2025年北師大版高二數(shù)學(xué)下冊月考試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高二數(shù)學(xué)下冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、已知角的終邊過點(diǎn)且則的值為A.B.C.或D.或2、函數(shù)有（）A.極大值5，極小值2B.極大值5，極小值1C.極大值5，無極小值D.極小值2，無極大值3、直線y=-x與橢圓C：=1（a＞b＞0）交于A；B兩點(diǎn)；以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（）

A.

B.

C.-1

D.4-2

4、【題文】為了了解高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績；抽取了某班60名學(xué)生，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出其頻率分布直方圖（如右圖），已知從左到右各長方形高的比為2：3：5：6：3：1，則該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在（80，100）之間的學(xué)生人數(shù)是。

32人27人24人33人5、若復(fù)數(shù)z=（﹣8+i）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線與直線B1F相交于點(diǎn)T；線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）

A.B.C.D.7、雙曲線x2m鈭?y24=1

的焦距為6

則m

的值是(

)

A.6

或2

B.5

C.1

或9

D.3

或5

評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)8、若函數(shù)式表示的各位上的數(shù)字之和，如所以記則9、【題文】若則的最大值為▲10、已知f（x）=x3+x，x∈R，若至少存在一個實(shí)數(shù)x使得f（a-x）+f（ax2-1）＜0成立，a的范圍為______．11、以下四個命題：

（1）是集合M={m|m=i2，n∈N*}（i為虛數(shù)單位）中的元素；

（2）p：函數(shù)f（x）=ax-2（a＞0；a≠1）的圖象恒過點(diǎn)（0，-2），q：函數(shù)f（x）=lg|x|（x≠0）有兩個零點(diǎn)，則p∨q是真命題；

（3）函數(shù)f（x）=e-x-ex切線斜率的最大值為2

（4）?x0∈{x|x是無理數(shù)}，是無理數(shù)，其中正確的命題是______．12、如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線D1E與AC所成角的余弦值是______．13、若鈭?0婁脨4cosxdx=鈭?0ax2dx

則a3=

______．評卷人得分三、作圖題(共5題，共10分)14、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

15、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）16、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）17、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）18、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共3題，共6分)19、國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值（美元）與其重量（克拉）的平方成正比；且一顆重為3克拉的該鉆石的價值為54000美元．

（Ⅰ）寫出鉆石的價值y關(guān)于鉆石重量x的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石；若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉，試證明：當(dāng)m=n時，價值損失的百分率最大．

（注：價值損失的百分率=在切割過程中的重量損耗忽略不計）

20、為培養(yǎng)高中生綜合實(shí)踐能力和團(tuán)隊合作意識，某市教育部門主辦了全市高中生綜合實(shí)踐知識與技能競賽.該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，參加決賽的團(tuán)隊按照抽簽方式?jīng)Q定出場順序.通過預(yù)賽，共選拔出甲、乙等六個優(yōu)秀團(tuán)隊參加決賽.（Ⅰ）求決賽出場的順序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；（Ⅱ）若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的團(tuán)隊數(shù)記為求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21、（本小題滿分14分）如圖，一簡單幾何體有五個頂點(diǎn)它的一個面內(nèi)接于⊙是⊙的直徑，四邊形為平行四邊形，平面．（1）證明：平面平面（2）若求該簡單幾何體的體積．評卷人得分五、計算題(共4題，共16分)22、1.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若關(guān)于x的方程在[，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(3)證明：(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931).23、1.（本小題滿分12分）已知投資某項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中價格下降的概率都是．設(shè)該項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，記產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為對該項目每投資十萬元，取0、1、2時，一年后相應(yīng)的利潤為1.6萬元、2萬元、2.4萬元．求投資該項目十萬元，一年后獲得利潤的數(shù)學(xué)期望及方差．24、設(shè)L為曲線C：y＝在點(diǎn)(1,0)處的切線．求L的方程；25、解關(guān)于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．評卷人得分六、綜合題(共1題，共6分)26、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），設(shè)數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、A【分析】【解析】【答案】A2、C【分析】【解析】【答案】C3、C【分析】

由題意；以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，也過左焦點(diǎn)，以這兩個焦點(diǎn)A；B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)得一矩形．

直線y=-x的傾斜角為120°，所以矩形寬為c，長為c．

由橢圓定義知矩形的長寬之和等于2a，即c+c=2a．

∴

故選C．

【解析】【答案】以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)；也過左焦點(diǎn)，以這兩個焦點(diǎn)A；B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)得一矩形，求出矩形寬與長，利用橢圓的定義，即可求得橢圓C的離心率．

4、D【分析】【解析】根據(jù)題意可得該辦六個分?jǐn)?shù)段的概率比例依次為2：3：5：6：3：1；進(jìn)而得到成績在（80，90）與（90，100）之間的學(xué)生人數(shù)的概率，即可得到答案．

解：由題意可得：從左到右各長方形高的比為2：3：5：6：3：1；

所以（60；70），（70，80），（80，90），（90，100），（100，110），（110，120）各分?jǐn)?shù)段的概率之比為2：3：5：6：3：1；

所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在（80，90）與（90，100）之間的學(xué)生人數(shù)的概率分別為：

所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在（80，100）之間的學(xué)生人數(shù)是：60×(+)=33．

故選D．【解析】【答案】D5、C【分析】【解答】解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i；

對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1；﹣8），位于第三象限；

故選：C．

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算進(jìn)行化簡，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論．6、A【分析】【解答】直線方程為直線方程為聯(lián)立方程得代入橢圓整理的即

【分析】求離心率的值需找到關(guān)于的齊次方程，本題思路簡單，計算量較大7、B【分析】解：根據(jù)題意，雙曲線x2m鈭?y24=1

的焦距為6

則有2c=6

即c=3

則有m+4=3

解可得m=5

故選：B

．

根據(jù)題意，分析易得c=3

由雙曲線的幾何性質(zhì)可得m+4=3

解可得m

的值，即可得答案．

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意焦距是2c

不是c

其次要掌握雙曲線的幾何性質(zhì)．【解析】B

二、填空題(共6題，共12分)8、略

【分析】【解析】【答案】____9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】解：∵f（x）=x3+x；x∈R為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增；

至少存在一個實(shí)數(shù)x使得f（a-x）+f（ax2-1）＜0成立；

即不等式f（a-x）＜-f（ax2-1）=f（1-ax2）有解；

∴a-x＜1-ax2有解，即ax2-x+a-1＜0有解．

顯然；a=0滿足條件．

當(dāng)a＞0時，由△=1-4a（a-1）＞0，即4a2-4a-1＜0；

求得＜a＜∴0＜a＜．

當(dāng)a＜0時，不等式ax2-x+a-1＜0一定有解．

故答案為：（-∞，）．

根據(jù)f（x）=x3+x，x∈R為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，由題意可得ax2-x+a-1＜0有解．分類討論；求得a的范圍．

本題主要考查特稱命題，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．【解析】（-∞，）11、略

【分析】解：對于（1），=i，∴它不是集合M={m|m=i2，n∈N*}（i為虛數(shù)單位）中的元素；命題錯誤；

對于（2）；p：x=0時，f（0）=-2，函數(shù)f（x）圖象恒過點(diǎn)（0，-2），是真命題；

q：x=±1時；f（x）=0，∴函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，是真命題，∴p∨q是真命題，命題正確；

對于（3），∵f′（x）=-e-x-ex=-（+ex）≤-2；∴函數(shù)f（x）切線斜率的最大值為-2，∴命題錯誤；

對于（4），當(dāng)x0=是無理數(shù)時，=是無理數(shù)；∴命題正確；

綜上；以上正確的命題是（2）；（4）．

故答案為：（2）；（4）．

（1）化簡判斷它是否為集合M中的元素；

（2）判斷p或q是否為真命題即可；

（3）求f′（x）的最值；得出函數(shù)f（x）切線斜率的最值；

（4）舉例說明即可確；

本題考查了集合與復(fù)數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合命題的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率等問題，是綜合題．【解析】（2）、（4）12、略

【分析】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（4，0，0），C（0，4，0），D1（0；0，4），E（0，4，2）；

=（-4，4，0），=（0；4，-2）．

cos＜＞===．

∴異面直線D1E與AC所成角的余弦值為．

故答案為：．

以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線D1E與AC所成角的余弦值．

本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．【解析】13、略

【分析】解：由題可知鈭?0婁脨4cosxdx=鈭?0ax2dx

得到sinx|0婁脨4=13x3|0a隆脿13a3=22

即a3=322

．

故答案為：322

．

首先等式兩邊分別求定積分；得到關(guān)于a

的方程解之．

本題考查了定積分的計算；熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【解析】322

三、作圖題(共5題，共10分)14、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

15、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．17、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．18、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點(diǎn)﹣﹣在底面外任一點(diǎn)；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點(diǎn)與底面三角形各頂點(diǎn)．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)；從這點(diǎn)開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點(diǎn)連接這點(diǎn)與底面上的頂點(diǎn)，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共3題，共6分)19、略

【分析】

（Ⅰ）由題意，可設(shè)價值與重量的關(guān)系式為y=kx2；

∵3克拉的鉆石價值是54000美元，∴54000=k?32，解得：k=6000，∴y=6000?x2；

所以，此鉆石的價值與重量的函數(shù)關(guān)系式為y=6000?x2．

（Ⅱ）若兩顆鉆石的重量為m、n克拉，則原有價值是6000（m+n）2；

現(xiàn)有價值是6000m2+6000n2；價值損失的百分率為：

=當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號；

所以；當(dāng)m=n時，鉆石價值損失的百分率最大．

【解析】【答案】（Ⅰ）設(shè)價值與重量的關(guān)系式為y=kx2；3克拉的鉆石價值是54000美元；代入上式，可得k的值，從而得函數(shù)關(guān)系式．

（Ⅱ）兩顆鉆石的重量為m、n克拉，原有價值是6000（m+n）2，現(xiàn)有價值是6000m2+6000n2；價值損失的百分率為：

化簡整理，得其最大值，即鉆石價值損失的最大百分率．

20、略

【分析】試題分析：(1)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確找出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式計算；（2)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有的基本事件一一列舉出來，要做到不重不漏，有時可借助列表，樹狀圖列舉，當(dāng)基本事件總數(shù)較多時，注意去分排列與組合；求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：一是明確隨機(jī)變量的取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；二是求每一個隨機(jī)變量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求的分布列是否正確；（4)求解離散隨機(jī)變量分布列和方差，首先要理解問題的關(guān)鍵，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機(jī)變量的所有可能值，計算出相對應(yīng)的概率，寫成隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計算.試題解析：【解析】

（Ⅰ）設(shè)“甲不在第一位、乙不在第六位”為事件則所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率為．（Ⅱ）隨機(jī)變量的可能取值為隨機(jī)變量的分布列為：。因為所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．考點(diǎn)：利用古典概型求隨機(jī)事件的概率以及隨機(jī)變量的分布列和期望.【解析】【答案】(1)（2）分布列略，21、略

【分析】第一問要證明面面垂直，關(guān)鍵是證明線面垂直，借助于面面垂直的判定定理得到結(jié)論即可即證平面第二問中，將該幾何體的體積分解為兩個三棱錐的體積即可。注意合理分解為兩個特殊幾何體的體積是解決該試題的關(guān)鍵。解:(1)證明:平面平面1分是⊙的直徑,2分又3分平面4分平面5分又平面6分平面平面7分(2)設(shè)所求簡單幾何體的體積為平面平面平面在中8分方法一:連由(1),(2)知是三棱錐的高,是三棱錐的高9分11分13分該簡單組合體的體積14分方法二:平面平面又由(1)知又平面是四棱錐的高,且由(1),(2)證明易知四邊形為邊長為的正方形.10分11分12分13分14分【解析】【答案】（1）見解析；（2）1.五、計算題(共4題，共16分)22、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由題意，得f'(1)＝0Ta＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0設(shè)g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)則g'(x)＝2x－3＋＝4分當(dāng)x變化時，g'(x)，g(x)的變化情況如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗極大值↘極小值↗b－2＋ln2當(dāng)x＝1時，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根高考+資-源-網(wǎng)由TT＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)設(shè)Φ(x)＝lnx－(x2－1)則Φ'(x)＝－＝當(dāng)x≥2時，Φ'(x)＜0T函數(shù)Φ(x)在[2，＋∞)上是減函數(shù)，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Tlnx＜(x2－1)∴當(dāng)x≥2時，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.23、略

【分析】由題設(shè)得則的概率分布為4分。012P故收益的概率分布為。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=224、解：所以當(dāng)x=1時，k=點(diǎn)斜式得直線方程為y＝x－1【分析】【分析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這是導(dǎo)函數(shù)的除法運(yùn)算法則25、解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0；