2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.2常用邏輯用語1.2.3第2課時(shí)充要條件課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(九)充要條件(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)A，B是兩個(gè)集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[由A∩B＝A可知A?B；反過來A?B，則A∩B＝A，故選C.]2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，則“a＝3”是“A?B”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[當(dāng)a＝3時(shí)，A＝{1，3}，所以A?B，即a＝3能推出A?B；反之當(dāng)A?B時(shí)，a＝3或a＝2，所以A?B，推不出a＝3.故“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件，故選A.]3．已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，則“A?B”是“a＞5”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[因?yàn)閨x|≤4?－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A?B，所以a≥4，故選B.]4．實(shí)數(shù)a，b中至少有一個(gè)不為零的充要條件是()A．a(chǎn)b＝0 B．a(chǎn)b＞0C．a(chǎn)2＋b2＝0 D．a(chǎn)2＋b2＞0D[a2＋b2＞0，則a，b不同時(shí)為零；a，b中至少有一個(gè)不為零，則a2＋b2＞0.故選D.]5.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|yA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件C[|x＋y|＝|x|＋|y|?|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2?xy＝|x|·|y|?xy≥0.]二、填空題6．《左傳·僖公十四年》有記載：“皮之不存，毛將焉附？”，這句話的意思是說皮都沒有了，毛往哪里依附呢？比方事物失去了借以生存的基礎(chǔ)，就不能存在．則“有毛”是“有皮”的________條件(將正確的序號(hào)填在橫線上).①充分條件；②必要條件；③充要條件；④既不充分也不必要條件．①[由題意知，“無皮”?“無毛”，所以“有毛”?“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分條件，故填①.]7．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．{m|m＞3}[由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<eq\f(1,2)(m＋3)，由p是q的充分不必要條件知{x|x<3}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)（m＋3）))))，所以eq\f(1,2)(m＋3)＞3，解得m＞3.]8.設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，條件A：“開關(guān)S1閉合”；條件B：“燈泡L亮”，則A是B的充要條件的圖為________．乙[對(duì)于圖甲，開關(guān)S1閉合燈泡L亮，反過來燈泡L亮，也可能是開關(guān)S2閉合，∴A是B的充分不必要條件．對(duì)于圖乙，只有一個(gè)開關(guān)，燈假如要亮，開關(guān)S1必需閉合，∴A是B的充要條件．對(duì)于圖丙，∵燈亮必需S1和S2同時(shí)閉合，∴A是B的必要不充分條件．對(duì)于圖丁，燈始終亮，跟開關(guān)沒有關(guān)系，∴A是B的既不充分也不必要條件．]三、解答題9．求關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．[解]①當(dāng)a＝0時(shí)，解得x＝－1，滿意條件；②當(dāng)a≠0時(shí)，明顯方程沒有零根，若方程有兩異號(hào)實(shí)根，則a＜0；若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則必需滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)＜0，,Δ＝1－4a≥0))?0＜a≤eq\f(1,4).綜上，若方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，則a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，則方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根．因此關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤eq\f(1,4).10．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.[證明]充分性：(由ac<0推證方程有一正根和一負(fù)根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac>0∴方程肯定有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為x1，x2，則x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的兩根異號(hào)．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根．必要性：(由方程有一正根和一負(fù)根，推證ac<0)∵方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0.綜上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.11．王昌齡是盛唐聞名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的()A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要非充分條件．]12．記實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn中的最大數(shù)為max{x1，x2，…，xn}，最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三邊邊長(zhǎng)為a，b，c(a≤b≤c)，定義它的傾斜度為l＝max{eq\f(a,b)，eq\f(b,c)，eq\f(c,a)}·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))，則“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，a＝b＝c，∴l(xiāng)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝1×1＝1.∴“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的必要條件．∵a≤b≤c，∴maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq\f(c,a).又∵l＝1，∴mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq\f(a,c)，即eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)或eq\f(b,c)＝eq\f(a,c)，得b＝c或b＝a，可知△ABC為等腰三角形，而不能推出△ABC為等邊三角形．∴“l(fā)＝1”不是“△ABC為等邊三角形”的充分條件．]13．設(shè)m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整數(shù)根的充要條件是m＝________．3或4[x＝eq\f(4±\r(16－4m),2)＝2±eq\r(4－m)，因?yàn)閤是整數(shù)，即2±eq\r(4－m)為整數(shù)，所以eq\r(4－m)為整數(shù)，且m≤4.又m∈N*，取m＝1，2，3，4，驗(yàn)證可得m＝3，4符合題意，反之m＝3，4時(shí)可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整數(shù)根．]14．設(shè)p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[因?yàn)閝：a≤x≤a＋1，p是q的充分條件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).]15．在我國南北朝時(shí)期，數(shù)學(xué)家祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，其意思是，用一組平行平面去截兩個(gè)幾何體，若在隨意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)幾何體的體積必定相等．依據(jù)祖暅原理，“兩幾何體A、B的體積不相等