.三人互相傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳

球方式共有（）

A.6種B.8種C.10種D.16種

例38.三人踢鍵子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，德子又被踢回甲，則不

同的傳遞方式共有（）

A.4種B.5種C.6種D.12種

例39.設(shè),，，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為（）

A.45B.46C.47D.48

例40.從集合中任意選擇三個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（）個(gè)

A.98B.56C.84D.49

例41.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固

定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是.

題型八：多面手問(wèn)題

例42.我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌,2人只會(huì)跳舞，其

余5人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演,3人唱歌,3人跳舞，有種不同的選法.

A.B.C.D.

例43.某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語(yǔ),4人只會(huì)法語(yǔ),2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)，

現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語(yǔ)翻譯,4人當(dāng)法語(yǔ)翻譯，則共有（）種不同的選法

A.225B.185C.145D.110

例44.“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國(guó)南方普遍存在端午

節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳,3人只會(huì)劃右槳,

2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法

共有（）

A.26種B.30種C.37種D.42種

例45.某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷,4人只會(huì)劃右舷,2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷.現(xiàn)要選派

劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（）

A.56種B.68種

C.74種D.92種

題型九：錯(cuò)位排列

例46.編號(hào)為L(zhǎng)2.3.4.5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1.2.3.4.5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位

號(hào)一致的坐法有（）

A.10種B.20種C.30種D.60種

例47.將編號(hào)為....的小球放入編號(hào)為......的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與

放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.B.C.D.

例48.若5個(gè)人各寫(xiě)一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱子里,

并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫(xiě)的卡片的方法數(shù)有（）

A.20B.90C.15D.45

題型十：涂色問(wèn)題

例49.（2022?陜西?寶雞市陳倉(cāng)高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））某兒童游樂(lè)園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)

有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種

A.36B.48C.54D.72

例50.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅、黃、藍(lán)、綠、黑這5

種顏色供選擇，則“任意兩個(gè)有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（）

例51.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）無(wú)蓋正方體容器的五個(gè)面上分別標(biāo)有A.B.C.D.E五個(gè)字母，現(xiàn)需要給

容器的5個(gè)表面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，現(xiàn)有5種不同的顏色可供選擇，則不同的染色

方案有（）種.

A.420B.340C.300D.120

例52.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一

個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種

顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（）

A.B.C.D.

例53.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域涂色（如圖），要求同一區(qū)域同一種顏色,

相鄰的兩塊區(qū)域（有公共邊）涂不同的顏色，現(xiàn)有種不同的顏色可供選擇，則不同涂色方案有（）

例54.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））用種不同的顏色對(duì)正四棱錐的條棱染色，每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱的

顏色各不相同，不同的染色方案共有多少種

A.B.C.D.

例55.

（2022?全

國(guó)?高三專題

練習(xí)（理））

用紅、黃、藍(lán)

三種顏色之

一去涂圖中

標(biāo)號(hào)為的個(gè)

23

小正方形（如

圖1）,使得

任意相鄰（有

公共邊的）小

正方形所涂

顏色都不相

同，且標(biāo)號(hào)

為“、、”的小

正方形涂相

同的顏色，

則符合條件

的所有涂法

共有

1

456

789

A.種B.種C.種D.種

題型十一：分組問(wèn)題

例56.為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育

事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)

口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方，則不同的分派

方法有（）

A.18種B.36種C.68種D.84種

例57.2021年春節(jié)期間電影《你好，李煥英》因“搞笑幽默不庸俗，真心實(shí)意不煽情”深受熱棒，某電影院

指派5名工作人員進(jìn)行電影調(diào)查問(wèn)卷，每個(gè)工作人員從編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)影廳選一個(gè)，可以多個(gè)工作人

員進(jìn)入同一個(gè)影廳，若所有5名工作人員的影廳編號(hào)之和恰為10,則不同的指派方法種數(shù)為（）

A.91B.101C.IllD.121

例58.2019年實(shí)驗(yàn)中學(xué)要給三個(gè)班級(jí)補(bǔ)發(fā)8套教具，先將其分成3堆，其中一堆4個(gè)，另兩堆每堆2個(gè)，一

共有多少種不同分堆方法（）

A.B.

C.D.

例59.有本不同的書(shū).

（1）分給甲、乙、丙、丁四人，每人本，有幾種分法？

（2）若堆依次為本，本，本，本，有幾種分法？

（3）若平均分成堆，有幾種方法（只要求列出算式）？

例60.已知有6本不同的書(shū).

(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？

(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法?

題型十二：分配問(wèn)題

例61.2022年北京冬奧會(huì)速度滑冰、花樣滑冰、冰球三個(gè)項(xiàng)目競(jìng)賽中，甲，乙，丙，T,戊五名同學(xué)各自選擇

一個(gè)項(xiàng)目開(kāi)展志自愿者服務(wù)，則甲和乙均選擇同一個(gè)項(xiàng)目，且三個(gè)項(xiàng)目都有人參加的不同方案總數(shù)是()

A.18B.27C.36D.48

例62.現(xiàn)將5名志愿者全部分派到A.B.C三個(gè)居民小區(qū)參加抗擊新冠病毒知識(shí)宣傳，要求每個(gè)小區(qū)至少1

人，志愿者甲安排到A小區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為().

A.56B.50C.62D.36

例63.將4名志愿者分配到3個(gè)不同的北京冬奧場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種

數(shù)為.(用數(shù)字作答)

例64.設(shè)有99本不同的書(shū)(用排列數(shù)、組合數(shù)作答).

(1)分給甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少種不同的分法？

(2)分給甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少種不同的分法？

(3)平均分給甲、乙、丙3人，共有多少種不同的分法？

(4)分給甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少種不同的分法？

(5)分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，共有多少種不同的分法？

(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少種不同的分法？

(7)平均分成3份，共有多少種不同的分法？

(8)分成3份，一份93本，另兩份各3本，共有多少種不同的分法？

例65.(1)個(gè)不同的小球放入編號(hào)為的個(gè)盒子中，一共有多少種不同的放法?

(2)個(gè)不同的小球放入編號(hào)為的個(gè)盒子中，恰有個(gè)空盒的放法共有多少種？

例66.將封信全部投入個(gè)郵筒:

（1）不加任何限制，有多少種不同的投法？

（2）每個(gè)郵筒至少投一封信，有多少種不同的投法?

題型十三：隔板法

例67.將9個(gè)志愿者名額全部分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)

是（）

A.16B.18C.27D.28

例68.展開(kāi)式為多項(xiàng)式，則其展開(kāi)式經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（）

A.12項(xiàng)B.24項(xiàng)C.39項(xiàng)D.78項(xiàng)

例69.7個(gè)相同的小球放入,，三個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一球，共有（）種不同的放法.

A.60種B.36種C.30種D.15種

例70.將10本完全相同的科普知識(shí)書(shū)，全部分給甲、乙、丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（）

A.720種B.420種C.120種D.15種

例71,方程的非負(fù)整數(shù)解有（）

A.組B.136組C.190組D.68組

例72.若方程，其中，則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

A.10B.15C.20D.30

題型十四：數(shù)字排列

例73.（2022?重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之

在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就.小明是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置

手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將圓周率的前6位數(shù)字3,1,4,1,5,9進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求數(shù)字

9不在最后一位，那么小明可以設(shè)置的不同密碼有（）個(gè).

A.600B.300C.360D.180

例74.（2022?河北?青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）用數(shù)字1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位

數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.12C.16D.18

例75.（2022?山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））若從1,2,3,…,9這9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不

同的數(shù)排成一排，依次記為a,b,c,d,則使得aXbXc+d為奇數(shù)的不同排列方法有（）

A.1224B.1800C.1560D.840

例76.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)字中，各位數(shù)字相加和為，稱該數(shù)為“長(zhǎng)久四位數(shù)”，則用數(shù)

字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于的“長(zhǎng)久四位數(shù)”有（）個(gè)

A.B.

C.D.

例77.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用數(shù)字、、組成五位數(shù)，且數(shù)字、、至少都出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)共

有（）個(gè)

A.B.C.D.

例78.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于

十位數(shù)字的共有（）

A.210個(gè)B.300個(gè)

C.464個(gè)D.600個(gè)

題型十五：幾何問(wèn)題

例79.（2022?河南?鶴壁高中高三階段練習(xí)（理））若一個(gè)正方體繞著某直線旋轉(zhuǎn)不到一周后能與自身重

合，那么這樣的直線的條數(shù)為（）

A.B.C.D.

例80.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)為（）

A.70B.64C.60D.58

例81.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn)，可得到四面體的個(gè)數(shù)為（）

A.B.C.D.

例82.在正方體的個(gè)頂點(diǎn)中，以任意個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐，共有（）

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

例83.正方體，是棱的中點(diǎn)，在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中，與平面平行的直線有幾條（）

A.36B.21C.12D.6

題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題

例84.5400的正約數(shù)有（）個(gè)

A.48B.46C.36D.38

例85.有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動(dòng)一個(gè)方格，走過(guò)的方格不能重復(fù)，只要

有一個(gè)方格不同即為不同走法.現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實(shí)線不能穿過(guò)，則從入口走到出口共有多少種

不同走法？

例86.如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿途中路線前進(jìn)，則從到

不同的走法共有

例87.如圖，螞蟻從A沿著長(zhǎng)方體的棱以

X

的方向行走至B,不同的行走路線有

I

>----V

A

A.6條B.7條C.8條D.9條

例88.如圖，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點(diǎn)，再由點(diǎn)沿著置于水平面的正方體的棱爬行至

頂點(diǎn)，則它可以爬行的不同的最短路徑有（）條

A.40B.60C.80D.120

例89.如圖所示為某市各旅游景點(diǎn)的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計(jì)算順著箭頭方向，從

A到H可走的不同的旅游路線的條數(shù)為

D.17

例90.如圖，在某城市中,M,N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中,，，是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的

4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)M,N處的甲、乙兩人分別要到N,M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，

以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N,M處為止，則下列說(shuō)法正確的有()

A.甲從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為120

B.甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的走法種數(shù)為9

C.甲，兩人能在處相遇的走法種數(shù)為36

D.甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為164

題型十七：排隊(duì)問(wèn)題

例91.4個(gè)男同學(xué),3個(gè)女同學(xué)站成一排.

(1)3個(gè)女同學(xué)必須相鄰，有多少種不同的排法？

(2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

(3)3個(gè)女同學(xué)站在中間三個(gè)位置上的不同排法有多少種？

(4)其中甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，則有多少種不同的排法？

(5)若3個(gè)女同學(xué)身高互不相等，女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法?

例92.在班級(jí)活動(dòng)中,4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：(寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答)

(1)三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？

(2)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？

(3)甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？(甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等)

（4）從中選出2名男生和2名女生表演分四個(gè)不同角色朗誦，有多少種選派方法?

例93.在班級(jí)活動(dòng)中,4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）

（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？

（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？

（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？

（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）

（5）從中選出2名男生和2名女生表演分四個(gè)不同角色朗誦，有多少種選派方法？

（6）現(xiàn)在有7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)男生就坐，恰好有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法共有多少種？

題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型

例94.賈同學(xué)、王同學(xué)、文同學(xué)三人在操場(chǎng)踢球，每次傳球，傳球者將球隨機(jī)將傳給另外兩位同學(xué)之一,足球最

開(kāi)始在文同學(xué)腳下，則:①次傳球之后，共有種可能的傳球方法;②次傳球之后，足球回到文同學(xué)腳

下的傳球方法有種.

例95.一只螞蟻從一個(gè)正四面體的頂點(diǎn)出發(fā)，每次從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)，則螞蟻爬行五次還在點(diǎn)

的爬行方法種數(shù)是.

例96.把圓分成個(gè)不相等的扇形，并且用紅、黃、藍(lán)三種顏色給扇形染色，但不允許相鄰的扇形有相同的顏

色，問(wèn)共有多少種染色法？

例97.（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)；

（2）某火車站共設(shè)有4個(gè)安檢入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)入1位乘客，求一個(gè)4人小組進(jìn)站的不同方

案種數(shù).

題型十九：環(huán)排問(wèn)題

例98.21個(gè)人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)字“3”的人出來(lái)

表演節(jié)目，并且表演過(guò)的人不再參加報(bào)數(shù).那么在僅剩兩個(gè)人沒(méi)有表演過(guò)節(jié)目的時(shí)候，共報(bào)數(shù)的次數(shù)為

A.19B.38C.51D.57

例99.A,B,C,D,E,F六人圍坐在一張圓桌周圍開(kāi)會(huì),A是會(huì)議的中心發(fā)言人,必須坐最北面的椅子,B,C二

人必須坐相鄰的兩把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,則不同的座次有（）

A.60種B.48種C.30種D.24種

例100.現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)

課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（）.

A.6種B.8種C.12種D.16種

例101.5個(gè)女孩與6個(gè)男孩圍成一圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同排法有種（填數(shù)字）.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2022?甘肅白銀?高三開(kāi)學(xué)考試（理））6名志愿者要到,，三個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，每個(gè)志愿者只去一

個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社區(qū)，則不同的安排方法共有（）

A.105種B.144種C.150種D.210種

2.（2022?江西?南昌二中高三開(kāi)學(xué)考試（理））2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指

揮，多方攜手、眾志成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅(jiān)固堡壘.某小區(qū)有小王、小張等5位中學(xué)生積極參加社區(qū)志

愿者，他們被分派到測(cè)溫和掃碼兩個(gè)小組，若小王和小張不同組，且他們所在的兩個(gè)組都至少需要2名中學(xué)

生志愿者，則不同的分配方案種數(shù)有（）

A.8B.10C.12D.14

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)3種顏色給如圖所示的6個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能

涂2個(gè)圓，且相鄰2個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數(shù)為（）

A.24B.30C.36D.42

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）甲乙丙丁四個(gè)同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓，歷史博物館和北

湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（）種.

A.24B.96C.174D.175

5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若分配甲、乙、丙、丁四個(gè)人到三個(gè)不同的社區(qū)做志愿者，每個(gè)社區(qū)至少

分配一人，每人只能去一個(gè)社區(qū).若甲分配的社區(qū)已經(jīng)確定，則乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是（）

A.B.C.D.

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）近日，各地有序開(kāi)展新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點(diǎn)為了更

好的服務(wù)市民，決定增派5名醫(yī)務(wù)工作者參加登記、接種、留觀3項(xiàng)工作，每人參加1項(xiàng)，接種工作至少需要

2人參加，登記、留觀至少1人參加，則不同的安排方式有（）

A.50B.80C.140D.180

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將6個(gè)不同的乒乓球全部放入兩個(gè)不同的球袋中，每個(gè)球袋中至少放1個(gè),

則不同的放法有（）

A.82種B.62種C.112種D.84種

8.（2022?四川省成都市第八中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影《長(zhǎng)津湖》，

恰好買(mǎi)到了七張連號(hào)的電影票，若甲、乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（

A.240B.192C.96D.48

9.（2022?安徽?合肥一中模擬預(yù)測(cè)（理））某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每

場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（）

A.48B.54C.60D.72

二、多選題

10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)

“禮”“樂(lè)”“射”“御