數(shù)學（浙江卷）（2024年中考第一次模擬考試（浙江金卷））

2024年中考第一次模擬考試（浙江卷）

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡，對應題日的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題尺一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.設x是用字母表示的有理數(shù)，則下列各式中一定大于零的是（）

A.x+2B.2xC.|x|D.x2+2

2.下列計算正確的是（）

A.2m+3n=5nuiB.-crb+ba~=0

C.x2+2x2=3.r4D.3g+b）=3a+Z?

3.2023年9月23日第19屆杭州亞運會開幕，有最高2640000人同時收看直播，數(shù)字2640000用科學記數(shù)

法可以表示為（）

A.2.64xlO4B.2.64xlO5C.2.64xl06D.2.64xlO7

5.分式分的值’可以等于（）

A.-1B.0C.1D.2

6.如圖，8c是的切線，點Z?是切點，連接。。交0。于點D,延長。。交于點A,連接A3,若

ZC=30°,（2=2,則/W的長為（）

4

'D

BC

A.2N/2B.3&C.25/3D.3g

7.小明所在的班級有20人去體育場觀看演出，20張票分別為A區(qū)第10排1號到20號?采用隨機抽取的辦

法分票，小明第一個抽取得到10號座位，接著小亮從其余的票中任意抽取一張，取得的一張恰與小明鄰座

的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

19192010

8.已知X和必均是以x為自變量的函數(shù)，當x時，函數(shù)值分別是陷和若存在實數(shù)小使得

必-“2=1,則稱函數(shù)以和為符合“特定規(guī)律”，以下函數(shù)X和力符合“特定規(guī)律''的是（）

2

A.y=/+8和%=-x+2xB.=/+*?和y2=-t+8

22

C.>'）-A+8^11y2--x-2xD.川=/十八木口乃=一X—8

9.如圖，已知/AOB,以點。為圓心，適當長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C,。兩點，分別以點

C,。為圓心，大于;。。長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于/AOB內一點P,連接OP,過點P作直線PEOA,

交。8于點E,過點尸作直線P尸〃08,交04于點F.若NAO8=60。，OP=6cm,則四邊形尸爪坦的面

積是（）

C.3\/3cm2D.2\/3cm2

10.如圖，已知正方形A8CO和正方形8瓦G,且A、B、E三點在一條直線上，連接CE,以CE為邊構造正

方形CPQE,PQ交AB于點、M,連接CM.設乙4PM=a,/BCM=0.若點Q、8、尸三點共線,

tan?=ntan/?,則〃的值為（）

12

D.

u713

第n卷

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.計算（百+1）（追-1）的結果等于.

12.如圖，在./8C中，AB=AC.過點C作/AC"的平分線交A8于點O,過點A作AE〃OC,交8。延

長線于點E.若ZE=36°,則ZB=

13.已知在二次函數(shù)y=ad+飯中，函數(shù)值y與自變量x的部分對應值如表:

XL-10123L

yL830-10L

則滿足方程cue++c=3的解是

14.如圖，。為直徑A3上的一點，點M和N在上，且ZAPM=ZNPB=30°.若0Q=2cm,八4=16cm,

15.如圖I是一款重型訂書機，其結構示意圖如圖2所示.其主體部分為矩形￡FGH,由支撐桿CO垂直固

定于底座A8上，且可以繞點。旋轉.壓桿MN與伸縮片PG連接，點M在〃G上,可繞點M旋轉,PG_L〃G,

DF=8cm,GF=2cm,不使用時，EF//AB,G是尸產中點，且點。在NM的延長線上，則MGcm,

使用時如圖3,按壓MN使得MM748,此時點尸落在A8上，若CO=2cm,則壓桿MN到底嫗A8的距離

為.cm.

圖1圖2圖3

16.由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示.將小正方形對角線所雙向

延長，分別交邊A3,和邊8C的延長線于點G,H.若大正方形與小正方形的面積之比為5,GH=2回,

則大正方形的邊長為______.

三、解答題(本大題共8個小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(6分)(1)計算:5-2023)°+|6—2|+岳；

(2)解不等式：3(x-2)>2(2+x).

18.(6分)小汪解答“解分式方程：立4-2=口.”的過程如下，請指出他解答過程中錯誤步驟的序號,

x-22-x

并寫出正確的解答過程.

解：去分母得：2r+3-I=-(r-1)...?,

去括號得：2x+3—1=—1…②，

移項得：2x+x=l+l-3…③，

合并同類項得：3x=T…④，

系數(shù)化為1得：x=—g…⑤，

是原分式方程的解.

19.（8分）某校初三年級開展了系列交通安全知識競賽，從中隨機抽取30名學生兩次知識競賽的成績（百

分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行收集、整理、描述和分析?.下面給出了部分信息.

a.這30名學生第一次競賽成績

本第二次成績/分

100-

95-..??:

??

■

????

90-????

???

??

???

85-?

80-

1???1A

80859095100第一次成績/分

b.這3（）名學生兩次知識競賽的獲獎情況統(tǒng)計表

參與獎優(yōu)秀獎卓越獎

第一次人數(shù)101010

競賽

平均分828795

第二次人數(shù)21216

競賽

平均分848793

和第二次競賽成績得分情況統(tǒng)計圖：（規(guī)定：分數(shù)290,獲卓越獎；854分數(shù)V90,獲優(yōu)秀獎；分數(shù)＜85,

獲參與獎）

c.第二次競賽獲卓越獎的學生成績如下：

90909191919192939394949495959698

d.兩次競賽成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

第一次競賽IU87.588

第二次競賽90n91

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）小松同學第一次競賽成績是89分，第二次競賽成績是91分,在圖中用圈出代表小松同學的點;

⑵直接寫出〃的值；

（3）請判斷第幾次競賽中初三年級全體學生的成績水平較高，并說明理由.

2（）.（8分）某校九年級學生在數(shù)學社團課上進行了項目化學習研究，某小組研究如下:

【提出驅動性問題】如何設計紙盒？

【設計實踐任務】選擇“素材1”嗦材2”設計了“任務1”“任務2”的實踐活動.

請你嘗試幫助他們解決相關問題.

素利用一邊長為40cm的正方形紙板可能設計

材1成如圖所示的無蓋紙盒

如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掠一個

素

同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個

材2

無蓋紙盒.C

【嘗試解決問題】

任

初步探究；折一個底面積為484cm2無蓋紙盒（1）求剪掉的小正方形的邊長為多少？

務1

任（2）如果有，求出這個最大值和此時剪掉的小正方形

折成的無蓋紙盒的側面積是否有最大值？

務2的邊長；如果沒有，說明理由.

21.（10分）為了保護小吉的視力，媽媽為他購買了可升降夾書閱讀架（如圖1）,將其放置在水平桌面上

的側面示意圖（如圖2）,測得底座高居為2cm,ZA8C=150。，支架8c為18cm,面板長。石為24cm,C。為

6cm.（厚度忽略不計）

國I

（1）求支點。離桌面/的高度；（計算結果保留根號）

（2）小吉通過杳閱資料，當面板OE繞點C轉動時，面板與桌面的夾角a滿足30。4。470。時，能保護視力.當

夕從3（）。變化到70。的過程中，問面板上端E離桌面/的高度是增加了還是減少了？增加或減少了多少？（精

確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70°*2.75)

22.(10分)正方形A8CO邊長為3,點石是上一點，連結跖交AC于點F.

⑴如圖I,若CE=1,求C尸的值；

CF3

(2)如圖I,三=機，若SM.BF=3求〃?的值.

ED2

(3)如圖2,點G為8c上一點，且滿足/G4C=/E5C,設CE=x,GB=y,試探究y與x的函數(shù)關系.

23.(12分)如圖1,七點為x軸正半軸上一點，0E交％軸于力、B兩點，交)，軸于C、。兩點，尸點為劣

弧8c上一個動點，且47,0)、鳳1,0).

(1)8。的度數(shù)為.

(2)如圖2,連結PC,取PC中點G,連結。G,則0G的最大值為

(3)如圖3,連接AC、AP、CP、CB.若CQ平分/PCD交必于。點，求AQ的長;

PC+PD

(4)如圖4,連接八4、響當P點運動時(不與從C兩點重合)，求證：丁為定值，并求出這個定

值.

24.(12分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=〃V+"+4交》軸于點A,交工軸于點8(-6,0)和點

。(2,0),點Q在第一象限的拋物線上，連接A3、AQ.BQ,與＞軸交于點N.

⑴求拋物線表達式；

(2)點點M在x軸上，點E在平面內，若」BME2AOM,且四邊形4VEM是平行四邊形.

①求點E的坐標；

②設射線AA/與EN相交于點尸.交BE于點.H.將繞點.8旋轉一周,旋轉后的三角形記為，

求BE+GOH的最小值.

2024年中考第一次模擬考試（浙江卷）

數(shù)學.參考答案

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

12345678910

DBCBDCABBA

第n卷

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.2

12.72

]3%=0,巧=4

14.6百

15.4海

2

16.3

三、解答題（本大題共8個小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17?【答案】（1）3+V3；（2）x>10

【分析】本題考查了實數(shù)的運算以及解一元一次不等式；

（1）分別根據(jù)零指數(shù)轅的定義，絕對值的性質以及二次根式的性質，計算即可；

（2）不等式去括號，移項，合并同類項，化系數(shù)為1即可.

【詳解】（1）原式=1+2-6+26

=3+73;........................................................3分

（2）3-2）>2（2+力，

去括號，得3*-6>4+2x,

移頂，得3x-2x>4+6,

合并同類項，得x>10.......................................................6分

18.【答案】錯誤步驟的序號為①，解法見詳解.

【分析】本題考查檢查解分式方程；錯誤步驟的序號為①，解方程去分母轉化為整式方程，

2x+3-2（x-2）=-（x-l）,進而解這個整式方程，最后檢驗，即可求解.

【詳解】解：錯誤步躲的序號為①,1分

2x+3x-\

x-22^x

去分母得：2x+3-2(x-2)=-(x-l)

去括號得：2x+3-2x+4=-x+\

移頂?shù)茫?x-2x+x=l-3-4…③,

合并同類項得：x=-6…④，....................................................................................................................3分

檢驗：當x=-6時，x-2^0,...................................................................................................................5分

???”=-6是原分式方程的解............................................................6分

19.【答案】（1）見解析

（2）加=88,/2=90

（3）二，理由見解析

【分析】本題考查統(tǒng)計圖分析，涉及中位數(shù)、加權平均數(shù)、眾數(shù)，

（1）根據(jù)這30名學生第?次競賽成績和第二次競賽成績得分情況統(tǒng)計圖可得橫坐標是89,縱坐標是90的

點即代表小松同學的點；

（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義可得也和〃的值；

（3）根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)進行決策即可.

【詳解】（1）解：（1）如圖所示.

上第二次成績/分

100■

2分

80-

1IIii>

80859095100第一次成績/分

公、82x10+87x10+95x10

（2）m=----------------------------------=88,

30

???第二次競賽獲卓越獎的學生有16人，成績從小到大排列為:

90909191919192939394949495959698,

???第一和第二個數(shù)是30名學生成績中第15和第16個數(shù),

90+90

..n=------=90,

2

?\〃?=88,〃=90;6分

（3）可以推斷出第二次競賽中初三年級全體學生的成績水平較高，

理由是：第二次競賽學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競賽.

答：二，第二次競賽學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競賽..............8分

20.【答案】任務1：剪掉的正方形的邊長為9cm.

任務2：當剪掉的正方形的邊長為10cm時，長方形盒子的側面積最大為800cm2.

【分析】此題主要考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應用，找到關鍵描述語，找到等量關系準確地列出方

程和函數(shù)關系式是解決問題的關鍵.

任務1：假設剪掉的正方形的邊長為xcm,根據(jù)長方形盒子的底面積為484cm2,得方程（40-2x『=484.

解所列方程并檢驗可得；

任務2：側面積有最大值，設剪掉的正方形邊長為。cm,盒子的側面積為ycm?,利用長方形盒子的側面積

為：y=（40—勿）xax4得出即可.

【詳解】解：任務1：設剪掉的正方形的邊長為xcm,

則（40—2x）2=484,即40—24=±22,

解得％=31（不合題意，舍去），公=9,

答：剪掉的正方形的邊長為9cm.......................................................................................................................3分

任務2：側面積有最大值.

理由如下：

設剪掉的小正方形的邊長為acm,盒子的側面積為ycm2,

則y與X的函數(shù)關系為：y=（40—2〃）xax4,

即+160。，

BPy=-8(a-10)2+800,......................................................................................................................6分

???〃=10時，%大=800.......................................................................................................................8分

即當剪掉的正方形的邊長為10cm時，長方形盒子的側面積最大為800cm2.

21.【答案】⑴支點C離桌面/的高度（9百+2”〃；

⑵面板上端E離桌面/的高度是增加了，增加了約7.9。〃

【分析】（1）作/〃/,先在求出C尸的長，再計算CF+AA即可得答案;

（2）分別求出/反G=70。時和NECG=30。時，EG的長，相減即可.

【詳解】（1）解：如下圖,作C〃_L/,4產〃/,

E

Z4BC=150°,

NCBF-150°-90°-60°,

BC=18,

/.CF=sin60°x18=—x18=9x/3,

2

:.CH=CF+FH=CF+AB=9y/3+2

二?支點。離桌面/的高度（96+2］?！?；.................................................4分

QOE=24,C￡>=6,

.-.CE=24-6=18,

當NECG=70。時，EG=sin70°xl8,..............................................................................................................5分

當/ECG=30。時，EG=sin30°xl8...............................................................................................................6分

sin70oxl8-sin30oxl8=18x(sin70o-sin30o)?18x(0.94-0.5)?18x0.44?7.9,

???面板上端E離桌面/的高度是增加了，增加了約7.9?！?....................................10分

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形.

22.【答案】(1)［應

4

(2)m=l

⑶y=,(ow)

3+x

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質等知識點，掌握相似三角形判定定理的內容

是解題關鍵.

CFCF

(I)證尸可得——=—,結合AF=AC-CF即可求解；

AHAF

（2）由出=加可得冬二牛二二，進一步可得學據(jù)此即可求解;

EDAFAB加+1%A8c2"?+1

（3）由（I）可得。產=豆紅，證.ACGs.BC/得要="=立即可求解.

3+xCFBC

【詳解】（1）解：由題意得：AB〃CE、AB=BC=3

**?NCEFKABF,AC=JAB2+BC?=372

.CECF

?,麗=7?

1CF

“3"3V2-CF

解得：6］應

2分

CE

(2)解：:――-m,

ED

.CE_m

*CDm+[

.CE_in

3分

ABm+1

CFCEm

由（1）可得:

AFABm+\

,SMBF_m

'△ABFm+?

羋"■二」，—

^△ABC2，〃+1

19,_3

=-x43x/3C=-，5'△CBF—5

22

3

m_2_1

5分

2w+l~~9~3

2

解得：，〃6分

（3）解：由（1）得：

ABAF

即:

解得：八普

7分

?：/GAC=/EBC,ZACG=/BCF

，ACGsBCF

即：

CF

3+x

整理得：y=^-....................................................................................................................8分

3+x

,?y>0

A9-3x>0,x<3

又4N0

/.0<x<3

故：>'=——（0<x<3）......................................................................................................................10分

3+x

23.【答案】⑴120

（2）2

（3）42=2

⑷見解析，73

【分析】本題主要考查了垂徑定理在圓中的應用，最后一問由“共頂點，等線段“聯(lián)想到旋轉，是此題的突破

口，同時，要注意頂角為120。的等腰三角形腰和底邊比是固定值.

（I）由已知得到C。垂直平分故得到=證明△AC?為等邊二角形即可得到答案：

（2）由于直徑A8_L8,根據(jù)垂徑定理可以得到O是CO的中點，要求OG最大值即求PZ）最大值，當PD

為直徑時，有最大值，即可得到答案；

（3）根據(jù)垂徑定理得到=證明乙4CQ=4QC,由（I）得AC=AE=4,即可得到答案；

（4）將△ACP繞4點順時針旋轉120。至AADM,得到△入《戶名△AD”，證明叨=,

過A作AG_L〃M于G,則/必=2PG,根據(jù)勾股定理證明.

【詳解】（1）解：連接AC,CE,

A（-l,0）,頤LO）,

：.OA=OE=\,

?.OC±AE,

AC=CE?

AE=CE?

AC=CE—AE，

.\ZC4E=60°,

NBEC=2ZCAB=120°,

BC的度數(shù)為120。；...........................................................2分

(2)解：由題可知，AB為E宜徑，月.AB_LC￡),

由垂徑定理可得，CO=OD,

連接PO,

G是PC的中點，

OG//PD,OG=-PD

2t

當D、E、尸三點共線時，此時DP取得最人值，

RDP=AB=2AE=4,

??.OG的最大值為2；...........................................................................................................4分

(3)解：連接4C8C,

-.ABLCD,

AC=AD?

/.ZACD=ZCPA,

QCQ平分/DCP,

:.ZDCQ=ZPCQ,

ZACD+NDCQ=ZCPA+ZPCQ,

Z4CQ=ZAQC,

/.AQ=AC,

ZC4O=60°,4(?=l,

/.AC=2,

AQ=2；...........................................................................................................6分

（4）證明：由題可得，直徑A8_CD,

.:46垂直平分。Z），

如圖4,連接AC,AO,則AC=AO,

由（1）得，ZDAC=120°

將AACP繞4點順時針旋轉120。至AADM,

:AACPgAADM，

:.ZACP=ZADM,PC=DM,

'?四邊形ACT。為圓內接四邊形,

.-.Z4CP+ZA￡>P=180°,

.?.Z4ZW+ZADP=180°,

:.M.。、P三點共線,

:.PD+PC=PD+DM=PM,.....................................................................................................................7分

過A作AG_LPM于G,則PM=2PG,

z/\PA/=ZACD=30°,

在Rt.APG中，Z4PM=30°,

設AG=x,則AP=2x,

?.PG7Ap2-AG?=瓜，

，.PM=2PG=2&，....................................................................................................................8分

?.PM=6AP，

?.PC+PDmAP,......................................................................................................................10分

PC+PD=V3為定值.

PA

12分

圖4

I4

24.【答案］（1）＞=-§/-彳工+4；

⑵①石（-2,-2）；②他+血。比的最小值為6夜.

【分析1（1）將點3、C的坐標代入拋物線，利用待定系數(shù)法求得解析式；

（2）①由。坐標求出5Q解析式，然后根據(jù)四邊形A7VEM是平行四邊形和，BMEmAQW得出8M=04=4,

再分類討論求得何和E的坐標；②求出AM解析式，交點為尸，再求出〃坐標，然后由兩點間距離公式求

出8P和3”長度，因為旋轉不改變長度，所以長度不變，當〃旋轉到x軸上時，此時。片最短，所以

此時。修等于80-2”，然后帶入計算即可.

【詳解】（1）解：①???拋物線廣/+區(qū)+4交x軸于點B（-6,0）和點。（2,0）,

36。-6/>+4=0

將3、。坐標代入有

4。+2〃+4=0

I

a=—

3

解得｛1

b=——

3

???拋物線的表達式為

y=--x2—.......................................................................................................................2分

33

I4

（2）解：???拋物線的表達式為），=-3/一3"+4,

.?.04=4,

設直線8。的解析式為），=履+4

,Z5（-6,0）,Q（ig），

k+瓦=-

/.13

一6Z+4=0

k=-

解得3

*=2

???直線BQ的解析式為），=；x+2............................................................................................................3分

,:N為8Q與