初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題12 數(shù)余的擴充

專題12數(shù)余的擴充———實數(shù)的概念與性質(zhì)閱讀與思考人類對數(shù)的認識是在生活中不斷加深和發(fā)展的。數(shù)系的每一次擴張都源于實際生活的需要，在非負有理數(shù)知識的基礎(chǔ)上引進負數(shù)，數(shù)系發(fā)展到有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴張；但隨著人類對數(shù)的認識不斷加深和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中確實存在不同于有理數(shù)的數(shù)——無理數(shù)。在引人無理數(shù)的概念后，數(shù)系發(fā)展到實數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴張.理篇無理數(shù)是學(xué)好實數(shù)的關(guān)鍵，為此應(yīng)注意：1.把握無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)的形式（這里，是互質(zhì)的整數(shù)，且≠0）；2．掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式：無限不循環(huán)小數(shù)，與π相關(guān)的數(shù)，開方開不盡得到的數(shù)等；3.有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)；4．明確無理數(shù)的真實性.克菜因認為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切.”想一想：下列說法是否正確？①帶根號的數(shù)是無理數(shù)；②兩個無理數(shù)的和、差、積、商一定還是無理數(shù)；③一個無理數(shù)乘以一個有理數(shù)，一定得無理數(shù)；④一個無理數(shù)的平方一定是有理數(shù).例題與求解【例1】已知．則的平方根是________.（湖南省長沙市“學(xué)用杯”競賽試題）解題思路：運用式子的非負性，求出，，的值．【例2】若，是實數(shù)，且．則的值是().A．3或－3B．3或－1C．－3或－1D．3或1（湖北省黃岡市競賽試題）解題思路：由算術(shù)根的雙非負性，可得≥0，≥0，求出＝1．代入原式中可得＝±2．由算術(shù)平方根的定義可得到算術(shù)平方根的雙非負性：①中≥0；②≥0.運用算術(shù)平方根的雙非負性是挖掘隱含條件的常用方法.【例3】已知實數(shù)，，滿足等式，求的值．（北京市競賽試題）解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)，互為相反數(shù)，由算術(shù)平方根定義、性質(zhì)探尋解題的切入點．【例4】已知，是有理數(shù)，且，求，的值．解題思路：把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于，的方程組.實數(shù)有以下常用性質(zhì)：①若，都是有理數(shù)，為無理數(shù)，且，則＝＝0;②若，，，都是有理數(shù)，，為無理數(shù)，且“，則＝，．要證一個數(shù)是有理數(shù)，常證這個數(shù)能表示成幾個有理數(shù)的和、差、積、商的形式；要證一個數(shù)是無理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個數(shù)為有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾.想一想怎樣證明是無理數(shù)？【例5】一個問題的探究問題：設(shè)實數(shù)，，滿足≠0．且.求證：在上述問題的基礎(chǔ)上，通過特殊化、一般化，我們可編擬出下面兩個問題：(1)設(shè)，，為兩兩不相等的有理數(shù)，求證：為有理數(shù)．（2）設(shè)，求的整數(shù)部分.解題思路：從公式入手．【例6】設(shè)，，，…，，求的值（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）．（四川省成都市中考試題）解題思路：解答此題的關(guān)鍵是將變形為一個代數(shù)式的平臺。能力訓(xùn)練A級1．在實數(shù)－4，，0，，，，中，共有_______個無理數(shù)．（貴州省貴陽市中考試題）2．設(shè)，是的小數(shù)部分，則的值為____.(2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)3．已知，則的值為_______．（山東省濟南市中考試題）4．觀察下列各式：，，，猜測：________.（遼寧省大連市中考試題）5．已知有理數(shù)，，，滿足，，那么＝________.A. B. C. D.（2013年“實中杯”數(shù)學(xué)競賽試題）6．若，為實數(shù)，且，則的值為()．A.1 B．－1 C．2 D．－2（天津市中考試題）7．一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為，則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是()．A. B． C． D．（山東省濰坊市中考試題）8．若，則的值為()．A．－1 B．1 C．2 D．3（湖北省荊門市中考試題）9．已知是的立方根，而是的相反數(shù)，且，求與的平方和的立方根．10.計算：．（廣西競賽試題）11.若，滿足，求的取值范圍．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）B級1．與互為相反數(shù)，且．那么的值為____．（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）2．若，則的值為_______．（海南省競賽試題）3．已知實數(shù)滿足，則＝_______.4．的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值為____．（廣東省競賽試題）5．已知非零實數(shù)，滿足，則等于()．A．－1 B．0 C．1 D．2（“《數(shù)學(xué)周報》杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）6．已知，，．則，，的大小關(guān)系是()．A.B. C. D.7．已知：，那么代數(shù)式的值為()．A． B． C． D.（重慶市競賽試題）8．下面有3個結(jié)論：①存在兩個不同的無理數(shù)，它們的差是整數(shù)；②存在兩個不同的無理數(shù)，它們的積是整數(shù)；③存在兩個不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù).其中，正確的結(jié)論有()個．A.0 B．1 C．2 D．3（江蘇省競賽試題）9．已知是整