2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價四第六章含解析北師大版必修1

PAGE12-單元素養(yǎng)評價(四)(第六章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.下列說法錯誤的是 ()A.在統(tǒng)計里,最常用的簡潔隨機抽樣方法有抽簽法和隨機數(shù)法B.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)肯定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)C.平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢D.一組數(shù)據(jù)的方差越大,說明這組數(shù)據(jù)的波動越大【解析】選B.平均數(shù)不大于最大值,不小于最小值.2.2024年高考某題的得分狀況如下:得分(分)01234百分率(%)37.08.66.028.220.2其中眾數(shù)是 ()A.37.0%B.20.2%C.0分D.4分【解析】選C.眾數(shù)出現(xiàn)的頻率最大.3.為了解我國13歲男孩的平均身高,從北方抽取了300個男孩,平均身高為1.60m;從南方抽取了200個男孩,平均身高為1.50m,A.1.54m B.1.55m C.1.56m 【解析】選C.我國13歲的男孩平均身高為(300×1.60+200×1.50)÷(300+200)=1.56(m).4.某防疫站對學(xué)生進行身體健康調(diào)查,欲采納分層隨機抽樣的方法抽取樣本.某中學(xué)共有學(xué)生2000名,從中抽取了一個容量為200的樣本,其中男生103名,則該中學(xué)共有女生 ()A.1030名 B.97名 C.950名 D.970名【解析】選D.由題意,知該中學(xué)共有女生2000×200-1032005.如圖是某超市一年中各月份的收入與支出(單位:萬元)狀況的條形統(tǒng)計圖.已知利潤為收入與支出的差,即利潤=收入-支出,則下列說法正確的是 ()A.利潤最高的月份是2月份,且2月份的利潤為40萬元B.利潤最低的月份是5月份,且5月份的利潤為10萬元C.收入最少的月份的利潤也最少D.收入最少的月份的支出也最少【解析】選D.利潤最高的月份是3月份和10月份,且2月份的利潤為40-30=10萬元,故A錯誤;利潤最低的月份是8月份,且8月份的利潤為5萬元,故B錯誤;收入最少的月份是5月份,但5月份的支出也最少,且利潤是10萬元,故5月份的利潤不是最少,故C錯誤,D正確.6.從某地區(qū)年齡在25～55歲的人員中,隨機抽取100人,了解他們對2024年兩會的熱點問題的看法,繪制出頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是 ()A.抽取的100人中,年齡在40～45歲的人數(shù)大約為20B.抽取的100人中,年齡在35～45歲的人數(shù)大約為30C.抽取的100人中,年齡在40～50歲的人數(shù)大約為40D.抽取的100人中,年齡在35～50歲的人數(shù)大約為50【解析】選A.依據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)得(0.01+0.05+0.06+a+0.02+0.02)×5=1,解得a=0.04,所以抽取的100人中,年齡在40～45歲的人數(shù)大約為0.04×5×100=20,所以A正確;年齡在35～45歲的人數(shù)大約為(0.06+0.04)×5×100=50,所以B不正確;年齡在40～50歲的人數(shù)大約為(0.04+0.02)×5×100=30,所以C不正確;年齡在35～50歲的人數(shù)大約為(0.06+0.04+0.02)×5×100=60,所以D不正確.故選A.【補償訓(xùn)練】某校為了對初三學(xué)生的體重進行摸底調(diào)查,隨機抽取了50名學(xué)生的體重(kg),將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖,如圖所示,體重在[45,50)內(nèi)適合跑步訓(xùn)練,體重在[50,55)內(nèi)適合跳遠訓(xùn)練,體重在[55,60]內(nèi)適合投擲相關(guān)方面訓(xùn)練,估計該校初三學(xué)生適合參與跑步、跳遠、投擲三項訓(xùn)練的集訓(xùn)人數(shù)之比為 ()A.4∶3∶1 B.5∶3∶1C.5∶3∶2 D.3∶2∶1【解析】選B.體重在[45,50)內(nèi)的頻率為0.1×5=0.5,體重在[50,55)內(nèi)的頻率為0.06×5=0.3,體重在[55,60]內(nèi)的頻率為0.02×5=0.1,因為0.5∶0.3∶0.1=5∶3∶1,所以可估計該校初三學(xué)生適合參與跑步、跳遠、投擲三項訓(xùn)練的集訓(xùn)人數(shù)之比為5∶3∶1.7.某班有48名學(xué)生,在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70分,方差為75.后來發(fā)覺有2名同學(xué)的分數(shù)登記錯了,甲實際得了80分卻記成了50分,乙實際得了70分卻記成了100分,則更正后的平均分和方差分別為 ()A.70,75B.70,50C.70,1.04【解析】選B.留意到平均數(shù)沒有改變,只是方差變動.更正前,s2=148[…+(50-70)2+(100-70)2+…]=75,更正后,s′2=148[…+(80-70)2+(70-70)2+…]=50.8.樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,樣本y1,y2,…,ym的平均數(shù)為y(x≠y).若樣本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均數(shù)z=ax+(1-a)y,其中0<a<12,則n,m的大小關(guān)系為A.n<m B.n>m C.n=m D.不能確定【解析】選A.由題意知,樣本x1,…,xn,y1,…,ym的平均數(shù)為z=nx+mym+n=nn+mx+mn+my,且z=ax+(1-a)y,所以a=nn+m,1-a=二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.以下敘述正確的是()A.極差與方差都刻畫數(shù)據(jù)的離散程度B.方差是沒有單位的統(tǒng)計量C.標(biāo)準差比較小時,數(shù)據(jù)比較分散D.只有兩個數(shù)據(jù)時,極差是標(biāo)準差的2倍【解析】選AD.定義可知A正確,只有兩個數(shù)據(jù)時,極差等于|x2-x1|,標(biāo)準差等于12|x2-x1|.故D正確.BC錯誤10.為預(yù)料2024年歐洲杯足球賽競賽結(jié)果,某博彩公司對甲乙兩國國家隊一年競賽狀況作了統(tǒng)計:甲隊平均每場進球數(shù)是3.1,全年進球數(shù)的標(biāo)準差為3.6;乙隊平均每場進球數(shù)是1.6,全年進球數(shù)的標(biāo)準差為0.2.下列說法中,正確的有()A.甲隊的技術(shù)比乙隊好B.乙隊發(fā)揮比甲隊穩(wěn)定C.甲隊幾乎每場都進球D.甲隊的表現(xiàn)時好時壞【解析】選ABD.因為甲隊的平均進球數(shù)比乙隊多,所以甲隊技術(shù)較好,A正確;乙隊的標(biāo)準差比甲隊小,標(biāo)準差越小越穩(wěn)定,所以乙隊發(fā)揮穩(wěn)定,B也正確;盡管甲隊平均每場進球數(shù)為3.1個,但全年進球數(shù)的標(biāo)準差大,表現(xiàn)呈時好時壞狀況,不能推斷每場都進球,C不正確,D正確.11.如圖是某公司2024年1月至12月空調(diào)銷售任務(wù)及完成狀況的氣泡圖,氣泡的大小表示完成率的凹凸,如10月份銷售任務(wù)是400臺,完成率為90%,則下列敘述不正確的是()A.2024年3月的銷售任務(wù)是400臺B.2024年月銷售任務(wù)的平均值不超過600臺C.2024年第一季度總銷量為900臺D.2024年月銷量最大的是6月份【解析】選CD.由題圖得3月份的銷售任務(wù)是400臺,所以A正確;由題圖得2024年月銷售任務(wù)超過600臺的只有3個月,則平均值不超過600臺,所以B正確;由題圖得第一季度的總銷量為300×50%+200×100%+400×120%=830(臺),故C不正確;由題圖得銷量最大的月份是5月份,為800臺,故D不正確.12.如圖1為某省2024年1～4月份快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計圖,圖2為該省2024年1～4月份快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計圖,對統(tǒng)計圖理解正確的是 ()A.2024年1～4月份快遞業(yè)務(wù)量3月份最高,2月份最低,差值接近2000萬件B.2024年1～4月份快遞業(yè)務(wù)量同比增長率均超過50%,在3月份最高,和春節(jié)蟄伏后網(wǎng)購迎來噴漲有關(guān)C.從兩圖中看,業(yè)務(wù)量與業(yè)務(wù)收入改變基本一樣D.從1～4月份來看,業(yè)務(wù)量與業(yè)務(wù)收入有波動,但整體保持高速增長【解析】選ABC.由題圖1可知快遞業(yè)務(wù)量3月份為4397萬件,2月份為2411萬件,差值為4397-2411=1986萬件,故A正確;由題圖1可知B也正確;對于C,由兩圖易知業(yè)務(wù)量從高到低改變是3月→4月→1月→2月,業(yè)務(wù)收入從高到低改變是3月→4月→1月→2月,改變基本一樣,所以C正確;對于D,由題圖知業(yè)務(wù)收入2月比1月削減,4月比3月削減,整體不具備高速增長之說,所以D不正確.三、填空題(每小題5分,共20分)13.某產(chǎn)品售后服務(wù)中心隨機選取了10個工作日,分別記錄了每個工作日接到的客戶服務(wù)電話的數(shù)量(單位:次):63382542564853392847則上述數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為,中位數(shù)與極差之和為.(第一空2分,其次空3分)

【解析】把這組數(shù)據(jù)從小到大排序:25,28,38,39,42,47,48,53,56,63,則10×50%=5.所以50%分位數(shù)為42+472=892=44.5.數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)即中位數(shù),極差為63-25=38,答案:44.582.514.某中學(xué)初中部共有110名老師,中學(xué)部共有150名老師,其性別比例如圖所示,則該校女老師的人數(shù)為.

【解析】由題圖可知該校女老師的人數(shù)為110×70%+150×(1-60%)=77+60=137.答案:13715.一組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列為1,2,2,x,5,10,其中x≠5,已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的32倍,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準差為【解析】由題意,可得該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2,所以2+x2=32×2=3,解得x=4,故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1+2+2+4+5+106=4.所以該組數(shù)據(jù)的方差為16×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2答案:316.某校從參與高三年級期中考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,并統(tǒng)計了他們的物理成果(成果均為整數(shù)且滿分為100分),把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]后畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖,則物理成果低于50分的學(xué)生人數(shù)與及格的學(xué)生的物理平均成果分別為.

【解析】因為各組的頻率和等于1.所以由頻率分布直方圖得低于50分的頻率為f1=1-(0.015×2+0.03+0.025+0.005)×10=0.1.又抽出的學(xué)生共有60名,所以成果低于50分的人數(shù)為60×0.1=6.由題意,得[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]四組的人數(shù)分別為9,18,15,3.又四組的組中值分別為65,75,85,95,所以及格的學(xué)生的物理平均成果約為9×65+18×75+15答案:6,77.7四、解答題(共70分)17.(10分)2024年春節(jié)前,有超過20萬名來自廣西、四川的外來務(wù)工人員選擇駕乘摩托車沿321國道返鄉(xiāng)過年,為防止摩托車駕駛?cè)藛T因長途疲憊駕駛而引發(fā)交通事故,肇慶市公安交警部門在321國道沿線設(shè)立了多個休息站,讓過往的摩托車駕駛?cè)藛T有一個停車休息的場所.交警小林在某休息站連續(xù)15天對進站休息的駕駛?cè)藛T省籍詢問的記錄中,隨機取了5天的詢問結(jié)果作出如圖折線圖:(1)交警小林抽取5天進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問記錄采納的是什么抽樣方法?(2)用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T進行抽樣,若廣西籍的有5名,則四川籍的應(yīng)抽取幾名?【解析】(1)依據(jù)題意,因為總體與樣本量都較小,所以交警小林可以采納抽簽法.(2)從題圖中可知,被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T中廣西籍的有5+20+25+20+30=100(人),四川籍的有15+10+5+5+5=40(人),設(shè)四川籍的駕駛?cè)藛T應(yīng)抽取x名,依題意得5100=x40,解得x=2,即四川籍的應(yīng)抽取218.(12分)某市有210名初中生參與數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽,隨機調(diào)閱了60名學(xué)生的答卷,成果如表:成果1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人數(shù)0006152112330(1)求樣本的平均成果和標(biāo)準差(精確到0.01分);(2)若規(guī)定預(yù)賽成果在7分或7分以上的學(xué)生參與復(fù)賽,試估計有多少名學(xué)生可以進入復(fù)賽?【解析】(1)x=160×(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6.00,s2=160×[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5,所以s≈1.22,故樣本的平均成果為6.00分,標(biāo)準差約為1.22(2)在60名選手中,有12+3+3=18(名)學(xué)生預(yù)賽成果在7分或7分以上,所以估計210人中有1860×210=63(名)學(xué)生的預(yù)賽成果在7分或7分以上,故大約有63名學(xué)生可以進入復(fù)賽19.(12分)(2024·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液,每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.依據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:記C為事務(wù):“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,依據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值.(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.20.(12分)某學(xué)校高一(1)、(2)班各有49名學(xué)生,兩班在一次數(shù)學(xué)測驗中的成果統(tǒng)計如表.平均分眾數(shù)中位數(shù)標(biāo)準差(1)班79708719.8(2)班7970795.2(1)請你對下面的一段話賜予簡要分析.高一(1)班的小剛回家對媽媽說:“昨天的數(shù)學(xué)測驗,全班平均分79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了!”(2)請你依據(jù)表中的數(shù)據(jù),對這兩個班的數(shù)學(xué)測驗狀況進行簡要分析,并提出建議.【解析】(1)由于(1)班49名學(xué)生數(shù)學(xué)測驗成果的中位數(shù)是87,則85分排在全班第25名之后,所以從位次上看,不能說85分是上游,該成果應(yīng)當(dāng)屬于中下游.但是我們不能以位次來推斷學(xué)習(xí)的好壞,小剛得了85分,說明他對這段時間的學(xué)習(xí)內(nèi)容駕馭得較好,從駕馭學(xué)習(xí)的內(nèi)容上講,也可以說屬于上游.(2)(1)班成果的中位數(shù)是87分,說明高于87分(含87分)的人數(shù)占一半或一半以上,而平均分為79分,標(biāo)準差又很大,說明低分也許多,兩極分化嚴峻,建議加強對學(xué)習(xí)困難的學(xué)生的幫助.(2)班的中位數(shù)和平均數(shù)都是79分,標(biāo)準差又小,說明學(xué)生之間差別較小,學(xué)習(xí)很差的學(xué)生少,學(xué)習(xí)優(yōu)異的學(xué)生也很少,建議實行措施提高優(yōu)秀率.21.(12分)某地區(qū)有居民600戶,其中一般家庭450戶、高收入家庭150戶.為了調(diào)查該地區(qū)居民奶制品月消費支出,確定采納分層隨機抽樣的方法,按一般家庭、高收入家庭進行分層,得到一般家庭、高收入家庭的奶制品平均月消費支出分別為40元和90元.(1)假如在各層中按比例安排樣本,總樣本量為60,那么在一般家庭、高收入家庭中分別抽取了多少戶?在這種狀況下,請估計該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費支出.(2)假如從一般家庭、高收入家庭中抽取的樣本量分別為30和30,那么在這種狀況下,抽取的這60戶居民奶制品的平均月消費支出是多少?用這60戶居民奶制品的平均月消費支出估計該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費支出合理嗎?假如不合理,那該怎樣估計更合理?【解析】(1)設(shè)在一般家庭、高收入家庭中分別抽取了m,n戶,則m450=n150=60600,解得m=45,n=15.樣本平均數(shù)x=4560×40+1560×90=52.5(元).在比例安排的分層隨機抽樣中,我們可以干脆用樣本平均數(shù)x估計總體平均數(shù)X,即在一般家庭、高收入家庭中分別抽取了45戶、15戶(2)抽取的這60戶居民奶制品的平均月消費支出是3060×40+3060×90=65(元),因為在該地區(qū)居民中,一般家庭戶數(shù)是高收入家庭戶數(shù)的3倍,而抽取的一般家庭的樣本量與高收入家庭的樣本量相等,所以用這60戶居民奶制品的平均月消費支出估計該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費支出不合理.應(yīng)當(dāng)用抽取的一般家庭奶制品的平均月消費支出40元估計該地區(qū)全體一般家庭的平均月消費支出,用抽取的高收入家庭的平均月消費支出90元估計該地區(qū)全體高收入家庭的平均月消費支出,得到該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費支出為450600×40+150600×90=52.5(22.(12分)某公司安排購買1臺機器,該種機器運用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零