2024-2025學年高二數學同步試題（人教A版2019）第二章 直線和圓的方程單元綜合測試卷 含解析

第二章直線和圓的方程單元綜合測試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線經過兩直線和的交點，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】聯立，解得，將點代入到直線，得，故.故選：C.2．已知兩直線和，若，則（

）A． B．8 C． D．2【答案】A【解析】由題可知，.故選：A.3．已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，而，故直線的取值范圍為，故選：A.4．直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為線分別與軸，軸交于兩點，所以，所以，由，可得圓的圓心為，半徑為，因為點在圓上，所以圓心到直線的距離為，故到直線的距離的范圍為，則.故選：A.5．直線始終平分圓，則的最小值為（

）A． B．20 C． D．5【答案】B【解析】圓的圓心為，由直線始終平分圓，得，則，因此，當且僅當時取等號，所以的最小值為20.故選：B6．唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設點關于直線的對稱點，則的中點為，，故，解得，要使從點到軍營總路程最短，即為點到軍營最短的距離，由點與圓上點的距離的最小值為點與圓心距離減去半徑知，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選：B7．方程表示的曲線是（

）A．兩個圓 B．一個圓和一條直線C．一個半圓 D．兩個半圓【答案】D【解析】方程可化為，因為，所以或，若時，則方程為,是以為圓心，以1為半徑的左半圓；若時，則方程為，是以為圓心，以1為半徑的右半圓;總之，方程表示的曲線是以為圓心，以1為半徑的右半圓與以為圓心，以1為半徑的左半圓合起來的圖形.故選：D8．已知圓M：，P為x軸上的動點，過點P作圓M的切線切，，切點為A，B，則四邊形面積的最小值為（

）A．2 B． C．2 D．【答案】B【解析】圓M的方程可化為，所以x軸與圓M相離.又，且和均為直角三角形，，為圓的半徑，且，所以面積的最小值轉化為求最小，當垂直于x軸時，四邊形面積取得最小值，此時，所以四邊形面積最小值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若三條直線不能圍成一個三角形，則實數的值可以為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】ACD【解析】當三條直線交于一點時不能圍成三角形：由，解得和的交點的坐標為，由在上可得，解得，因為與的相交，所以當三條直線有兩條直線平行時不能圍成三角形，當時，，解得，當時，，解得，顯然與不可能重合.綜上，或或，這三條直線不能圍成三角形，∴實數的取值可以是或或.故答案為：ACD.10．下列說法中，正確的有（

）A．直線在y軸上的截距是1B．當m變化時，圓恒過定點有且只有一個C．過，兩點（，）的所有直線的方程為D．直線關于點對稱的直線方程是【答案】CD【解析】對A：直線中，令得，所以直線在軸上的截距為，故A錯誤；對B：令得：或，所以當變化時，圓恒過定點和，故B錯誤；對C：根據直線兩點式方程的概念知，C正確；對D：設點關于點的對稱點為，則，由點在直線上，得，故D正確.故選：CD11．已知圓與圓交于兩點，P是圓上的一動點，則（

）A．直線的方程是 B．線段中垂線方程為C．線段的長度是 D．點P到直線的距離的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，由，所以直線的方程是，故A正確；對于B，因為直線的方程是，所以線段中垂線方程可設為，圓化為標準式為，所以由圓的對稱性可知線段中垂線過圓心，故，所以線段中垂線方程為，故B正確；對于C，圓心到直線的距離是，又圓，故圓半徑為，所以線段的長度是，故C錯誤；對于D，圓化為標準式得，所以圓心，半徑為，所以圓心到直線的距離是，所以圓上的點P到到直線的距離的最大值為，故D正確.故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知點在圓上，點，當最小時，.【答案】【解析】設圓的圓心為，半徑為4，如圖所示：當最小時，與圓M相切，連接，則，，而，由勾股定理得，所以當最小時，.故答案為：.13．是函數圖象上任意一點，過向直線和軸分別作垂線，垂足分別為，則.【答案】【解析】設，，則，即，解得，所以，，則，，所以．故答案為：14．若圓與圓相交，我們把經過圓和圓交點的圓稱為圓、圓的圓系方程，其方程可設為．根據以上信息，解決如下問題：已知圓與交于兩點，則以為直徑的圓的一般方程為．【答案】【解析】由題意可設經過點的圓的方程為，整理得，則圓心為．圓①，圓②，由①-②得，，即直線的方程為．因為為直徑，圓心在直線上，所以，解得，故以為直徑的圓的方程為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知直線：及圓：.(1)若直線與圓相切，求的值；(2)若直線與圓相交于，兩點，且弦AB的長為，求的值.【解析】（1）圓心，半徑為，由題意得：，解得或.（2）如圖：設點到直線的距離為，利用勾股定理得：，同時利用圓心到直線的距離：，解得.16．（15分）已知直線.(1)直線經過定點嗎？若經過定點，求出定點坐標；若不經過定點，說明理由；(2)求原點到直線距離的最大值；(3)若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于兩點，當面積最小時，求對應的直線的方程.【解析】（1）直線可化為，令，解得，，即直線恒過定點；（2）當時，原點到直線的距離最大，此時最大值；（3）設直線的方程為，，因為直線過定點，所以，由基本不等式得，當且僅當，時取等號，得，故面積，即面積的最小值為4，此時直線方程為，即．17．（15分）已知圓C：，直線l：是圓E與圓C的公共弦AB所在直線方程，且圓E的圓心在直線上．(1)求公共弦AB的長度；(2)求圓E的方程；(3)過點分別作直線MN，RS，交圓E于M，N，R，S四點，且，求四邊形MRNS面積的最大值與最小值．【解析】（1）圓，所以圓的圓心坐標，半徑，圓心到直線的距離，公共弦；（2）圓的圓心在直線上，設圓心，由題意得，，即，到的距離，所以的半徑，所以圓的方程：；（3）當過點的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時，，這時直線的方程為，代入到圓中，，所以，四邊形的面積；當過點的互相垂直的直線，不垂直于軸時，設直線為：，則直線為：，所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，，，設，當或1時，正好是軸及垂直軸，面積，當時，最大且，或1時，最小，四邊形面積的最大值17，最小值．18．（17分）已知圓經過點，從下列3個條件選取一個________①過點；②圓恒被直線平分；③與軸相切.(1)求圓的為程；(2)已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程．【解析】（1）選條件①．設圓的方程為，將，代入可得，解得，則圓的方程為．選條件②．直線恒過點．因為圓恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標為，又圓經過點，所以圓的半徑，所以圓的方程為，即．選條件③．設圓的方程為，由題意可得，解得，則圓的方程為，即．（2）設，，因為為線段的中點，所以，因為點是圓上的動點，所以，所以的軌跡方程為．19．（17分）蝴蝶定理因其美妙的構圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來．如圖，已知圓的方程為，直線與圓M交于，，直線與圓交于，．原點在圓內．設交軸于點，交軸于點．(1)當，，，時，分別求線段和的長度；(2)①求證：．②猜想OP和OQ的大