2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.1曲線與方程2.1.2由曲線求它的方程由方程研究曲線的性質(zhì)學(xué)案新人教B版選修2-1

PAGEPAGE12．1.2由曲線求它的方程、由方程探討曲線的性質(zhì)1.了解解析幾何探討的兩個(gè)基本問題．2.會(huì)由曲線的幾何條件求曲線方程．3.學(xué)會(huì)由曲線方程探討曲線的幾何性質(zhì)．1．解析幾何探討的主要問題(1)由曲線求它的方程；(2)利用方程探討曲線的性質(zhì)．2．求曲線的方程的步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上隨意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．3．利用方程探討曲線的性質(zhì)(1)曲線的組成．(2)曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．(3)曲線的對(duì)稱性質(zhì)．(4)曲線的改變狀況．(5)畫出方程的曲線．1．到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是到x軸距離2倍的點(diǎn)的軌跡方程是()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝eq\f(\r(3),3)xC．x2－3y2＝1D．x2－3y2＝0解析：選D．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\r(x2＋y2)＝2|y|，整理得x2－3y2＝0.2．到兩坐標(biāo)軸距離之和等于1的點(diǎn)的軌跡方程是()A．x＋y＝1B．x＋y＝±1C．|x|＋|y|＝1D．|x＋y|＝1解析：選C．動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到x軸和y軸上的距離分別為|y|和|x|，故有|x|＋|y|＝1.3．設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1，0)，(－1，0)，若kMA·kMB＝－1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．解：設(shè)M(x，y)，所以kMA＝eq\f(y,x－1)，kMB＝eq\f(y,x＋1)(x≠±1)，又因?yàn)閗MA·kMB＝－1，即eq\f(y,x－1)·eq\f(y,x＋1)＝－1，所以x2＋y2＝1，所以軌跡方程為x2＋y2＝1(x≠±1)．干脆法求曲線方程如圖，已知點(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝－1，P為平面上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→)).求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．【解】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)．由eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，所以2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，化簡得y2＝4x(x≥0)．即軌跡C的方程為y2＝4x(x≥0)．若本例中的等式關(guān)系改為eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))，其他條件不變，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)．由eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))，得(x＋1，0)·(x－1，y)＝(x，y)·(2，－y)，所以x2－1＝2x－y2，所以x2＋y2－2x－1＝0.即軌跡C的方程為x2＋y2－2x－1＝0.eq\a\vs4\al()本題利用了求曲線方程的基本方法，在解題時(shí)依據(jù)題意，正確列出方程是關(guān)鍵，還要留意最終一步，假如有不合題意的特別點(diǎn)要予以說明．設(shè)圓C：(x－1)2＋y2＝1，過原點(diǎn)O作圓的隨意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程．解：設(shè)OQ為過O點(diǎn)的一條弦，P(x，y)為其中點(diǎn)，則CP⊥OQ.因?yàn)镺C的中點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，連接MP，故|MP|＝eq\f(1,2)|OC|＝eq\f(1,2)，得方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)，由圓的范圍知0<x≤1.代入法求曲線方程動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2＋y2＝1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程．【解】設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，因?yàn)镻為MB的中點(diǎn)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2),y＝\f(y0,2)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3,y0＝2y))，又因?yàn)镸在曲線x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以P點(diǎn)的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.eq\a\vs4\al()代入法求軌跡(曲線)方程的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上隨意點(diǎn)M(x，y)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)(已知曲線上的動(dòng)點(diǎn))P(x0，y0)．(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝f(x，y)，,y0＝g(x，y).))(3)代入：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(－2，0)、B(0，－2)，第三個(gè)點(diǎn)C在曲線y＝3x2－1上移動(dòng)，求△ABC的重心G的軌跡方程．解：設(shè)△ABC的重心G(x，y)，C(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0－2,3),y＝\f(y0－2,3)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3x＋2,y0＝3y＋2)).因?yàn)辄c(diǎn)C在y＝3x2－1上，所以y0＝3xeq\o\al(2,0)－1，即3y＋2＝3(3x＋2)2－1.整理得y＝9x2＋12x＋3.所以△ABC的重心G的軌跡方程為y＝9x2＋12x＋3.依據(jù)方程探討曲線的性質(zhì)探討方程y2＝eq\f(x2,1－x)(x≥0)的曲線性質(zhì)，并畫出圖形．【解】(1)范圍：因?yàn)閥2≥0，又x2≥0，所以1－x>0.解得x<1，所以0≤x<1.又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，所以曲線過原點(diǎn)．當(dāng)x→1時(shí)，y2→＋∞，所以y2≥0.綜上可知，曲線分布在兩平行直線x＝0和x＝1之間．(2)對(duì)稱性：用－y代替y，方程不變，曲線關(guān)于x軸對(duì)稱．(3)單調(diào)性：設(shè)0≤x1<x2<1，0≤xeq\o\al(2,1)<xeq\o\al(2,2)，所以1－x1>1－x2>0，故eq\f(xeq\o\al(2,1),1－x1)<eq\f(xeq\o\al(2,2),1－x2)，即yeq\o\al(2,1)<yeq\o\al(2,2).所以在第一象限單調(diào)遞增，在第四象限單調(diào)遞減．依據(jù)以上性質(zhì)，畫出圖形如圖所示．eq\a\vs4\al()曲線的性質(zhì)主要包括曲線的范圍、對(duì)稱性與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、曲線的改變趨勢(單調(diào)性)等幾方面．先探討曲線的性質(zhì)，再依據(jù)曲線的性質(zhì)畫圖，比較簡便、精確．探討方程x2y＋y－2x＝0所表示的曲線的性質(zhì)，并描繪其曲線．解：由方程得y＝f(x)＝eq\f(2x,1＋x2).(1)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)：令x＝0，得y＝0，說明曲線過原點(diǎn)(0，0)．(2)對(duì)稱性：f(－x)＝－f(x)．所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(3)范圍：因?yàn)?＋x2≥2|x|?eq\f(2|x|,1＋x2)≤1?－1≤eq\f(2x,1＋x2)≤1，即－1≤y≤1.所以定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇－1，1]．(4)單調(diào)性：依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可以推斷出函數(shù)y＝f(x)在x∈(－∞，－1]或x∈[1，＋∞)時(shí)，y遞減，在x∈[－1，1]時(shí)，y遞增．(5)作圖：通過列表描點(diǎn)作出函數(shù)在x≥0時(shí)的圖象，再利用關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性可畫出它的全部圖象，如圖所示．1．坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線的方程也不相同．2．一般地，求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)，而不要設(shè)成(x1，y1)或(x′，y′)等．3．方程化簡到什么程度，課本上沒有給出明確的規(guī)定，一般指將方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．假如化簡過程破壞了同解性，就須要剔除不屬于軌跡上的點(diǎn)，找回屬于軌跡而遺漏的點(diǎn)．“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念：求軌跡方程只要求出方程即可；而求軌跡則應(yīng)先求出軌跡方程，再說明軌跡的形態(tài).1．已知A(2，5)、B(3，－1)，則線段AB的方程是()A．6x＋y－17＝0B．6x＋y－17＝0(x≥3)C．6x＋y－17＝0(x≤3)D．6x＋y－17＝0(2≤x≤3)答案：D2．方程x＋eq\r(y)＝0(x≠0)所表示的圖形是()A．與x2＝y(tǒng)的圖形在其次象限的部分相同B．與x2＝y(tǒng)的圖形相同C．與x2＝－y的圖形相同D．與x2＝－y的圖形在第四象限的部分相同答案：A3．已知A(0，1)，B(1，0)，則線段AB的垂直平分線的方程是________．答案：y＝x4．線段AB的長度是10，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，則AB中點(diǎn)P的軌跡方程是________．解析：法一：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(a，0)、(0，b)，因?yàn)閨AB|＝10，所以eq\r(a2＋b2)＝10，a2＋b2＝100.設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，由中點(diǎn)公式，得x＝eq\f(a,2)，y＝eq\f(b,2).所以a＝2x，b＝2y.把a(bǔ)＝2x，b＝2y代入a2＋b2＝100，并整理，得x2＋y2＝25，即P點(diǎn)的軌跡方程是x2＋y2＝25.法二：設(shè)P(x，y)為軌跡上任一點(diǎn)，由平面幾何學(xué)問可知：|OP|＝eq\f(1,2)|AB|＝5(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．所以eq\r(x2＋y2)＝5.所以P點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2＝25.答案：x2＋y2＝25[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．直角坐標(biāo)系中，方程|x|·y＝1的曲線是()解析：選C．因?yàn)閨x|·y＝1，所以y>0，故選C．2．“點(diǎn)M在曲線y＝|x|上”是“點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：選B．“點(diǎn)M在曲線y＝|x|上”?“點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等”，反之不成立．故選B．3．方程x2＋2y2＋2x－2y＋eq\f(3,2)＝0表示的曲線是()A．一個(gè)點(diǎn) B．一條直線C．一個(gè)圓 D．兩條線段解析：選A．方程可化為(x＋1)2＋2(y－eq\f(1,2))2＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0,y－\f(1,2)＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝\f(1,2)))，它表示點(diǎn)(－1，eq\f(1,2))．故選A．4．已知分別過點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(1，0)的兩條直線相交于點(diǎn)P，若兩直線的斜率之積為－1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝eq\r(1－x2)解析：選B．設(shè)P(x，y)，則由題意得eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝－1，化簡得x2＋y2＝1(x≠±1)．5．已知點(diǎn)P是直線x－2y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1，2)，Q是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則點(diǎn)Q的軌跡方程是()A．x＋2y＋3＝0 B．x－2y－5＝0C．x－2y－7＝0 D．x－2y＋7＝0解析：選D．設(shè)P(x0，y0)，則x0－2y0＋3＝0(*)．又設(shè)Q(x，y)，由|PM|＝|MQ|，知點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝\f(x0＋x,2),2＝\f(y0＋y,2)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2－x,y0＝4－y))(**)．將(**)代入(*)，得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0，即x－2y＋7＝0.故選D．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)，PM⊥y軸，垂足為M，點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________．解析：由已知M(0，y)，N(x，－y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2＝4，即eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝17．平面上有三點(diǎn)A(－2，y)、B(0，eq\f(y,2))、C(x，y)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(y,2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(y,2)))，由eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即2x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))·eq\f(y,2)＝0，即y2＝8x.答案：y2＝8x8．若等腰三角形底邊的兩個(gè)頂點(diǎn)是B(2，1)，C(0，－3)，則另一頂點(diǎn)A的軌跡方程是________．解析：由題意，知另一頂點(diǎn)A在邊BC的垂直平分線上．又BC的中點(diǎn)為(1，－1)，邊BC所在直線的斜率kBC＝eq\f(1－(－3),2－0)＝2，所以邊BC的垂直平分線的斜率為－eq\f(1,2)，垂直平分線的方程為y＋1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y＋1＝0.又頂點(diǎn)A不在邊BC上，所以x≠1.故另一頂點(diǎn)A的軌跡方程是x＋2y＋1＝0(x≠1)．答案：x＋2y＋1＝0(x≠1)9．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到直線x＝8的距離是它到點(diǎn)A(2，0)的距離的2倍，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)到直線x＝8的距離為|x－8|，到點(diǎn)A的距離為eq\r((x－2)2＋y2).由已知，得|x－8|＝2eq\r((x－2)2＋y2)，化簡得3x2＋4y2＝48，即eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.10．在邊長為2a的正三角形ABC內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，已知P到三頂點(diǎn)的距離分別為|PA|、|PB|、|PC|，且滿意|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求P點(diǎn)的軌跡方程．解：以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則B(－a，0)，C(a，0)，A(0，eq\r(3)a)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示等式|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，有x2＋(y－eq\r(3)a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化簡得x2＋(y＋eq\r(3)a)2＝(2a)2，即所求的軌跡方程為x2＋(y＋eq\r(3)a)2＝4a2(y>0)．[B實(shí)力提升]11．a(chǎn)、b為隨意實(shí)數(shù)，若點(diǎn)(a，b)在曲線f(x，y)＝0上，則點(diǎn)(b，a)也在曲線f(x，y)＝0上，那么曲線f(x，y)＝0的幾何特征是()A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱解析：選D．由于點(diǎn)(a，b)和(b，a)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以f(x，y)＝0表示的曲線關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，故選D．12．已知圓C的方程為x2＋y2＝4，過圓C上的一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為N，若向量eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為__________．解析：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)(y0≠0)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，y0)．因?yàn)閑q\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(