2024-2025學年高中數學專題強化訓練1立體幾何初步含解析北師大版必修2

PAGE1-專題強化訓練(一)立體幾何初步(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下列幾何體是柱體的是()B[A中的側棱不平行，所以A不是柱體，C是圓錐，D是球體，B是棱柱．]2．在一個幾何體的三視圖中，主視圖和俯視圖如圖所示，則相應的左視圖可以為()D[由幾何體的主視圖和俯視圖可知，該幾何體應為一個半圓錐和一個有一側面(與半圓錐的軸截面為同一三角形)垂直于底面的三棱錐的組合體，故其左視圖應為D.]3．已知m，n是不重合的直線，α，β是不重合的平面，有下列說法：①若mα，n∥α，則m∥n；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，則α∥β.其中正確說法的個數是()A．0B．1C．2D．3B[①m與n可能異面，故不正確；②α與β可能是相交平面，故不正確；③有可能mα或mβ，故不正確；④同時和一條直線垂直的兩個不同平面相互平行，故正確．]4．如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結論中不正確的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角D[連接AC，BD(圖略)．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，又∵SD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥SD，∴AC⊥平面SBD，又∵SB平面SBD，∴AC⊥SB，故A正確．∵AB∥CD，CD平面SCD，AB平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正確．設AC與BD相交于點O，則AO⊥平面SBD，CO⊥平面SBD，∴AS與平面SBD所成的角就是∠ASO，SC與平面SBD所成的角就是∠CSO，易知這兩個角相等，故C正確．∵AB與SC所成的角等于∠SCD，而DC與SA所成的角是∠SAB，這兩個角不肯定相等，故D不正確．]5．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[易知在△BCD中，∠DBC＝45°，∠BDC＝90°.又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，所以AB⊥CD.而AB⊥AD，CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD.]二、填空題6．給出下列說法：①和直線a都相交的兩條直線在同一個平面內；②三條兩兩相交的直線肯定在同一個平面內；③有三個不同公共點的兩個平面重合；④兩兩相交且不過同一點的四條直線共面．其中正確說法的序號是________．④[和直線a都相交的兩條直線不肯定在同一個平面內，故①錯誤；當三條直線共點時，三條直線不肯定在同一平面內，故②錯誤；當三個點共線時，即使兩個平面有在同一條直線上的三個公共點，這兩個平面也不肯定重合，故③錯誤；對于④可以證明，只有④正確．]7．圓臺的母線長為2aa,2a[如圖，畫出圓臺軸截面，由題設，得∠OPA＝30°，AB＝2a，設O1A＝γ，PA＝x，則OB＝2γ，x＋2a＝4γ，且x∴a＝γ，即兩底面圓的半徑分別為a,2a8．如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么給出下面四個結論：①AH⊥平面EFH；②AG⊥平面EFH；③HF⊥平面AEF；④HG⊥平面AEF.其中正確命題的序號是________．①[在這個空間圖形中，AH⊥HF，AH⊥HE，HF∩HE＝H，所以AH⊥平面EFH.]三、解答題9．已知底面半徑為eq\r(3)cm，母線長為eq\r(6)cm的圓柱，挖去一個以圓柱上底面圓心為頂點，下底面為底面的圓錐，求所得幾何體的表面積及體積．[解]作軸截面如圖，設挖去的圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則l＝eq\r(\r(6)2＋\r(3)2)＝eq\r(9)＝3(cm)．故幾何體的表面積為S＝πrl＋πr2＋2πr·AD＝π×eq\r(3)×3＋π×(eq\r(3))2＋2π×eq\r(3)×eq\r(6)＝3eq\r(3)π＋3π＋6eq\r(2)π＝(3eq\r(3)＋3＋6eq\r(2))π(cm2)．幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·r2·AD－eq\f(1,3)πr2AD＝π×3×eq\r(6)－eq\f(1,3)×π×3×eq\r(6)＝2eq\r(6)π(cm3)．10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分別是AP，AD的中點．求證：(1)EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.[證明](1)如圖，在△PAD中，因為E，F分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD.又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD.(2)連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因為BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.1．已知某一幾何體的主視圖與左視圖如圖所示，則在下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的是()A．①②③⑤ B．②③④⑤C．①②④⑤ D．①②③④D[因為幾何體的主視圖和左視圖一樣，所以易推斷出其俯視圖可能為①②③④.]2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是棱AA1與CC1的中點，則經過P、B、QA．鄰邊不相等的平行四邊形B．菱形但不是正方形C．矩形D．正方形B[如圖所示，設經過P、B、Q三點的截面為平面γ，由平面ABB1A1∥平面DCC1D1；平面ADD1A1∥平面BCC1B1，知γ又因為△ABP≌△CBQ，所以PB＝QB.知截面為菱形．又PQ≠BD1，知截面不行能為正方形．故選B.]3．如圖是一個幾何體的三視圖，其中主視圖和左視圖都是一個兩底長分別為2和4，腰長為eq\r(2)的等腰梯形，則該幾何體的體積是________．eq\f(7π,3)[由三視圖可知此幾何體為一圓臺，上底半徑為2，下底半徑為1，不難求出此圓臺的高，如圖，h＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，故體積V＝eq\f(1,3)π·(22＋2×1＋12)×1＝eq\f(7π,3).]4．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面Ba或2a[由已知得B1D⊥平面AC1，又CF平面AC1，∴B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，則必有CF⊥DF，設AF＝x(0<x<3a)，則CF2＝x2＋4a2，DF2＝a2＋(3a－x又CD2＝a2＋9a2＝10a∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，解得x＝a或x5．如圖，已知三棱錐P-ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝20，D為AB的中點，且△PDB是等邊三角形，PA⊥PC.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D-AP-C的正弦值．[解](1)證明：在Rt△ACB中，D是斜邊AB的中點，所以BD＝DA.因為△PDB是等邊三角形，所以BD＝DP＝BP，則BD＝DA＝DP，因此△APB為直角三角形，即PA⊥BP.又PA⊥PC，PC∩BP＝P，所以PA⊥平面PCB.因為BC平面PCB，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因為BC平面ABC，所