2024-2025學年新教材高中數(shù)學第一章預備知識1.3.1不等式的性質(zhì)課時分層作業(yè)含解析北師大版必修第一冊

PAGE課時分層作業(yè)(七)不等式的性質(zhì)(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．限速40km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40km/hA．v<40 B．v≤40C．v>40 D．v≥40B[不超過即小于或等于．]2．已知a>b>c>0，若P＝eq\f(b－c,a)，Q＝eq\f(a－c,b)，則()A．P≥Q B．P≤QC．P>Q D．P<QD[由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，①eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，②兩式相乘得，eq\f(a－c,b)>eq\f(b－c,a).則P<Q.]3．已知－1<α<0，1<β<2，則eq\f(α,2)－β的范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－2))C．(－1，0) D．(－1，1)A[－eq\f(1,2)<eq\f(α,2)<0，－2<－β<－1，同向不等式相加，得－eq\f(5,2)<eq\f(α,2)－β<－1.]4．若a，b為實數(shù)，則“0＜ab＜1”是“b＜eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件D[∵0＜ab＜1，∴a，b同號．當a，b同正時，由0＜ab＜1易得b＜eq\f(1,a)；當a，b同負時，由0＜ab＜1易得b＞eq\f(1,a).因此0＜ab＜1b＜eq\f(1,a)；反過來，由b＜eq\f(1,a)得，b－eq\f(1,a)＜0，即eq\f(ab－1,a)＜0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0,ab＜1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0,ab＞1.))因此b＜eq\f(1,a)0＜ab＜1.綜上知“0＜ab＜1”是“b＜eq\f(1,a)”的既不充分也不必要條件．]5．已知a>2，b>2，則有()A．a(chǎn)b≥a＋b B．a(chǎn)b≤a＋bC．a(chǎn)b>a＋b D．a(chǎn)b<a＋bC[ab－(a＋b)＝ab－(a＋b)＋1－1＝(a－1)(b－1)－1，又由a>2，b>2，得(a－1)(b－1)>1，因此，ab>a＋b.]二、填空題6．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再加入m克糖(m＞0)，則糖水更甜了，試依據(jù)這個事實寫出一個不等式________．[答案]eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)7．已知1＜a＜2，3＜b＜5，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．eq\f(1,5)＜eq\f(a,b)＜eq\f(2,3)[∵3＜b＜5，∴eq\f(1,5)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,3).又1＜a＜2，∴eq\f(1,5)＜eq\f(a,b)＜eq\f(2,3).]8．設(shè)a＝2－eq\r(5)，b＝eq\r(5)－2，c＝5－2eq\r(5)，則a，b，c之間的大小關(guān)系為________．c>b>a[a＝2－eq\r(5)＝eq\r(4)－eq\r(5)<0，b＝－a>0，c＝eq\r(25)－eq\r(20)>0，由b－c＝3eq\r(5)－7＝eq\r(45)－eq\r(49)<0，得b<c.所以c>b>a.]三、解答題9．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac<e－bc.[證明]∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－bc>－ac.又∵e>f，∴e－bc>f－ac.即f－ac<e－bc.10．已知a、b、c是實數(shù)，試比較a2＋b2＋c2與ab＋bc＋ca的大?。甗解]∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，當且僅當a＝b＝c時取等號，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.11．若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．a(chǎn)2＞b2C．eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1) D．a(chǎn)|c|＞b|c|C[法一：(特別值法)令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，D均錯．故選C.法二：(干脆法)∵a＞b，c2＋1＞0，∴eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1).故選C.]12．若a>b>0，則下列不等式中肯定成立的是()A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．a(chǎn)－eq\f(1,b)>b－eq\f(1,a)C．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)A[由已知a>b>0及不等式的基本性質(zhì)易得a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故選A.]13．若a，b為實數(shù)，則ab(a－b)<0成立的一個充要條件是()A．0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．0<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)C．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D．eq\f(1,b)<eq\f(1,a)D[ab(a－b)<0?eq\f(a－b,ab)<0，即eq\f(1,b)－eq\f(1,a)<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,a).]14．若x＞y，a＞b，則在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a；⑤eq\f(a,y)＞eq\f(b,x)這五個式子中，恒成立的不等式的序號是________．②④[若x＞y，a＞b，則－x＜－y，∴a－y＞b－x.若x＞y,a＞b，則－b＞－a，∴x－b＞y－a，若x＞y，a＞b，則推不出ax＞by.若x＞y，a＞b，推不出eq\f(a,y)＞eq\f(b,x).綜上，①③⑤錯誤，②④正確．]15．有三個實數(shù)m、a、b(a≠b)，假如在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互換，所得的代數(shù)式的值比原式的值小，那么關(guān)系式a＜m＜b是否可能成立？請說明你的理由．[解]不妨設(shè)P＝a2(m－b)＋m2b，Q＝b2(m－a